Zadania o pier´scieniach

Zadania o pier´scieniach

18.1.2015

Zadania zawieraja_,odsy lacze do podre_,cznik´ow

[AMcD] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction To Commutative Algebra (wiele wyda´n) [BB] A. Biaynicki-Birula, Zarys algebry, Bibl.Mat. 63, PWN, Warszawa 1987

[BT] A. Bojanowska, P. Traczyk, Algebra I (skrypt) http://www.mimuw.edu.pl/%7Eaboj/algebra/algfinv1.pdf [Br] J. Browkin, Teoria cia, Bibl.Mat.49, PWN, Warszawa 1977

[BJ] M. Bry´nski, J. Jurkiewicz, Zbi´or zada´n z algebry, PWN, Warszawa 1 Sprawdzi´c, ˙ze splot funkcji na grupie jest la_,czny.

2 Sprawdzi´c, ˙ze odwzorowanie z pier´scienia funkcji g ladkich do pier´scienia szereg´ow formalnych pole- gaja_,ce na braniu szeregu Taylora jest homomorfizmem pier´scieni.

3 Pokaza´c, ˙ze je˙zeli a ∈Z^∧p nie nal˙zy do ida lu generowanego przez p = Pp

i=11, to a jest elementem odwracalnym.

4 M´owimy, ˙ze element a ∈ R jest nilpotentny, je´sli istnieje n ∈ _N takie, ˙ze aⁿ = 0. Udowodni´c, ˙ze zbi´or element´ow nilpotentnych jest idea lem.

5 Udowodni´c, ˙ze je´sli element u jest odwracalny, a n nilpotentny, to u + n jest odwracalny.

6 Przypu´s´cmy, ˙ze |R| < ∞ oraz R nie ma dzielnik´ow zera. Udowodni´c, ˙ze R jest cia lem.

7 Niech R =Z[Zp] be_,dzie pier´scieniem grupowym.

a) Czy R ma dzielniki zera?

b) Czy R ma elementy nilpotentne?

c) Jakie ma elementy odwracalne?

8 Pomie_,dzy kt´orymi pier´scieniami istnieja_, odwzorowania: _Z, _Z(p), _Z(q), _Z[1/p], _Z[1/q], _Z^∧_p, _Z^∧_q, _Zpⁿ, Zq^m,_Q,_R,_C? (Zrobi´c tabelke_,)

9 Wskaza´c idea ly pierwsze i maksymalne w 9d a)Z,

b) Z(p), c)Z[1/p], d) (pis)Z^∧p.

Opisa´c pier´scienie ilorazowe.

10 Dla jakiego n idea l I =< xⁿ+ 1 >⊂_R[x] jest pierwszy?

11 Wykaza´c, ˙ze w _R[x] ka˙zdy idea l pierwszy jest maksymalny.

12 Czy idea l < x²+ y²− 1, (x + y)²− 1 > jest pierwszy w_R[x, y]?

13 (pis) Czy idea l < x²+ y²+ 10y, x²− y >⊂_Q[x, y] mo˙zna przedstawi´c jako cze_,´s´c wsp´olna_,idea l´ow maksymalnych?

14 (pis) Oznaczmy przez ξ ∈ _C pierwiastek pierwotny z 1 stopnia n. Niech generator grupy _Zn dzia la na _C[x, y] poprzez dzia lanie na zmiennych x 7→ ξx, y 7→ ξ⁻¹y. Udowodni´c, ˙ze zbi´or punkt´ow sta lych dzia lania _Zn jest podpier´scieniem w _C[x, y]. Przedstawi´c ten pier´scien jako iloraz pier´scienia wielomian´ow od 3 zmiennych.

15 (pis) Niech I, J C R be,da_,idea lami, oraz I + J = R.

a) Niech IJ oznacza podgrupe_,R rozpie_,ta_,przez iloczyny ab, gdzie a ∈ I, b ∈ J . Udowodni´c, ˙ze zbi´or (idea l) IJ jest r´owny I ∩ J .

b) Udowodni´c, ˙ze dla ka˙zdej pary a, b ∈ R istnieje element x ∈_Rtaki, ˙ze x − a ∈ I oraz x − b ∈ J . 16 Czy idea l < x²+ y²+ z²− 1, 4x²+ 9y²− 1 > jest pierwszy w_R[x, y, z]?

