o ile k ≤ n, i 0 je´sli k &gt

1. Podstawowe schematy kombinatoryczne

Wariacje z powt´orzeniami. ZaÃl´o˙zmy, i˙z mamy zbi´or n elementowy A. W´owczas liczba k-elementowych ciag´ow o wyrazach ze zbioru A wynosi n · n · . . . · n = n_, ^k.

Wariacje bez powt´orze´n. ZaÃl´o˙zmy, i˙z mamy zbi´or n elementowy A. W´owczas liczba k-elementowych r´o˙znowarto´sciowych ciag´ow o wyrazach ze zbioru A wynosi_, n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) = n!/(n − k)!, o ile k ≤ n, i 0 je´sli k > n.

Permutacje. Sa to wariacje n-elementowe zbioru n-elementowego: inaczej, s_, a_, to ustawienia element´ow zbioru w ciag. Ich liczba wynosi n!._,

Kombinacje. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze mamy zbi´or n elementowy A. W´owczas liczba k- elementowych podzbior´ow zbioru A wynosi¡_n

k

¢, gdzie µn

k

¶

= ( n!

k!(n−k)! je´sli k ≤ n,

0 w p.p.

2. Rys historyczny Motywacje:

- gry hazardowe,

- zjawiska masowe (statystyki urodze´n i zgon´ow).

- aksjomatyka KoÃlmogorowa, 1933 r.

3. PrzykÃlady prostych modeli probabilistycznych: dyskretnych i ciagÃlych_,

Przypu´s´cmy, ˙ze wykonujemy eksperyment losowy. Powstaje natychmiast pyta- nie: w jaki spos´ob opisa´c go matematycznie?

Przede wszystkim, na pewno mo˙zemy m´owi´c o jego potencjalnych wynikach:

zdarzenia elementarne to mo˙zliwe wyniki tego eksperymentu. Zbi´or wszystkich zdarze´n elementarnych oznaczamy litera Ω. Zdarzenie elementarne oznaczamy li-_, tera ω._,

1. Rzut moneta: mo˙zliwe dwa wyniki: Ω = {O, R}. |Ω| = 2._,

2. Rzut kostka: mo˙zliwe sze´s´c wynik´ow: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. |Ω| = 6._,

3. Rzut dwiema kostkami, patrzymy na sume oczek: Ω = {2, 3, . . . , 12}. Za-_, uwa˙zmy, ˙ze, intuicyjnie, wyniki nie sa jednakowo prawdopodobne. Suma 2 zdarza_, sie tylko gdy wypadÃly dwie 1; a np. suma 7 zdarza si_, e, gdy wypadnie 3 i 4, 4 i 3, 2_, i 6, itp. |Ω| = 11.

4. Z talii kart losujemy 5 kart. Wynikiem jest 5-cioelementowa kombinacja zbioru kart; zatem Ω to zbi´or piecioelementowych podzbior´ow zbioru 52-elementowego._,

|Ω| =¡₅₂

5

¢.

5. Rzucamy igÃle na st´oÃl i mierzymy k_, at jaki tworzy z wybran_, a kraw_, edzi_, a stoÃlu._, Wynik to liczba z przedziaÃlu [0, 2π). Ω = [0, 2π). Jest to przykÃlad ciagÃlego_, do´swiadczenia losowego.

4. σ-ciaÃla

Zdarzenia. Czesto nie interesuje nas konkretny wynik ω, ale to, czy nale˙zy_, on do wcze´sniej ustalonego podzbioru A zbioru Ω. Takie podzbiory A nazywamy zdarzeniami.

PrzykÃlad: Przy rzucie kostka, mo˙ze nas np. interesowa´c A = {1, 3, 5} - zdarze-_, nie polegajace na tym, ˙ze wypadÃla nieparzysta liczba oczek._,

Je´sli ω - wynik, A - zdarzenie, to:

- je´sli ω ∈ A, to m´owimy, ˙ze zaszÃlo A bad´z ˙ze ω sprzyja A._,

- je´sli ω /∈ A, to m´owimy, ˙ze nie zaszÃlo A, bad´z ˙ze zaszÃlo zdarzenie przeciwne,_, zdefiniowane jako A⁰ = Ω \ A. A⁰ nazywamy te˙z dopeÃlnieniem zbioru A.

Mp., w przykÃladzie z kostka mo˙ze interesowa´c nas wyrzucenie nieparzystej liczby_, oczek, bad´z w przykÃladzie z tali_, a kart, mo˙ze nas interesowa´c zdarzenie: ,,wyloso-_, wali´smy co najmniej 2 asy”.

Szczeg´olne zdarzenia, interpretacje dziaÃla´n/relacji na zdarzeniach:

Ω - zdarzenie pewne,

∅ - zdarzenie niemo˙zliwe,

A ∩ B - zaszÃly oba zdarzenia A, B,

A ∩ B = ∅ - zdarzenia sie wykluczaj_, a (s_, a rozÃl_, aczne),_, A ∪ B - zaszÃlo A lub B,

A⁰ - nie zaszÃlo A,

A \ B = A ∩ B⁰ - zaszÃlo A i nie zaszÃlo B, A ⊆ B - A pociaga za sob_, a B._,

Przypu´s´cmy, ˙ze mamy Ω i chcemy zdefiniowa´c sensowna klas_, e zdarze´_, n (cokolwiek to znaczy). Naturalny pomysÃl: rozwa˙za´c 2^Ω- wszystkie mo˙zliwe podzbiory; czasem jednak ta klasa jest zbyt du˙za i nie da sie na niej dobrze pracowa´c._,

Rozsadna klasa zdarze´_, n powinna by´c zamknieta na branie sumy, iloczynu i zda-_, rzenia przeciwnego. To prowadzi do pojecia ciaÃla oraz σ-ciaÃla._,

Definicja 1. Rodzine F podzbior´ow Ω nazywamy σ-ciaÃlem, je´sli_, (i) ∅ ∈ F,

(ii) A ∈ F ⇒ A⁰∈ F, (iii) A1, A2, . . . ∈ F ⇒

[∞ n=1

An∈ F.

5. Intuicja wiodaca do okre´slenia prawdopodobie´_, nstwa - czesto´s´_, c zdarze´n

We´zmy przykÃlad z moneta. Je´sli rzucamy (t_, e sam_, a) monet_, a wiele razy, to ocze-_, kujemy (i rzeczywi´scie tak bywa), ˙ze orzeÃl pojawi sie w przybli˙zeniu w poÃlowie_, przypadk´ow. Tak wiec ,,cz_, esto´sciowo”, prawdopodobie´_, nstwo wypadniecia orÃla to_, 1/2. Teraz og´olniej: zaÃl´o˙zmy, ˙ze wykonujemy eksperyment, w kt´orym zbi´or zdarze´n elementarnych to Ω oraz A jest zdarzeniem. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze powtarzamy ekperyment n razy i definiujemy

ρn(A) = liczba zaj´s´c A

n .

Nazywamy te liczb_, e cz_, esto´sci_, a zdarzenia A. Gdy n jest du˙ze, spodziewamy si_, e,_,

˙ze ρn(A) powinno z grubsza m´owi´c o prawdopodobie´nstwie A.

Sp´ojrzmy na wÃlasno´sci ρn:

(i) 0 ≤ ρn(A) ≤ 1, (ii) ρn(Ω) = 1,

(iii) A ∩ B = ∅ ⇒ ρn(A ∪ B) = ρn(A) + ρn(B).

Uwaga: Po˙zyteczna wÃlasno´s´c: ρn(A) = 1 − ρn(A⁰).

ChciaÃloby sie teraz okre´sli´c prawdopodobie´_, nstwo A jako limn→∞ρn(A). KÃlopot:

nie wiemy, czy granica istnieje.

