ROZPRAWA DOKTORSKA

POLITECHNIKA POZNAŃSKA

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY

INSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ

ROZPRAWA DOKTORSKA

mgr inż. Maciej GNIADEK

Kształtowanie sygnału zadanego w sterowaniu elektromechanicznych układów drgających

(Input shaping in control of electromechanical oscillating systems)

Promotor:

dr hab. inż. Stefan Brock Promotor pomocniczy:

dr inż. Dominik Łuczak

Poznań, 2016

PODZIĘKOWANIA

Pragnę serdecznie podziękować mojemu promotorowi dr hab. inż. Stefanowi Brockowi za wsparcie merytoryczne oraz liczne dyskusje i szereg krytycznych uwag. Szczególne podziękowania pragnę skierować także do mojego promotora pomocniczego, dr inż. Dominika Łuczaka oraz całego zespołu naukowego Zakładu Sterowania i Elektroniki Przemysłowej, na czele z prof. dr hab. inż. Krzysztofem Zawirskim za wsparcie oraz cenne uwagi.

Gorące podziękowania kieruję także do moich rodziców za ciągłe wsparcie w dążeniu do realizacji celów i marzeń oraz za codzienną wyrozumiałość.

Serdecznie dziękuję Marcie za wsparcie. Szczególnie dziękuję za liczne korekty pracy, uwagi dotyczące stylistyki tekstu oraz usterek technicznych, których poprawa z pewnością uczyniła pracę bardziej przyjazną dla czytelnika.

Dziękuję przełożonym oraz współpracownikom z Amica S.A. na czele z dyrektorem Działu Inwestycji i Utrzymania Ruchu, panem Tomaszem Machajem oraz Głównym Automatykiem, panem Januszem Kaszkowiakiem. Bez wsparcia z ich strony napisanie prezentowanej pracy z pewnością nie byłoby możliwe w tak krótkim terminie. Dziękuję także kolegom z biura oraz warsztatu automatyków za liczne dyskusje, które niejednokrotnie umożliwiły mi nowe spojrzenie na rozwiązywane problemy.

Oddzielne podziękowania kieruję dla prof. dr hab. inż. Andrzeja Demenko oraz koleżanki i kolegów ze studium doktoranckiego za liczne dyskusje i ciekawe pomysły, które ubogaciły moją pracę.

Prezentowane wyniki badań zostały współfinansowane z dotacji na naukę przyznanej

przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego, zrealizowane w ramach tematów

nr 04/45/DSMK/0155 oraz 04/45/DSMK/0142.

STRESZCZENIE

Prezentowana rozprawa doktorska ma na celu przedstawienie, badanie oraz analizę wykorzystania różnych algorytmów kształtowania sygnału zadanego dla elektromechanicznych układów drgających o parametrach stacjonarnych oraz implementację bardziej złożonych algorytmów kształtowania sygnału zadanego dla obiektów niestacjonarnych. W pracy postawiono następującą tezę: „Zastosowanie algorytmów samostrojenia i adaptacji w bloku kształtowania sygnału zadanego pozwala na poprawę jakości regulacji elektromechanicznych układów drgających. Możliwa jest implementacja takich algorytmów charakteryzująca się zdolnością do realizacji zadań w czasie rzeczywistym”.

Dla wykazania powyższej tezy ustalono trzy tezy cząstkowe: (1) Kształtowanie sygnału umożliwia sterowanie obiektem drgającym przy znaczącej redukcji oscylacji; (2) Możliwa jest identyfikacja częstotliwości rezonansowych układu drgającego; (3) Eliminacja oscylacji układu drgającego umożliwia poprawę parametrów dynamicznych w precyzyjnym sterowaniu układów elektromechanicznych.

Układy sterowania zaprezentowane w pracy można podzielić zasadniczo na 3 grupy – układy regulacji elektromechanicznych obiektów drgających bez wykorzystania kształtowania sygnału zadanego; znane metody kształtowania sygnału zadanego (takie jak ograniczenie zrywu, filtry pasmowozaporowe, wielomiany B-sklejane oraz układy kształtowania sygnału typu IS) wspierające układ regulacji; algorytmy nowatorskie wspierające kształtowanie sygnału zadanego.

Wśród nowatorskich metod wymienić można samostrojenie układów kształtowania sygnału, programową zmianę i adaptację parametrów bloku kształtowania sygnału czy optymalizację nastaw układu kształtowania sygnału z wykorzystaniem algorytmu bioinspirowalnego (PSO).

Badania przeprowadzono z wykorzystaniem modeli symulacyjnych układu

wielomasowego oraz suwnicy. Weryfikacja eksperymentalna została wykonana na

przemysłowym układzie transportera podwieszanego.

ABSTRACT

The scientific purpose of published doctoral dissertation is aimed on presentation, implementation and analysis of various algorithms of input shaping for an electromechanical oscillating system with stationary parameters and the implementation of more complex methods for nonstationary systems as well. The main postulated task of presented paper was established as: “The implementation of autotuning and adaptation algorithms for input shaping blocks leads to control quality indices improvement in electromechanical oscillating objects control. The implementation of such algorithms capable to online operation is possible”.

Development of the main task required to perform 3 subtasks: (1) Input shaping enables system operation with significant oscillations reduction; (2) The natural resonant frequencies of the oscillating object are possible to identify; (3) The removal of objects oscillations leads to dynamic parameter improvements in the electromechanical objects precise control.

The control systems presented in the dissertation may be divided into 3 main groups – the electromechanical objects control systems without input shaping; known methods of input shaping (jerk limitation, notch filters, IS method and B-spline) as supporting algorithms for control systems; the innovative algorithms of input shaping support. As the innovative methods the autotuning of input shaping parameters, parameters scheduling and adaptation and optimization with bioinspired algorithm (PSO) may be mentioned.

The research was conducted with usage of crane and simulation models of multi mass

systems . The experimental verification was executed on a industrial overhead conveyer.

Spis oznaczeń

Oznaczenia główne m masa ciężaru zawieszki suwnicy A

amplitudy kolejnych impulsów w metodzie IS

p biegun transmitancji operatorowej Q dobroć filtru

b współczynnik tłumienia drgań wału R rezystancja B zredukowany współczynnik tarcia

wiskotycznego dla suwnicy

r

wektor pozycji cząstki PSO T moment siły

c współczynnik sprężystości wału t czas

C

współczynnik tarcia kulombowskiego T

okres drgań własnych układu

C

współczynnik tarcia statycznego t

momenty aplikacji kolejnych impulsów w metodzie IS

C

współczynnik tarcia wiskotycznego

d średnica wału U napięcie elektryczne

e uchyb sterowania u sygnał sterujący

E

energia (kinetyczna, potencjalna) x położenie w kierunku X

F siła y położenie w kierunku Y

f częstotliwość z położenie w kierunku Z

funkcja optymalizacyjna (PSO) δ połowa szerokości luzu przekładni

G moduł Kirchhoffa ε przyspieszenie kątowe

g przyspieszenie grawitacyjne

θ

położenie kątowe (układ wielomasowy) h współczynnik kary (optymalizacja PSO) odchylenie liny lub zawieszki od pionu

(suwnica / wahadło / transporter podw.) i prąd

I

proste wskaźniki jakości sterowania (patrz rozdział 4.1)

ς współczynnik tłumienia dla bieguna transmitancji operatorowej

I

sumaryczny wskaźnik jakości sterowania (patrz rozdział 4.3)

ω prędkość kątowa

Oznaczenia pomocnicze – indeksy dolne I

iloczynowy wskaźnik jakości

sterowania (patrz rozdział 4.4)