17 W ka˙zdym pier´scieniu zachodzi R = R^∗tS

mmaksymalnym 18 √

I = {a ∈ R | ∃n ∈Naⁿ∈ I} jest idea lem.

19 Niech R dowolny pier´scie´n. Jakie sa_,elementy odwracalne w R[x].

20 R[x] jest DIG wtedy i tylko wtedy gdy R jest cia lem.

21 Udowodni´c, ˙ze Z^∧p[x]/(px − 1) jest cia lem.

Wie_,cej zada´n [M. Reid, Undergraduate Commutative Algebra, http://dmat.cfm.cl/library/ac.pdf ].

22 † † † Czy idea l I = (x²+ y²+ z²− 1, 4x²+ 9y²− 1) jest pierwszy w R =_R[x, y, z]?

Nie wiem jak rozwia_,za´c to zadanie elmentarnie.

Rozwia_,zanie nieelementarne: r´ownania x²+ y²+ z²− 1, 4x²+ 9y²− 1 opisuja_,g ladka_,krzywa_,K_R⊂_R³, kt´ora jest niesp´ojna. Rozpatruja_,c rozwia_,zania zespolone dostajemy g ladka_,krzywa_,zespolona_,(powierzch- nie_, Riemanna) K_C ⊂ _C³. Ta krzywa jest ju˙z sp´ojna. Pier´scie´n R_C/I_C = C[x, y, z]/(x² + y² + z² − 1, 4x²+ 9y²− 1) jest pier´scieniem funkcji wielomianowych na K

C. Poniewa˙z K_C jest sp´ojna i g ladka, wie_,c ten pier´scie´n jest bez dzielnik´ow zera. A nasz pier´scie´n ilorazowy R/I jest podpier´scieniem w R_C/I_C, wie_,c te˙z nie ma dzielnik´ow zera.

23 R zawiera dok ladnie jeden idea l pierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy ka˙zdy jego element nieod- wracalny jest nilpotentny. (wsk. podzieli´c przez nilradyka l)

24 (pis) Niech I =Tn

k=1m_k, gdzie n > 1 i m_ksa_,parami r´o˙znymi idea lami maksymalnymi. Udowodni´c,

˙ze I nie jest pierwszy.

25 Czy jest prawda_,, ˙ze: ka˙zdy element pier´scienia jest odwracalny lub nilpotentny lub podzielny przez element pierwszy.

26 Udowodni´c, ˙ze (x²− 2) CQ[x] jest idea lem maksymalnym.

27 Idea l Jacobsona J =T idea ly maksymalne. Wykaza´c, ˙ze x ∈ J ⇔ ∀y ∈ R element 1 − xy jest odwracalny.

28 (pis) Niech R =_Z[√

−3]/(p), gdzie p jest liczba_, pierwsza_,. Udowodni´c, ˙ze R jest izomorficzny z Fp×_Fp (produkt pier´scieni) je´sli p ≡ 1 mod 6 lub_Fp² (cia lo o p² elementach) gdy p ≡ 5 mod 6.

29 (pis) Niech k be_,dzie cia lem (aby nie musie´c wyja´snia´c, co to sa_, pochodne za l´o˙zmy, ˙ze k ⊂ _C).

Dana funkcja wielomianowa f : kⁿ→ k^r,

f (x1, . . . , xn) = (f1(x1, . . . , xn), . . . , fr(x1, . . . , xn)),

gdzie f1, . . . , fr ∈ k[x₁, . . . , xn]. Przez f^∗ : k[y1, . . . yr] → k[x1, . . . xn] oznaczmy przekszta lcenie zadane na generatorach f^∗(yi) = fi. Niech a = (a1, . . . , an) ∈ kⁿ be_,dzie dowolnym punktem oraz f (a) = (b₁, . . . , b_r) ∈ k^r. Definiujemy m_a= {g ∈ k[x₁, . . . , x_n]|g(a) = 0} i analogicznie m_b. Mamy f^∗(m_b) ⊂ m_a, wie_,c dostajemy przekszta lcenie m_b/m²_b → m_a/m²_a te˙z oznaczane przez f^∗.

