Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 · 2015
Rafał Kucharski
Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania
Katedra Statystyki
rafal.kucharski@ue.katowice.pl
ZBIEŻNOŚĆ STRATEGII OPTYMALNYCH NA RYNKACH FINANSOWYCH
Z OGRANICZENIAMI PŁYNNOŚCI
Streszczenie: W pracy rozważamy model rynku finansowego opisanego przez Çetina i Rogersa [2007], w którym ściśle wypukłe koszty transakcyjne służą do modelowania efektów związanych z ograniczeniami płynności. Udaje się wzmocnić rezultaty tej pra- cy, dowodząc jedyności strategii optymalnych, oraz wykazać ich ciągłość względem preferencji inwestorów.
Słowa kluczowe: koszty transakcyjne, strategie optymalne, ryzyko płynności, wycena instrumentów.
Wprowadzenie
Ryzyko płynności jest jednym z najważniejszych typów ryzyka, z jakim mamy do czynienia na rynkach finansowych. Dotychczasowe badania związane z modelowaniem ryzyka płynności i jego wpływu na zachowanie się inwestorów i rynków finansowych nie są jednak zbyt zaawansowane, być może z powodu braku zgody w sprawie definicji płynności, nawet w kategoriach jakościowych.
Efekty związane z płynnością można najprościej opisać jako trudności lub ko- nieczność poniesienia dodatkowych kosztów w sytuacji, gdy chcemy w krótkim czasie sprzedać lub kupić większą ilość pewnych aktywów.
Występują dwa podejścia do modelowania efektów związanych z płynno- ścią. Według pierwszego z nich transakcje dużego inwestora mają wpływ na cenę rynkową. Znane są udokumentowane przypadki, gdy duży inwestor (lub grupa inwestorów) wpływał na rynek, co zwykle objawiało się znacznym wzro-
stem cen, na rynku 48,70 dol czas nastę dany walo storzy, kt są do zaku działania
Istnie wa na cen czyni mo inwestor m na jakie z stawione szy o prem
Çetin rym efekt go rynku cena płac opisany f optymalny pracy pro się nam w strategii o
Opis rów obecn je bogactw tematyce wyceny in określając wanie inw rametrów praktyczn mentalną Prob cji badali pełnego z ruch Brow cesów opt
po którym srebra w la ara za uncję ępujący: nal or, a następn órzy zajęli k upów, co na z użyciem op eją wady teg nę, to cena p odel niemal b
może wystaw zostały wysta
opcje bezwa mię, za jaką s n i Rogers [2 t działalności ma jedynie ona przez te funkcją wypu
ych dla prob wadzimy roz wzmocnić za optymalnych strategii inw nych na niepe wo w sposób
finansowej.
nstrumentów cego preferen westora i jeg
rynku finan nej implemen rolę przy ob lem stabilno jako pierws z czasem ciąg
wna. Dowied tymalnego b
następował atach 1979-1 ę [Rogers i S leży zająć d nie dokonać krótkie pozy rynku z obn pcji można p go podejścia.
powinna uwz bezużyteczn wić opcje typ awione opcje artościowymi sprzedał opc 2007] stosują
i dużego inw krótkookres ego inwestor ukłą. Autoro blemu maksy zważania w t awarte w cy oraz wykaza westycyjnych
ewnych rynk b optymalny, Optymalność w finansowyc ncje inwesto go optymalno
nsowego. Py ntacji model liczeniach nu ości strategii
si Jouini i Na głym, na któ dli oni zbieżn bogactwa i k
krach. Przyk 1980, która s Singh, 2004].
długą pozycj dużych zaku cje, wraz z w niżoną podaż
podjąć na ryn . Po pierwsz zględniać dz nym. Drugi a
pu down-and e, co spowod i. Po odkupi cje, więc osią ą inne podej westora w ob sowy, „lokaln
ra różni się om udaje się ymalizacji uż tym samym ytowanej pra ać ich zbieżn h, które powi kach finansow
, jest typowy ć ta może do ch, jak i mak ora. Naturaln
ość zależą o ytanie to ma
lu, gdyż stab umerycznych
optymalnyc app [2004], rym ceny ak ność prawie konsumpcji o
kładem jest d spowodował . Schemat po
ę w kontrak upów na ryn
wygasaniem żą skutkuje w
nku akcji.
