• Nie Znaleziono Wyników

6. Całka nieoznaczona

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "6. Całka nieoznaczona"

Copied!
155
0
0

Pełen tekst

(1)

6. Całka nieoznaczona

Grzegorz Kosiorowski

Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 1 / 35

(2)

Całka nieoznaczona - motywacja

Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca.

Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla

potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm. Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie.

(3)

Całka nieoznaczona - motywacja

Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla

potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm.

Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 2 / 35

(4)

Całka nieoznaczona - motywacja

Wiemy już, że jeśli w matematyce istotna jest jakaś operacja, to operacja do niej odwrotna też zazwyczaj będzie interesująca. Dla dodawania mamy odejmowanie, dla mnożenia - dzielenie, dla

potęgowania - pierwiastkowanie, dla funkcji wykładniczej - logarytm.

Nic dziwnego, że istnieje (i jest bardzo ważna) operacja odwrotna do obliczania pochodnej (różniczkowania). Jest to całkowanie.

(5)

Całka nieoznaczona - zastosowania

Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v (t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By

odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v (t).

Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy Ck(x )). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest Ck(x ). Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 3 / 35

(6)

Całka nieoznaczona - zastosowania

Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v (t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By

odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v (t).

Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np. koszt krańcowy Ck(x )). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego? Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest Ck(x ). Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone.

(7)

Całka nieoznaczona - zastosowania

Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v (t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By

odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v (t).

Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np.

koszt krańcowy Ck(x )). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego?

Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest Ck(x ).

Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 3 / 35

(8)

Całka nieoznaczona - zastosowania

Dana jest prędkość poruszania się przez pewien czas - wzorem v (t). Jaka droga została w tym czasie przebyta? By

odpowiedzieć na to pytanie, musimy wiedzieć jakiej funkcji pochodną jest v (t).

Mamy daną funkcję krańcową jakiejś wielkości ekonomicznej (np.

koszt krańcowy Ck(x )). Jak wygląda funkcja kosztu całkowitego?

Oczywiście, znów szukamy funkcji, której pochodną jest Ck(x ).

Więcej przykładów zastosowań całek pojawi się w kolejnym rozdziale - o całkach oznaczonych. Jednak, by zajmować się nimi, musimy wpierw zrozumieć całki nieoznaczone.

(9)

Funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna

Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F , określoną i różniczkowalną na Df i spełniającą warunek: ∀x ∈DfF0(x ) = f (x ) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f .

Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady takich funkcji są dość patologiczne (np. znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta).

Istnienie funkcji pierwotnej

Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą. Wtedy f ma funkcję pierwotną.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 4 / 35

(10)

Funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna

Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F , określoną i różniczkowalną na Df i spełniającą warunek: ∀x ∈DfF0(x ) = f (x ) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f .

Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady takich funkcji są dość patologiczne (np. znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta).

Istnienie funkcji pierwotnej

Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą. Wtedy f ma funkcję pierwotną.

(11)

Funkcja pierwotna

Funkcja pierwotna

Niech f będzie funkcją rzeczywistą. Funkcję F , określoną i różniczkowalną na Df i spełniającą warunek: ∀x ∈DfF0(x ) = f (x ) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f .

Generalnie, nie każda funkcja ma pierwotną, aczkolwiek przykłady takich funkcji są dość patologiczne (np. znana z rozdziału o ciągłości funkcja Dirichleta).

Istnienie funkcji pierwotnej

Niech f będzie ciągłą funkcją rzeczywistą. Wtedy f ma funkcję pierwotną.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 4 / 35

(12)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x .

Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7 lub x2−√

2 i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.

Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.

(13)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x . Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7

lub x2−√ 2 i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.

Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 5 / 35

(14)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x . Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7 lub x2−√

2

i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.

Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.

(15)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x . Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7 lub x2−√

2 i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.

Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 5 / 35

(16)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Funkcja F (x ) = x2 jest pierwotną funkcji f (x ) = 2x . Zauważmy jednak, że funkcją pierwotną do f będzie też np. x2+ 7 lub x2−√

2 i generalnie x2+ C , gdzie C ∈ R. Dlatego funkcja f ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych.