Mo˙ze wiec z drugiej strony: zdefiniowa´c prawdopodobie´_, nstwo jako funkcje, kt´ora_, ma wszystkie wÃlasno´sci (i) – (iii).

6. Aksjomatyka KoÃlmogorowa

Niech (Ω, F) - ustalone. W´owczas funkcje P : F → [0, 1] nazywamy prawdopo-_, dobie´nstwem, je´sli

(i) 0 ≤ P(A) ≤ 1, (ii) P(Ω) = 1,

(iii) je´sli A1, A2, . . . ∈ F sa parami rozÃl_, aczne, to_, P

Ã_∞ [

n=1

An

!

= X∞ n=1

P(An).

Tr´ojke (Ω, F, P) nazywamy przestrzeni_, a probabilistyczn_, a._, 7. PrzykÃlady

1. Rzut symetryczna monet_, a: Ω = {O, R}, F = 2_, ^Ω = {{O}, {R}, Ω, ∅}, P({O}) = 1/2, P({R}) = 1/2, P(Ω) = 1, P(∅) = 0.

2. Rzut niesymetryczna monet_, a: Ω = {O, R}, F = 2_, ^Ω, P({O}) = p, P({R}) = 1 − p, P(Ω) = 1, P(∅) = 0. Tutaj p jest pewna ustalon_, a liczb_, a z przedziaÃlu [0, 1]._,

3. Rzut kostka: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, F = 2_, ^Ω, P(A) = |A|/6.

4. Schemat klasyczny (prawdopodobie´nstwo klasyczne). ZaÃl´o˙zmy, ˙ze Ω jest zbiorem sko´nczonym, F = 2^Ωi wszystkie zdarzenia elementarne sa jednakowo_, prawdopodobne. W´owczas, jak Ãlatwo sprawdzi´c, dla A ∈ F,

P(A) = |A|

|Ω|.

5. Z talii 52 kart losujemy jednocze´snie pie´c kart. Jakie jest prawdopodo-_, bie´nstwo, ˙ze wylosujemy cztery asy?

Jak ju˙z wiemy, Ω to piecioelementowe kombinacje zbioru talii kart. Intuicja_, podpowiada, i˙z zdarzenia elementarne sa r´ownoprawdopdobne, a wi_, ec sensownym_, prawdopodobie´nstwem na Ω jest prawdopodobie´nstwo klasyczne.

Niech A - te podbiory, w kt´orych sa cztery asy:_,

A = {{A♣, A♦, A♥, A♠, ∗} : ∗ − jedna z pozostaÃlych 48 kart}.

Takich podzbior´ow jest 48. A wiec |A| = 48, |Ω| =_, ¡₅₂

5

¢.

6. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze Ω = {ω1, ω2, . . . , ωn, . . .} - zbi´or co najwy˙zej przeliczalny oraz p1, p2, . . . - liczby nieujemne o sumie 1. W´owczas mo˙zemy okre´sli´c F = 2^Ω oraz

P({wi}) = pi, i = 1, 2, . . .. W´owczas, dla A ∈ F,

P(A) =X

i

1A(wi)pi,

gdzie 1Ato funkcja wska´znikowa (charakterystyczna) bad´z indykator zbioru A, dany_, przez

1A(x) =

(1 je´sli x ∈ A, 0 je´sli x /∈ A.

7. Prawdopodobie´nstwo geometryczne. W wielu sytuacjach, kt´orymi bedziemy_, sie zajmowa´c, do´swiadczenie losowe ma charakter ci_, agÃly. Najprostszym przykÃladem_, jest losowanie punktu ze zbioru Ω, le˙zacego na prostej (lub na pÃlaszczy´znie, czy_, og´olniej w przestrzeni Rⁿ) i majacego sko´_, nczona dÃlugo´s´c (pole powierzchni, miar_, e)._, Zbiorem takim mo˙ze by´c np. odcinek, koÃlo, kwadrat, kula, sze´scian. Zgodnie z intuicja naturalnie jest przyj_, a´c, i˙z prawdopodobie´_, nstwo zdarzenia A ⊆ Ω jest pro- porcjonalne do jego miary, czyli

P(A) = |A|

|Ω|,

gdzie | · | oznacza miare zbioru. Pojawia si_, e tu pewien techniczny problem, mia-_, nowicie jak zdefiniowa´c σ-ciaÃlo F? Okazuje sie, ˙ze nie mo˙zna w naturalny spos´ob_, okre´slic dÃlugo´sci, pola powierzchni, czy objeto´sci na wszystkich podzbiorach Ω, nie_, mo˙zemy wiec przyj_, a´c F = 2_, ^Ω i musimy sie ograniczy´c do mniejszego σ-ciaÃla. Z_, reguÃly w takich sytuacjach rozpatruje sie tzw. σ-ciaÃlo borelowskie B(Ω), zdefinio-_, wane jako najmniejsze σ-ciaÃlo zawierajace wszystkie zbiory otwarte w Ω. Tak, np._, losowanie punktu z koÃla Ω o promieniu r, mo˙zna opisa´c przy pomocy przestrzeni probabilistycznej (Ω, B(Ω), P), gdzie dla A ∈ B(Ω),

P(A) = |A|

πr².

W podobny spos´ob mo˙zemy r´ownie˙z opisa´c losowanie punktu np. z okregu czy_, sfery.

8. Podstawowe wÃlasno´sci prawdopodobie´nstwa

Poni˙zej sformuÃlujemy kilka podstawowych fakt´ow dotyczacych prawdopodobie´_, nstwa.

Przyjmujemy, ˙ze (Ω, F, P) jest ustalona przestrzeni_, a probabilistyczn_, a._,

Twierdzenie 1. Niech A, B,, A1, A2, . . . ∈ F. W´owczas (i) P(∅) = 0.

(ii) Je´sli A1, A2, . . . , An sa parami rozÃl_, aczne, to_, P

à _n [

i=1

A_i

!

= Xn

i=1

P(A_i).

(iii) P(A⁰) = 1 − P(A).

(iv) je´sli A ⊆ B, to P(B \ A) = P(B) − P(A), (v) je´sli A ⊆ B, to P(A) ≤ P(B).

(vi) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

(vii) P Ã_∞

[

i=1

Ai

!

≤ X∞

i=1

P(Ai).

Dow´od. Ile starczy czasu. ¤

Twierdzenie 2 (Wz´or wÃlacze´_, n i wyÃlacze´_, n). Je´sli A1, A2, . . . , An sa zdarzeniami,_, to

P(A1∪ A2∪ . . . ∪ An) = Xn i=1

P(Ai) −X

i<j

P(Ai∩ Aj) + . . . + (−1)ⁿ⁺¹P(A1∩ A2∩ . . . ∩ An).

Definicja 2. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze A1, A2, . . . jest ciagiem zdarze´_, n. M´owimy, ˙ze ciag ten_, jest wstepuj_, acy, je´sli_,

A1⊆ A2⊆ A3⊆ . . . oraz ˙ze jest zstepuj_, acy, je´sli_,

A1⊇ A2⊇ A3⊇ . . . .

Twierdzenie 3 (ReguÃla ciagÃlo´sci). ZaÃl´o˙zmy, ˙ze (A_, n)^∞_n=1 jest ciagiem zdarze´_, n.

(i) Je´sli ciag ten jest wst_, epuj_, acy, to_,

n→∞lim P(An) = P Ã_∞

[

n=1

An

! . (ii) Je´sli ciag ten jest zst_, epuj_, acy, to_,

n→∞lim P(An) = P Ã_∞

\

n=1

An

! .