a) Wykaza´c, ˙ze f^∗: mb/m²_b → m_a/m²_a jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy macierz Df (a) := ∂f_i

∂xj

(a)



i=1,...,r, j=1,...,n

∈ M_r×n(k) ma rza_,d r.

b) Zak ladaja_,c warunek a) wykaza´c, ˙ze ma/m²_a' coker(f^∗ : (m_b/m²_b) → ma/m²_a)), gdzie ma jest obrazem idea lu ma w pier´scieniu ilorazowym k[x1, . . . , xn]/(f1− b₁, . . . , fr− b_r).

30 (pis) Niech α i β be_,da_, rozwia_,zaniami r´ownania z lotego podzia lu x² = x + 1. Niech R = Z[α].

Definiujemy funkcje_,: v : R → N, v(a + bα) = |(a + bα)(a + bβ)|. Wykaza´c, ˙ze R jest pier´scieniem euklidesowym z waluacja_,v. (Patrz zad 0.20 u Reida.)

31 Czy wielomian x^p−1− 1 rozk lada sie_,na czynniki liniowe wZ^∧p? 32 Czy w_Z^∧p sa_,pierwiastki z 1 stopnia p?

33 Przypu´s´cmy, ˙ze R zawiera dok ladnie jeden idea l maksymalny m oraz T∞

k=1m^k = 0.

– M´owimy, ˙ze cia_,g element´ow pier´scienia spe lnia warunek Cauchy’ego je´sli

∀r ∈_N∃n₀∈_N∀m, n > n₀ an− a_m∈ m^r

– M´owimy, ˙ze cia_,g element´ow pier´scienia jest zbie˙zny, je´sli istnieje b ∈ R takie, ˙ze

∀r ∈_N∃n₀ ∈_N∀n > n₀ a_n− b ∈ m^r Za l´o˙zmy ˙ze w R jest spe lnione: ka˙zdy cia_,g Cauchy’ego jest zbie˙zny.

Udowodni´c Lemat Hensela: Niech f = xⁿ+bn−1xⁿ⁻¹+· · ·+b0 ∈ R[x]. Przypu´s´cmy, ˙ze f0= [f ] ∈ R/m[x]

rozk lada sie_, na wielomiany f0 = g0h0 takie, ˙ze (g0, h0) = 1. Wtedy istnieja_, wielomiany g, h ∈ R[x], takie, ˙ze f = gh oraz [g] = g0, [h] = h0.

34 Zrobi´c powy˙zsze zadanie w latwiejszej wersji, przy za lo˙zeniu, ˙ze g0 jest czynnikiem liniowym.

35 Niech I be_,dzie idea lem oraz S systemem multiplikatywnym, I ∩ S = ∅. Wykaza´c, ˙ze istnieje idea l pierwszy P taki, ˙ze I ⊂ P oraz P ∩ S = ∅. Wykaza´c, ˙ze za P mo˙zna wzia_,´c ι⁻¹(m), gdzie m ⊂ R_S jest pewnym idea lem maksymalnym, a ι : R → RS kanonicznym homomorfizmem.

36 R DJR. M´owimy, ˙ze f =P_n

i=0a_ixⁱ ∈ R[x] jest prymitywny, je´sli a_inie maja_,wsp´olnych czynnik´ow.

Udowodni´c, ˙ze produkt wielomian´ow prymitywnych jest prymitywny.

37 Opisa´c grupe_,automorfizm´ow domknie_,cia algebraicznegp Fp.

38 Niech K = (_Fp[x^p]) ⊂ L = (_Fp[x]) be_,da_, cia lami funkcji wymiernych. Czy istnieje wielomian f ∈ K[y], kt´orego pierwiastkiem jednokrotnym w L jest x?

39 Czy _Z5[X]/(X² + 2) jest cia lem ? Znale´z´c idea ly maksymalne pier´scienia _Z5[X]/(X³ + 3X² + 2X + 1).

40 Sprawdzi´c, ˙ze pier´scie´n _Z7[X]/(X³+ 2) jest cia lem. Znale´z´c liczbe jego element´ow. Korzystajac z algorytmu Euklidesa znale´z´c w nim odwrotno´s´c elementu wyznaczonego przez wielomian X + 1.