Sytuacja przedstawiona powyżej nie jest jakąś osobliwością - jest to ogólna prawidłowość. O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje nam nieskończenie wiele funkcji różniących się od siebie o stałą.

(17)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich:

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F1 - dowolną funkcją pierwotną f . Wtedy F2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C ∈ R takie, że dla każdego x ∈ Df F2(x ) = F1(x ) + C .

C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek!

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 6 / 35

(18)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich:

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F1 - dowolną funkcją pierwotną f . Wtedy F2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C ∈ R takie, że dla każdego x ∈ Df F2(x ) = F1(x ) + C .

C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek!

(19)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

W ogólności, mamy dokładny opis zbioru funkcji pierwotnych, jeśli tylko wyznaczymy choć jedną z nich:

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Niech f będzie funkcją rzeczywistą, a F1 - dowolną funkcją pierwotną f . Wtedy F2 jest funkcją pierwotną f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje C ∈ R takie, że dla każdego x ∈ Df F2(x ) = F1(x ) + C .

C w tym zapisie jest dowolną liczbą rzeczywistą (więc będą pojawiać się działania typu :C + C = C - bo dowolna stała to dowolna stała) i nie należy o niej zapominać przy obliczaniu całek!

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 6 / 35

(20)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie.

Na przykład, gdy szukamy funkcji pierwotnej F do f (x ) = 2x , takiej, że F (0) = 1, to jedyną odpowiedzią będzie F (x ) = x2+ 1 i

rozwiązanie takiego problemu będzie określone jednoznacznie.

(21)

Niejednoznaczność funkcji pierwotnej

Zauważmy, że jeśli dodatkowo mamy daną wartość funkcji pierwotnej w jakimś punkcie (np. położenie w chwili 0, gdy chcemy wyznaczyć funkcję położenia, mając daną prędkość), to w rezultacie ta funkcja pierwotna będzie wyznaczona jednoznacznie.

Na przykład, gdy szukamy funkcji pierwotnej F do f (x ) = 2x , takiej, że F (0) = 1, to jedyną odpowiedzią będzie F (x ) = x2+ 1 i

rozwiązanie takiego problemu będzie określone jednoznacznie.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 7 / 35

(22)

Całka nieoznaczona

Całka nieoznaczona

Całką nieoznaczoną funkcji f nazywamy zbiór funkcji pierwotnych funkcji f . Zapisujemy:

Z

f (x ) dx = F (x ) + C ,

(gdzie F0(x ) = f (x )). W powyższym zapisie R jest symbolem całki, a dx - tego, że całkujemy po zmiennej x (nie wolno tego opuszczać w zapisie!), zaś f nazywa się funkcją podcałkową.

(23)

Całka nieoznaczona

Przykład 1

Ile wynosi R 2x dx ?

Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .

Przykład 2

Ile wynosi R 2x dy ?

W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R 2xdy = 2xy + C .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 9 / 35

(24)

Całka nieoznaczona

Przykład 1

Ile wynosi R 2x dx ?

Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .

Przykład 2

Ile wynosi R 2x dy ?

W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R 2xdy = 2xy + C .

(25)

Całka nieoznaczona

Przykład 1

Ile wynosi R 2x dx ?

Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .

Przykład 2

Ile wynosi R 2x dy ?

W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R 2xdy = 2xy + C .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 9 / 35

(26)

Całka nieoznaczona

Przykład 1

Ile wynosi R 2x dx ?

Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .

Przykład 2

Ile wynosi R 2x dy ?

W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne.

Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R 2xdy = 2xy + C .

(27)

Całka nieoznaczona

Przykład 1

Ile wynosi R 2x dx ?

Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .

Przykład 2

Ile wynosi R 2x dy ?

W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x (gdy0y rozumiemy jako liczenie pochodnej po y ), R2xdy = 2xy + C .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 9 / 35

(28)

Całka nieoznaczona

Przykład 1

Ile wynosi R 2x dx ?

Wiemy z wcześniejszych obliczeń, że R2xdx = x2+ C , bo (x2+ C )0 = 2x .

Przykład 2

Ile wynosi R 2x dy ?