9. Prawdopodobie´nstwo warunkowe

W praktyce z reguÃly jeste´smy zainteresowani nie tyle pojedynczym zdarzeniem, co kilkoma zdarzeniami i ich wzajemnymi zwiazkami._,

PrzykÃlady 1. Na podstawie ankiety przeprowadzonej na pewnym zbiorze klient´ow (oznaczmy go litera Ω) firma fonograficzna posiada dane na temat ich gust´ow mu-_, zycznych. Przypu´s´cmy, ˙ze kierownictwo jest zainteresowane pytaniem jak czesto_,

fani jazzu lubia tak˙ze muzyk_, e klasyczn_, a. Je´sli przez J oznaczymy zbi´or tych an-_, kietowanych, kt´orzy sa fanami jazzu, a przez K zbi´or tych ankietowanych, kt´orzy_, sa fanami muzyki klasycznej, interesuj_, aca nas cz_, esto´s´c jest r´owna_,

|J ∩ K|

|J| =|J ∩ K|/|Ω|

|J|/|Ω| .

Zauwa˙zmy, ˙ze wyra˙zenia w liczniku i mianowniku to czesto´sci poszczeg´olnych zbior´ow_, liczone wzgledem caÃlego zbioru Ω._,

2. Przypu´s´cmy, ˙ze suma oczek przy dw´och rzutach kostka wynosi 4. Nie znamy_, jednak wynik´ow poszczeg´olnych rzut´ow. Jaka jest szansa, ˙ze przy pierwszym rzucie wypadÃly dwa oczka (zdarzenie A)?

Informacja, kt´ora posiadamy oznacza, ˙ze zaszÃlo zdarzenie B = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}._, Intuicja podpowiada nam, ˙ze ka˙zde z trzech sprzyjajacych mu zdarze´_, n elementar- nych powinno by´c tak samo prawdopodobne, a zatem szukane prawdopodobie´nstwo powinno wynosi´c 1/3 (dw´ojce przy pierwszym rzucie sprzyja tylko jedno zdarzenie elementarne z B). Podobnie uwa˙zamy, ˙ze wszystkie zdarzenia elementarne na prze- strzeni

Ω = n

(a, b) : a, b ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}

o ,

opisujacej dwa rzuty kostk_, a, s_, a jednakowo prawdopodobne. Zatem naturalnym mo-_, delem dla naszego do´swiadczenia jest (Ω, 2^Ω, P), gdzie P jest prawdopodobie´nstwem klasycznym

P(C) = |C|

36, dla C ⊆ Ω.

Zauwa˙zmy teraz, ˙ze

1

3 =1/36

3/36 = P(A ∩ B) P(B) .

Powy˙zsze przykÃlady motywuja nast_, epuj_, ac_, a definicj_, e_,

Definicja 3. Niech A, B bed_, a dwoma zdarzeniami, przy czym P(B) > 0. Praw-_, dopodobie´nstwem warunkowym zdarzenia A pod warunkiem zdarzenia B nazywamy liczbe_,

P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) .

Uwaga Piszac P(A|B) milcz_, aco zakÃladamy, ˙ze P(B) > 0._,

Przy ustalonym zbiorze B, prawdopodobie´nstwo warunkowe P(A|B) jako funkcja zbioru A ∈ F speÃlnia aksjomaty KoÃlmogorowa. W konsekwencji posiada wiec_, wszystkie wÃlasno´sci prawdopodobie´nstwa wprowadzone w paragrafie 8.

Twierdzenie 4 (Wz´or Ãla´ncuchowy). Dla dowolnych zdarze´n A1, . . . , An, speÃlniajacych_, warunek

P(A1∩ A2∩ . . . ∩ An−1) > 0, zachodzi

P(A1∩A2∩. . .∩An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) · · · P(An|A1∩A2∩. . .∩An−1).

PrzykÃlad Losujemy po kolei trzy karty bez zwracania. Jakie jest prawdopodo- bie´nstwo, ˙ze wylosujemy trzy asy?

Niech A_i, i = 1, 2, 3, oznacza prawdopodobie´nstwo, ˙ze i-ta wylosowan_, a kart_, a jest_, as. Wiemy, ˙ze P(A1) = 4/52. Je´sli pierwsza wylosowana kart_, a jest as, to przed_, drugim losowaniem w talii znajduja si_, e trzy asy. Poniewa˙z tym razem losujemy_, spo´sr´od 51 kart, mamy

P(A2|A1) = 3 51. Analogicznie

P(A3|A1∩ A2) = 2 50. Stosujac Twierdzenie 4, otrzymujemy_,

P(wylosujemy trzy asy) = P(A1∩ A2∩ A3) = 4 52· 3

51· 2 50

Modele probabilistyczne sa cz_, esto zadane poprzez specyfikacj_, e prawdopodobie´_, nstw warunkowych interesujacych nas zdarze´_, n pod warunkiem innych zdarze´n, kt´orych prawdopodobie´nstwa znamy. W takich sytuacjach przydatny jest tzw. wz´or na prawdopodobie´nstwo caÃlkowite. Zanim go sformuÃlujemy, wprowad´zmy nastepuj_, ac_, a_, definicje._,

Definicja 4. Rozbiciem przestrzeni Ω nazywamy dowolna rodzin_, e zdarze´_, n {Hi}i∈I, taka ˙ze H_, i∩ Hj = ∅ dla i 6= j orazS

i∈IHi= Ω.

Je´sli zbi´or indeksujacy I jest sko´_, nczony (odp. przeliczalny) to rozbicie nazywamy sko´nczonym (odp. przeliczalnym).

Twierdzenie 5 (Wz´or na prawdopodobie´nstwo caÃlkowite). Dla dowolnego sko´nczonego rozbicia {H1, H2, . . . , Hn} zbioru Ω na zbiory o dodatnim prawdopodobie´nstwie i do- wolnego zdarzenia A,

P(A) = Xn i=1

P(A|Hi)P(Hi).

Analogiczny wz´or zachodzi tak˙ze dla rozbicia na przeliczalna liczb_, e zdarze´_, n o dodat- nim prawdopodobie´nstwie.

PrzykÃlad Egzamin ustny przeprowadzany jest przez pan´ow Dobrego i ZÃlego.

Egzamin u pana Dobrego zdaje 90% student´ow, a u pana ZÃlego zaledwie 10%.

Jakie jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze student zda egzamin je´sli prawdopodobie´nstwo,

˙ze trafi do pana Dobrego wynosi 2/3?

Niech D, Z oznaczaja zdarzenia, ˙ze student trafiÃl odpowiednio do pana Dobrego_, lub ZÃlego, za´s OK zdarzenie, ˙ze student zda egzamin. Mamy P(D) = 2/3, P(Z) = 1/3 oraz P(OK|D) = 9/10, P(OK|Z) = 1/10. Zatem

P(OK) = P(OK|D)P(D) + P(OK|Z)P(Z) = 9 10 ·2

3+ 1 10·1

3 =19 30.

Kolejne twierdzenie, blisko zwiazane ze wzorem na prawdopodobie´_, nstwo caÃlkowite, jest bardzo wa˙zne w zastosowaniach.

Twierdzenie 6 (Wz´or Bayesa). Niech {Hi}i∈I bedzie przeliczalnym rozbiciem Ω_, na zdarzenia o dodatnich prawdopodobie´nstwach. W´owczas, dla dowolnego zdarze- nia A o dodatnim prawdopodobie´nstwie, zachodzi

P(Hj|A) = P(A|Hj)P(Hj) P

i∈IP(A|Hi)P(Hi)

PrzykÃlad Samochody sprzedawane przez pewna firm_, e pochodz_, a z dw´och fa-_, bryk, A (40%) oraz B (60%). Co dwudziesty samoch´od z fabryki A zawiera wade_, fabryczna. To samo dotyczy co dziesi_, atego samochodu z fabryki B. Klient ku-_, puje samoch´od, kt´ory okazuje sie by´c wadliwy. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo, ˙ze pochodzi z fabryki A?

