Statystyka matematyczna 4. Wªasno±ci estymatorów
w. 4.1 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ losow¡ prost¡ z rozkªadu wykªadniczego E(λ).
Poka», »e estymator ˆg(X1, . . . , Xn) = 2n1
n
P
i=1
Xi2 jest nieobci¡»onym i mocno zgod- nym estymatorem wariancji rozkªadu E(λ). Wyznacz bª¡d ±redniokwadratowy tego estymatora.
w. 4.2 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu U(0, θ).
a) Dla jakiego α estymator ˆ
g1(X1, . . . , Xn) = αXn:n
parametru θ jest estymatorem nieobci¡»onym?
b) Porównaj (w sensie bª¦du ±redniokwadratowego) estymator ˆg1(X1, . . . , Xn) z in- nym estymatorem nieobci¡»onym parametru θ postaci
ˆ
g2(X1, . . . , Xn) = 2 n
n
X
i=1
Xi.
w. 4.3 Niech X1, . . . , Xn b¦dzie prób¡ prost¡ z rozkªadu E 1λ
, λ > 0. Niech ˆ
g1(X1, . . . , Xn) = ¯Xn, ˆg2(X1, . . . , Xn) = cX1:n, c > 0,
b¦d¡ estymatorami parametru λ. Dobierz parametr c tak, aby ˆg2 byª nieobci¡»ony i wówczas porównaj bª¦dy ±redniokwadratowe obu estymatorów.
w. 4.4 Niech ˆθn : Rn → [0, 1],
θˆn(x1, . . . , xn) = n −Pn
i=11{m}(xi) n
b¦dzie estymatorem parametru θ = 1−pmrozkªadu dwumianowego B(m, p). Poka»,
»e bª¡d ±redniokwadratowy estymatora ˆθn w punkcie θ jest równy 1npm(1 − pm).
w. 4.5 Poka», »e ci¡g {ˆθn}, gdzie
θˆn : (0, ∞)n→ (0, ∞), θˆn(x1, . . . , xn) = exp
− n
x1+ . . . + xn
,
jest mocno zgodnym ci¡giem estymatorów parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o rozkªadzie wykªadniczym.
w. 4.6 X1, X2, . . . , Xn jest prób¡ prost¡ z rozkªadu Poissona P (λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R \ N
θˆn= n +Pn
k=11{2}(Xk) n − a
jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2). Dla jakich a estymator ten jest nieobci¡»ony?