J moment bezwładności

dot. pierwszej masy układu wielomasowego J

moment biegunowy (wału)

dot. tarcia

k parametr sprężystości wału

dot. wózka suwnicy k

współczynnik redukcji ruchu

obrotowego do liniowego

L

dot. ostatniej masy układu wielomasowego dot. transportowanego obiektu (suwnica) k

stała momentowa silnika

dot. wartości zadanej

k

stała silnika odpowiedzialna za SEM

s

dot. wału sprężystego l długość wału sprężystego dot. układu sztywnego

długość liny suwnicy

dot. kierunku ruchu X

L indukcyjność

dot. kierunku ruchu Y

M masa wózka suwnicy

dot. kierunku ruchu Z

SPIS TREŚCI

1. Wstęp ...9

1.1. Wprowadzenie ... 9

1.2. Przegląd literatury ... 10

1.2.1. Znane struktury sterowania dla elektromechanicznych układów drgających ... 10

1.2.2. Znane struktury kształtowania sygnału ... 15

1.3. Cel naukowy i teza ... 20

1.4. Metoda badań ... 20

1.5. Nowatorski charakter ... 21

1.6. Definicje ... 22

2. Modele matematyczne i symulacyjne układów wielomasowych ... 24

2.1. Charakterystyka układów wielomasowych ... 25

2.2. Modele układów wielomasowych ... 25

2.2.1. Model uogólniony układu wielomasowego ... 25

2.2.2. Układ dwumasowy - model matematyczny oraz schemat blokowy ... 29

2.2.3. Układ trójmasowy - model matematyczny oraz schemat blokowy ... 30

2.3. Model dodatkowych elementów nieliniowych ... 33

2.3.1. Model sprężystości wału ... 33

2.3.2. Model przekładni ... 34

2.3.3. Model tarcia ... 35

2.4. Model pętli regulacji momentu ... 36

3. Modele matematyczne i symulacyjne suwnicy ... 38

3.1. Charakterystyka układów z suwnicą ... 38

3.2. Model matematyczny wahadła ... 40

3.3. Model matematyczny układu suwnicy ... 43

3.4. Model układu sterowania ... 46

4. Kryteria oceny jakości układów regulacji dla układów drgających ... 48

4.1. Proste kryteria oceny jakości układów regulacji ... 48

4.2. Normalizacja wskaźników jakości ... 50

4.3. Złożone kryteria oceny jakości układów regulacji – wskaźniki sumaryczne ... 51

4.4. Złożone kryteria oceny jakości układów regulacji – wskaźniki iloczynowe ... 52

5. Badania symulacyjne wybranych struktur sterowania w układach drgających ... 54

5.1. Sterowanie układami wielomasowymi ... 55

5.1.1. Parametry badanego obiektu... 55

5.1.2. Sterowanie z wykorzystaniem regulatora PI ... 56

5.1.3. Sterowanie z wykorzystaniem regulatora LQI ... 58

5.1.4. Sterowanie z wykorzystaniem regulatora H∞ ... 60

5.1.5. Podsumowanie wyników ... 62

5.2. Sterowanie układów z suwnicą ... 64

5.2.1. Parametry badanego układu ... 64

5.2.2. Sterowanie z wykorzystaniem regulacji kaskadowej PI ... 65

6. Wybrane metody kształtowania sygnału zadanego ... 67

6.1. Sterowanie z ograniczeniem zrywu ... 68

6.1.1. Opis działania metody ... 68

6.1.2. Dobór nastaw ... 70

6.1.3. Wyniki badan symulacyjnych ... 73

6.2. Układy typu IS... 76

6.2.1. Opis działania metody ... 76

6.2.2. Dobór nastaw ... 77

6.2.3. Wyniki badan symulacyjnych ... 78

6.3. Układy wykorzystujące filtry pasmowozaporowe... 84

6.3.1. Opis działania metody ... 84

6.3.2. Dobór nastaw ... 86

6.3.3. Wyniki badan symulacyjnych ... 87

6.4. Kształtowanie sygnału wielomianowymi funkcjami sklejanymi ... 92

6.4.1. Opis działania metody ... 92

6.4.2. Dobór nastaw ... 94

6.4.3. Wyniki badan symulacyjnych ... 96

6.5. Podsumowanie przeglądu wybranych metod kształtowania sygnału zadanego ... 99

7. Koncepcja kształtowania sygnału zadanego z wykorzystaniem układów typu IS dla niestacjonarnych układów drgających ... 102

7.1. Opis metodyki badań symulacyjnych ... 103

7.1.1. Opis sekwencji badań symulacyjnych ... 103

7.1.2. Baza do normalizacji wskaźników jakości ... 104

7.1.3. Wyniki badań dla układu bez kształtowania sygnału zadanego... 104

7.1.4. Wyniki badań dla układu z prostym układem kształtowania sygnału zadanego o

7.2. Układy odporne i super-odporne ... 111

7.2.1. Opis działania metody ... 111

7.2.2. Wyniki badań symulacyjnych – układ odporny ... 112

7.2.3. Wyniki badań symulacyjnych – układ super-odporny... 117

7.3. Układy samostrojące ... 122

7.3.1. Opis działania metody ... 122

7.3.2. Wyniki badań symulacyjnych ... 127

7.4. Układy przestrajane na podstawie znanego sygnału pomiarowego ... 136

7.4.1. Opis działania metody ... 136

7.4.2. Wyniki badań symulacyjnych ... 137

7.5. Układy adaptacyjnego przestrajania parametrów IS ... 141

7.5.1. Opis działania metody ... 141

7.5.2. Wyniki badań symulacyjnych ... 143

7.6. Algorytmy bioinspirowane ... 148

7.6.1. Opis działania metody ... 148

7.6.2. Wyniki badań symulacyjnych ... 150

7.7. Podsumowanie wyników ... 157

8. Weryfikacja eksperymentalna wybranych metod i algorytmów ... 160

8.1. Opis obiektu badawczego ... 161

8.2. Implementacja kształtowania sygnału zadanego ... 163

8.2.1. Modyfikacje od strony maszyny ... 163

8.2.2. Układ pomiarowy i obliczeniowy ... 167

8.3. Doświadczalny dobór nastaw... 172

8.4. Układ automatycznego strojenia ... 173

8.4.1. Komunikacja ze sterownikiem ... 173

8.5. Wyniki badań ... 175

8.6. Podsumowanie ... 177

9. Podsumowanie i wyniki końcowe ... 179

9.1. Podsumowanie zrealizowanych prac ... 179

9.2. Dyskusja nad realizacją celu pracy, tezą oraz tezami pomocniczymi ... 180

9.3. Analiza zasadności implementacji układów kształtowania sygnału zadanego ... 182

9.4. Dalsze badania ... 184

1. W STĘP

Equation Section (Next)

1.1. Wprowadzenie

Problematyka precyzyjnego sterowania układami drgającymi jest bardzo aktualnym zagadnieniem zarówno opisywanym w literaturze jak i spotykanym w codziennej praktyce inżynierskiej [73][85][99][108][145]. Badania przedstawione w prezentowanej rozprawie mają na celu pokazanie złożoności omawianego problemu jak i zaprezentowanie możliwości jego rozwiązania.

Pod pojęciem elektromechanicznych układów drgających rozumiana jest cała szeroka rodzina obiektów, w których w sposób oscylacyjny zachodzi zamiana jednego rodzaju energii elektromechanicznej w inny. Definicja taka jest bardzo szeroka i mieści w sobie elementy wielu kategorii – począwszy od układów sprężystych, poprzez układy liny i ciężaru aż do układów z magazynami energii. Według podanej powyżej definicji jako elektromechaniczne układy drgające rozumiane są zarówno układy wielomasowe, suwnice, ramiona robotów, napędy transporterów, układy sterowania ruchem radarów, układy sterowania pojazdów etc.

Prezentowana praca składa się z kilku zasadniczych części składowych. Rozdział pierwszy stanowi wprowadzenie do analizowanej tematyki. Zawarto w nim zarówno stan aktualnej wiedzy światowej (do grudnia 2015), ogólny opis metody badań jak i cel naukowy i tezę pracy. Wskazano także elementy nowatorskie, których opis nie został odnaleziony przez autora w literaturze.

Rozdziały drugi i trzeci zostały poświęcone odpowiednio opisowi układów wielomasowych oraz suwnic. Prezentacja modeli, na których oparte są dalsze badania pozwala zrozumieć ogólną ideę tego typu układów, poznać modele matematyczne oraz symulacyjne prezentowanych obiektów oraz zapoznać się z założeniami przyjętymi przez autora rozprawy przy symulacjach.

W czwartym rozdziale zaprezentowano stosowane w dalszej części pracy kryteria oceny jakości układów. Wspominana część pracy zawiera opis podstawowych, prostych wskaźników jakości oraz opis metod tworzenia wskaźników złożonych, będących podstawą do kompleksowej oceny układów sterowania.