Z warunk´ow zadania otrzymujemy, ˙ze P(samoch´od wadliwy|A) = 1

20, P(samoch´od wadliwy|B) = 1 10 P(A) = 4

10, P(B) = 6 10,

gdzie A, B oznaczaja oczywi´scie zdarzenia, ˙ze samoch´od pochodzi z fabryki odpo-_, wiednio A, B. Z wzoru Bayesa otrzymujemy

P(A|samoch´od wadliwy) = P(samoch´od wadliwy|A)P(A)

P(samoch´od wadliwy|A)P(A) + P(samoch´od wadliwy|B)P(B)

= 1/20 · 4/10

1/20 · 4/10 + 1/10 · 6/10 = 1 4.

10. Niezale˙zno´s´c zdarze´n Przypu´s´cmy, ˙ze zdarzenia A, B speÃlniaja warunek_,

P(B|A) = P(B).

(1)

Oznacza to, ˙ze dodatkowa wiedza, ˙ze zaszÃlo zdarzenie A, nie wpÃlywa na prawdo- podobie´nstwo zdarzenia B. Mo˙zna wiec powiedzie´c, ˙ze zdarzenie B jest niezale˙zne_, od zdarzenia A. Powy˙zszy warunek zapisuje sie r´ownowa˙znie jako_,

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

(2)

W szczeg´olno´sci widzimy, ˙ze je´sli (1) zachodzi oraz P(B) > 0, to P(A|B) = P(A),

czyli r´ownie˙z zdarzenie A nie zale˙zy od zdarzenia B. Zapis (2) ma te zalet_, e, ˙ze_, lepiej ni˙z (1) obrazuje symetrie sytuacji, dodatkowo ma sens tak˙ze dla zdarze´_, n o zerowym prawdopodobie´nstwie. Naturalne jest wiec przyj_, a´c nast_, epuj_, ac_, a definicj_, e._, Definicja 5. Zdarzenia A, B nazywamy niezale˙znymi je´sli

P(A ∩ B) = P(A)P(B).

PrzykÃlady 1. Rzucamy kostka. Rozpatrzmy zdarzenia: A - wypadÃla parzysta_, liczba oczek, B - liczba wyrzuconych oczek jest mniejsza ni˙z 5, C - liczba wyrzuco- nych oczek jest mniejsza ni˙z 6. Oczywi´scie P(A) = 1/2, P(B) = 2/3, P(C) = 5/6.

Zdarzenia A i B sa niezale˙zne natomiast zdarzenia A i C nie s_, a niezale˙zne. Rze-_, czywi´scie

P(A ∩ B) = P(wypadÃly 2 lub 4 oczka) = 1

3 = P(A)P(B), P(A ∩ C) = P(A ∩ B) =1

3 6= P(A)P(C).

2. W ramach nagrody firma wykupiÃla dla pracownik´ow dwa rodzaje wycieczek, w g´ory i nad morze. W´sr´od 12 pracownik´ow rozdzielono w spos´ob losowy 8 wycieczek nad morze, z czego dwie w lipcu, a sze´s´c w sierpniu oraz cztery wycieczki w g´ory, jedna w lipcu i trzy w sierpniu. Niech M oznacza zdarzenie, ˙ze ustalony pracownik_, wylosuje wycieczke nad morze, za´s L - zdarzenie, ˙ze ten sam pracownik wylosuje_, termin lipcowy. Mamy P(M ) = 8/12, p(L) = 3/12 oraz P(M ∩L) = 2/12. Poniewa˙z 8/12 · 3/12 = 2/12, zdarzenia M i L sa niezale˙zne._,

3. Losujemy jedna kart_, e z talii. Zdarzenie A, polegaj_, ace na wylosowaniu karty_, starszej ni˙z walet i zdarzenie B, polegajace na wylosowaniu karty w kolorze trefl s_, a_, niezale˙zne. Rzeczywi´scie, P(A) = 12/52 (wylosowana karta musi byc dama, kr´olem_, lub asem w jednym z czterech mo˙zliwych kolor´ow), P(B) = 1/4 oraz P(A ∩ B) = P(wylosowano dame, kr´ola lub asa trefl) = 3/52 = P(A)P(B)._,

Pytanie Co sie zmieni gdy do talii dodamy jednego jokera (przyjmujemy, ˙ze_, joker nie ma ˙zadnego koloru)?

4. Rzucamy dwa razy moneta. Niech O_, i oznacza zdarzenie, ˙ze w i-tym rzu- cie wypadÃl orzeÃl. Intuicyjnie uwa˙zamy te zdarzenia za niezale˙zne (przynajmniej zakÃladajac, ˙ze osoba rzucaj_, aca monet_, a nie oszukuje). W klasycznym modelu pro-_, babilistycznym dla monety symetrycznej, gdy prawdopodobie´nstwo ka˙zdej z czte- rech sekwencji (O, O), (O, R), (R, O), (R, R) wynosi 1/4, Ãlatwo sprawdzi´c (por. z poprzednim przykÃladem), ˙ze rzeczywi´scie tak jest (P(O1∩ O2) = P(O1)P(O2)).

Zastan´owmy sie wi_, ec jak zdefiniowa´c prawdopodobie´_, nstwo P na zbiorze Ω = {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)},

tak aby prawdopodobie´nstwo wyrzucenia orÃla wynosiÃlo p (zar´owno w pierwszym, jak i drugim rzucie), a zdarzenia O1, O2nadal byÃly niezale˙zne. Musimy w tym celu ustali´c cztery liczby p(O,O), p(O,R), p(R,R), p(R,R). Chcemy aby

P({(O, O), (O, R)}) = P({(O, O), (R, O)}) = p oraz P({(O, O)}) = p²,

skad dostajemy r´ownania_,

p(O,O)+ p(O,R)= p(O,O)+ p(R,O)= p p(O,O)= p².

Zatem p_(R,O)= p_(R,O) = p(1 − p). Poniewa˙z p_(O,O)+ p_(O,R)+ p_(R,O)+ p_(R,R)= 1, ostatecznie dostajemy

p(O,O)= p²

p_(O,R)= p_(R,O) = p(1 − p) p_(R,R)= (1 − p)²

Mo˙zna r´ownie˙z m´owi´c o niezale˙zno´sci wiekszej liczby zdarze´_, n. Definicja okazuje sie jednak bardziej skomplikowana._,

Definicja 6. Zdarzenia A1, . . . , An nazywamy niezale˙znymi, je´sli P(A_i1∩ A_i2∩ . . . ∩ A_ik) = P(A_i1) · P(A_i2) · . . . · P(A_ik), (3)

dla dowolnych wska´znik´ow 1 ≤ i1< i2< . . . < ik ≤ n, k = 2, 3, . . . , n.

PrzykÃlady

1. Losujemy liczbe od 1 do 90. Rozwa˙zmy zdarzenia A - wylosowana liczba jest_, podzielna przez 2, B - wylosowana liczba jest podzielna przez 3, C - wylosowana liczba jest podzielna przez 5. W´owczas, jak Ãlatwo sprawdzi´c

P(A) =1

2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/5 oraz

P(A ∩ B) = 1

6 = P(A)P(B) P(A ∩ C) = 1

10 = P(A)P(C) P(B ∩ C) = 1

15 = P(B)P(C) P(A ∩ B ∩ C) = 1

30 = P(A)P(B)P(C).

Zdarzenia A, B, C sa zatem niezale˙zne._,

2. Mo˙zna sie zastanawia´c, czy powy˙zej musieli´smy sprawdza´c prawdopodo-_, bie´nstwa wszystkich czterech iloczyn´ow zbior´ow. Okazuje sie, ˙ze tak, co ilustruje_, nastepuj_, acy przykÃlad._,

Trzech wsp´oÃllokator´ow (Bartek, Czarek i Darek) decyduje sie odda´c butelki do_, skupu. Zadanie wymaga udziaÃlu dw´och os´ob. Przygotowuja wi_, ec cztery losy_, {Bartek, Czarek, Darek, Za tydzie´n}, aby zadecydowa´c czy dw´och z nich zda bu- telki, a wylosowany zostanie w domu, czy te˙z odÃlo˙za problem na przyszÃly tydzie´_, n.