W tym przykładzie x jest tylko jakimś parametrem, a y jest właściwą zmienną, względem której liczymy pochodne. Ponieważ (2xy )0y = 2x

0 R

(29)

Obliczanie prostych całek z definicji

Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, „zgadując” rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej.

Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy

trudniejszych funkcjach.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 10 / 35

(30)

Obliczanie prostych całek z definicji

Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, „zgadując” rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy

pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek.

Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy trudniejszych funkcjach.

(31)

Obliczanie prostych całek z definicji

Niektóre całki można, tak jak robiliśmy to przed chwilą, obliczyć z definicji, „zgadując” rozwiązanie, a następnie sprawdzając, czy

pochodna z wyniku faktycznie jest równa funkcji podcałkowej. Można powiedzieć, że to jedyny uniwersalny (czyli zawsze działający) sposób obliczania całek. Niestety, nie jest on zbyt praktyczny przy

trudniejszych funkcjach.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 10 / 35

(32)

Całki prostych funkcji

Całki prostych funkcji:

f (x ) 0 1 xr, r 6= −1 sin x cos x

Rf (x )dx C x + C r +11 xr +1+ C − cos x + C sin x + C

f (x ) ex ax 1x cos12x sin12x

R f (x )dx ex+ C ln aax + C ln |x | + C tg x + C ctg x + C f (x ) 1−x1 2 1+x1 2

R f (x )dx arc sin x + C arctg x + C

W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać.

(33)

Całki prostych funkcji

Całki prostych funkcji:

f (x ) 0 1 xr, r 6= −1 sin x cos x

Rf (x )dx C x + C r +11 xr +1+ C − cos x + C sin x + C f (x ) ex ax 1x cos12x sin12x

Rf (x )dx ex+ C ln aax + C ln |x | + C tg x + C ctg x + C

f (x ) 1−x1 2 1+x1 2

R f (x )dx arc sin x + C arctg x + C

W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 11 / 35

(34)

Całki prostych funkcji

Całki prostych funkcji:

f (x ) 0 1 xr, r 6= −1 sin x cos x

Rf (x )dx C x + C r +11 xr +1+ C − cos x + C sin x + C f (x ) ex ax 1x cos12x sin12x

Rf (x )dx ex+ C ln aax + C ln |x | + C tg x + C ctg x + C f (x ) 1

1−x2

1 1+x2

Rf (x )dx arc sin x + C arctg x + C

W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać.

(35)

Całki prostych funkcji

Całki prostych funkcji:

f (x ) 0 1 xr, r 6= −1 sin x cos x

Rf (x )dx C x + C r +11 xr +1+ C − cos x + C sin x + C f (x ) ex ax 1x cos12x sin12x

Rf (x )dx ex+ C ln aax + C ln |x | + C tg x + C ctg x + C f (x ) 1

1−x2

1 1+x2

Rf (x )dx arc sin x + C arctg x + C

W tabeli nie ma wzorów na całki funkcji logarytmicznych i cyklometrycznych. Są one nieco bardziej skomplikowane, ale nauczymy się je obliczać.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 11 / 35

(36)

Funkcja pierwotna

Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia:

O liniowości całki

Zachodzą następujące zależności:

1)R f (x ) ± g (x )dx =R f (x )dx ±R g (x ) 2) ∀a∈RR af (x )dx = aR f (x )dx .

Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych.

(37)

Funkcja pierwotna

Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia:

O liniowości całki

Zachodzą następujące zależności:

1)R f (x ) ± g (x )dx =R f (x )dx ±R g (x ) 2) ∀a∈RR af (x )dx = aR f (x )dx .

Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 12 / 35

(38)

Funkcja pierwotna

Dla kombinacji liniowych funkcji, których całki znamy, obliczenia prowadzimy na podstawie następującego twierdzenia:

O liniowości całki

Zachodzą następujące zależności:

1)R f (x ) ± g (x )dx =R f (x )dx ±R g (x ) 2) ∀a∈RR af (x )dx = aR f (x )dx .

Zauważmy, że to twierdzenie jest analogiczne z odpowiednimi twierdzeniami dotyczącymi pochodnych.

(39)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ?

Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc

R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ?

Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35

(40)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ? Wiemy, żeR x2dx =

1

3x3+ C , i R 1dx = x + C , więc

R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ?

Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .

(41)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ?

Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx =

x + C , więc

R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ?

Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35

(42)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ?

Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc

R x2+ 1 dx =

1

3x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ?

Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .

(43)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ?

Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc

R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ?

Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35

(44)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ?

Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc

R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ?

Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .

(45)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ?

Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc

R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ? Wiemy, żeR sin xdx =

− cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35

(46)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ?

Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc

R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ?

Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx =

− 5 cos x + C .

(47)

Proste przykłady

Przykład 1

Ile wynosi R x2+ 1 dx ?

Wiemy, żeR x2dx = 13x3+ C , i R 1dx = x + C , więc

R x2+ 1 dx = 13x3+ x + C .

Przykład 2

Ile wynosi R 5 sin x dx ?

Wiemy, żeR sin xdx = − cos x + C , więcR 5 sin x dx = − 5 cos x + C .

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 13 / 35

(48)

Problemy z całkami

Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji.

Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze).

Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach.

(49)

Problemy z całkami

Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji.

Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych.

Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze).

Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 14 / 35

(50)

Problemy z całkami

Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji.

Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze).

Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych. Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach.

(51)

Problemy z całkami

Niestety, nie mamy równie wygodnych, jak w przypadku pochodnych, wzorów dotyczących całek iloczynu, ilorazu, czy złożenia funkcji.

Dlatego obliczanie całek jest dużo trudniejsze niż pochodnych. Nie ma metod, które działają zawsze - by nabyć umiejętność obliczania całek potrzebne jest doświadczenie wynikające z przerobienia dużej liczby przykładów. Wtedy można mieć intuicję, która zasugeruje poprawną drogę do rozwiązania (a i to wcale nie zawsze).

Co gorsza, istnieją całki, których konwencjonalnymi metodami nie da się obliczyć tj., precyzyjniej rzecz ujmując, funkcje pierwotne, nawet dość prostych funkcji, mogą być niemożliwe do przedstawienia za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych.

Można jedynie za pomocą metod numerycznych obliczyć przybliżone wartości tych funkcji pierwotnych w różnych punktach.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 14 / 35

(52)

Całki „nieobliczalne”

Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:

R e−x2dx ,

R sin x

x dx ,

R 1

ln xdx ,

tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.

(53)

Całki „nieobliczalne”

Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:

R e−x2dx ,

R sin x

x dx ,

R 1

ln xdx ,

tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 15 / 35

(54)

Całki „nieobliczalne”

Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:

R e−x2dx ,

R sin x

x dx ,

R 1

ln xdx ,

tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.

(55)

Całki „nieobliczalne”

Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:

R e−x2dx ,

R sin x

x dx ,

R 1

ln xdx ,

tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 15 / 35

(56)

Całki „nieobliczalne”

Przykładowe całki, dla których nie da się przedstawić wyniku za pomocą skończonej liczby działań na funkcjach elementarnych, a zatem też nie da się zastosować do nich ogólnego algorytmu obliczania:

R e−x2dx ,

R sin x

x dx ,

R 1

ln xdx ,

tzw. całki eliptyczne typuR f (x ,qW (x ))dx , gdzie f jest funkcją wymierną dwóch zmiennych, a W wielomianem stopnia 3 lub 4.

(57)

Na szczęście...

Na szczęście, obliczanie całek skomplikowanych funkcji nie jest zazwyczaj potrzebne w zagadnieniach ekonomicznych. Dlatego będziemy się przede wszystkim zajmować funkcjami, które można policzyć za pomocą dwu sprytnych sposobów: przez części i przez podstawienie.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 16 / 35

(58)

Twierdzenie o całkowaniu przez części

Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu:

Twierdzenie o całkowaniu przez części

Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne we wspólnej dziedzinie, to zachodzi:

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

(59)

Twierdzenie o całkowaniu przez części

Całkowanie przez części stosujemy, gdy chcemy znaleźć funkcję pierwotną iloczynu funkcji elementarnych. Opiera się ono na poniższym twierdzeniu:

Twierdzenie o całkowaniu przez części

Jeśli funkcje f i g są różniczkowalne we wspólnej dziedzinie, to zachodzi:

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 17 / 35

(60)

Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód

Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu:

(f (x ) · g (x ))0 = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).

Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne:

f (x ) · g (x ) =

Z

(f (x ) · g (x ))0dx =

Z

f0(x )g (x )dx +

Z

f (x )g0(x )dx .

Wzór na całkę przez części powstaje, gdy odejmiemyR f0(x )g (x )dx od obu stron.

(61)

Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód

Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu:

(f (x ) · g (x ))0 = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).

Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne:

f (x ) · g (x ) =

Z

(f (x ) · g (x ))0dx =

Z

f0(x )g (x )dx +

Z

f (x )g0(x )dx .

Wzór na całkę przez części powstaje, gdy odejmiemyR f0(x )g (x )dx od obu stron.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 18 / 35

(62)

Twierdzenie o całkowaniu przez części - dowód

Wzór na całkowanie przez części można łatwo wyprowadzić ze wzoru na pochodną iloczynu:

(f (x ) · g (x ))0 = f0(x )g (x ) + f (x )g0(x ).

Wystarczy obie strony przecałkować i pamiętać, że całka i pochodna to odwzorowania odwrotne:

f (x ) · g (x ) =

Z

(f (x ) · g (x ))0dx =

Z

f0(x )g (x )dx +

Z

f (x )g0(x )dx .

(63)

Twierdzenie o całkowaniu przez części - dyskusja

Twierdzenie o całkowaniu przez części

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

Wydaje się, że zastosowanie tej formuły nie poprawia sytuacji, bo po obu jej stronach występuje całka, którą i tak musimy obliczyć.

Jednak, ten wzór jest użyteczny, gdy mamy scałkować iloczyn dwu funkcji z których jedna znacząco się upraszcza, gdy się ją różniczkuje (f ), zaś druga się nie komplikuje zanadto przy całkowaniu (g0).

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 19 / 35

(64)

Wieża całkowania przez części

Twierdzenie o całkowaniu przez części

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która

najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):

funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne

funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne

funkcje wykładnicze.

(65)

Wieża całkowania przez części

Twierdzenie o całkowaniu przez części

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która

najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):

funkcje logarytmiczne

funkcje cyklometryczne

funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne

funkcje wykładnicze.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 20 / 35

(66)

Wieża całkowania przez części

Twierdzenie o całkowaniu przez części

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która

najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):

funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne

funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne

funkcje wykładnicze.

(67)

Wieża całkowania przez części

Twierdzenie o całkowaniu przez części

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która

najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):

funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne

funkcje wielomianowe i wielomianopodobne

funkcje trygonometryczne funkcje wykładnicze.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 20 / 35

(68)

Wieża całkowania przez części

Twierdzenie o całkowaniu przez części

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która

najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):

funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne

funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne

funkcje wykładnicze.

(69)

Wieża całkowania przez części

Twierdzenie o całkowaniu przez części

R f (x )g0(x ) dx = f (x )g (x ) −R f0(x )g (x ) dx

Warto zapamiętać następującą kolejność (nie jest to żadna generalna prawidłowość, ani twierdzenie, tylko pewna wskazówka, która

najczęściej, choć nie zawsze, powinna zadziałać):

funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne

funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne

funkcje wykładnicze.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 20 / 35

(70)

Wieża całkowania przez części

funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne

funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne

funkcje wykładnicze.

Jeśli mamy iloczyn dwu różnych typów funkcji to zazwyczaj tę, która w poprzednim zdaniu wymieniona jest wyżej bierzemy jako f , a tę, która wymieniona jest później jako g0. Jest to o tyle logiczne, że: logarytmy i funkcje cyklometryczne po zróżniczkowaniu przyjmują postać znacznie prostszą, a do scałkowania są nieelementarne, wielomiany łatwo się różniczkuje i całkuje, ale właśnie po

zróżniczkowaniu „znikają”, funkcje trygonometryczne zmieniają się niemal tak samo przy różniczkowaniu i całkowaniu, a wykładnicze w zasadzie się nie zmieniają w obu wypadkach.