e, jeśli pojed ziałania wszy
argument to d-out, a nastę duje spadek i ieniu aktywó ąga zysk bez ście: opisują bliczu ograni
ny” wpływ n od rynkowej ę dowieść m żyteczności
modelu rynk acy rezultaty ność.
inny być wy wych, a pragn ym probleme
otyczyć zarów ksymalizacji ne jest równi d tych prefe szczególne bilność rozw
h.
h i cen wzgl którzy rozw kcji opisane s
na pewno or oraz zbieżnoś
działalność b ła wzrost ce ostępowania ktach termin nku pierwotn m kontraktów wzrostem cen dynczy inwe ystkich inwes
tzw. free r ępnie sprzeda
ich kursu, cz ów inwestor j
ryzyka.
ą model rynk czonej płynn na cenę: w t j o koszt tra m.in. istnieni na takim ryn ku finansowe y, dowodząc ybierane prze nących pomn em rozważany
wno najkorz pewnego fu ież pytanie, j erencji oraz i
znaczenie p wiązań odgry lędem zmian ważali model są przez geom
raz w , ść optymalny
braci Hunt ny z 9 do jest wów- nowych na nym. Inwe- w zmuszeni
n. Podobne estor wpły-
storów, co round trip:
ać aktywa, zyniąc wy-
jest bogat- ku, na któ- ności owe- tym ujęciu ansakcyjny ia strategii nku. W tej ego. Udaje jedyności ez inwesto-
nażać swo- ym w ma- zystniejszej
unkcjonału jak zacho- innych pa- rzy próbie ywa funda-
n preferen- rynku zu- metryczny
, pro- ych strate-
gii w dodatkow rozszerzy tyngałami bilności d [Kardaras W cz inwestoró żeniami d gii optym teczności ograniczo cyjnych i
1. Model
Rozp Çetina i R delem ryn kretną filt nia w oba koncie ba Ceny akc , felu zgdzie przez inw miast pro rze, na któ
Potrz
w ogólnym wych założen ł te rozważa i, obejmując dla modeli fi s i Žitković, 2
zasie dyskret ów zajmowal dotyczącymi malnych na ry
określonym onymi do pół z kosztami z
l rynku
poczniemy o Rogersa [200nku finansow tracją
rczoną ryzyk ankowym, kt cji opisuje ś
do pow
westora w ch ocesy i
z órym jest sko
zebny nam b
m przypadku niach na proc ania na klasę c w ten spos finansowych 2011] i [Lars tnym problem li się Carassu
regularnośc ynku, na któ mi na całej pr łosi podobne zawierają odp
od omówien 07], który będ wego jest tu . Inwestorz kiem akcję or tórego stopa ściśle dodatn
. Pomiędzy woduje zmia
. Zak hwili , więc są adapto zakładamy, ż ończona, ora
ędzie równie
i ich prawie ces cen i fun modeli, w k ób również
z czasem ci sen i Žitkovi
mem ciągłej us i Rásonyi
i dowiedli z órym inwesto rostej. Dla pr e rozważania powiednio p
nia najbardz dzie podstaw przestrzeń p zy obecni na raz lokowani a procentowa tni, adaptow y momentami anę ilości got
kładamy, że c proces owane. O fu
że jest ściśle az spełnia wa
eż techniczny
e pewną zbi nkcje użytec których ceny rynki niezup iągłym zajm ć, 2007].
zależności s [2007], któr bieżności pr orzy posługu roblemu z fu a dla rynków prace [Kucha
ziej istotnyc wą naszych da
probabilistyc rynku mają ia gotówki na a jest, dla u wany proces
i t i t + 1 zmi tówki z do
wielkość jest unkcji opisuj
rosnąca i śc arunki:
y warunek:
ieżność przy czności. Lars y są ciągłymi pełne. Proble mują się równ strategii od p rzy pod pewn rawie na pew ują się funkc unkcjami uży w bez kosztów arski, 2006, 2
h elementów alszych rozw czna
możliwość in a pozbawion uproszczenia, o iana liczby ak
o
jest w prognozowa ącej koszty ciśle wypukł
y pewnych sen [2009]
i semimar- emem sta- nież prace preferencji nymi zało- wno strate- cjami uży- yteczności w transak- 2008].
