2b(x, y) ∂2u ∂x∂y(x, y

4. Równania różniczkowe cząstkowe liniowe rzędu II

4.1. Postać kanoniczna równania różniczkowego cząstkowego liniowego rzę- du II w R².

Rozważmy równanie różniczkowe cząstkowe liniowe, rzędu drugiego na zbio- rze U ⊂ R² tj. równanie:

(1)

a(x, y)∂²u

∂x²(x, y) + 2b(x, y) ∂²u

∂x∂y(x, y) + c(x, y)∂²u

∂y²(x, y) + d(x, y, u,∂u

∂x,∂u

∂y) = 0, gdzie a, b, c są ciągłe na zbiorze U , d jest funkcją liniową względem u,^∂u_∂x,^∂u_∂y.

Przypomnijmy, że badając zatem typ równania (1) wystarczy zbadać znak wyrażenia δ(x, y) = a(x, y)c(x, y) − b²(x, y). Ponadto,

• równanie jest eliptyczne w punkcie (x, y) ∈ U jeżeli δ(x, y) > 0;

• równanie jest paraboliczne w punkcie (x, y) ∈ U jeżeli δ(x, y) = 0;

• równanie jest hiperboliczne w punkcie (x, y) ∈ U jeżeli δ(x, y) < 0.

Na mocy Twierdzenia 3.1 typ równania jest niezmiennikiem dyfeomorfizmu, dodatkowo, w przypadku równania różniczkowego cząstkowego liniowego rzę- du II w R² zachodzi następujące:

Twierdzenie 4.1. Jeżeli równanie (1) jest obszarze D ⊂ U odpowiednio typu , hiperbolicznego, parabolicznego, eliptycznego, to istnieje odwzorowanie

D 3 (x, y) 7→ (ξ, η) ∈ ˆD takie że, równanie (1) przyjmuje odpowiednio postać:

∂²v

∂ξ² − ∂²v

∂η² + d₁(ξ, η, v, ∂v

∂ξ,∂v

∂η) = 0, w przypadku hiperbolicznym

∂²v

∂η² + d₂(ξ, η, v, ∂v

∂ξ,∂v

∂η) = 0, w przypadku parabolicznym

∂²v

∂ξ² + ∂²v

∂η² + d₃(ξ, η, v,∂v

∂ξ,∂v

∂η) = 0, w przypadku eliptycznym, gdzie v(ξ, η) = u(x, y), d1, d2, d3 są funkcjami liniowymi względem v, ^∂v_∂ξ, ^∂v_∂η. Dowód. Niech ψ : D → ˆD, ψ(x, y) = (ξ(x, y), η(x, y)) = (ξ, η) będzie dyfeomor- fizmem klasy C² między obszarami D, ˆD w R². Przyjmijmy v(ξ, η) = u(x, y).

Wówczas

∂u

∂x = ∂v

∂ξ

∂ξ

∂x +∂v

∂η

∂η

∂x, oraz ∂u

∂y = ∂v

∂ξ

∂ξ

∂y + ∂v

∂η

∂η

∂x

1

Ponadto

∂²u

∂x² = ∂²v

∂ξ²

∂ξ

∂x

!2

+ 2 ∂²v

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂x +∂²v

∂η²

∂η

∂x

!2

+ ∂v

∂ξ

∂²ξ

∂x² +∂v

∂η

∂²η

∂x²,

∂²u

∂x∂y = ∂²v

∂ξ²

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

!

+ ∂²v

∂ξ∂η

∂ξ

∂x

∂η

∂y + ∂ξ

∂y

∂η

∂x

!

+∂²v

∂η²

∂η

∂x

∂η

∂y

!

+∂v

∂ξ

∂²ξ

∂x∂y+∂v

∂η

∂²η

∂x∂y,

∂²u

∂y² = ∂²v

∂ξ²

∂ξ

∂y

!2

+ 2 ∂²v

∂ξ∂η

∂ξ

∂y

∂η

∂y +∂²v

∂η²

∂η

∂y

!2

+∂v

∂ξ

∂²ξ

∂y² + ∂v

∂η

∂²η

∂y². Podstawiając do równania (1) otrzymujemy

∂²v

∂ξ²



a ∂ξ

∂x

!2

+ 2b ∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

!