W rozdziale piątym przedstawiono badania symulacyjne modeli zaprezentowanych

w rozdziale 2 i 3 z wykorzystaniem klasycznych metod regulacji. Rozdział ten należy traktować

zarówno jako szczegółową prezentację wybranych struktur sterowania układami drgającymi, jak

i bazę porównawczą dla badań z wykorzystaniem kształtowania sygnału, które prezentowane są w kolejnych rozdziałach.

Szósty rozdział stanowi przegląd znanych struktur kształtowania sygnału zadanego.

Przedstawiono cztery wybrane algorytmy oraz zaprezentowano ich działanie w układach stacjonarnych.

Rozdział siódmy przedstawia możliwe rozwiązania zastosowania metod kształtowania sygnału zadanego dla obiektów niestacjonarnych. Badania zaprezentowane w części 7.2 stanowią przedstawienie metod znanych z literatury. Pozostałe podrozdziały prezentują nowatorskie metody opracowane przez autora rozprawy.

W rozdziale ósmym zaprezentowano aplikację wybranych metod w warunkach praktycznych. Weryfikacja działania została przeprowadzona na działającym układzie przemysłowym, a nie w laboratorium.

Rozdział dziewiąty stanowi podsumowanie wyników badań, dyskusję nad realizacją postawionych tez oraz prezentację możliwości dalszego rozwoju zaprezentowanych zagadnień.

1.2. Przegląd literatury

Zagadnienia literaturowe stanowiące bazę dla prezentowanej rozprawy można podzielić na dwa podstawowe działy – tematykę związaną z układami drgającymi oraz na tematykę związaną bezpośrednio z kształtowaniem sygnału (a w szczególności sygnału zadanego).

W niniejszym dziale przedstawiono podstawowe idee dotyczące obu omawianych zagadnień.

Informacje zawarte w podrozdziałach 1.2.1 oraz 1.2.2 powinny być traktowane jako ogólne określenie stanu aktualnej wiedzy.

1.2.1. Znane struktury sterowania dla elektromechanicznych układów drgających

Problem automatycznego sterowania układami drgającymi oraz podatnymi na drgania może zostać sklasyfikowany według kilku różnych własności. Można wyróżnić układy aktywnie tłumiące drgania oraz układy niepobudzające drgań; układy stacjonarne oraz o przestrajanych parametrach; układy ze sprzężeniem zwrotnym, sprzężeniem w przód oraz układy otwarte;

układy wykorzystujące informację o wektorze stanu, wyjściu obiektu lub bez informacji zwrotnej

etc. W aktualnej literaturze światowej najbardziej akcentowanym wydaje się być podział według

ostatniego z kryteriów wymienionych wyżej. Ciekawą klasyfikację układów tłumienia drgań

zaproponował w swoim wykładzie habilitacyjnym J. Kowal z Politechniki Lubelskiej [76], co

przedstawiono na rysunku 1.1. Metody zaprezentowane w prezentowanej rozprawie należy sklasyfikować jako aktywne metody redukcji drgań (aktywne eliminatory drgań).

Rysunek 1.1. Klasyfikacja metod redukcji drgań (za [76]).

Historycznie problemy oscylacji oraz wibracji były rozwiązywane najpierw metodami mechanicznymi. Badania dotyczące redukcji drgań zrodziły się z potrzeb wymaganych w budownictwie i projektowaniu maszyn. W pierwszej z tych gałęzi głównym ośrodkiem badań była Japonia – kraj położony w obszarze sejsmicznym. Publikacją, która historycznie rozpoczęła dyskusję na temat tłumienia drgań była „A Structural Method Free from Earthquake Excitation”

autorstwa K. Kwai [80]. Publikacja została napisana po tragicznym w skutkach trzęsieniu ziemi w Nobi w 1891 roku. Kolejne katastrofy powodowały kolejne badania na temat wibroizolacji budowli. Wymienione prace, pomimo iż dotyczą działu zgoła odmiennego od redukcji drgań w układach sterowania, przyczyniły się znacząco do rozwoju aktywnych układów redukcji drgań stosowanych przy budowie maszyn czego przykładem może być publikacja [116].

Drugim torem rozwoju redukcji drgań było dążenie do zniwelowania oscylacji maszyn i urządzeń. Początek badań w wymienionym temacie datuje się na rok 1892, kiedy A.F. Yarrow opublikował pracę pod tytułem: „On Balancing Marine Engines and the Vibration of Vessels”

[141]. Dalszy rozwój w ciągu kilkudziesięciu lat został ukierunkowany na metody mechanicznego tłumienia oscylacji. Nie sposób opisać wszystkich znaczących prac. Wśród ważniejszych publikacji w literaturze światowej należy wymienić [8][43][112][63].

Najważniejsze publikacje w literaturze polskiej datowane są na lata 80. i 90. XX wieku.

Aktualnie tą problematyką nadal zajmuje się kilka krajowych ośrodków badawczych – m. in.

Politechnika Lubelska [77], Politechnika Warszawska [56] oraz inne instytuty.

Mechanika ogólna porusza zagadnienie przesuwania częstotliwości rezonansowej poza

zakres normalny dla pracy układu [104][133]. Podejście takie wymaga jednak zwykle dużych

nakładów finansowych (konieczne jest zwiększanie masy obiektu, dodatkowa obróbka materiałowa, dodawanie wsporników, sprzęgieł etc.). Układy takie niejednokrotnie okazują się być niemożliwe do realizacji z powodu nałożonych ograniczeń fizycznych. Znacząca większość tak realizowanych układów może być bardzo wrażliwa na sytuacje awaryjne.

Kolejną klasyczną metodą tłumienia oscylacji jest stosowanie odpowiednich tłumików.

Amortyzatory mają na celu przechwycenie i rozproszenie nadmiaru energii w układzie mechanicznym. Tłumiki mechaniczne mogą być podzielone na hydrauliczne, pneumatyczne, hydropneumatyczne, magnetyczne, elektromagnetyczne, cierne, powietrzne, elastomerowe, sprężynowe oraz gumowe [47][110].

Obok metod mechanicznego tłumienia drgań należy zwrócić uwagę na metody znane z systemów automatyki. Warto zwrócić uwagę, iż uzyskanie najlepszych rezultatów możliwe jest tylko przy wykorzystaniu współpracy metod znanych z automatyki oraz zasad budowy maszyn.

Sterowanie wykorzystujące ujemne sprzężenie zwrotne jest najczęściej stosowane zarówno w badaniach naukowych jak i praktyce inżynierskiej. Klasycznym przykładem tego typu struktur są regulatory typu PI oraz PID. Każdy z wymienionych regulatorów po odpowiednim nastrojeniu można z powodzeniem zastosować w sterowaniu prostych układów drgających.

Należy jednak nadmienić, że w układach bardziej złożonych możliwości układów klasycznych są stosunkowo ograniczone. Wówczas rozwiązaniem może być zastosowanie regulacji kaskadowej, jak zaproponowano w [72]. Dla układów, które nie mają wielu częstotliwości rezonansowych możliwym jest zastosowanie badanego na Politechnice Poznańskiej regulatora PD-I [39].

Regulatory typu PI oraz PID o parametrach zmiennych w trakcie działania układu mogą stanowić podstawę dla opisanych dalej bardziej złożonych struktur sterowania.

Wśród regulatorów wykorzystujących sprzężenie zwrotne przy sterowaniu układami drgającymi bardzo często opisuje się nadrzędne układy sterowania oparte na bazie wiedzy (ang. KBC – knowledge base controller) – ze szczególnym naciskiem na regulatory rozmyte [19][60]. Regulatory typu fuzzy stanowią swoistą próbę przeniesienia myślenia abstrakcyjnego i niebinarnego na sterowanie cyfrowe. Ogromną zaletą logiki rozmytej jest możliwość zawarcia w układzie sterowania wiedzy o obiekcie. Regulatory KBC oprócz informacji o wyjściu obiektu korzystają niejednokrotnie z informacji na temat pełnego lub częściowego wektora stanu.