w modelu ważań. Mo-
z dys- nwestowa- nym ryzyka
, równa 0.
własności kcji w port-
wyznaczana alny, nato-
płynności ła na zbio-
gdzie fun mamy tu
Celem tówki tak aby w teczności ściśle rosn
Pona dla pewne
2. Istnien
Inwe będzie odz g
Defin
gdzie o ces
nie i całko
Za pr Lemat 2.1 Lemat 2.2
Lemat 2.3
gdzie s nkcja
m inwestora , prz w chwili
nąca, ściśle w
adto zakładam
ego fu
nie i jedyno
estor, który w dtąd stosowa gotówkąniujemy funk
oznacza rodz jest p owalne dla w
racą [Çetin i 1. Funkcje 2. Dla
3. Dla
są wypukłym
) jest wypu a jest maksym
zy czym w ch posiadać
opis wklęsła oraz
my, że unkcja
ość strategi
w chwili p ał strategiękcje wartośc
zinę tych pro prognozowa wszystkich
Rogers, 200 są wklęsłe i fun
ora
mi sprzężenia
ok ukłym sprzęż malizacja uż
hwili inw jedynie gotó sująca prefe
spełnia waru
j
ii optymaln
posiada kwoti
ocesów, dla k alny, dla
. Z
07] przytacza i rosnące ze w
kcje wartośc
az
mi zdefini
kreślona dla żeniem funkc żyteczności k westor likwidu
ówkę. Zakła erencje inwe unki Inady:
, dla dow est rosnąca.
nych
tę gotówk, zakończy
których . F Zauważmy, ż
amy następuj względu na ci spełniają r
, ,
iowanymi jak
a (d
cji . końcowego z
uje pozycję w adamy, że fun stora jest ni
olnych
ki i sztuk y inwestycje
, Funkcje te są
że
jące wyniki.
i prawie równanie Bel
, ma
ko
dla zasobu go-
w akcjach, nkcja uży- iedodatnia,
, oraz
akcji oraz w chwili
(1) oraz pro- ą niedodat-
na pewno.
llmana (2) amy
W szczegó Lemat 2.
malne dla Musi strategii o funkcje w w dowodz Lemat 2.
wklęsłe i ś Dowód. Ś skorzystam ściśle wkl kłości :
Ustal . Oz sowymi, d my:
co oznacz Lemat 2.
wyznaczo
ólności, 4. Dla dowo a problemu (1
imy wzmocn optymalnych wartości są ś zie jedyności .5. Dla ściśle rosnąc Ścisła monot my z indukc lęsła dzięki
dla
lmy teraz o znaczając pr dla których o
za ścisłą wklę 6. Dla każde na jednozna
. olnych (1).
nić nieco pow h, potrzebuj ściśle rosnąc i strategii op , fu ce ze względu toniczność j cji wstecznej ścisłej wklęs
,
oraz załóżmy rzez
, gdz osiągnięte je
ęsłość i na ego
cznie.
istni
wyższe wyni emy ich jed ce i ściśle w ptymalnych.
unkcje warto u na obie wsp
est oczywist j. Funkcja słości i mon
, y, że zdołaliś
zie są est supremum
a mocy induk optyma
eją prognozo
iki, ponieważ dyności. Na wklęsłe, co n ości są pr
półrzędne.
ta. W dowod otoniczności
,
, śmy już wyk
,
prognozowa m w (2) dla
kcji kończy d lna strategia
owalne strat
ż dowodząc z ajpierw poka następnie pom
rawie na pew
dzie ścisłej w i oraz ścis
,
, kazać ścisłą alnymi zmie
,
dowód.
