6. Całka nieoznaczona
Grzegorz Kosiorowski
Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 1 / 35
Całka nieoznaczona - motywacja
Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca.
Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla
potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm. Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie.
Całka nieoznaczona - motywacja
Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla
potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm.
Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 2 / 35
Całka nieoznaczona - motywacja
Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla
potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm.
Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie.
Całka nieoznaczona - zastosowania
Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v (t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By
odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v (t).
Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy Ck(x )). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest Ck(x ). Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 3 / 35
Całka nieoznaczona - zastosowania
Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v (t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By
odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v (t).
Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy Ck(x )). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest Ck(x ). Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone.
Całka nieoznaczona - zastosowania
Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v (t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By
odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v (t).
Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np.
koszt krańcowy Ck(x )). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego?
Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest Ck(x ).
Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 3 / 35
Całka nieoznaczona - zastosowania
Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v (t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By
odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v (t).
Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np.
koszt krańcowy Ck(x )). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego?
Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest Ck(x ).
Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone.
Funkcja pierwotna
Funkcja pierwotna
Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F , określoną i różniczkowalną na Df i spełniającą warunek: ∀x ∈DfF0(x ) = f (x ) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f .
Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady takich funkcji są dość patologiczne (np. znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta).
Istnienie funkcji pierwotnej
Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą. Wtedy f ma funkcję pierwotną.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 4 / 35
Funkcja pierwotna
Funkcja pierwotna
Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F , określoną i różniczkowalną na Df i spełniającą warunek: ∀x ∈DfF0(x ) = f (x ) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f .
Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady takich funkcji są dość patologiczne (np. znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta).
Istnienie funkcji pierwotnej
Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą. Wtedy f ma funkcję pierwotną.
Funkcja pierwotna
Funkcja pierwotna
Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F , określoną i różniczkowalną na Df i spełniającą warunek: ∀x ∈DfF0(x ) = f (x ) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f .
Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady takich funkcji są dość patologiczne (np. znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta).
Istnienie funkcji pierwotnej
Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą. Wtedy f ma funkcję pierwotną.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 4 / 35
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x .
Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7 lub x2−√
2 i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.
Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x . Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7
lub x2−√ 2 i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.
Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 5 / 35
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x . Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7 lub x2−√
2
i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.
Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x . Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7 lub x2−√
2 i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.
Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 5 / 35
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x . Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7 lub x2−√
2 i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.
Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich:
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F1 - dowolną funkcją pierwotną f . Wtedy F2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C ∈ R takie, że dla każdego x ∈ Df F2(x ) = F1(x ) + C .
C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek!
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 6 / 35
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich:
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F1 - dowolną funkcją pierwotną f . Wtedy F2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C ∈ R takie, że dla każdego x ∈ Df F2(x ) = F1(x ) + C .
C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek!
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich:
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F1 - dowolną funkcją pierwotną f . Wtedy F2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C ∈ R takie, że dla każdego x ∈ Df F2(x ) = F1(x ) + C .
C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek!
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 6 / 35
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie.
Na przykład, gdy szukamy funkcji pierwotnej F do f (x ) = 2x , takiej, że F (0) = 1, to jedyną odpowiedzią będzie F (x ) = x2+ 1 i
rozwiązanie takiego problemu będzie określone jednoznacznie.
Niejednoznaczność funkcji pierwotnej
Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie.
Na przykład, gdy szukamy funkcji pierwotnej F do f (x ) = 2x , takiej, że F (0) = 1, to jedyną odpowiedzią będzie F (x ) = x2+ 1 i
rozwiązanie takiego problemu będzie określone jednoznacznie.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 7 / 35
Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona
Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór funkcji pierwotnych funkcji f . Zapisujemy:
Z
f (x ) dx = F (x ) + C ,
(gdzie F0(x ) = f (x )). W powyższym zapisie R jest symbolem całki, a dx - tego, że całkujemy po zmiennej x (nie wolno tego opuszczać w zapisie!), zaś f nazywa się funkcją podcałkową.
Całka nieoznaczona
Przykład 1
Ile wynosi R 2x dx ?
Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .
Przykład 2
Ile wynosi R 2x dy ?