(71)

Wieża całkowania przez części

funkcje logarytmiczne funkcje cyklometryczne

funkcje wielomianowe i wielomianopodobne funkcje trygonometryczne

funkcje wykładnicze.

Jeśli mamy iloczyn dwu różnych typów funkcji to zazwyczaj tę, która w poprzednim zdaniu wymieniona jest wyżej bierzemy jako f , a tę, która wymieniona jest później jako g0. Jest to o tyle logiczne, że:

logarytmy i funkcje cyklometryczne po zróżniczkowaniu przyjmują postać znacznie prostszą, a do scałkowania są nieelementarne, wielomiany łatwo się różniczkuje i całkuje, ale właśnie po

zróżniczkowaniu „znikają”, funkcje trygonometryczne zmieniają się niemal tak samo przy różniczkowaniu i całkowaniu, a wykładnicze w zasadzie się nie zmieniają w obu wypadkach.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 21 / 35

(72)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze

podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:

Z

x22x dx =

f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

= x22x ln 2

Z

2x 2x ln 2 dx =

= x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx .

Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.

(73)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x).

Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze

podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:

Z

x22x dx =

f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

= x22x ln 2

Z

2x 2x ln 2 dx =

= x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx .

Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 22 / 35

(74)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze

podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x.

Zapisujemy:

Z

x22x dx =

f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

= x22x ln 2

Z

2x 2x ln 2 dx =

= x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx .

Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.

(75)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze

podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:

Z

x22x dx =

f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

=

x22x ln 2

Z

2x 2x ln 2 dx =

= x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx .

Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 22 / 35

(76)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze

podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:

Z

x22x dx =

f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

= x22x ln 2

Z

2x 2x ln 2 dx =

= x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx .

Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.

(77)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze

podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:

Z

x22x dx =

f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

= x22x ln 2

Z

2x 2x ln 2 dx =

= x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx .

Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 22 / 35

(78)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze

podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:

Z

x22x dx =

f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

= x22x ln 2

Z

2x 2x ln 2 dx =

= x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx .

Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.

(79)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Całkujemy iloczyn wielomianu (x2) i funkcji wykładniczej (2x). Skoro funkcje wielomianowe były wyżej niż wykładnicze, we wzorze

podstawiamy f (x ) = x2 i g0(x ) = 2x. Zapisujemy:

Z

x22x dx =

f (x ) = x2 f0(x ) = 2x g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

= x22x ln 2

Z

2x 2x ln 2 dx =

= x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx .

Teraz trzeba zastosować wzór na całkowanie przez części jeszcze raz, w ten sam sposób.

Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie)6. Całka nieoznaczona 22 / 35

(80)

Całkowanie przez części - przykład

Całkowanie przez części - przykład

Ile wynosi R x22x dx ?

Z

x22x dx = x22x ln 2 2

ln 2

Z

x 2x dx =

f (x ) = x f0(x ) = 1 g0(x ) = 2x g (x ) = ln 22x

=

= x22x ln 2 2

ln 2(x 2x ln 2

Z 2x

ln 2dx ) = x22x

ln 2 2x 2x

(ln 2)2 + 2x +1 (ln 2)3 + C

Cytaty

Powiązane dokumenty

Szczególne rozwiązywanie równania niejednorodnego możemy otrzymać metodą przewidywania (przewidujemy, że rozwiązanie jest funkcją (z parametrami), tego samego

[r]

Znalezieniem pochodnej funkcji stałej (stwierdziliśmy że jest ona

Całkowanie jest operacją odwrotną

Każda funkcja cia ¸gła jest całkowalna... CAŁKOWANIE

Z całkami jest inaczej: Gdy musimy znaleźć funkcję pierwotną funkcji z powyższej klasy, to taka pochodna może się już nie dać wy- razić przez funkcje elementarne.. Tak

O ile różniczkowanie funkcji prowadzi nas do pojedynczego wyniku to operacja odwrotna do niego (znajdowanie funkcji pierwotnej, które nazywamy też całkowaniem) jako wynik daje

Referencja jest drugą nazwą, „przezwiskiem” - nie przezwiskiem klasy, ale danego egzemplarza jej obiektu. Wysyłając taki egzemplarz obiektu do funkcji na zasadzie