a dla problem
tegie opty-
zbieżności ażemy, że może nam wno ściśle
wklęsłości jest słej wypu- , mamy:
, wklęsłość oraz ennymi lo-
, ma-
mu (1) jest
Dowód. W Przypuśćm dwie strat
jest ściś gdzie ściśle rosn
na zbiorze strategii o
3. Zbieżn
Chcą ra będziem cjami uży śniej nał, p nych w p znacznie s jak strateg damy war
Rozp Lemat 3.
mi, że punktami,
Wystarczy po my więc, iż tegie optyma śle wklęsła, d
nąca ze wzgl
e o dodatnim optymalnych
ność strate
ąc rozważać my rozważać ytecznościożyliśmy na liczb poprawnie zd oprzedniej cz strategie opty gie optymalne
runek:
poczniemy od 1. Niech
, że
okazać jedyn dla pewnego alne , dla każdego
lędu na , ot
m prawdopod .
gii optyma
zbieżność st ć ciąg inwes, , a . Używ
naturalnych definiowane s
zęści własno ymalne maks e zachowują
d następując , dla
ność optyma o
, że m . Stąd, ora trzymujemy:
dobieństwie.
alnych
trategii optym storów, któryspełniającym wamy tu ja
z dodaną ni są funkcje w ościach, jak r ymalizujące się przy zbie
cego technicz , będą ,
. Niech
alnej strategi oraz e
mamy:
az korzystają
Ta sprzeczno
malnych, zam ych preferenc mi te same z ako indeksó
ieskończonoś wartości ,
również istni wyrażenie eżnych prefer
znego lematu ą takimi fun
oraz ponadto
i w rów m .
ąc z faktu, że
ość dowodzi
miast jednego cje będą opis założenia, kt
w elementó ścią. Stąd, dl
eją wyznacz rencjach, a za
u.
nkcjami ściśl
, , bę
wnaniu (2).
mamy takie Ponieważ
e jest
i jedyności
o inwesto- sane funk- tóre wcze- ów zbioru
la każdego , o opisa- one jedno- . Pytamy, atem zakła-
(3)
e wklęsły- ędą takimi
Wówczas Dowód. U
jest pr cym . P niemal jed dostateczn wszystkic
więc zatem
W do pracy Kab zbieżnego ro Lemat 3.
giem zmie ciąg ciągu
Oto g Lemat 3.
problemu
Dowód. Z indukcją w
Dla upros
Zauważm strony ma
istnieje taki p Ustalmy
rzedziałem z Ponieważ ci dnostajnie [R nie dużych
ch . St
. . owodzie głó banova i Stri o podciągu
ozumiemy zb .2. [Kabanov
ennych losow , że .
główny wyni 3. Niech (1) z funkcja
Zaczniemy o wsteczną ze
szczenia zapi
my, że funkcj amy:
przedział zwa i niech zwartym. Nie
ąg , jako Rockafellar i
warunek tąd, dla takic
Biorąc pod
ównego twier ickera [2001
zmiennych biór wszystk v i Stricker,
wych, że e dla wszyst
ik pracy.
or ami użyteczn
od wykazani względu na
isu definiujem
je te posiada
arty , że
ech będzi ciąg ciągłyc i Wets, 1998 k
ch oraz
uwagę wklę
rdzenia wyk ], mówiący losowych, kich zmienny 2001]. Niec tkich ciąg
raz ności ,
ia zbieżnośc
my losowe,
ają ściśle wk
dla d
e przedziałe ch funkcji w 8; Corollary m
ęsłość, mam
korzystamy t o możliwośc
który cytu ych losowych ch
.
g jest
oznaczają st . Wówcz
i funkcji wa . Dla
-mierzalne
klęsłe wersje
dostatecznie d
m zwartym wklęsłych, zb 7.18, s. 254]
spełniony amy
my także
także słynny ci mierzalneg ujemy poniż h o wartościa będzie Wówczas is zbieżnym p
trategie opty zas
artości. Posłu jest oczyw
e funkcje:
e. Dla
dużych . . Zbiór zawierają- biega do
], więc dla y jest dla
,
y rezultat z go wyboru żej. Przez ach w .
