• Nie Znaleziono Wyników

Udowodnić, że jeśli n jest liczbą naturalną dodatnią, to n |Pn−1 j=1 j3 wtedy i tylko wtedy, gdy n 6≡ 2 (mod 4)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Udowodnić, że jeśli n jest liczbą naturalną dodatnią, to n |Pn−1 j=1 j3 wtedy i tylko wtedy, gdy n 6≡ 2 (mod 4)"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Matematyka dyskretna Zestaw 3

Kongruencje

1. Udowodnić, że jeśli n jest liczbą całkowitą taką, że 3 - n, to 3 | n4+ n2+ 1.

2. Udowodnić, że 3 | 22n− 1 dla każdej liczby naturalnej n.

3. Udowodnić, że liczba 108+ 1 jest podzielna przez 17.

4. Udowodnić, że liczba 109+ 1 jest podzielna przez 19.

5. Udowodnić, że jeśli n jest liczbą naturalną dodatnią, to n | Pn−1 j=1 j wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą nieparzystą.

6. Udowodnić, że jeśli n jest liczbą naturalną dodatnią, to n |Pn−1 j=1 j3 wtedy i tylko wtedy, gdy n 6≡ 2 (mod 4).

7. Rozwiązać następujące kongruencje.

(1) 3 · x ≡ 4 (mod 7) (2) 27 · x ≡ 25 (mod 256) (3) 2 · x ≡ 37 (mod 21) (4) 10 · x ≡ 15 (mod 35) (5) 3 · x ≡ 7 (mod 18)

8. Rozwiązać następujące układy kongruencji.

(1) x ≡ 3 (mod 4), x ≡ 2 (mod 7), x ≡ 1 (mod 9) (2) x ≡ 20 (mod 33), x ≡ 33 (mod 40)

(3) x ≡ 4 (mod 9), 62 · x ≡ 102 (mod 154)

(4) 2 · x ≡ 1 (mod 3), 3 · x ≡ 1 (mod 4), 5 · x ≡ 4 (mod 7)

9. Udowodnić, że liczba całkowita p > 1 jest pierwsza wtedy i tylko wte- dy, gdy (p − 1)! ≡ −1 (mod p). (Fakt ten nosi nazwę Twierdzenia Wilsona) 10. Udowodnić, że jeśli p jest liczbą pierwszą i p ≡ 1 (mod 4), to istnieje liczba całkowita n taka, że p | n2+ 1.

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

Dla dodatniej liczby naturalnej n znaleźć wzór na największą potęgę liczby pierwszej p dzielącą n!4. Rozłożyć na czynniki pierwsze

Przez cały referat K będzie ustalonym

(Fakt ten nosi nazwę Twierdzenia

Pokaż też, że powyższe twierdzenie nie działa w drugą stronę, to znaczy znajdź ciąg {a n } który nie jest zbieżny, chociaż {|a n |}

Rozwiązania zadań należy starannie uzasadniać i wpisać do zeszytu zadań domowych.. Proszę wybrać

(a) 101 jest dzielnikiem liczby hki wtedy i tylko wtedy, gdy k jest liczbą parzystą.. (b) Wyznacz te liczby naturalne k, dla

Udowodnić, że średnia arytmetyczna tych liczb jest równa n+1 r