Obok algorytmów rozmytych wspomnieć należy o innych metodach sterowania

wykorzystujących tak zwaną inteligencję maszynową – sieciach neuronowych (ang. ANN –

artificial neural network) oraz algorytmach bioinspirowanych. Sztuczne sieci neuronowe

wykorzystywane przy sterowaniu układami drgającymi stanowią pole badawcze dla wielu

jednostek naukowych na świecie [73][87][102]. Oddzielną klasę układów wykorzystujących

inteligencję maszynową są algorytmy bioinspirowane – genetyczne, mrówkowe, roju cząstek

(PSO – particle swarm optimization). Wymienione algorytmy służą przede wszystkim do poprawnego nastrojenia złożonych układów regulacji z dużą liczbą zmiennych decyzyjnych przy występujących ograniczeniach. Opis wymienionych metod oraz próby ich zastosowania zaprezentowano w literaturze [12][97][98][105][107]. Sterowanie z wykorzystaniem zaawansowanych metod inteligencji maszynowej, pomimo bardzo szerokiego opisu literaturowego, jest niechętnie stosowane w aplikacjach przemysłowych. Powodem takiego stanu rzeczy jest przede wszystkim problematyczność w strojeniu oraz uczeniu tego typu układów oraz duża złożoność obliczeniowa wykorzystywanych algorytmów. Wymienione struktury sterowania mogą pracować zarówno w układach opartych o sprzężenie zwrotne od wyjścia obiektu, układach wykorzystujących wiedzę o wektorze stanu, układach ze sprzężeniem w przód, układach otwartych jak i dowolnej hybrydzie łączącej wymienione struktury.

Kolejną strategią regulacji układów drgających jest zastosowanie sterowania adaptacyjnego. Regulatory w tego typu algorytmach są przestrajane on-line na podstawie wiedzy o parametrach sterowanego obiektu w bieżącej chwili czasu. Wśród wielu wariantów sterowania adaptacyjnego można wyróżnić dwie podstawowe filozofie sterowania – metoda programowej zmiany wzmocnienia (ang. Gain Schedulling) powoduje przestrojenie wzmocnień regulatora zgodnie z prostą (podaną zwykle analitycznie) regułą zależną od mierzalnego sygnału fizycznego; druga metoda oparta jest o połączenie pełnej identyfikacji strukturalnej i parametrycznej obiektu sterowania (w punkcie) oraz złożonego regulatora, często typu wielomianowego (np. regulator RST). Idea sterowania adaptacyjnego została przedstawiona w [67], a przykłady zastosowania w sterowaniu układami drgającymi zostały opisane w [98] oraz [125]. Podstawowy schemat przykładowego regulatora adaptacyjnego przedstawia rysunek 1.2.

Rysunek 1.2. Sterowanie adaptacyjne - schemat ideowy.

Wśród algorytmów sterowania układami podatnymi na drgania bardzo dużą grupę

stanowią algorytmy oparte o znajomość pełnego wektora stanu. Spełnienie tego wymagania jest

samo w sobie dość problematyczne, w szczególności gdy obiekt nie jest stacjonarny (jego

parametry zmieniają się wraz z czasem). Zwykle elementy składowe wektora stanu są jedynie

częściowo dostępne dzięki pomiarom (nie wspominając o licznych problemach związanych

z precyzyjnym pomiarem wielu często spotykanych w praktyce wielkości fizycznych). Pozostałe elementy są najczęściej nieobliczalne w prosty, analityczny sposób. W związku z powyższym konieczne jest budowanie estymatorów takich jak na przykład filtr Kalmana (z jego modyfikacjami – rozszerzonym filtrem Kalmana czy bezśladowym filtrem Kalmana) lub obserwator Luenbergera. Metodyka sterowania ślizgowego może być także wykorzystywana do projektowania obserwatorów nieliniowych. Pełna wiedza o aktualnej wartości wektora stanu pozwala na bardzo precyzyjne sterowania układami drgającymi. Niestety błąd wnoszony przez niedokładną estymację parametrów wektora stanu znacząco pogarsza właściwości tego typu układów [27].

Pierwszymi, klasycznie stosowanymi metodami regulacji wykorzystującej sprzężenie od wektora stanu są metody związane z lokowaniem biegunów (sterowanie modalne). Przykładem tej metody jest regulator Ackermanna – działający zgodnie z formułą zaproponowaną przez J. Ackermanna w 1972 [2]. Metoda wykorzystująca lokowanie biegunów wymaga wiedzy eksperckiej na temat pożądanych własności dynamicznych układu. Po określeniu właściwej lokacji biegunów obliczane są wartości macierzy włączanej w sprzężenie zwrotne od wektora stanu. Jest to sposób analogiczny w skutkach działania do przedstawionego wcześniej podejścia mechanicznego (przesuwania częstotliwości rezonansowych poza zakres pracy normalnej układu). Metoda sterowania jest oczywiście dużo łatwiejsza w zastosowaniu (nie wymaga przykładowo nakładów finansowych na zwiększenie sztywności). W praktyce częściej niż metodę Akcermanna wykorzystuje się rozszerzoną metodę zaprezentowaną przez L. Meirovitcha w 1990 roku [96].

Sprzężenie od wektora stanu wykorzystuje się także w regulatorach LQR (ang. Linear- quadratic regulator) oraz ich rozszerzeniu - LQG (ang. Linear-quadratic Gaussian).

Podstawowymi zaletami tej metody jest łatwość wyznaczania regulatora oraz możliwość uwzględnienia na etapie projektowania regulatora różnych, często sprzecznych kryteriów oceny.

Regulator wyznacza się rozwiązując liniowo-kwadratowe zadanie optymalizacji dynamicznej LQ [81]. Wyznaczenie regulatora optymalnego możliwe jest poprzez rozwiązanie równania Riccatiego [59]. Metoda LQG pozwala dodatkowo na ograniczenie wpływu losowych zakłóceń na układ na etapie syntezy regulatora. Metodę LQG można stosować również do syntezy regulatora w układach nieliniowych. Należy wówczas zastosować linearyzację (np. harmoniczną wokół punktu pracy). Opis implementacji regulatorów typu LQR oraz LQG w sterowaniu układami drgającymi został zaprezentowany między innymi w [101] [134] [135].

Kolejną grupą strategii sterowania stosowanych przy regulacji układów drgających jest

sterowanie odporne (sterowanie krzepkie, ang. robust control). Główną ideą stosowaną przy

projektowaniu tego typu regulatorów jest zapewnienie akceptowalnych warunków pracy układu

nawet w sytuacji, gdy obiekt regulacji różni się od założonego modelu. Układy odporne

projektowane są zarówno z założeniem niedokładnej identyfikacji obiektu jak i przy możliwości zmian parametrów (wzmocnień, opóźnień, stałych czasowych) w trakcie pracy układu. Nawet gdy model nie jest do końca dokładny system sterowania powinien działać stabilnie, a parametry regulacji powinny być możliwie bliskie założonemu optimum. Impulsem do powstania algorytmów sterowania krzepkiego były różnice w odporności metod sterowania opracowanych przez Bodego oraz późniejszych metod bazujących na zmiennych stanu. Jednym z najważniejszych i prawdopodobnie najczęściej stosowanych regulatorów odpornych jest opracowany przez D. McFarleane’a oraz K. Glovera regulator H-nieskończoność (opisany dokładniej w późniejszych publikacjach – np. [95]). Przykłady implementacji tej metody w sterowaniu układami drgającymi opisano w literaturze [131].

Wśród innych strategii sterowania odpornego ciekawą metodą jest CDM (ang. Coefficient diagram method) opracowana przez S. Manabe [91][92]. Regulator w takiej postaci można zdefiniować jako prosty regulator wielomianowy zbudowany z jednej transmitancji (w przypadku układu z jednym wejściem i jednym wyjściem SISO) lub ich macierzy (dla układów z wieloma wejściami i wieloma wyjściamiMIMO). Metoda CDM pozwala w stosunkowo wygodny sposób zaprojektować obszar odporności, przez co przy jej strojeniu nie jest wymagana ogromna wiedza ekspercka. Przykłady implementacji wymienionej metody można znaleźć w literaturze [25]. Z doświadczenia autora rozprawy wynika, że metoda osiąga bardzo dobre wyniki przy sterowaniu układami niskiego rzędu (2-5). Przy wyższym rzędzie obiektu układ łatwo traci stabilność przy niewielkiej zmianie parametrów.

Metody sterowania odpornego ciągle są rozwijane. Nowe algorytmy powstają od początku lat 90 XX wieku – wśród najważniejszych warto wymienić chociażby sterowanie ślizgowe [17], metodę LTR (rozwinięcie metody LQR) [138] czy metodę QFT [128]. Wszystkie te metody są stosowane w sterowaniu układami drgającymi.

