Funkcje uwikłane, tw. o funkcji odwrotnej.
1. Sprawdzić, czy odwzorowanie f :R2 →R2 jest lokalnie odwracalne w otoczeniu punktu (0, 0) (czy można coś powiedzieć o globalnej odracalności?)
(i)f(x, y) = (x + x2+y2, x2+y2+y), (ii) f(x, y) = (x2− y2− x, y),
(iii) f(x, y) = (2x + y, x − y), (iv) f(x, y) = (x + 2y, 2x + 4y), (v) f(x, y) = (x2, y).
2. Obliczyć jakobiany przekształceń f : D ⊂ R2 → V ⊂ R2. Znaleźć przekształcenia odwrotne do nich oraz określić zbiory V = f(D).
(i)f(x, y) = (12(x + y),12(x − y)), D = {(x, y) : 1 x 2, −x y 4 − x}, (ii) f(x, y) = (x, y√
x), D = {(x, y) : 0 x 1, 0 y √ x}, (iii) f(x, y) = (x, x − y), D = {(x, y) : 0 x 1, x − 1 y x}, (iv) f(x, y) = (2x + 3y, x − y), D = {(x, y) : x2 +y2 1}.
3. Sprawdzić, które z odwzorowań z zadania 1 są regularne.
4. Sprawdzić, które z odwzorowań z zadania 2 (określone na zbiorze IntD) są regularne.
5. Znaleźć y i y dla funkcji uwikłanych podanymi równaniami w podanych punktach:
(i)x2− xy + 2y2+x − y − 1 = 0, (0, 1), (ii) tg(x + y) − xy − 1 = 0, (0,π4),
(iii) 2siny + sinx − 3xy + x − 1 = 0, (0,π6), (iv) y+2xy−1 + 3xy − 2 = 0, (0, 2).
6. Znaleźć y i y dla funkcji uwikłanych podanymi równaniami:
(i)Ax2 +Bxy + Cy2+Dx + Ey + F = 0, (ii) x − y + lny = 0,
(iii) ln√
x2+y2 =α arc tg yx,α = 0, (iv) 1 +xy − ln(exy+e−xy) = 0.
7. Obliczyć pochodne czastkowe pierwszego rz edu dla funkcji z = f(x, y) danej równaniami: (i)zez =xex+yey,
(ii) yez+ze3x = 0, (iii) e3z +xy + z = 0,
(iv) cos(x + y + z) = −(x + y + z),
(v) x2+y2+z2 = 2z (dodatkowo znaleźć: zxx ), (vi) x2+y3+z4 =x + z (dodatkowo znaleźć: ∂x∂y∂2z ).
8. Znaleźć punkty, w których styczna do krzywej x2+y2+ 2x − 2y = 2 jest równoległa do osi
(i)Ox, (ii) Oy.
9. Funkcja y(x) jest funkcj¸a określon¸a równaniem x2 +y2 + 2axy = a, a > 1. Wykazać, że
d2y
dx2 = 0; wyjaśnić otrzymany wynik.
10. Funkcja z(x, y) określona jest równaniem x2+y2+z2 =ϕ(ax + by + cz), gdzie ϕ - dowolna Arkusz 1
funkcja różniczkowalna i a, b, c, dowolne stałe. Wykazać, że (cy − bz)∂z
∂x + (az − cx)∂z
∂y =bx − ay.
11. Wykazać, że funkcja z(x, y) określona równaniem F (xz,yz) = 0, gdzie F jest dowoln¸a funkcj¸a różniczkowaln¸a dwóch zmiennych, spełnia równanie:
xzx+yzy =z.
12. Znaleźć ekstrema lokalne wszystkich funkcji y = y(x) uwikłanych równaniami:
(i)x3− yx2+y3− y2 = 0, (ii) x2+ 2xy + y2− 4y = 14, (iii) x2+y2− 8x − 4y + 19 = 0, (iv) x5+y4− 4xy2 = 0,
(v) x3+ 2xy + x2 = 0, (vi) x3+y3− 12xy = 0.
13. Znaleźć ekstrema lokalne wszystkich funkcji z(x, y) uwikłanych równaniami:
(i) (x2+y2+z2)2 =a(x2 +y2− z2), gdzie a - parametr rzeczywisty, (ii) x2+y2+z2− 2x − 2y − 2z + 2 = 0,
(iii) 6(x2+y2+z2) =−4(x − 2y − 2z) − 5, (iv) z2 +xyz − xy2− x3 = 0,
(v) xa22 +yb22 +zc22 = 1,gdzie a, b, c = 0, (vi) x2+y2− z2 = 0.
14. Wykazać, że układ równań
xeu+v+ 2uv = 1, yeu−v− 1+vu = 2x.
daje sie rozwikłać wzgl edem (u, v) w ten sposób, że u(1, 2) = 0 i v(1, 2) = 0. Znaleźć macierz pochodnej odwzorowania (x, y) → (u(x, y), v(x, y)).
15. (*) Niech dane bed a funkcje y = y(x), z = z(x), u = u(x) uwikłane nast epuj acym układem:
x + y + z + u = a, x2+y2+x2+u2 = b2, x3+y3+z3+u3 = c3 Wyznaczyć: y, z,u.
Arkusz 2