41 W pier´scieniu_Z[i] znale´z´c N W D(2+11i, 1+3i). Znale´z´c rozk lad liczby 15 na czynniki nierozk ladalne.

42 a) Pokaza´c, ˙ze w rozk ladzie na czynniki pierwsze w _Zliczby naturalnej be_,da_,cej suma_,kwadrat´ow l = m²+ n² ka˙zdy czynnik postaci 4k − 1 wyste_,puje w pote_,dze parzystej.

b) Pokaza´c, ˙ze istnieje niesko´nczenie wiele liczb pierwszych postaci 4k + 1 oraz postaci 4k + 3.

43 Pokaza´c, ˙ze w pier´scieniu_Z[√

5] nie istnieje N W D(4, 2+2√

5). Poda´c przyk lad elementu nierozk ladalnego w_Z[√

5], kt´ory nie jest pierwszy. Poda´c przyk lad idea lu w _Z[√

5], kt´ory nie jest g l´owny.

44 Znale´z´c wszystkie homomorfizmy pier´scienia _Z[√

−5][X]/(X²+ 4) w pier´scie´n_Z10.

45 (pis) Udowodni´c, ˙ze z dok ladno´scia_,do stowarzyszenia elementami pierwszymi w_Z[√ 2] sa_,: (a)√

2

(b) liczby pierwsze ca lkowite postaci 8n ± 3 (c) dzielniki a + b√

2, b 6= 0 liczb pierwszych ca lkowitych postaci 8n ± 1.

46 W pier´scieniu Z[√

−2] znale´z´c:

(a) N W D(a + b√

−2, a − b√

−2) (b) N W D(6 + 4√

−2, 8 − 2√

−2).

47 (pis) Niech R be_,dzie dziedzina_,z jednoznaczno´scia_,rozk ladu, za´s K jej cia lem u lamk´ow. Udowodni´c,

˙ze je˙zeli dla d ∈ R r´ownanie a² = d ma rozwia_,zanie w K, to ma rozwia_,zanie w R. Znale´z´c kontrprzyk lad je˙zeli R nie jest dziedzina_,z jednoznaczno´scia_,rozk ladu.

48 W pier´scieniu _Q[X, Y ] zbada´c nierozk ladalno´s´c wielomianu

f (X, Y ) = X⁵Y³+ 5Y⁶+ 5X⁵+ 2X²Y³+ X²Y + X.

49 Korzystaja_,c z kryterium Eisensteina udowodni´c, ˙ze

f (X, Y ) = X⁴+ 2Y²X³+ 3Y³X²+ 4Y X + 5Y + 6Y² jest nierozk ladalny w pier´scieniu Z[X, Y ].

50 (pis) Dla jakiego a ∈Qpier´scienie Q[X]/((X²+ 2)(X − 2)) oraz

Q[X]/((X²+ 2X + 3)(X + a)) sa_,izomorficzne? Poda´c izomorfizm (je´sli istnieje) dla a = 3 i a = −2.

51 Znale´z´c wszystkie homomorfizmy pier´scieni Z[X]/(X² + 7X + 6) −→ Z5. Udowodni´c, ˙ze to sa_, faktycznie homomorfizmy i ˙ze to sa_,rzeczywi´scie wszystkie.

Definicja uzupe lnienia w ideale maksymalnym:

R^∧_m = lim←−

n

R/mⁿ.

52 (pis) a) Niech R1=C[t] i R2 =C[x, y]/(y²− x(x²− 1)). Niech m₁ = (t) ⊂ R1 i m2 = (x, y) ⊂ R2

be_,da_,idea lami maksymalnymi. Wykaza´c, ˙ze (R1)_m^∧₁ ' (R₂)^∧_m2.

b) Dla che_,tnych: czy lokalizacje w dope lnieniach tych idea l´ow sa_, izomorficzne?

