Analiza Matematyczna 1
WPPT, matematyka stosowana, 2012/13 Lista 1
1. (?) Udowodnić, że Aksjomat (Zasada) Ciagłości Dedekinda nie jest spełniony w zbiorze, liczb wymiernych Q. Natomiast wszystkie pozostałe aksjomaty liczb rzeczywistych sa w nim, spełnione.
Wskazówka. Niech
A = {x ∈ Q : x 6 0 ∨ (x > 0 ∧ x2 < 2)}, B = {x ∈ Q : x > 0 ∧ x2 > 2}.
Pokazać, że para A, B jest przekrojem Dedekinda zbioru Q, i że ani w zbiorze A nie ma liczby najwiekszej, ani w zbiorze B nie ma liczby najmniejszej.,
2. Niech ∅ 6= A ⊂ R bedzie zbiorem ograniczonym z góry i niech a ∈ R. Udowodnić, że, a = sup A wtedy i tylko wtedy, gdy
(1) ∀x∈A x 6 a oraz (2) ∀R3x<a ∃y∈A x < y 6 a.
Sformułować analogiczna własność kresu dolnego.,
3. Wyznaczyć max A, min A, sup A i inf A w przypadku, gdy:
(a) A = (−∞, −1] ∪ [0, 100), (b) A = nm
n : m, n ∈ N, m 6 2n o
, (c) A = n1
n − 1
m: n, m ∈ No
, (d) A =n10n
n! : n ∈ No , (e) A = {0.2, 0.22, 0.222, 0.2222, . . .}.
4. Dla niepustych zbiorów A, B ⊂ R rozważmy zbiór
A + B = {z : z = x + y ∧ x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Wykazać, że sup(A + B) = sup A + sup B. Sformułować analogiczna własność kresu dolnego., 5. Dla niepustych zbiorów liczb rzeczywistych dodatnich A, B rozważmy zbiór
A · B = {z : z = x · y ∧ x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Wykazać, że sup(A · B) = sup A · sup B. Sformułować analogiczna własność kresu dolnego., 6. Wykazać, że jeśli a, b ∈ R i b − a > 1, to odcinek otwarty (a, b) zawiera liczbe całkowit, a (np., [a] + 1; przypomnieć definicje i własności cz, eści całkowitej liczby rzeczywistej).,
7. Udowodnić, że jeśli a, b ∈ R i a < b, to odcinek otwarty (a, b) zawiera liczbe wymiern, a i liczb, e, niewymierna. Wywnioskować st, ad, że w każdym przedziale otwartym (a, b) leży nieskończenie, wiele liczb wymiernych i nieskończenie wiele liczb niewymiernych.
8. Wykazać, że każda liczba rzeczywista jest granica ci, agu liczb wymiernych i granic, a ci, agu, liczb niewymiernych.
1
9. Stosujac zasad, e indukcji matematycznej udowodnić, że, (a)
n
X
i=1
xi
6
n
X
i=1
|xi| dla dowolnych n ∈ N i x1, x2, . . . , xn∈ R;
(b) (nierówność Bernoulliego) (1 + x)n > 1 + nx, gdy 1 < n ∈ N, −1 < x ∈ R, x 6= 0 (przy jakich założeniach mamy słaba nierówność?);,
(c) 12+ 22+ 32· · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1)
6 dla dowolnego n ∈ N;
(d) | sin nx|6 n| sin x| dla dowolnych x ∈ R i n ∈ N;
(e) dla dowolnego n ∈ N liczba 26n+1+ 32n+2 jest podzielna przez 11;
(f) (wzór Newtona) (a + b)n =
n
X
k=0
n k
an−kbk dla dowolnych a, b ∈ R i dowolnego n ∈ N.
10. Znaleźć te wyrazy rozwiniecia dwumianu,
√5
3 +√7 224
, które sa liczbami naturalnymi.,
11. Znaleźć ten wyraz rozwiniecia dwumianu,
√3
x − 2
√x
15
, który nie zawiera x.
12. Obliczyć poniższe sumy
(a)
n
X
k=0
n k
, (b)
n
X
k=0
(−1)kn k
, (c)
n
X
k=1
kn k
, (d)
n
X
k=1
2kn k
.
2
