Zadania z Analizy Matematycznej, cz I (przygotowawcze do kolokwium 20.XI)

Zadania z Analizy Matematycznej, cz I (przygotowawcze do kolokwium 20.XI)

Obliczy´c granice:

1 lim_n→∞n^n!_n 2 lim_n→∞p

3n +√

2n + 1 −√ 3n 3 lim_x→0ln(1+3x) tg(5x^{e2x3−1 2})

4 limx→0(1 + sin x)^x1 5 limx→∞ln(e^x+ 1) sin(_x¹) 6 lim_x→0e^{ln(cos 3x)}_2x−1−2x

7 Wykaza´c, ˙ze r´ownanie tg(x) = 2x

(a) ma conajmniej trzy rozwiazania dla x ∈ (−^π₂,^π₂), (b) ma dok ladnie trzy rozwia_,zania.

8 Niech a i b be_,da_, liczbami rzeczywistymi. Czy r´ownanie e^−x2 = ax + b mo˙ze mie´c wie_,cej ni˙z trzy rozwia_,zania?

Zr´o˙zniczkowa´c funkje 9 ^x3+2x_x4²₊₁^−x+1

10 ln(ln(ln x)) 11 ^cos(ln(1+x_x2e^{x 2))}

12 x^sin(x)

13 Zbada´c funkcje_,(zera, lokalne ekstrema, wypuk lo´s´c, punkty przegie_,cia, naszkicowa´c wykres), znale´z´c maksimum i minimum na przedziale [−1, 3]): f (x) = 2x³− 9x²+ 12x.

14 Czy funkcja f (x) = (3−x²)e^xosia_,ga warto´s´c najwieksza_,i najmniejsza_,dla x ∈ R? Znale´zc przedzia ly monotoniczno´sci, wypuk lo´sci. Naszkicowa´c wykres. (W tym zadaniu mo˙zna pomaga´c sobie kalkulatorem.)

15 Czy funkcja f (x) = _x^x+12+3 osia_,ga warto´s´c najwieksza_,i najmniejsza_,dla x ∈ R?

7 listopad 2009

1

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE 1. Oblicz granice ciągów:

a) lim_n→∞ ^sin(3₃ⁿn⁾⁺²ⁿ, b) lim_{n→∞ (n+(n+n}^n1/2_1/2)1/2)1/2, c) lim_n→∞ln(1 + ^3n+cos(3₂n·n! ⁿ⁾).

2. Oblicz granice funkcji:

a) lim_x→0(1 + x)^lnx, b) lim_x→0 sin(ln(x+1))

1+e^1x ,

c) lim_x→1⁻tg(x³− 2x + 1)ln(cos(^π₂x)), d) lim_x→∞^ln(lnx)_5x2 .

3. Zróżniczkować funkcje:

a) x²e^tgx, b)

√1+x x²−1,

c) ln((x + 3)^1/3+ (x + 2)^1/2), d) cos(sin(lnx)).

4. Zbadać przebieg zmienności funkcji (tzn. znaleźć przedziały monoton- iczności, wypukłości, naszkicować wykres)

a) e^x(sinx + 1), b) x²ln|x|,

czy funkcja przyjmuje wartość najmniejszą i największą na R?

5. Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) = x³ − 6x²+ 3x + 10(miejsca zerowe, ekstema lokalne, minimum, maksimum, punkty przegięcia, monoton- iczność, wypukłość/wklęsłość, naszkicować wykres) na odcinku [−2, 3].

6. Wykazać, że równanie e^−x= −2x + 2 a) ma co najmniej dwa pierwiastki, b) ma dokładnie dwa pierwiastki.

7. Czy funkcja _x^lnx2+1 osiąga wartość najmniejszą i największą na R⁺?

1

ROZWIA_,ZANIA CZE_,´S ´C I 1. 0

2. ^√1

6

3. lim_x→0 ln(1+3x) tg(5x^{e2x3−1 2}) = lim_x→0 ^e2x3_2x3⁻¹_ln(1+3x)^3x _tg(5x^5x2_{2)3x 5x}^2x3₂ = ₁₅² 4. e

5. 1

6. ⁻⁹₄ (np. u˙zy´c regu le_, de l’Hospitala)

7. (a) zbada´c granice lim_x→±π/2tg(x) − 2x i zastosowa´c twierdzenie Dar- boux

7. (b) wykorzysta´c fakt, ˙ze funkcja tg(x) − 2x jest wypuk la dla x > 0 i wkle_,s la dla x < 0

8. Gdyby funkcja f (x) = ax + b − e^−x2 zerowa la sie_, w czterech r´o˙znych punktach, to pochodna f⁰(x) = a + 2xe^−x2 zerowa laby sie_, w trzech r´o˙znych punktach. Narysowa´c wykres funkcji 2xe^−x2 i zobaczy´c, ˙ze przyjmuje co- najwy˙zej dwa razy ta_, sama_, warto´s´c.

9. ^−1+4x+3x2_(1+x^−4x3₄^+3x₎₂ ^4−4x5−x6 10. x ln(x) ln(ln(x))¹

11. −^2e−x(cos(ln(1+x²))(1+x+2x²+x³)+2x²sin(ln(1+x²))) x³(1+x²)

12. cos(x)ln(x)x^sin(x) + sin(x)x^sin(x)−1

13. f (0) tylko dla x = 0, lokalne max. x = 1, lokalne min. x = 2, dla x ∈ (−∞, 1) i x ∈ (2, +∞) ro´snie, dla x ∈ (1, 2) maleje, dla x < 1.5 wkle_,s la, dla x > 1.5 wypuk la, punkt przegie_,cia x = 1.5. Maksimum na odcinku [−1, 3] wynosi 9 (osia_,gnie_,te dla x = 3), minimum na odcinku [−1, 3] wynosi -23 (osia_,gnie_,te dla x = −1)

14. Funkcja osia_,ga warto´s´c najwie_,ksza_,i najmniejsza_,, ro´snie dla x ∈ (1, −3), poza tym odcinkiem maleje, wypuk la dla x ∈ (−√

5 − 2,√

5 − 2).

15. Tak