Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

26.09.2019 r. Imi¦: Nazwisko:

Egzamin nr albumu:

Nazwisko prowadz¡cego ¢wiczenia:

Zadania s¡ równo punktowane. Kolejno±¢ rozwi¡zywania dowolna. Rozwi¡zania nale»y redagowa¢

starannie, wyra¹nie uzasadniaj¡c rozumowanie. Na ko«cu rozwi¡zania ka»dego zadania nale»y poda¢ peªn¡ odpowied¹(-dzi). Dodatkowo, na karcie zada« wpisz wyniki.

Czas rozwi¡zywania - 90 min.

1. Dane jest równanie 2x ⁴ y + y ⁴ x = 3 .

(a) Dla jakiego punktu powy»sze równanie NIE daje funkcji uwikªanej x(y)?

(b) W otoczeniu punktu (1, 1) (tj. dla x(1) = 1), korzystaj¡c z pierwszej pochodnej oszacuj warto±¢ x(1,2).

Odp. do (a) to: x(1,2) ≈

2. Dane jest odwzorowanie F (x, y) = ln(x + y), 3x ² − y
.

(a) Narysuj zbiór tych punktów na pªaszczy¹nie, w których odwzorowanie F NIE jest lo- kalnie odwracalne. Uwzgl¦dnij dziedzin¦ F .

(b) Wyznacz macierz odwzorowania odwrotnego w punkcie (0, 3).

DF ⁻¹ (0, 3) =

3. Dany jest trójk¡t T o wierzchoªkach w (2, 0), (−1, 1) i (−1, −1). Oblicz caªk¦

Z Z

T

x ² dx dy =

4. Dane s¡ funkcje f(x) = x ³ sin(x)(e ^x − 1) oraz g(x) = arctg(x ² ) − x ² .

a) Dla obu podaj 3 pierwsze niezerowe wyrazy rozwini¦cia w szereg Taylora w x 0 = 0 .

f (x) ≈ g(x) ≈

b) Korzystaj¡c z rozwini¦¢ wyznacz granic¦ lim

x→0

f (x) g(x) =

5. Zbadaj, czy szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie, zbie»ny warunkowo czy rozbie»ny:

a)

+∞

X

n=1

n ⁿ + 2019 ⁿ

2 ⁿ

+ 1 jest: b)

+∞

X

n=101

(−1) ⁿ

√ n − 10

2 − 3n jest:

Powodzenia!