takim cią- stnieje taki
odciągiem
ymalne dla
użymy się wiste, że:
z jednej
Przec wprost, że dopodobie de
Z naszego natomiast
Ta sprzecz przednio Indukcja d
Przej wklęsłe fu prawdziw
Zdef . Z Poka zbieżny d mamy taki losow zmiennej optymalna
Ponie że
z ciągu zbieżny d
ciwna nierów e
eństwie.
efiniujemy zd
o przypuszc t na zbiorach
zność pokazu wykazaną n dowodzi zbie jdziemy tera
oraz za unkcje , wy jest warun
finiujmy - auważmy, że ażemy, że z
do . Nie
dla do wy podciąg
losowej . a dla inwesto
eważ strateg wybrać po
do na
wność będz Określmy darzenia:
zenia oraz z h , dla
uje, że nierówności eżności funk az do dowod
auważmy, ż , zatem na m nek
mierzalne zd e
dowolnego ech będzi ostatecznie d
, Z pierwszej ora oraz z
gia optymaln . Powtarzają odciąg z
itd. Jako
zie wymagał na z y nieuj
, któr
założenia ind mamy:
ą mamy kcji wartości
du zbieżnośc że skoro zmi mocy lematu
darzenia oraz podciągu ci e dowolnym dużych , w
że ciąg j części twie
niemal jedn
na jest wyzna ąc powyższe zbieżny do
rezultat otrzy
ła więcej pr zbiorze
emną ra jest dodatn
dukcyjnego
dla
ci strategii o ienne
3.1. dla praw
ągu m
m podciągiem więc z lematu jest zbi erdzenia, teg ostajnej zbie
aczona jedno e rozumowa
na ymamy pew
racy. Przypu o dodat zmienną nia na . Dl
mamy
p.n., więc . optymalnych
maksymaliz wie wszystki
, . można wybra
m . Na z
u 3.2. możem ieżny na go, że strateg eżności otrzy
oznacznie, o anie, możem , z niego p wien podciąg
uśćmy nie tnim praw-
losową la każdego
,
wraz z po- p.n.
h. Ustalmy zują ściśle ich
dla ać podciąg zbiorze my wybrać
do pewnej gia jest ymujemy:
oznacza to, my kolejno
podciąg zbież-
ny prawie nego pod do ,
i kończy d
4. Wynik
W tej rycznych.ważamy t oraz cena dopodobie
. Za Przyjmuje uważmy, kosztów t
gdzie Przypadek (
funkcji uż względna wartość b
W ta inwestora pejskiej o . Z [Çetin i R choćby ró rynku bez trajektorii
e na pewno d ciągu ciągu
oznacza to, ż
dowód twier
ki numeryc
ej części zilus . W dalszymtrzyokresow a akcji w
eństwem (stat akładamy, że emy parame
że
transakcyjny
jest para k graniczny
). Rozpocz żyteczności
awersja do ezwzględnej
abelach 1 i 2 a chcącego z opcji sprzeda Zwracamy uw Rogers, 2007
óżne wartośc z kosztów tra i cen.
do na z
możem że:
dzenia.
czne
strujemy pow m ciągu, wzor
wy ( )
chwilach tystycznym) e rachunek pi
etry
, a więc m ch. Przyjmuj
ametrem, a im odp zynamy nasz
typu CARA ryzyka) [Fö j awersji do r
przedstawio zabezpieczyć aży (put) z ce
wagę, iż war ]. Zawarte ta ci w kolumn ansakcyjnych
zbiorze my wybrać p
wyższe rozw rując się na model dwum
m lub spaść ieniężny rośn
,
model nie dop jemy funkcję
m większa je powiada rynk
ze rozważan A (constant a öllmer i Schi
ryzyka:
ono wartości ć w sposób o eną wykonan rtości te różn am wartości nach ora h zabezpiecz
pełnej m podciąg zbie
ważania rezul pracy [Çetin mianowy. Z może w wzros
do z
nie w każdym , puszcza arbit ę kosztów tra
ego wartość, kowi bez ko nia od jedno absolute risk ied, 2004], g
optymalnej optymalny k
nia i
nią się od ty są niepopraw az dla zenie opcji n
miary. Skoro eżny prawie
ltatami oblicz n i Rogers, 2 Zakładamy, ż
snąć do prawdopodo m okresie o c
, trażu nawet p ansakcyjnych
tym wyższe osztów trans oparametrow k aversion – gdzie
ilości akcji krótką pozycj i terminem w ych podanyc
wne, o czym , podcz nie powinno z
o z dowol- na pewno
zeń nume- 2007], roz-
że z praw-
obieństwem czynnik .