+ c ∂ξ

∂y

!2



+ ∂²v

∂ξ∂η

"

a ∂ξ

∂x

∂η

∂x

!

+ b ∂ξ

∂x

∂η

∂y + ∂ξ

∂y

∂η

∂x

!

+ c ∂ξ

∂y

∂η

∂y

!#

+∂²v

∂η²



a ∂η

∂x

!2

+ 2b ∂η

∂x

∂η

∂y

!

+ c ∂η

∂y

!2

+ d = 0,

gdzie d jest funkcją liniową względem pochodnych cząstkowych rzędu I funk- cji v. Ponieważ szukamy warunków na ξ oraz η przy, których równanie (1) przyjmuje (w zależności od swojego typu) postać z tezy twierdzenia, zbadajmy kiedy spełnione jest następujące równanie:

(2) a ∂ξ

∂x

!2

+ 2b ∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

!

+ c ∂ξ

∂y

!2

= 0

Precyzyjniej, szukamy równania poziomic funkcji ξ(x, y) (oraz funkcji η(x, y)), dla których zachodzi (2). Poziomice te nazywamy charakterystykami równania (1).

Rozważmy zatem poziomicę ξ(x, y) = const. Ponieważ ψ jest dyfeomorfizmem więc

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

∂η

∂x

∂η

∂y

6= 0 w punktach zbioru D. Zatem _∂x^∂ξ 6= 0 lub ^∂ξ_∂y 6= 0. Załóżmy, że _∂y^∂ξ 6= 0. Wówczas równanie

ξ(x, y) = const

możemy traktować lokalnie jako równanie uwikłane funkcji y(x). Stąd i z twier- dzenia o funkcji uwikłanej

dy dx = −

∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

.

Zatem dzieląc równanie (2) przez ^∂ξ_∂y^2 otrzymujemy

(3) a dy dx

!2

− 2bdy

dx + c = 0

Równanie (3) nazywamy równaniem charakterystycznym równania (1).

Zauważmy, że dla a 6= 0 równanie (3) jest równaniem kwadratowym wzglę- dem ^dy_dx. Ponadto,

∆ = 4b²− 4ac = −4(ac − b²) = −4δ.

Zatem

• dla ∆(x, y) > 0 równanie jest hiperboliczne w punkcie (x, y);

• dla ∆(x, y) = 0 równanie jest paraboliczne w punkcie (x, y);

• dla ∆(x, y) < 0 to równanie jest eliptyczne w punkcie (x, y).

Załóżmy, że a 6= 0 oraz równanie jest hiperboliczne na zbiorze D. Wówczas

(4) dy

dx = 2b −√

∆

2a lub dy

dx = 2b +√

∆ 2a .

Ponadto rozwiązania powyższych równań (funkcje y(x)) spełniają zależności

ξ(x, y) = const η(x, y) = const

Zatem powyższe krzywe są charakterystykami. Stąd też wynika, że równanie typu hiperbolicznego posiada dwie charakterystyki rzeczywiste. Ponadto dla ψ = (ξ, η) otrzymujemy, że równanie (1) w rozważanym przypadku przyjmuje postać

∂²v

∂ξ∂η = ˆd ξ, η, v,∂v

∂ξ,∂v

∂η

!

,

gdzie ˆd jest funkcją liniową względem v, ^∂v_∂ξ, ^∂v_∂η (postać tę nazywamy pierwszą postacią kanoniczną równania typu hiperbolicznego).

Stosując następnie podstawienie

ξ(x, y) = ξ + η˜

˜

η(x, y) = ξ − η,

otrzymujemy, że równanie (1) w przypadku hiperbolicznym ostatecznie przyj- muje postać

(5) ∂²v˜

∂ ˜ξ² − ∂²v˜

∂ ˜η² = d₁ ξ, ˜˜η, ˜v,∂ ˜v

∂ ˜ξ,∂ ˜v

∂ ˜η

!

.