Rozwa˙zmy zdarzenia

B = {Bartek, Za tydzie´n} - Bartek zostanie w domu C = {Czarek, Za tydzie´n} - Czarek zostanie w domu D = {Darek, Za tydzie´n} - Darek zostanie w domu.

Zauwa˙zmy, ˙ze prawdopodobie´nstwo ka˙zdego ze zdarze´n B, C, D wynosi 1/2. Po- nadto

P(B ∩ C) = 1

4 = P(B)P(C) P(B ∩ D) = 1

4 = P(B)P(D) P(C ∩ D) =1

4 = P(C)P(D).

Zatem ka˙zde dwa spo´sr´od zdarze´n B, C, D sa niezale˙zne. Zdarzenia A, B, C nie s_, a_, jednak niezale˙zne, gdy˙z

P(B ∩ C ∩ D) = P({Za tydzie´n}) = 1 4 6= 1

8 = P(B)P(C)P(D).

W takiej sytuacji m´owimy, ˙ze zdarzenia B, C, D sa niezale˙zne parami._,

Twierdzenie 7. Rozwa˙zmy zdarzenia A1, A2, . . . , An i oznaczmy A⁰_i = Ai, A¹_i = A⁰_i. W´owczas nastepuj_, ace warunki s_, a r´ownowa˙zne,_,

(i) zdarzenia A1, . . . , An sa niezale˙zne,_,

(ii) dla ka˙zdego ciagu ε_, 1, . . . , εn, gdzie εi ∈ {0, 1} (i = 1, . . . , n), zdarzenia B1= A^ε₁¹, . . . , Bn= A^ε_nⁿ, sa niezale˙zne,_,

(iii) dla ka˙zdego ciagu ε_, 1, . . . , εn, gdzie εi∈ {0, 1} (i = 1, . . . , n), zachodzi P(A^ε₁¹∩ . . . ∩ A^ε_nⁿ) = P(A^ε₁¹) · . . . · P(A^ε_nⁿ)

W szczeg´olno´sci, z powy˙zszego twierdzenia wynika, ˙ze je´sli zdarzenia A, B sa_, niezale˙zne, to niezale˙zne sa tak˙ze zdarzenia A_, ⁰, B⁰. Fakt ten pozwala upro´sci´c nieco rachunki w przykÃladzie 4 powy˙zej.

11. Schemat Bernoulliego

Definicja 7. Schematem Bernoulliego nazywamy ciag niezale˙znych powt´orze´_, n tego samego do´swiadczenia, w kt´orym sa mo˙zliwe dwa wyniki: jeden z nich nazywamy_, sukcesem (i prawdopodobie´nstwo jego zaj´scia oznaczamy przez p), a drugie - pora˙zka_, (jego prawdopodobie´nstwo wynosi q = 1 − p). Pojedyncze do´swiadczenie nazywamy pr´oba Bernoulliego._,

Schemat Bernoulliego jest jednoznacznie okre´slony przez podanie liczby pr´ob (oznaczanej dalej litera n) i prawdopodobie´_, nstwa sukcesu p. Mo˙zna te˙z rozpa- trywa´c schematy Bernoulliego z niesko´nczona liczb_, a pr´ob._,

PrzykÃlady:

1. Rzucamy 10 razy prawidÃlowa monet_, a. Pr´ob_, a Bernoulliego jest pojedynczy_, rzut moneta, jako sukces przyjmujemy wyrzucenie orÃla. Mamy n = 10, p = 1/2._,

2. Rzucamy 5 razy prawidÃlowa kostk_, a. Pr´ob_, a Bernoulliego jest pojedynczy rzut_, kostka, jako sukces przyjmujemy wyrzucenie co najwy˙zej 2 oczek. Mamy n = 5,_, p = 1/3.

3. Z urny, w kt´orej znajduje sie 5 biaÃlych i 4 czarne kule, losujemy 20 razy ze_, zwracaniem po 2 kule. Pr´oba Bernoulliego jest pojedyncze losowanie dw´och kul,_, jako sukces bierzemy wylosowanie dw´och biaÃlych kul. Mamy n = 20, p =¡₅

2

¢/¡₉

2

¢.

ÃLatwo jest poda´c przestrze´n probabilistyczna modeluj_, ac_, a schemat Bernoulliego_, skÃladajacego si_, e z n pr´ob i prawdopodobie´_, nstwie sukcesu p. Mianowicie,

Ω = {(a1, a2, . . . , an) : ai∈ {0, 1}, i = 1, 2 . . . , n},

gdzie ai = 1 (odp., ai = 0) interpretujemy jako sukces (odp., pora˙zke) w i-tej pr´obie,_, i = 1, 2, . . . , n. Ponadto, bierzemy F = 2^Ω. Aby okre´sli´c prawdopodobie´nstwo na (Ω, F), wystarczy okre´sli´c je na zdarzeniach jednoelementowych (patrz przykÃlad 6 ze strony 3). KÃladziemy

P({(a1, a2, . . . , an)}) = p^Pni=1ai(1 − p)^n−Pni=1an.

Stad Ãlatwo wynika, i˙z prawdopodobie´_, nstwo uzyskania dokÃladnie k sukces´ow w schemacie Bernoulliego skÃladajacego si_, e z n pr´ob wynosi_,

µn k

¶

p^k(1 − p)^n−k. PrzykÃlady:

1. Rzucamy 10 razy kostka. Jakie jest prawdopodobie´_, nstwo tego, ˙ze sz´ostka wypadnie raz lub dwa razy?

Mamy tu do czynienia ze schematem Bernoulliego skÃladajacego si_, e z 10 pr´ob._, Pr´oba Bernoulliego jest pojedynczy rzut kostk_, a, a sukcesem jest wyrzucenie 6 oczek;_, zatem p = 1/6. Wobec tego

P(sz´ostka wypadnie raz lub dwa razy) = P(jeden sukces) + P(dwa sukcesy)

= µ10

1

¶ µ1 6

¶₁µ 5 6

¶₉ +

µ10 2

¶ µ1 6

¶₂µ 5 6

¶₈ . 2. Dany jest schemat Bernoulliego skÃladajacy si_, e z n pr´ob, o prawdopodo-_, bie´nstwie sukcesu p. Jaka jest najbardziej prawdopodobna liczba sukces´ow?

Oznaczmy

pk = P(mamy dokÃladnie k sukces´ow) = µn

k

¶

p^k(1 − p)^k. Mamy

pk+1

pk

=

¡ _n

k+1

¢p^k+1(1 − p)^n−(k+1)

¡_n

k

¢p^k(1 − p)^n−k = (n − k)p (k + 1)(1 − p).

Powy˙zsze wyra˙zenie jest wieksze ni˙z 1 wtedy i tylko wtedy, gdy k < (n + 1)p − 1;_, jest za´s mniejsze ni˙z 1 wtedy i tylko wtedy, gdy k > (n + 1)p − 1. Innymi sÃlowy, do momentu k = (n + 1)p liczby p_k rosna, a potem malej_, a. Daje to nast_, epuj_, ac_, a_, odpowied´z. Je´sli (n + 1)p jest liczba caÃlkowit_, a, to dwie liczby sukces´ow s_, a najbar-_, dziej prawdopodobne: (n + 1)p − 1 oraz (n + 1)p. Je´sli za´s (n + 1)p nie jest liczba_, caÃlkowita, to najbardziej prawdopodobn_, a liczb_, a sukces´ow jest b(n + 1)pc._,

W przypadku, gdy liczba pr´ob w schemacie Bernoulliego jest du˙za, oblicza- nie prawdopodobie´nstwa danej liczby sukces´ow jest kÃlopotliwe. W przypadku gdy np jest ,,umiarkowane”, dobre przybli˙zenie takiego prawdopodobie´nstwa daje nastepuj_, ace twierdzenie._,

Twierdzenie 8 (Poissona). Je´sli pn ∈ [0, 1], limn→∞npn = λ > 0, to dla k = 0, 1, 2, . . . ,

n→∞lim µn

k

¶

p^k_n(1 − pn)^n−k=λ^k k!e^−λ.