Oddzielną grupę stanowią układy stanowiące przedmiot niniejszej pracy – układy z kształtowaniem sygnału. Przegląd literatury na ich temat znajduje się w rozdziale 1.2.2.

1.2.2. Znane struktury kształtowania sygnału

Kształtowaniem sygnału nazywane jest wykonywanie operacji splotu dowolnego fizycznego sygnału w układzie sterowania oraz funkcji kształtującej. Metody kształtowania sygnału można klasyfikować na kilka sposobów – w zależności od kształtowanego sygnału (kształtowanie sygnału zadanego, sygnału sterującego, sygnału sprzężenia zwrotnego etc.);

w zależności od funkcji kształtującej w operacji splotu (rampa, krzywa typu „S”, wielomianowa

funkcja sklejana etc.); w zależności od zmian parametrów kształtowania sygnału (stacjonarne lub

niestacjonarne) etc. W dalszych rozdziałach niniejszej pracy skupiono się na różnych

algorytmach kształtowania sygnału zadanego. Aby nie duplikować znacznej części informacji

w niniejszym rozdziale zdecydowano się na przedstawienie jedynie ogólnej idei metod kształtowania sygnału. Pełniejsze informacje na temat wykorzystywanych algorytmów opisane są w rozdziale 6.

Podstawową i najczęściej stosowaną metodą kształtowania sygnału jest metoda ograniczenia zrywu oraz ograniczenia przyspieszenia. Wymienione algorytmy są stosowane w niemal każdym układzie sterowania położeniem i prędkością. W praktyce inżynierskiej dokładna nazwa jest jednak bardzo często zastępowana nazwą zwyczajową – ograniczenie przyspieszenia nazywa się rampą, a ograniczenie zrywu krzywą typu „S”. Szeroki zakres zastosowań oraz łatwość w implementacji i dostrojeniu wymienionych metod spowodowały ich ogromną popularyzację. W niemal każdym współczesnym napędowym przekształtniku energoelektronicznym opcja „rampy” znajduje się wśród podstawowych ustawień napędu.

Teoretyczny opis wymienionych metod można znaleźć w literaturze [31][106][113].

Metodą znacznie mniej spopularyzowaną w zastosowaniach przemysłowych jest zastosowanie filtrów cyfrowych. Bardziej zaawansowane napędy umożliwiają włączenie filtracji bezpośrednio na poziomie ustawień przekształtnika, lecz metoda ta nie jest zwykle stosowana ze względu na wymaganą wiedzę ekspercką na temat obiektu oraz problemy filtracji przy niskich częstotliwościach sygnału. Stabilizacja układu z filtrami cyfrowymi jest problematyczna, jednak uzyskiwane dzięki niej efekty są dużo lepsze niż przy metodach prostego ograniczenia przyspieszenia i zrywu. Teoretyczny opis działania filtrów cyfrowych w kształtowaniu sygnałów oraz sterowaniu został przedstawiony w rozprawie doktorskiej D. Łuczaka [90].

Obok wymienionych metod kształtowania sygnału warto wspomnieć o wykorzystaniu wielomianowych funkcji sklejanych. Pomimo bardzo szerokiego opisu literaturowego [36][37][44][45][88], autor nie odnalazł szerokiego spektrum przykładów wdrożeń tej metody w układach przemysłowych (oprócz [11]). Główną barierą blokującą wdrożenie wielomianowych funkcji sklejanych w aplikacjach praktycznych są duże wymagania obliczeniowe oraz stosunkowo szybki spadek jakości sterowania wraz ze zmianą parametrów układu.

Kształtowanie sygnału jest wykonywane także przez niemal całą rodzinę regulatorów

predykcyjnych (wykorzystywanych zarówno pojedynczo jak i wraz z innymi wymienionymi

strukturami). Tradycyjne regulatory ze sprzężeniem zwrotnym dostosowują swoje działanie

w odpowiedzi na zmiany mierzonego sygnału wyjściowego z układu. W sterowaniu

predykcyjnym regulator dostosowuje swoje działanie z wyprzedzeniem, zanim nastąpią zmiany

wielkości wyjściowych układu. W związku z powyższym algorytmy predykcyjne mogą bazować

na znajomości modelu obiektu (ang. MPC – model predictive control) lub na pomiarach

dokonanych w przesuwnym oknie czasowym (ang. RHC – receding horizon control). Niektóre

spośród metod sterowania predykcyjnego wykonują właśnie kształtowanie sygnału. W literaturze opis predykcyjnej zmiany sygnału został przedstawiony w [42][58][75][137].

W prezentowanej rozprawie większość badań przeprowadzona została dla układów z kształtowaniem sygnału typu IS inspirowanych badaniami przeprowadzonymi przez W. Singhose’a, W. Seeringa i N. Singera z Georgia Institute of Technology [121]. Polska nazwa tego rodzaju układów została stworzona na potrzeby tej rozprawy w celu wprowadzenia jasnego rozróżnienia pomiędzy omawianą metodą a innymi układami kształtowania sygnału zadanego (od ang. IS – Input Shaping). Jest to jedna z najprostszych oraz najskuteczniejszych metod kształtowania sygnału. Ogólna koncepcja tej metody oparta jest o obserwację procesów technologicznych oraz praktycznych aplikacji układów drgających i wynikające z niej przekonanie, iż większość drgań sygnału wyjściowego nie pochodzi od zakłóceń i obciążenia, ale jest wywoływana przez zmiany sygnału zadanego. Zakładając, że układ sterowania ma w zakresie pracy charakterystykę liniową można wywnioskować, iż spełnia on zasadę addytywności w relacji wyjść oraz wejść. W związku z powyższym dla pojedynczej częstotliwości rezonansowej obiektu liniowego możliwa jest eliminacja drgań poprzez dokonanie splotu sygnału zadanego do regulatora z serią dwóch, oddalonych od siebie o określoną chwilę czasu impulsów o określonych amplitudach. Sytuacja ta została przedstawiona na rysunku 1.3.

Rysunek 1.3. Działanie kształtowania sygnału typu IS; a) – sygnał zadany bez kształtowania sygnału, b) – sygnał zadany z kształtowaniem sygnału, c) – sygnał wyjściowy bez kształtowania sygnału, d) – sygnał

wyjściowy z kształtowaniem sygnału.

Podobna w swojej idei jest metoda Posicast opracowana przez O. Smitha [124].

Analizując wymienione publikacje źródłowe warto zauważyć, iż metody te powstały

0 1 2 3 4 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Wymuszenie bez IS

0 1 2 3 4 5

0 0.5 1 1.5 2

Odpowiedź bez IS

0 1 2 3 4 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1.2 Wymuszenie z IS

0 1 2 3 4 5

0 0.5 1 1.5 2

Odpowiedź 1 Odpowiedź 2 Suma odpowiedzi z IS

a) b)

c) d)

najprawdopodobniej niezależnie. Metoda opisywana jako kształtowanie sygnału typu IS zapewnia znacznie większe możliwości tłumienia drgań występujących w obiekcie (może być traktowana jako swoiste rozszerzenie metody Posicast).

Układy typu IS mogą przyjmować różne formy, różniące się ilością impulsów, zezwoleniem na impulsy ujemne etc. Dokładniejszy opis większości najpopularniejszych wariantów algorytmów kształtowania sygnału typu IS można znaleźć w książce [120].

Układy kształtowania sygnału działające w strukturach otwartych są omawiane w literaturze, jednak ich praktyczne zastosowanie jest bardzo marginalne. Ich ilustracja została dla porządku zaprezentowana na rysunku 1.4.

Rysunek 1.4. Kształtowanie sygnału zadanego w układzie otwartym.

Podstawową i najczęściej stosowaną metodą kształtowania sygnału jest kształtowanie sygnału zadanego do regulatora. Metoda ta jest opisywana w znaczącej większości literatury dotyczącej poruszanego zagadnienia [4][22][69][89][119][118]. Schematycznie metodę tą można zaprezentować jak na rysunku 1.5. Na rysunku przez skrót IS oznaczony jest blok kształtowania sygnału, R oznacza regulator, a Obj obiekt sterowania.

Rysunek 1.5. Kształtowanie sygnału zadanego we współpracy z regulatorem.

Drugą, alternatywną metodę stanowi kształtowanie sygnału sterującego obiektem.