53 Czy K[[X]] jest dziedzina_,Euklidesowa_,? (W tym zadaniu K jest cia lem.) 54 Pokaza´c, ˙ze dla pier´scienia R naste_,puja_,ce warunki sa_,r´ownowa˙zne:

a) suma element´ow nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym b) zbi´or element´ow nieodwracalnych jest idea lem

c) R jest pier´scieniem lokalnym (tzn. zawiera tylko jeden idea l maksymalny).

55 Za l´o˙zmy, ˙ze je˙zeli R jest pier´scieniem Noetherowskim. Czy pier´scie´n szereg´ow formalnych R[[X]]

jest tak˙ze noetherowski?

56 Rozstrzygna_,´c, czy je˙zeli dla ka˙zdego idea lu pierwszego I /R pier´scie´n lokalny S⁻¹R, gdzie S = R\I, jest pier´scieniem noetherowskim, to R musi by´c tak˙ze pier´scieniem noetherowskim.

Definicja: Pier´scieniem element´ow ca lkowitych cia la _Q[√

d] nazywamy zbi´or tych element´ow, kt´ore sa_, pierwiastkami wielomian´ow postaci a_o+ a₁X + ... + a_n−1Xⁿ⁻¹+ Xⁿ, a_i∈_Z.

57 Sprawdzi´c, ˙ze zdefiniowany pier´scie´n element´ow ca lkowitych jest istotnie podpier´scieniem cia la Q[√

d]. Pokaza´c, ˙ze je˙zeli d 6= 0, 1 i d nie jest kwadratem w _Z, to podpier´scie´n element´ow ca lkowitych cia la_Q[√

d] jest r´owny:

Z[√

d] dla d ≡ 2, 3 (mod 4), Z[⁻¹⁺

√d

2 ] dla d ≡ 1 (mod4).

Spektrum pier´scienia

58 Niech R be_,dzie pier´scieniem i niech Spec R oznacza zbi´or idea l´ow pierwszych R. Dla dowolnego podzbioru E ⊂ R niech V (E) oznacza zbi´or idea l´ow pierwszych zawieraja_,cych E. Dla a ∈ R oznaczamy V (a) = V ({a}). Sprawdzi´c, ˙ze:

a) V (E) = V ((E)), gdzie (E) oznacza idea l generowany przez zbi´or E ⊂ R.

b) rodzina {V (E)}E⊂R spe lnia aksjomaty rodziny podzbior´ow domknie_,tych dla pewnej topologii na Spec R. Topologie_,te_,nazywamy topologia_,Zariskiego

c) rodzina {U_a}_a∈R, gdzie U_a= Spec R \ V (a) jest baza_,topologii Zariskiego.

d) Ua∩ U_b = U_ab

e) U_a= Spec R ⇐⇒ a jest elementem odwracalnym f) U_a= ∅ ⇐⇒ a jest elementem nilpotentym

g) z ka˙zdego otwartego pokrycia Spec R mo˙zna wybra´c pokrycie sko´nczone h) Spec R z topologia_,Zariskiego jest T₀ przestrzenia_,.

59 Domknie_,cie dowolnego punktu P ∈ Spec R w topologii Zariskiego to zbi´or idea l´ow zawieraja_,cych P . Idea ly maksymalne sa_,domknie_,tymi punktami. (Zbi´or idea l´ow maksymalnych oznaczamy SpecM ax R.)

60 Homomorfizm pier´scieni f : R −→ R⁰ definiuje odwzorowanie cia_,g le f^∗ : Spec R⁰ −→ Spec R.

61 Opisa´c odwzorowanie cia_,g le SpecC[x] → SpecR[x] indukowane przezR→_C. 62 Niech R be_,dzie pier´scieniem. Naste_,puja_,ce warunki sa_,r´ownowa˙zne:

a) Spec R jest niesp´ojne

b) R ∼= R1× R₂, gdzie R1 i R2 sa_,pier´scieniami niezerowymi.

c) R zawiera element r ∈ R, taki ˙ze r²= r, r 6= 0 i r 6= 1.