Powstaje naturalne pytanie, na ile powy˙zsze przybli˙zenie jest ,,dobre”. Odpo- wied´z jest zawarta w nastepuj_, acym twierdzeniu._,

Twierdzenie 9 (Oszacowanie bÃledu w przybli˙zeniu poissonowskim). Niech S_, n

oznacza liczbe sukces´ow w schemacie Bernoulliego skÃladaj_, acego si_, e z n pr´ob i praw-_, dopodobie´nstwie sukcesu p. Oznaczmy λ = np. Dla dowolnego zbioru A ⊂ {0, 1, 2, . . .},

¯¯

¯¯

¯P(Sn∈ A) −X

k∈A

λ^k k!e^−λ

¯¯

¯¯

¯≤ λ² n. PrzykÃlady:

1. W urnie znajduje sie 999 czarnych i 1 biaÃla kula. Wyznaczy´c przybli˙zone_, prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze losujac 500 razy ze zwracaniem wylosujemy 2 razy_, biaÃla kul_, e._,

Mamy tu do czynienia ze schematem 500 pr´ob Bernoulliego (z kt´orych ka˙zda to pojedyncze losowanie z urny), o prawdopodobie´nstwie sukcesu p = 1/1000. Liczba

pr´ob n = 500 jest du˙za, λ = np = 1/2 jest umiarkowane, a wiec na mocy twierdzenia_, Poissona, szukane prawdopodobie´nstwo jest w przybli˙zeniu r´owne ^(1/2)_2! ²e^−1/2 = 0, 076 . . . . Ponadto, jak wida´c z powy˙zszego twierdzenia, bÃlad oszacowania jest_, niewiekszy ni˙z λ_, ²/n = 1/2000 = 0, 002.

2. ArtykuÃl liczy 10⁵ znak´ow. Podczas wprowadzania artykuÃlu do komputera, prawdopodobie´nstwo i˙z dany znak zostanie wpisany bÃlednie wynosi 0, 0001. Jakie_, jest prawdopodobie´nstwo, ˙ze w artykule sa co najmniej 2 bÃl_, edy?_,

Widzimy, i˙z mamy do czynienia ze schematem Bernoulliego skÃladajacego si_, e z_, n = 10⁵pr´ob (k-ta z nich odpowiada wprowadzeniu k-tego znaku artykuÃlu). Praw- dopodobie´nstwo sukcesu (wprowadzenia znaku bÃlednie) wynosi p = 0, 0001. Mamy,_, i˙z n jest du˙ze, a λ = np = 10 jest umiarkowane; stad mo˙zemy u˙zywa´c twierdzenia_, Poissona. ÃLatwiej jest pracowa´c ze zdarzeniem przeciwnym do rozwa˙zanego: w artykule jest co najwy˙zej 1 bÃlad. Prawdopodobie´_, nstwo tego zdarzenia wynosi w przybli˙zeniu

10⁰

0! e⁻¹⁰+10¹

1! e⁻¹⁰= 11e⁻¹⁰= 0, 0005 . . . ,

a wiec rozwa˙zane w przykÃladzie prawdopodobie´_, nstwo wynosi okoÃlo 0, 9995. BÃlad_, przybli˙zenia szacuje sie przez λ_, ²/n = 0, 001.

3. Z przedziaÃlu [0, 2] wybieramy losowo 100 punkt´ow. Jakie jest prawdopodo- bie´nstwo tego, ˙ze co najmniej jeden z nich bedzie nale˙zaÃl do odcinka [0, 1/4]?_,

Mamy schemat n = 100 pr´ob Bernoulliego z prawdopodobie´nstwem sukcesu (wpadniecie losowanego punktu do [0, 1/4]) wynosz_, acym p = 1/8. Mamy λ = np =_, 12, 5 i zdarzenie przeciwne do badanego ma w przybli˙zeniu prawdopodobie´nstwo e^−12,5 = 0, 000004 . . .. BÃlad przybli˙zenia szacuje si_, e przez λ_, ²/n = 1, 5625. Wida´c wiec, ˙ze otrzymany wynik jest bezwarto´sciowy. Jest tak dlatego, i˙z λ, w por´ownaniu_, do n, nie jest ,,umiarkowane”.

12. Zmienne losowe jednowymiarowe

Jak ju˙z wiemy, matematycznym opisem do´swiadczenia losowego jest przestrze´n probabilistyczna (Ω, F, P). Czesto jednak nie interesuje nas konkretny wynik ω ∈ Ω,_, ale pewne charakterystyki liczbowe wyniku. Np., przy rzucie dwoma kostkami mo˙ze nas interesowa´c suma oczek; przy niesko´nczonym ciagu rzut´ow monet_, a mo˙ze nas_, interesowa´c numer losowania, w kt´orym orzeÃl pojawiÃl sie po raz pierwszy, itp. In-_, nymi sÃlowy, czesto obiektem naszych zainteresowa´_, n jest pewna funkcja X okre´slona na Ω, przyjmujaca warto´sci rzeczywiste. Przy badaniu takiej funkcji, naturalnym_, pytaniem jest np. pytanie o prawdopodobie´nstwo tego, ˙ze X ≤ a (por. powy˙zsze przykÃlady). W szczeg´olno´sci oznacza to, i˙z ,,X nie przekracza a” jest zdarzeniem, tzn.

X⁻¹((−∞, a]) = {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} ∈ F.

Prowadzi to do nastepuj_, acego poj_, ecia._,

Definicja 8. Funkcje X : Ω → R nazywamy zmienn_, a losow_, a o warto´sciach w R,_, je´sli dla dowolnego a ∈ R zbi´or X⁻¹((−∞, a]) jest zdarzeniem, czyli X⁻¹((−∞, a]) ∈ F.

Uwaga: Gdy Ω jest zbiorem co najwy˙zej przeliczalnym i F = 2^Ω, to ka˙zda funkcja X : Ω → R jest zmienna losow_, a._,

PrzykÃlady:

1. Rzucamy dwa razy kostka, X - liczba wyrzuconych orÃl´ow. Mamy Ω =_, {(O, O), (O, R), (R, O), (R, R)} i X((O, O)) = 2, X((O, R)) = X((R, O)) = 1, X((R, R)) = 0.

2. Rzucamy dwa razy kostka, X - suma oczek. Mamy Ω = {(a, b) : a, b ∈_, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, X((a, b)) = a + b.

3. Z odcinka [0, 3] wybieramy punkt, X - jego odlegÃlo´s´c od najbli˙zszej liczby caÃlkowitej. W´owczas Ω = [0, 3] i dla ω ∈ Ω,

X(ω) =











ω je´sli ω ∈ [0, 1/2],

|ω − 1| je´sli ω ∈ (1/2, 3/2],

|ω − 2| je´sli ω ∈ (3/2, 5/2], 3 − ω je´sli ω ∈ (5/2, 3].

Na zmiennych losowych (okre´slonych na tej samej przestrzeni probabilistycz- nej) mo˙zna wykonywa´c wszelkie (rozsadne...) dziaÃlania: dodawanie, odejmowanie,_, mno˙zenie, dzielenie (o ile nie dzielimy przez 0) i jako wynik otrzymujemy nowe zmienne losowe. Ponadto, je´sli X jest zmienna losow_, a, a f : R → R jest funkcj_, a_, borelowska, to f (X) te˙z jest zmienn_, a losow_, a. Np., je´sli X, Y s_, a zmiennymi loso-_, wymi, to Z1= sin X, Z2= 3 sin X + Y², Z3=_Y^X2+1 tak˙ze sa zmiennymi losowymi._, Przechodzimy teraz do pojecia rozkÃladu zmiennej losowej. Zacznijmy od kilku_, przykÃlad´ow.