Metoda ta została przedstawiona przez J. Huey’a w rozprawie doktorskiej [70]. Metoda została nazwana jako CLSS (ang. Closed-loop signal shaping). Schematyczne przedstawienie tej struktury zostało zaprezentowane na rysunku 1.6.

Rysunek 1.6. Kształtowanie sygnału sterującego – CLSS.

Trzecia struktura łącząca regulatory z układami kształtowania sygnału została zaprezentowana w publikacji [136]. Ideą prezentowanego rozwiązania jest odpowiednie przełączanie pomiędzy pętlą regulacji a układem otwartym zawierającym kształtowanie sygnału.

Schemat blokowy omawianej struktury przedstawia rysunek 1.7.

Rysunek 1.7. Prosta strategia przełączana.

Czwarta struktura łącząca układy kształtowania sygnału oraz regulatory została zaprezentowana przez S. Brocka oraz autora niniejszej rozprawy, M. Gniadka w publikacji [22]

i stanowi rozszerzenie metody zaprezentowanej na rysunku 1.7. Wymieniona struktura,

nazywana strukturą przełączaną, może zostać zakwalifikowana do układów o zmiennej strukturze

regulacji. Na rysunku 1.8 przedstawiono schemat ideowy omawianej metody. Na wymienionym

rysunku można zauważyć dwie pętle regulacji – górną, wykorzystującą układ kształtowania

sygnału zadanego, oraz dolną, klasyczną pętle regulacji. Struktura z kształtowaniem sygnału ma

za zadanie możliwie szybko i bezoscylacyjnie rozpędzić obiekt do wartości bliskiej wartości

zadanej. Po zbliżeniu się do strefy akceptowalnego błędu układ przełączany jest na znacznie

wolniejsze ale i odporniejsze na zakłócenia systemy sterowania. W oryginalnej wersji algorytmu

przełączanie odbywało się w sposób bezuderzeniowy, nieumożliwiający jednoczesnego działania

dwóch regulatorów. Późniejsze wersje algorytmu umożliwiały przełączanie łagodne przy

jednoczesnym działaniu (z odpowiednią wagą) obu pętli regulacji. Druga strategia sterowania

wpływa na nieznaczne zwiększenie poziomu oscylacji, ale zmiany pochodnej sygnału

sterującego są mniej gwałtowne, przez co zwiększa się żywotność części mechanicznych układu

oscylacyjnego.

1.3. Cel naukowy i teza

Celem naukowym prezentowanej pracy doktorskiej jest przegląd i krytyczna ocena znanych algorytmów kształtowania sygnału zadanego w strukturach sterowania dedykowanych dla stacjonarnych elektromechanicznych układów drgających oraz implementacja i weryfikacja działania wybranych algorytmów dla układów niestacjonarnych. W ramach badań zrealizowane zostało następujące zadanie badawcze: opracowanie układu sterowania złożonego z pętli regulacji oraz bloku kształtowania sygnału w celu poprawienia parametrów dynamicznych oraz redukcji oscylacji dla drgających obiektów elektromechanicznych. Opracowane zostały algorytmy automatycznego strojenia bloków kształtowania sygnału. Opracowano metodę adaptacyjnego przestrajania parametrów bloków kształtujących sygnał. Przeprowadzona została analiza odporności przeprowadzonych struktur na zmiany parametrów obiektu.

W pracy postawiono następującą tezę: Zastosowanie algorytmów samostrojenia i adaptacji w bloku kształtowania sygnału zadanego pozwala na poprawę jakości regulacji elektromechanicznych układów drgających. Możliwa jest implementacja takich algorytmów charakteryzująca się zdolnością do realizacji zadań w czasie rzeczywistym.

Dla wykazania powyższej tezy postawiono poniższe tezy cząstkowe:

1) Kształtowanie sygnału umożliwia sterowanie obiektem drgającym przy znaczącej redukcji oscylacji.

2) Możliwa jest identyfikacja częstotliwości rezonansowych układu drgającego.

3) Eliminacja oscylacji układu drgającego umożliwia poprawę parametrów dynamicznych w precyzyjnym sterowaniu układów elektromechanicznych.

W pracy przeanalizowano opisywane w literaturze warianty algorytmów kształtowania sygnału. Przeanalizowano oraz zaimplementowano znane struktury umożliwiające współpracę badanych układów z regulatorami. Opracowano dwa algorytmy automatycznego strojenia parametrów bloków kształtowania sygnału. Przedstawione badania zawierają opis adaptacyjnego przestrajania omawianych bloków.

1.4. Metoda badań

W wielu dziedzinach inżynierskich podstawową metodą wstępnych badań są

modelowanie i symulacje. Podejście takie ma liczne zalety, wśród których na największą uwagę

zasługuje możliwość przeprowadzenia wielu prób w stosunkowo krótkim czasie i przy

niewielkich nakładach finansowych. Bazując na modelach symulacyjnych możliwym jest

sprawdzenie działania podstawowych koncepcji badawczych bez obawy o uszkodzenie lub

zniszczenie stanowiska badawczego. Badania symulacyjne umożliwiają także łatwą analizę oraz

syntezę bardziej złożonych zjawisk zachodzących w badanych obiektach. Dodatkowo, precyzyjne dobranie algorytmów sterowania oraz dostrojenie ich parametrów wymaga niejednokrotnie setek prób. Wszystkie powyższe argumenty doprowadziły do podjęcia decyzji o przeprowadzeniu pierwszej części badań z wykorzystaniem symulacji komputerowych.

Algorytmy sterowania oraz modele obiektów zostały zaimplementowane w środowisku Matlab oraz pakiecie SIMULINK. Ze względu na charakter badań oraz chęć wykazania przez autora zalet bloków kształtowania sygnału zadanego zdecydowano się na utworzenie modeli układów elektromechanicznych szeroko opisywanych w literaturze – przygotowany został model układu wielomasowego; zdecydowano się także na zaimplementowanie metody kształtowania sygnału zadanego do ogólnie dostępnego modelu suwnicy przygotowanego jako przykład programu Matlab [94]. Podejście takie pozwoliło zobrazować możliwości modyfikacji gotowych, działających układów sterowania bez konieczności ingerencji w często niedostępne elementy układu sterowania. Wszystkie badania symulacyjne przeprowadzono w sposób umożliwiający zarówno zobrazowanie teoretycznych aspektów omawianych algorytmów jak i możliwie wierne zobrazowanie sytuacji spotykanej w praktyce inżynierskiej.

Działanie wybranych algorytmów zostało zweryfikowane praktycznie w środowisku przemysłowym. Metody kształtowania sygnału zadanego typu IS zostały zaimplementowane przy sterowaniu transportera podwieszanego. Implementacja samego układu kształtowania sygnału została zrealizowana na sterowniku PLC (Siemens S7-1200), a algorytmy identyfikacji układu oraz przestrajania parametrów układu zostały zaimplementowane na współpracującym komputerze klasy PC. Do pomiaru sygnału wyjściowego układu wykorzystany został system wizyjny. Połączenie ze sterownikiem odbywa się za pomocą aplikacji napisanej w języku C#

z wykorzystaniem biblioteki S7.NET. Dokładny opis stanowiska badawczego został zaprezentowany w rozdziale 8.

1.5. Nowatorski charakter

Podejście przedstawione w niniejszej pracy opiera się na eliminacji przyczyn drgań, nie zaś, jak w podejściu klasycznym, tłumieniu drgań już powstałych. Podstawy prezentowanego podejścia bazujące o kształtowanie sygnału zadanego są znane i szeroko opisywane w literaturze [82][66][120][122]. Podejście bazujące na prostym połączeniu regulatorów oraz układów kształtowania sygnału typu IS zostało również przeanalizowane i opisane w literaturze [3] [70].

Algorytmy strojenia układów kształtowania sygnału typu IS oraz strojenie adaptacyjne w

literaturze prezentowane są w formie prostej [13][14]. Algorytmy zaprezentowane w pracy

wykorzystują zarówno elementy analizy częstotliwościowej sygnałów [90] jak i metody oparte

o klasyczną identyfikację obiektów sterowania [79].

Nowatorski charakter nosi także zastosowanie algorytmów bioinspirowanych przy poszukiwaniu optymalnego układu kształtowania sygnału. Zastosowanie algorytmów roju cząstek (PSO) pozwala na szybkie i skuteczne odnalezienie bliskiego optymalnemu zestawu parametrów układu kształtowania sygnału.