. Za- przy braku h postaci:
są koszty.
sakcyjnych ej rodziny
stała bez- wyznacza
w portfelu ję w euro- wykonania ch w pracy m świadczą zas gdy na
zależeć od
Tabela 1.
α 0,05 5·10-5 0
Tabela 2.
α 0,05 5·10-5 0
Użyt funkcją uż
dla niedodatni modelowa otrzymuje akcji w o opcji sprz nowej fun przez Tabela 3.
β 0,1 0,5 0,9 0,99
1
Tabela 4.
β 0,1 0,5 0,9 0,99
1
Niech nansowym
Optymalne za
t = 0 -0,200 -0,337 -0,337
Optymalne za
t = 0 -0,160 -0,768 -0,772
teczność typ żyteczności p
,
ią funkcją uż ać dużo szer emy model ze optymalnym
zedaży z cen nkcji użytec
. Optymalne za
t = 0 -0,165 -0,194 -0,200 -0,200 -0,200
Optymalne za
t = 0 -0,147 -0,153 -0,158 -0,159 -0,160
h C oznacza m. Definiując
abezpieczenie
u -0,186 -0,216 -0,216
abezpieczenie
u -0,190 -0,630 -0,629
pu CARA za postaci:
. Jest to k żyteczności.
rszy wachlar e stałą awers portfelu zab ną wykonan
zności, na r
abezpieczenie
u
-0,163 -0 -0,184 -0 -0,186 -0 -0,186 -0 -0,186 -0
abezpieczenie
u
-0,189 -0 -0,190 -0 -0,190 -0 -0,190 -0 -0,190 -0
a wypłatę los c:
dla
d u -0,415 -0,0 -0,725 -0,0 -0,726 -0,0
dla
d u
-0,258 -0,1 -1,228 -0,4 -1,231 -0,4
astąpimy ter
kombinacja w Mając do d rz zachowań sją do ryzyka bezpieczający
nia i
rynku z kosz
dla ,
d uu 0,295 -0,11 0,386 -0,10 0,411 -0,09 0,414 -0,09 0,415 -0,09
dla ,
d uu 0,210 -0,13 0,233 -0,13 0,253 -0,13 0,258 -0,13 0,258 -0,12
sową związan
u ud
095 -0,239 098 -0,594 098 -0,595
uu ud
129 -0,167 489 -1,065 491 -1,075
raz nieco ba
wypukła funk dyspozycji trz
inwestora, p a. Tabele 3 i
ym krótką p terminem w ztami transak
u ud
11 -0,174 02 -0,222 96 -0,237 95 -0,239 95 -0,239
u ud
38 -0,149 34 -0,158 30 -0,165 30 -0,167 29 -0,167
ną z wycenia
du 9 -0,319 4 -0,594 5 -0,595
du 7 -0,198 5 -1,069 5 -1,075
ardziej skom
kcji typu CAR zy parametry
przy czym d 4 przedstaw pozycję w eu wykonania
kcyjnymi ok
du -0,224 -0,297 -0,316 -0,318 -0,319
du -0,159 -0,178 -0,195 -0,198 -0,199
anym instrum
dd -0,450 -1,144 -1,146
dd -0,228 -1,715 -1,732
mplikowaną
RA z inną, y, możemy
dla wiają liczbę
uropejskiej dla kreślonymi
dd -0,280 -0,410 -0,445 -0,450 -0,450
dd -0,168 -0,197 -0,222 -0,228 -0,228
mentem fi-
za cenę in bę rzeczyw
Rys.