1. Rzucamy trzy razy symetryczna monet_, a. Niech X oznacza liczb_, e wyrzuconych_, orÃl´ow. Korzystajac ze schematu Bernoulliego obliczamy, i˙z_,

P(X = 0) = 1

8, P(X = 1) =3

8, P(X = 2) = 3

8, P(X = 3) = 1 8.

Widzimy wiec, ˙ze 0 oraz 3 s_, a przyjmowane z prawdopodobie´_, nstwem 1/8, a 1 i 2 - z prawdopodobie´nstwem 3/8. Wida´c, ˙ze dostajemy pewien rozkÃlad prawdopodo- bie´nstwa na prostej.

Niech teraz Y - liczba wyrzuconych reszek. W´owczas tak samo: 0 oraz 3 sa_, przyjmowane przez zmienna Y z prawdopodobie´_, nstwem 1/8, a 1 i 2 - z prawdopo- dobie´nstwem 3/8. Tak wiec dostajemy to samo prawdopodobie´_, nstwo na prostej.

2. Z koÃla o promieniu 1 losujemy punkt. Niech X oznacza odlegÃlo´s´c tego punktu od ´srodka koÃla. W´owczas X przyjmuje warto´sci z przedziaÃlu [0, 1]. Dla a ∈ [0, 1]

mamy

P(X ∈ [0, a]) =πa² π = a²,

a wiec potrafimy ,,mierzy´c wielko´s´c” przedziaÃl´ow [0, a]. Okazuje si_, e, i˙z podan_, a_, funkcje mo˙zna rozszerzy´c do prawdopodobie´_, nstwa okre´slonego na prostej. Zale˙zy ono oczywi´scie od zmiennej X.

Z powy˙zszych dw´och przykÃlad´ow wida´c, i˙z przy ustalonej zmiennej losowej X, prawdopodobie´nstwo z wyj´sciowej przestrzeni probabilistycznej daje sie ,,przetrans-_, portowa´c” do prawdopodobie´nstwa µX na (R, B(R)). Prowadzi to do pojecia_, rozkÃladu zmiennej losowej.

Definicja 9. RozkÃladem zmiennej losowej rzeczywistej X nazywamy prawdopodo- bie´nstwo µX na (R, B(R)), dane wzorem

µX(A) = P(X ∈ A).

Uwaga: Istnieja r´o˙zne zmienne losowe maj_, ace ten sam rozkÃlad. Por. przykÃlad_, 1 powy˙zej.

PrzykÃlady:

1. Rzucamy raz kostka. niech X oznacza liczb_, e oczek. W´owczas µ_, X jest to prawdopodobie´nstwo skoncentrowane na zbiorze {1, 2, 3, 4, 5, 6}, takie, ˙ze

µX({k}) = 1 6. Tak wiec, dla A ∈ B(R),_,

µX(A) = 1 6

X6 k=1

1A(k).

2. Powy˙zszy rozkÃlad jest przykÃladem rozkÃladu dyskretnego. RozkÃlad na prostej rzeczywistej nazwiemy dyskretnym, je´sli istnieje co najwy˙zej przeliczalny zbi´or S taki, ˙ze µ(S) = 1. RozkÃlad taki jest jednoznacznie wyznaczony przez masy (praw- dopodobie´nstwa) punkt´ow nale˙z_, acych do S (´sci´slej, jednoelementowych podzbior´ow_, S): istotnie, dla dowolnego A ∈ B(R),

µ(A) =X

k∈A

µ({k}).

3. RozkÃlad Bernoulliego B(n, p). Jest to rozkÃlad zmiennej losowej X okre´slonej jako liczba sukces´ow w schemacie Bernoulliego skÃladajacego si_, e z n pr´ob o prawdo-_, podobie´nstwie sukcesu p. Dany jest on poprzez

µ({k}) = µn

k

¶

p^k(1 − p)^n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n.

4. RozkÃlad geometryczny z parametrem p ∈ (0, 1), ozn. Geom(p). Jest to rozkÃlad zmiennej losowej X okre´slonej jako numer pr´oby, w kt´orej sukces pojawiÃl sie po raz pierwszy. Jest to rozkÃlad skoncentrowany na zbiorze {1, 2, . . . , ∞}._, Ponadto, mamy

µX({k}) = (1 − p)^k−1p, k = 1, 2, . . . oraz

µX({∞}) = 1 − X∞ k=1

µX({k}) = 0.

Czasami rozkÃladem geometrzycznym nazywamy rozkÃlad zmiennej Y = X − 1, okre´slony przez

µY({k}) = (1 − p)^kp, k = 0, 1, 2, . . . .

5. RozkÃlad Poissona z parametrem λ > 0, ozn. Pois(λ). Jest to taki rozkÃlad skoncentrowany na liczbach caÃlkowitych nieujemnych, ˙ze

µ({k}) = λ^k k!e^−λ.

Jak wiadomo z twierdzenia Poissona, jest to rozkÃlad graniczny, bed_, acy granic_, a_, rozkÃlad´ow Bernoulliego.

6. PrzykÃlad rozkÃladu ciagÃlego: rozkÃlad jednostajny na odcinku [a, b], ozn. U(a, b)._, ZaÃl´o˙zmy, ˙ze losujemy liczbe X z odcinka [a, b]. W´owczas, z prawdopodobie´_, nstwa

geometrycznego, mamy, dla przedziaÃlu [c, d] ⊂ [a, b], µ_X([c, d]) = P(X ∈ [c, d]) = |[c, d]|

|[a, b]| =d − c b − a =

Z _d

c

1 b − adx =

Z

[c,d]

1 b − adx.

Og´olniej, je´sli A jest borelowskim podzbiorem [a, b], to µX(A) = P(X ∈ A) = |A|

|[a, b]| = 1 b − a|A| =

Z

A

1 b − adx.

Jeszcze og´olniej, gdy A ⊂ R, to bierzemy µX(A) = µX(A ∩ [a, b]).

7. Inny przykÃlad rozkÃladu ciagÃlego. ZaÃl´o˙zmy, ˙ze rzucamy monet_, a, dla kt´orej_, prawdopodobie´nstwo wypadniecia orÃla wynosi 1/3. Dalej, je´sli wypadnie orzeÃl, to_, losujemy punkt X z odcinka [−2, 0), natomiast gdy wypadnie reszka - losujemy punkt X z odcinka [0, 3]. Argumentujac jak w poprzednim przykÃladzie mamy, i˙z_, dla borelowskiego podzbioru [−1, 0),

µX(A) = P(X ∈ A) = Z

A

2 3· 1

3 − 0dx, a dla borelowskiego podzbioru A odcinka [−2, 0),

µX(A) = Z

A

1

3 · 1

0 − (−2)dx.

Og´olnie, gdy A jest podzbiorem borelowskim prostej, to µX(A) =

Z

A

g(x)dx, gdzie

g(x) =







1

6 je´sli x ∈ [−2, 0),

2

9 je´sli x ∈ [0, 3],

0 w pozostaÃlych przypadkach.

Powy˙zsze dwa przykÃlady to przykÃlady rozkÃlad´ow z gesto´sci_, a b_, ad´z rozkÃlad´ow_, ciagÃlych._,

Definicja 10. Zmienna losowa X ma rozkÃlad ciagÃly, je´sli istnieje taka funkcja_, g : R → R+, ˙ze dla dowolnego zbioru A ∈ B(R),

µX(A) = P(X ∈ A) = Z

A

g(x)dx.

W´owczas funkcje g nazywamy g_, esto´sci_, a rozkÃladu zmiennej X b_, ad´z g_, esto´sci_, a zmien-_, nej X.