W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R 2xdy = 2xy + C .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 9 / 35
Całka nieoznaczona
Przykład 1
Ile wynosi R 2x dx ?
Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .
Przykład 2
Ile wynosi R 2x dy ?
W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R 2xdy = 2xy + C .
Całka nieoznaczona
Przykład 1
Ile wynosi R 2x dx ?
Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .
Przykład 2
Ile wynosi R 2x dy ?
W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R 2xdy = 2xy + C .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 9 / 35
Całka nieoznaczona
Przykład 1
Ile wynosi R 2x dx ?
Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .
Przykład 2
Ile wynosi R 2x dy ?
W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne.
Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R 2xdy = 2xy + C .
Całka nieoznaczona
Przykład 1
Ile wynosi R 2x dx ?
Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .
Przykład 2
Ile wynosi R 2x dy ?
W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R2xdy = 2xy + C .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 9 / 35
Całka nieoznaczona
Przykład 1
Ile wynosi R 2x dx ?
Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .
Przykład 2
Ile wynosi R 2x dy ?
W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x
0 R
Obliczanie prostych całek z definicji
Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, „zgadując” rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej.
Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy
trudniejszych funkcjach.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 10 / 35
Obliczanie prostych całek z definicji
Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, „zgadując” rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy
pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek.
Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy trudniejszych funkcjach.
Obliczanie prostych całek z definicji
Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, „zgadując” rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy
pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy
trudniejszych funkcjach.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 10 / 35
Całki prostych funkcji
Całki prostych funkcji:
f (x ) 0 1 xr, r 6= −1 sin x cos x
Rf (x )dx C x + C r +11 xr +1+ C − cos x + C sin x + C
f (x ) ex ax 1x cos12x −sin12x
R f (x )dx ex+ C ln aax + C ln |x | + C tg x + C ctg x + C f (x ) √1−x1 2 1+x1 2
R f (x )dx arc sin x + C arctg x + C
W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać.
Całki prostych funkcji
Całki prostych funkcji:
f (x ) 0 1 xr, r 6= −1 sin x cos x
Rf (x )dx C x + C r +11 xr +1+ C − cos x + C sin x + C f (x ) ex ax 1x cos12x −sin12x
Rf (x )dx ex+ C ln aax + C ln |x | + C tg x + C ctg x + C
f (x ) √1−x1 2 1+x1 2
R f (x )dx arc sin x + C arctg x + C
W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 11 / 35
Całki prostych funkcji
Całki prostych funkcji:
f (x ) 0 1 xr, r 6= −1 sin x cos x
Rf (x )dx C x + C r +11 xr +1+ C − cos x + C sin x + C f (x ) ex ax 1x cos12x −sin12x
Rf (x )dx ex+ C ln aax + C ln |x | + C tg x + C ctg x + C f (x ) √ 1
1−x2
1 1+x2
Rf (x )dx arc sin x + C arctg x + C
W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać.
Całki prostych funkcji
Całki prostych funkcji:
f (x ) 0 1 xr, r 6= −1 sin x cos x
Rf (x )dx C x + C r +11 xr +1+ C − cos x + C sin x + C f (x ) ex ax 1x cos12x −sin12x
Rf (x )dx ex+ C ln aax + C ln |x | + C tg x + C ctg x + C f (x ) √ 1
1−x2
1 1+x2
Rf (x )dx arc sin x + C arctg x + C
W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 11 / 35
Funkcja pierwotna
Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia:
O liniowości całki
Zachodzą następujące zależności:
1)R f (x ) ± g (x )dx =R f (x )dx ±R g (x ) 2) ∀a∈RR af (x )dx = aR f (x )dx .
Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych.
Funkcja pierwotna
Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia:
O liniowości całki
Zachodzą następujące zależności:
1)R f (x ) ± g (x )dx =R f (x )dx ±R g (x ) 2) ∀a∈RR af (x )dx = aR f (x )dx .
Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 12 / 35
Funkcja pierwotna
Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia:
O liniowości całki
Zachodzą następujące zależności:
1)R f (x ) ± g (x )dx =R f (x )dx ±R g (x ) 2) ∀a∈RR af (x )dx = aR f (x )dx .
Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych.
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ?
Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc
R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ?
Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ? Wiemy, żeR x2dx =
1
3x3+ C , i R 1dx = x + C , więc
R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ?
Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ?
Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx =
x + C , więc
R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ?
Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ?
Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc
R x2+ 1 dx =
1
3x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ?
Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ?
Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc
R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ?
Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ?
Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc
R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ?
Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ?
Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc
R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ? Wiemy, żeR sin xdx =
− cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ?
Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc
R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ?
Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx =
− 5 cos x + C .
Proste przykłady
Przykład 1
Ile wynosi R x2+ 1 dx ?
Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc
R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .
Przykład 2
Ile wynosi R 5 sin x dx ?
Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35
Problemy z całkami
Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji.
Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze).
Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach.
Problemy z całkami
Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji.
Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych.
Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze).
Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 14 / 35
Problemy z całkami
Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji.
Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze).
Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach.
Problemy z całkami
Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji.
Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze).
Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych.
Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 14 / 35
Całki „nieobliczalne”
Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:
R e−x2dx ,
R sin x
x dx ,
R 1
ln xdx ,
tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.
Całki „nieobliczalne”
Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:
R e−x2dx ,
R sin x
x dx ,
R 1
ln xdx ,
tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 15 / 35
Całki „nieobliczalne”
Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:
R e−x2dx ,
R sin x
x dx ,
R 1
ln xdx ,
tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.
Całki „nieobliczalne”
Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:
R e−x2dx ,
R sin x
x dx ,
R 1
ln xdx ,
tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 15 / 35
Całki „nieobliczalne”
Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:
R e−x2dx ,
R sin x
x dx ,
R 1
ln xdx ,
tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.
Na szczęście...
Na szczęście, obliczanie całek skomplikowanych funkcji nie jest zazwyczaj potrzebne w zagadnieniach ekonomicznych. Dlatego będziemy się przede wszystkim zajmować funkcjami, które można policzyć za pomocą dwu sprytnych sposobów: przez części i przez podstawienie.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 16 / 35
Twierdzenie o całkowaniu przez części
Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu:
Twierdzenie o całkowaniu przez części
Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne we wspólnej dziedzinie, to zachodzi:
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Twierdzenie o całkowaniu przez części
Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu:
Twierdzenie o całkowaniu przez części
Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne we wspólnej dziedzinie, to zachodzi:
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 17 / 35
Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód
Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu:
(f (x ) · g (x ))0 = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).
Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne:
f (x ) · g (x ) =
Z
(f (x ) · g (x ))0dx =
Z
f0(x )g (x )dx +
Z
f (x )g0(x )dx .
Wzór na całkę przez części powstaje, gdy odejmiemyR f0(x )g (x )dx od obu stron.
Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód
Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu:
(f (x ) · g (x ))0 = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).
Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne:
f (x ) · g (x ) =
Z
(f (x ) · g (x ))0dx =
Z
f0(x )g (x )dx +
Z
f (x )g0(x )dx .
Wzór na całkę przez części powstaje, gdy odejmiemyR f0(x )g (x )dx od obu stron.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 18 / 35
Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód
Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu:
(f (x ) · g (x ))0 = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).
Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne:
f (x ) · g (x ) =
Z
(f (x ) · g (x ))0dx =
Z
f0(x )g (x )dx +
Z
f (x )g0(x )dx .
Twierdzenie o całkowaniu przez części - dyskusja
Twierdzenie o całkowaniu przez części
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Wydaje się, że zastosowanie tej formuły nie poprawia sytuacji, bo po obu jej stronach występuje całka, którą i tak musimy obliczyć.
Jednak, ten wzór jest użyteczny, gdy mamy scałkować iloczyn dwu funkcji z których jedna znacząco się upraszcza, gdy się ją różniczkuje (f ), zaś druga się nie komplikuje zanadto przy całkowaniu (g0).
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 19 / 35
Wieża całkowania przez części
Twierdzenie o całkowaniu przez części
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która
najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):
funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne
funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne
funkcje wykładnicze.