w funkcji Kolejne k tość , o opcji. Zau spełnia w rametrach
Rys. 1. Cen
nstrumentu fi wistą
1 i 2 przed parametru krzywe odpo odpowiadając uważmy, że wymaganych
h rynku nawe
na opcji put jako
finansowego , która speł
dstawiają wyk , przy owiadają
ca mniejszej w przypadk przez nas w et wówczas z
o funkcja param
(utility in łnia warunek
kresy cen ,
awersji do ku graniczny warunków In
zachowanie c
metru β: γ = 5
ndifference p k:
europ oraz odpow , pr ryzyka, odp
ym o
nady, jednakż cen opcji poz
price) przyjm
ejskiej opcji wiednio
rzy czym wy powiada niż otrzymana fu że przy przy zostaje regul
miemy licz-
sprzedaży i . yższa war- ższej cenie
unkcja nie yjętych pa-
larne.
Rys. 2. Cena opcji put jako funkcja parametru β: γ = 1
Podsumowanie
Wykorzystanie wypukłej funkcji kosztów transakcyjnych, zaproponowane przez Çetina i Rogersa [2007], jest interesującym i efektywnym sposobem mo- delowania efektów związanych z ograniczeniami płynności. Głównym wyni- kiem niniejszej pracy jest twierdzenie 3.3 pokazujące, że w modelu tym strategie optymalne zmieniają się w sposób ciągły wraz z preferencjami inwestorów. Wynik ten uzasadnia możliwość stosowania technik aproksymacji numerycznej w wyzna- czaniu strategii optymalnych oraz wycenie instrumentów finansowych opartej na funkcji użyteczności.
Literatura
Carassus L., Rásonyi M. (2007), Optimal strategies and utility-based prices converge when agents’ preferences do, „Mathematics of Operations Research”, Vol. 32 (1).
Çetin U., Rogers L.C.G. (2007), Modeling liquidity effects in discrete time, „Mathemati- cal Finance”, Vol. 17 (1).
Föllmer H., Schied A. (2004), Stochastic Finance. An Introduction in Discrete Time, 2nd edition, „De Gruyter Studies in Mathematics”, No. 27, Walter de Gryter & Co., Berlin.
Jouini E., Napp C. (2004), Convergence of utility functions and convergence of optimal strategies, „Finance and Stochastics”, Vol. 8 (1).
Kabanov Y., Stricker C. (2001), A teachers’ note on no-arbitrage criteria, [w:] Séminai- re de Probabilités, XXXV, „Lecture Notes in Math”, Vol. 1755, Springer, Berlin.
Kardaras C., Žitković G. (2011), Stability of the utility maximization problem with ran- dom endowment in incomplete markets, „Mathematical Finance”, Vol. 21 (2).
Kucharski R. (2006), Convergence of optimal strategies in a discrete time market with finite horizon, „Applicationes Mathematicae”, Vol. 33 (1).
Kucharski R. (2008), Convergence of optimal strategies under proportional transaction costs [w:] Ł. Stettner (ed.), Advances in mathematics of finance, No. 83 in Banach Center Publications, Polish Academy of Sciences, Institute of Mathematics, Warsaw.
Larsen K. (2009), Continuity of utility-maximization with respect to preferences, „Ma- thematical Finance”, Vol. 19 (2).
Larsen K., Žitković G. (2007), Stability of utility-maximization in incomplete markets,
„Stochastic Processes and their Applications”, Vol. 117 (11).
Rockafellar R.T., Wets, R.J.-B. (1998), Variational analysis, Vol. 317 of „Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften” [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], Springer-Verlag, Berlin.
Rogers L.C.G., Singh S. (2004), Modelling liquidity and its effects on price, Technical Report, Cambridge University.
CONVERGENCE OF OPTIMAL STRATEGIES ON FINANCIAL MARKETS WITH LIQUIDITY CONSTRAINTS
Summary: In this paper we consider the model of financial market described by Çetin and Rogers [2007], where strictly convex transaction costs are used to model the effects of liquidity constraints. We were able to improve results of that paper, proving uniqu- eness of optimal strategies and their continuity with respect to investors’ preferences.
Keywords: transaction costs, optimal strategies, liquidity, pricing.