Uwaga: Gesto´s´c jednoznacznie wyznacza rozkÃlad._, PrzykÃlady - c.d.

8. PrzykÃlad 6 mo˙zemy wiec zapisa´c nast_, epuj_, aco: rozkÃlad jednostajny U(a, b) to_, rozkÃLad z gesto´sci_, a_,

g(x) = 1

b − a1_[a,b](x).

9. RozkÃlad wykÃladniczy z parametrem λ > 0, ozn. Exp(λ). Jest to rozkÃlad z gesto´sci_, a_,

g(x) = λe^−λx1_[0,∞)(x).

10. Standardowy rozkÃlad normalny, ozn. N (0, 1). Jest to rozkÃlad o gesto´sci_, g(x) = 1

√2πe^−x2/2.

Og´olniej, dla a ∈ R oraz σ > 0 definiujemy rozkÃlad normalny o parametrach a, σ² (ozn. N (a, σ²)) jako rozkÃlad o gesto´sci_,

ga,σ²(x) = 1

√2πσexp

³

−(x − a)² 2σ²

´ .

Dodatkowo dla σ = 0, definiujemy N (a, 0) jako rozkÃlad jednopunktowy δ_a (tzw.

delta Diraca w a), zadany wzorem

δa(A) = 1A(a) = (

1 gdy a ∈ A 0 w p.p.

Jak widzimy N (a, σ²) jest rozkÃladem ciagÃlym dla σ > 0 i dyskretnym dla σ = 0._, Uwaga RozkÃlady normalne nale˙za do najwa˙zniejszych rozkÃlad´ow w rachunku_, prawdopodobie´nstwa. Pojawiaja si_, e one niezwykle cz_, esto w zastosowaniach, ze_, wzgledu na fakt, ˙ze wiele wyst_, epuj_, acych w przyrodzie wielko´sci ma rozkÃlad w przy-_, bli˙zeniu normalny. Wykres gesto´sci rozkÃladu normalnego ci_, agÃlego to charaktery-_, styczna krzywa o ksztaÃlcie ,,dzwonu”, znana chocia˙zby z opracowa´n popularnych, gdzie ilustruje np. rozkÃlad wzrostu, wagi, ilorazu inteligencji czy innych cech w po- pulacji. W dalszej cze´sci wykÃladu poznamy tzw. Centralne twierdzenie graniczne,_, kt´ore stanowi matematyczne wyja´snienie faktu pojawiania sie g_, esto´sci normalnej w_, tak wielu, czesto do´s´c odlegÃlych problemach._,

13. Dystrybuanta zmiennej losowej

Jak ju˙z wspomniano w poprzednim rozdziale, z reguÃly jeste´smy zainteresowani zdarzeniami typu {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ a} = {X ≤ a}, gdzie X jest zmienna losow_, a, za´s_, a – liczba rzeczywist_, a. Zdarzenia tego typu maj_, a podstawowe znaczenie dla bada-_, nia zmiennych losowych, w szczeg´olno´sci, jak zobaczymy nieco p´o´zniej, znajomo´s´c prawdopodobie´nstwa P(X ≤ a) dla wszystkich a ∈ R wyznacza jednoznacznie rozkÃlad zmiennej. Dlatego te˙z wprowadza sie nast_, epuj_, ac_, a definicj_, e._,

Definicja 11. Dystrybuanta zmiennej losowej X : Ω → R nazywamy funkcj_, e F_, X: R → [0, 1], dana wzorem_,

FX(t) = P(X ≤ t).

Uwaga. Poniewa˙z dystrybuanta zale˙zy jedynie od rozkÃladu zmiennej losowej X, czasami m´owimy o dystrybuancie rozkÃladu (a nie zmiennej).

PrzykÃlady

1. Dystrybuanta zmiennej X o rozkÃladzie δa (czyli przyjmujacej z prawdopodo-_, bie´nstwem 1 warto´s´c a) jest dana wzorem

FX(t) =

(0 dla t < a 1 dla t ≥ a.

2. Dystrybuanta zmiennej dwupunktowej, przyjmujacej warto´sci 1, −1, ka˙zd_, a z_, prawdopodobie´nstwem 1/2 jest funkcja

F (t) =







0 dla t ∈ (−∞, −1) 1/2 dla t ∈ [−1, 1) 1 dla t ∈ [1, ∞).

3. Je´sli Y jest zmienna o rozkÃladzie wykladniczym z parametrem 1, czyli o_, gesto´sci g_, Y(t) = e^−t1[0,∞)(t), to

F_X(t) = P(Y ≤ t) = Z _t

−∞

g(x)dx = [e^−x1_[0,∞)(x)]^x=t_x=−∞= (1 − e^−t)1_[0,∞)(t).

Powy˙zsze przykÃlady sugeruja, ˙ze dystrybuantami zmiennych losowych mog_, a by´c_, tylko funkcje szczeg´olnego typu. M´owi o tym poni˙zsze twierdzenie.

Twierdzenie 10. Dystrybuanta FXzmiennej losowej X ma nastepuj_, ace wÃlasno´sci:_, (i) FX jest niemalejaca,_,

(ii) limt→∞FX(t) = 1, limt→−∞FX(t) = 0, (iii) FX jest prawostronie ciagÃla.

Uwaga Czasami w literaturze, szczeg´olnie tej nieco starszej, definiuje sie dys-_, trybuante wzorem F_, X(t) = P(X < t) (czyli u˙zywajac ostrej nier´owno´sci). Tak_, zdefiniowana dystrybuanta posiada wÃlasno´sci (i), (ii), ale wlasno´s´c (iii) zostaje zastapiona warunkiem lewostronnej ci_, agÃlo´sci._,

Okazuje sie, ˙ze powy˙zsze twierdzenie mo˙zna odwr´oci´c, mianowicie ka˙zda funkcja_, speÃlniajaca warunki (i)–(iii) jest dystrybuant_, a pewnej zmiennej losowej._,

Twierdzenie 11. Je´sli funkcja F : R → R speÃlnia warunki (i)–(iii), to istnieje przestrze´n probabilistyczna (Ω, F, P) oraz zmienna losowa X : Ω → R, taka ˙ze F jest dystrybuanta X. Co wi_, ecej rozkÃlad zmiennej X jest wyznaczony jednoznacznie._, Zatem w dystrybuancie zmiennej X ,,zakodowane” sa wszystkie informacje o jej_, rozkÃladzie, w szczeg´olno´sci powinni´smy m´oc odczyta´c z niej czy zmienna X ma gesto´s´c albo czy X jest zmienn_, a dyskretn_, a._,

PrzykÃlad

Rozwa˙zmy dyskretna zmienn_, a losow_, a, przyjmuj_, ac_, a warto´sci t_, 1 < t2< . . . < tn, przy czym P(X = ti) = pi (zakÃladamy ˙ze zmienna nie przyjmuje ˙zadnych innych warto´sci, czyliP_n

i=1pi = 1). W´owczas dla t < t1, FX(t) = 0, dla t ≥ tn, FX(t) = 1, za´s dla t ∈ [t1, ti+1], FX(t) =P_i

i=1pi.

W szczeg´olno´sci widzimy, ˙ze FXjest ciagÃla poza punktami t_, ioraz posiada granice lewostronne dla ka˙zdego t ∈ R. Oznaczmy FX(t−) = limx→t−FX(t). Mamy

FX(ti) − FX(ti−) = pi= P(X = ti), oraz dla t /∈ {t1, t2, . . . , tn},

FX(t) − FX(ti) = 0 = P(X = t).

Okazuje sie, ˙ze jest to og´olny fakt._,

Twierdzenie 12. Je´sli FX jest dystrybuanta zmiennej losowej X, to dla t ∈ R_, zachodzi

FX(t−) = P(X < t)