Wieża całkowania przez części
Twierdzenie o całkowaniu przez części
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która
najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):
funkcje logarytmiczne
funkcje cyklometryczne
funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne
funkcje wykładnicze.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 20 / 35
Wieża całkowania przez części
Twierdzenie o całkowaniu przez części
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która
najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):
funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne
funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne
funkcje wykładnicze.
Wieża całkowania przez części
Twierdzenie o całkowaniu przez części
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która
najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):
funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne
funkcje wielomianowe i wielomianopodobne
funkcje trygonometryczne funkcje wykładnicze.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 20 / 35
Wieża całkowania przez części
Twierdzenie o całkowaniu przez części
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która
najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):
funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne
funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne
funkcje wykładnicze.
Wieża całkowania przez części
Twierdzenie o całkowaniu przez części
R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx
Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która
najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):
funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne
funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne
funkcje wykładnicze.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 20 / 35
Wieża całkowania przez części
funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne
funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne
funkcje wykładnicze.
Jeśli mamy iloczyn dwu różnych typów funkcji to zazwyczaj tę, która w poprzednim zdaniu wymieniona jest wyżej bierzemy jako f , a tę, która wymieniona jest później jako g0. Jest to o tyle logiczne, że: logarytmy i funkcje cyklometryczne po zróżniczkowaniu przyjmują postać znacznie prostszą, a do scałkowania są nieelementarne, wielomiany łatwo się różniczkuje i całkuje, ale właśnie po
zróżniczkowaniu „znikają”, funkcje trygonometryczne zmieniają się niemal tak samo przy różniczkowaniu i całkowaniu, a wykładnicze w zasadzie się nie zmieniają w obu wypadkach.
Wieża całkowania przez części
funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne
funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne
funkcje wykładnicze.
Jeśli mamy iloczyn dwu różnych typów funkcji to zazwyczaj tę, która w poprzednim zdaniu wymieniona jest wyżej bierzemy jako f , a tę, która wymieniona jest później jako g0. Jest to o tyle logiczne, że:
logarytmy i funkcje cyklometryczne po zróżniczkowaniu przyjmują postać znacznie prostszą, a do scałkowania są nieelementarne, wielomiany łatwo się różniczkuje i całkuje, ale właśnie po
zróżniczkowaniu „znikają”, funkcje trygonometryczne zmieniają się niemal tak samo przy różniczkowaniu i całkowaniu, a wykładnicze w zasadzie się nie zmieniają w obu wypadkach.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 21 / 35
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze
podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:
Z
x22x dx =
f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
= x22x ln 2 −
Z
2x 2x ln 2 dx =
= x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx .
Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x).
Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze
podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:
Z
x22x dx =
f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
= x22x ln 2 −
Z
2x 2x ln 2 dx =
= x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx .
Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 22 / 35
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze
podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x.
Zapisujemy:
Z
x22x dx =
f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
= x22x ln 2 −
Z
2x 2x ln 2 dx =
= x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx .
Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze
podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:
Z
x22x dx =
f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
=
x22x ln 2 −
Z
2x 2x ln 2 dx =
= x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx .
Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 22 / 35
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze
podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:
Z
x22x dx =
f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
= x22x ln 2
−
Z
2x 2x ln 2 dx =
= x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx .
Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze
podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:
Z
x22x dx =
f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
= x22x ln 2 −
Z
2x 2x ln 2 dx =
= x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx .
Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 22 / 35
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze
podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:
Z
x22x dx =
f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
= x22x ln 2 −
Z
2x 2x ln 2 dx =
= x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx .
Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze
podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:
Z
x22x dx =
f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
= x22x ln 2 −
Z
2x 2x ln 2 dx =
= x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx .
Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.
Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 22 / 35
Całkowanie przez części - przykład
Całkowanie przez części - przykład
Ile wynosi R x22x dx ?
Z
x22x dx = x22x ln 2 − 2
ln 2
Z
x 2x dx =
f (x ) = x f0(x ) = 1 g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x
=
= x22x ln 2 − 2
ln 2(x 2x ln 2 −
Z 2x
ln 2dx ) = x22x
ln 2 − 2x 2x
(ln 2)2 + 2x +1 (ln 2)3 + C