63 Je˙zeli R jest pier´scieniem lokalnym, to Spec R jest sp´ojne.

64 Niech S ⊂ R be_,dzie systemem multyplikatywnym w R, za´s ι : R −→ S⁻¹R homomorfizmem lokalizacji.

a) ι^∗: Spec S⁻¹R −→ Spec R jest zanurzeniem homeomorficznym b) je˙zeli S = {1, a, a², ..} to ι^∗(Spec R_S) = U_a

c) je˙zeli S = R \ I, gdzie I jest idea lem pierwszym, to ι^∗(Spec RS) =T

I∈UU , gdzie U jest otwartym otoczeniem I w Spec R.

65 Niech X be_,dzie przestrzenia_, topologiczna_, zwarta_, Hausdorffa i niech C(X) be_,dzie pier´scieniem rzeczywistych funkcji cia_,g lych na X.

a) pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego punktu x ∈ X idea l I_x= {f ∈ C(X) : f (x) = 0} jest maksymalny.

b) (Gelfand) Udowodni´c, ˙ze przekszta lcenie Φ : X −→ SpecM ax (C(X)), gdzie Φ(x) = Ix jest homeo- morfizmem.

VERTE

Do domu pisemnie na ´srode_, 68, 70.

Rozk lad prymarny

66 Niech R = k[x, y, z]. Czy idea l I = (zy²− x², z²) jest prymarny?

67 Niech R = k[x, y], I = (x²+ y²− 1, (x²− 1)y²). Znale´z´c rozk lad prymarny I.

68 Niech R = k[x, y, z]/(xy − z²). Pokaza´c, ˙ze I = (x, z) jest pierwszy, ale I² nie jest prymarny.

Znale´z´c rozk lad prymarny I².

69 Niech R = k[x, y]. Poda´c dwa rozk lady prymarne idea lu (x², xy).

70 Niech R = k[x, y, z], P₁= (x, y) P₂= (x, z), I = P₁P₂. Znale´z´c rozk lad prymarny I.

Rozk lad prymarny w pier´scieniu wielomian´ow mo˙zna znale´z´c w programie Sage (http://sage.mimuw.edu.pl/). Trzeba napisa´c np:

R.<x, y> = PolynomialRing(GF(7)) I=(x²+y²-1,x)*R;

print I.primary decomposition() print

print I.associated primes()

W odpowiedzi dostajemy rozk lad prymarny I = (x² + y² − 1, x) ⊂ _F7[x, y] i stowarzyszone idea ly pierwsze. Patrz http://sage.mimuw.edu.pl/home/pub/129

71 _Zn⊗_Zm'?

72 Niech R be_,dzie dowolnym pier´scieniem. Niech A ⊗_R B oznacza produkt tensorowy R-algebr (koprodukt w kategorii R-algebr). W szczeg´olno´sci ⊗_Z= ⊗.

– k[x₁, x₂, . . . , x_n] ⊗_kk[y₁, y₂, . . . , y_m] '?

– C⊗

R C'?.

73 a) Czy naturalne przekszta lcenie Spec(A ⊗_RB) → Spec(A) × Spec(B) musi by´c przekszta lceniem ,,na”? b) To samo pytanie dla SpecM ax. (Rozpatrze´c przyk lady z poprzedniego zadania orazZ⊗_Z.)

74 Czy idea l (x²− yz, z²) jest prymarny? (doko´nczy´c z ´cwicze´n).

75 Dany pier´scie´n R. Dla a ∈ R przez R_a oznaczmy lokalizacje_, R w systemie multiplikatywnym generowanym przez a. Ponadto dla a|b niech r^a_b : R_a→ R_b oznacza naturalny homomorfizm likalizacji.

Niech {a_i}_i∈I ⊂ R be_,dzie takim zbiorem element´ow, ˙ze Spec(R) = S

i∈IU_ai. Za l´o˙zmy, ˙ze dany jest zbi´or element´ow s_i ∈ R_ai spe lniaja_,cy:

r_a^ai_iaj(si) = r^aai^jaj(sj) ∈ Raiaj

dla ka˙zdego i, j ∈ I. Wykaza´c, ˙ze istnieje dok ladnie jeden s ∈ R, taki, ˙ze r_a¹_i(s) = s_i.

76 Poda´c prymarny rozk lady idea lu (4) w_Z[√ 5].