Większość rozpraw doktorskich bazuje na badaniach wykonywanych symulacyjnie oraz weryfikacji rozwiązań w warunkach laboratoryjnych. W niniejszej pracy zdecydowano się na dużo bardziej skomplikowaną metodę weryfikacji poprawności wybranych rozwiązań – układ kształtowania sygnału zadanego został zaimplementowany w warunkach przemysłowych. Tego typu wdrożenie nosi znamiona innowacyjności. Autor niniejszej rozprawy nie znalazł w literaturze przedmiotu wzmianek na temat zastosowania zaawansowanych metod kształtowania sygnału w układach stosowanych w przemyśle. Dokładny opis eksperymentów weryfikacyjnych został zaprezentowany w rozdziale 8.

1.6. Definicje

Algorytmy kształtowania sygnału typu IS nie były opisywane szeroko w literaturze polskiej. Znacząca część terminologii związanej z teorią sterowania oraz opisem układów elektromechanicznych jest niejednokrotnie odmiennie rozumiana w literaturze obcej. Aby uniknąć wątpliwości i ułatwić szczegółową analizę poszczególnych części pracy zdecydowano się na przygotowanie krótkiego spisu definicji pojęć mogących wzbudzić wątpliwości czytelnika.

Pojęcie elektromechaniczny układ drgający jest często zastępowane określeniem

„(elektro)mechaniczny układ złożony”. W pracy pod tym pojęciem rozumiane będą systemy mechaniczne, w których połączenia mają właściwości sprężyste (jak na przykład wał łączący masy w układzie wielomasowym) lub umożliwiają naprzemienną zamianę jednego rodzaju energii w inny (jak na przykład lina z ciężarem zamontowana przy wózku suwnicy – oscylacyjna zamiana energii kinetycznej w potencjalną). Z punktu widzenia teorii sterowania cechą wspólną wszystkich układów tego typu jest posiadanie przynajmniej jednej pary zespolonych biegunów transmitancji.

Pojęcia drgań oraz oscylacji odnoszą się w całej pracy do drgań elektromechanicznych spowodowanych charakterem obiektu lub oscylacji powodowanych przez właściwości regulacyjne układu zamkniętego. Pojęcie rezonansu odnosi się do rezonansów mechanicznych.

Pojęcia linearyzacji oraz identyfikacji obiektów sterowania we wszystkich omawianych algorytmach dotyczą linearyzacji oraz identyfikacji parametrycznej w punkcie.

W obiektach technicznych linearyzacja i identyfikacja wzdłuż trajektorii jest zagadnieniem

niejednokrotnie bardzo skomplikowanym lub niemal niewykonalnym. Na potrzeby niniejszej

Określenie programowa zmiana wzmocnienia jest wraz z określeniem

harmonogramowania wzmocnienia najpopularniejszym spotykanym w literaturze

polskojęzycznej tłumaczeniem angielskiego zwrotu gain scheduling [67][132]. W przypadku

algorytmów kształtowania sygnału typu IS zmianie ulega jednak nie tylko wzmocnienie ale także

czasy wystąpienia kolejnych impulsów – zmieniane są więc wszystkie parametry bloku. Ze

względu na ideę działania algorytmu zdecydowano się na stosowanie nazwy programowa

zmiana parametrów.

2. M ODELE MATEMATYCZNE I SYMULACYJNE UKŁADÓW WIELOMASOWYCH

Equation Chapter 2 Section 1

Układy wielomasowe są jednym z najczęściej omawianych przykładów elektromechanicznych układów drgających. Zarówno szeroki opis literaturowy jak i łatwość analitycznego określenia parametrów ruchu układu powodują, iż układy tego typu stanowią naturalny wybór w wielu pracach naukowych oraz badawczych. W niniejszej pracy zdecydowano się na zaprezentowanie ogólnej problematyki związanej z układami wielomasowymi jak i przedstawienie dwóch podstawowych przedstawicieli tej rodziny układów. Poglądowo opisano także elementy dodatkowe, towarzyszące układom sterowania oraz mechaniki dla układów wielomasowych. Elementy dodatkowe - model sprężystości wału, model przekładni oraz model przekształtnika w sposób znaczący utrudniają analityczne obliczenie parametrów układu. Po wprowadzeniu wymienionych części dodatkowych układ staje się jednak bliższy obiektom rzeczywistym.

Układy wielomasowe należą do najchętniej analizowanych i badanych układów elektromechanicznych z połączeniem sprężystym. Wiele ośrodków naukowych w kraju i na świecie bazuje na tego typu układach. Wśród polskich ośrodków zajmujących się wspomnianą tematyką prym wiedzie Politechnika Wrocławska [126]. Dostępne są także liczne publikacje opracowane przez Politechnikę Poznańską [23], Politechnikę Łódzką, krakowską Akademię Górniczo-Hutniczą i inne ośrodki badawcze. Wśród ośrodków światowych warto wspomnieć o badaniach prowadzonych w Monachium [62], Bremen [72] czy Toulusie [27]. Liczne publikacje pochodzą także z innych rejonów świata takich jak Tasmania [61] czy Iran [114]. Tak duża rozbieżność, zarówno geograficzna jak i tematyczna, pomiędzy wspomnianymi pracami świadczy o szczególnie interesujących własnościach układów wielomasowych jako obiektu badawczego.

Jednym z podstawowych powodów popularności układów wielomasowych jest łatwość zarówno implementacji symulacyjnej (dostępna ogromna liczba publikacji zawierających opis fizyczny tego typu układów) jak i budowy stanowiska badawczego – do badania układu dwumasowego wystarczą dwa serwonapędy połączone wałem. Zmiana właściwości dynamicznych (częstotliwości rezonansowych) jest również łatwa do zrealizowania. Warto także zauważyć, że wpływ środowiska zewnętrznego na działanie układu jest zwykle znikomy.

Wszystkie te elementy wpłynęły na szerokie zastosowanie układów wielomasowych jako

stanowisk badawczych. Ogólna koncepcja sterowania takimi układami została zaprezentowana w

kolejnych rozdziałach.

2.1. Charakterystyka układów wielomasowych

Przez pojęcie układu wielomasowego w niniejszej pracy rozumiany będzie układ elektromechaniczny, w którym n jednorodnych brył (mas) jest połączonych ze sobą za pomocą skrętnie sprężystego wału. Na masę pierwszą działa moment maszyny napędzającej T

, a na masę ostatnią (n-tą) działa moment obciążenia T

. Masy o sąsiadujących indeksach działają na siebie momentem przekazywanym przez sprężysty wał T

. Moment ten zależny jest od parametrów materiałowych wału (modułu Kirchhoffa), jego parametrów geometrycznych (długości, momentu biegunowego) oraz kąta skręcenia. Zastosowany model sprężystości wału został zaprezentowany szczegółowo w rozdziale 2.3.1.

Ogólna idea sterowania układem wielomasowym polega na wymuszaniu odpowiedniego momentu maszyny napędowej w taki sposób, aby żądana masa uzyskała określone parametry ruchu. W literaturze spotykane są zarówno zagadnienia sterowania prędkością jak i położeniem.

Zadanie to, ze względu na występujące sprężystości (i wiążący się z nimi oscylacyjny charakter układu) oraz brak dostępu pomiarowego do niektórych zmiennych stanu jest problemem naukowym szeroko omawianym w literaturze.

W kolejnych podrozdziałach przedstawione zostały wykorzystywane na potrzeby badań modele matematyczne uogólnionego układu wielomasowego oraz układów dwu- i trójmasowych.

Dla dwóch ostatnich przedstawiono także wykorzystywane w symulacjach schematy blokowe.

Układy z połączeniem sztywnym ze względu na swoją prostą budowę nie są przedstawiane w niniejszej rozprawie. Niektóre pozycje literaturowe rozróżniają dodatkowo układy z połączeniem sprężystym oraz z tłumieniem (zależnym od różnicy prędkości kątowych końców wału).

2.2. Modele układów wielomasowych

2.2.1. Model uogólniony układu wielomasowego

Wszystkie przedstawione w niniejszej rozprawie badania dotyczące układów wielomasowych przeprowadzono na układach dwu- i trójmasowych. Do pełnego zrozumienia tematyki związanej z układami wielomasowymi warto jednak przeanalizować układy bardziej złożone. W ujęciu ogólnym układ wielomasowy może składać się z n mas połączonych wałami sprężystymi.

Podstawowym pojęciem, które należy wziąć pod uwagę przy analizie układów

wielomasowych jest moment bezwładności bryły sztywnej. Każda masa w niniejszych badaniach

została dla uproszczenia potraktowana jako jednorodna bryła sztywna. W mechanice moment

bezwładności definiowany jest jako iloczyn obracającej się masy oraz kwadratu odległości od osi obrotu. Definicję tą opisuje wzór (2.1):

J  mr

, (2.1)

gdzie J oznacza moment bezwładności, m masę wirującego punktu, a r jego odległość od osi obrotu. W modelowaniu sytuacji rzeczywistych taka prezentacja wzoru (2.1) jest jednakże nieużyteczna – masa nie jest nigdy punktowa. W związku z powyższym opracowana została całkowa forma wzoru dla dowolnej bryły sztywnej (2.2):

2 2

M V

dm V

J   r   r  d ^{, (2.2)}

gdzie M jest rozłożoną w ciągłości masą ciała, dm jest elementem masy M, ρ oznacza lokalną gęstość bryły, a V oznacza objętość ciała. Dla każdego elementu dm oraz dV określa się odległość od osi obrotu r.

Do prawidłowego opisu ruchu układu wielomasowego niezbędnym jest także wprowadzenie pojęcia momentu siły (momentu obrotowego) oznaczanego przez T, definiowanego jako iloczyn wektorowy 𝑇 ⃗ = 𝐹 × 𝑟 , gdzie 𝐹 oznacza przyłożoną punktowo siłę, a |𝑟 | jest odległością od punktu przyłożenia siły do osi obrotu bryły. Jednostką momentu siły jest Nm.

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki dla ruchu obrotowego wiadomym jest, iż:

T

  J , (2.3)

gdzie przez T rozumiany jest wypadkowy moment siły, ε oznacza przyspieszenie kątowe bryły, a przez J moment bezwładności bryły sztywnej. Z równania (2.3) wynika, że:

2 2

d d

T J J J J

dt dt

 

 

    , (2.4)

gdzie θ oznacza położenie kątowe, a ω prędkość ruchu obrotowego. Znaczenie pozostałych parametrów jest zbieżne z prezentowanym we wcześniejszych wzorach. Warto zauważyć, że moment bezwładności przyjęto jako stałą.

Układ wielomasowy złożony jest z n połączonych ze sobą za pomocą sprężystego wału

mas. W czasie ruchu na każdą masę działają dwa podstawowe momenty sił – sąsiadujące ze sobą

masy oddziałują na siebie poprzez moment siły powodowany przez sprężystość wału (założono,

że momenty te są równe co do wartości i działają w przeciwnych kierunkach dla obu mas); na

pierwszą z mas dodatkowo działa moment napędowy, a na ostatnią moment obciążenia. Układ

ten zobrazowano na rysunku (2.1).

Rysunek 2.1. Układ wielomasowy - schemat ideowy.

Na rysunku (2.1) zastosowano następujące oznaczenia: T

– moment siły napędzającej (od silnika); T

– moment siły oporowej (obciążenia); T

– moment siły sprężystości wału;

J

– momenty bezwładności mas 1, 2 .. n; ω

– prędkości mas 1,2…n; k

– parametry wału.

Przyjęto, że w zakresie pracy układu moment siły sprężystości wału T

jest proporcjonalny do kąta skręcenia wału (brak występowania odkształceń plastycznych). Dokładny opis zastosowanego modelu sprężystości wału został zawarty w rozdziale 2.3.1.

Należy zauważyć, iż rysunek (2.1) determinuje zarówno zwroty przyłożonych momentów siły, momenty bezwładności poszczególnych mas i kierunek ich obrotu jak i zmienne związane ze parametrami wału k. Na ostatni z wymienionych parametrów składa się głównie współczynnik sprężystości wału c oraz tłumienie drgań. Model obliczania współczynnika sprężystości zaprezentowano w rozdziale 2.3.1. Tłumienie drgań, oznaczone jako b, jest uwzględnione w dalszych rozważaniach na temat ruchu całego układu elektromechanicznego.

Model luzów przekładni zaprezentowano w rozdziale 2.3.2.

Na podstawie przytoczonych równań oraz wyjaśnień możliwym jest zbudowanie modelu

matematycznego oraz sformułowanie równań ruchu. Dynamikę układu wielomasowego można

zaprezentować w formie uogólnionej [90], niemniej jednak prezentacja stosunkowo

skomplikowanych równań macierzowych dostępnych w wielu pozycjach literaturowych oraz nie

stanowiących istoty niniejszej rozprawy nie jest konieczna. W kolejnych rozdziałach (2.2.2 oraz

2.2.3) przedstawiono równania dla układów wykorzystywanych w dalszej części pracy (dwu-

i trójmasowego). Dla pełniejszego zobrazowania omawianego zagadnienia zdecydowano się

jednak na zaprezentowanie na rysunku 2.2 zastępczego schematu blokowego dla układu

n-masowego. Oznaczenia kolorystyczne na wyżej wymienionym rysunku są zgodne

z zaprezentowanymi na rysunku 2.1.

Rysunek 2.2. Układ wielomasowy – zastępczy (rozszerzony) schemat blokowy.

2.2.2. Układ dwumasowy - model matematyczny oraz schemat blokowy

Jak wspomniano w poprzednim podrozdziale podstawowym modelem wykorzystywanym przy porównawczych badaniach symulacyjnych dla prezentowanych strategii kształtowania sygnału zadanego jest układ dwóch mas połączonych sprężystym wałem. Aby w pełni zrozumieć istotę prezentowanego problemu konieczne jest zaprezentowanie równań dla przyjętego modelu. Poglądowy schemat ideowy omawianego układu zaprezentowano na rysunku 2.3. Oznaczenia na rysunku są analogiczne do zaprezentowanych we wstępie do omawianego tematu.

Rysunek 2.3. Układ dwumasowy.

Po wprowadzeniu zawartym w rozdziale 2.2.1 możliwym jest wyprowadzenie równań opisujących zachowanie układu pod wpływem wymuszeń w zależności od parametrów układu.

W układzie dwumasowym występują dwie masy o momentach bezwładności J

oraz J

Obiekty są ze sobą sprzężone przy pomocy jednego nierozciągliwego, odkształcającego się sprężyście wału o współczynniku sprężystości c oraz tłumieniu b (odkształcenia plastyczne zostały pominięte, gdyż zwykle są one niszczące dla elementów pracującej maszyny). Na pierwszą z mas działa moment napędowy T

, a na drugą masę moment obciążenia T

. Równania ruchu uwzględniające wymienione wyżej wartości można przedstawić w formie zaprezentowanej we wzorze 2.5.

1 1 1 2 1 2 1

2 2 1 2 1 2 2

( ) c ( ) ( )

( ) c ( ) ( )

J b dz frict T

J b dz frict T

     

     

       

 

      

 ^{, (2.5)}

gdzie przez dz(θ

-θ

) rozumie się strefę martwą (od angielskiego dead zone, następstwo luzów w przekładni) – zgodnie z wyjaśnieniem zaprezentowanym w rozdziale 2.3.2, a funkcja frict oznacza zastępcze tarcie zgodnie z opisem w rozdziale 2.3.3.

Równanie (2.5) można zaprezentować w formie schematu blokowego w sposób

przedstawiony na rysunku 2.4.

Rysunek 2.4. Układ dwumasowy – schemat blokowy.

Schemat zaprezentowany na rysunku 2.4 stanowił podstawę do zbudowania modelu symulacyjnego wykorzystywanego w badaniach. Układ został zamodelowany w środowisku Matlab/SIMULINK.

2.2.3. Układ trójmasowy - model matematyczny oraz schemat blokowy

Kolejnym modelem wykorzystywanym w badaniach symulacyjnych dla prezentowanych

strategii kształtowania sygnału zadanego jest układ trzech mas połączonych dwoma sprężystymi

wałami. Analogicznie jak w przypadku modelu układu dwumasowego konieczne jest

zaprezentowanie równań wykorzystanych w modelowaniu. Poglądowy schemat ideowy

omawianego układu zaprezentowano na rysunku 2.5. Oznaczenia na rysunku są analogiczne do

zaprezentowanych we wstępie do omawianego tematu.