Postać (5) nazywamy postacią kanoniczną równnia hiperbolicznego.

Załóżmy, teraz, że równanie (1) jest paraboliczne na zbiorze D tzn ∆ = 0 dla (x, y) ∈ D. Wówczas

dy dx = b

a

oraz rozwiązanie y(x) spełnia zależność ξ(x, y) = const. Oznacza to, że równa- nie paraboliczne posiada jedną charakterystykę rzeczywistą. Przyjmując η jako dowolną funkcję rzeczywistą klasy C² na zbiorze D i taką, że det Dψ(x, y) 6= 0, dla (x, y) ∈ D rozważając równanie (1) w zmienych ξ, η otrzymujemy, że

a ∂ξ

∂x

∂η

∂x

!

+ b ∂ξ

∂x

∂η

∂y

!

+ b ∂ξ

∂y

∂η

∂x

!

+ c ∂ξ

∂y

∂η

∂y

!

=

∂ξ

∂y −ady dx

∂η

∂x − bdy dx

∂η

∂y + b∂η

∂x + c∂η

∂y

!

=

∂ξ

∂y −ab a

∂η

∂x − bb a

∂η

∂y + b∂η

∂x + c∂η

∂y

!

=

∂ξ

∂y

∂η

∂y(−b² a + c)

!

= 0.

Zatem w przypadku parabolicznym dla ψ = (ξ, η) równanie (1) przyjmuje postać

(6) ∂²v

∂η² = d₂ ξ, η, v,∂v

∂ξ,∂v

∂η

!

.

Postać (6) nazywamy postacią kanoniczną równania parabolicznego.

Załóżmy, na koniec że równanie (1) jest eliptyczne na zbiorze D tzn. ∆ < 0 dla (x, y) ∈ D. Wówczas

(7) dy

dx = 2b − i√

−∆

2a lub dy

dx = 2b + i√

−∆

2a .

Obserwujemy więc, że równanie (1) w przypadku eliptycznym nie posiada rze- czywistych charakterystyk. Zatem, rozwiązania równań (7) są funkcjami sprzę- żonymi o wartościach zespolonych. Przyjmując ξ jako część rzeczywistą, zaś η jako część urojoną rozwiązań można pokazać, że równanie (1) w rozważanym przypdaku przyjmuje postać

(8) ∂²v

∂ξ² + ∂²v

∂η² = d₃ ξ, η, v,∂v

∂ξ,∂v

∂η

!

.

Postać (8) nazywamy postacią kanoniczną równania eliptycznego.



5. Sprowadzanie równań do postaci kanonicznej- PRZYKŁADY Przykład 5.1. Rozważmy równanie

(9) x²∂²u

∂x² − 2xy ∂²u

∂x∂y + y²∂²u

∂y² + 2y∂u

∂y = 0.

Sprowadzimy rówanie (9) do postaci kanonicznej. W tym celu rozważmy rów- nanie charakterystyczne równania (9) tj. równanie postaci

(10) x² dy

dx

!2

+ 2xydy

dx + y² = 0

. Zauważmy, że dla x 6= 0 równość (10) jest równaniem kwadratowym, którego wyróżnik wynosi

∆(x, y) = 4x²y²− 4x²y² = 0.

Zatem równanie (9) jest rónaniem parabolicznym dla (x, y) ∈ R² ( dla x = 0 równanie jest paraboliczne a jego postać jest już postacią kanoniczną).

Wobec powyższego (10) otrzymujemy następujące równanie różniczkowe zwy- czajne

(11) dy

dx = −y x

Zatem charakterystyką równania (9) jest xy = C, gdzie C ∈ R. Stąd ξ(x, y) = xy.

Wobec powyższego dowodu wystarczy przyjąć η jako dowolną funkcję rzeczy- wistą klasy C² na R² i taką, że det

" _∂ξ

∂x

∂ξ

∂y

∂η

∂x

∂η

∂y

#

6= 0. Niech zatem η(x, y) = y.

Wówczas det

" _∂ξ

∂x

∂ξ

∂η ∂y

∂x

∂η

∂y

#

= det

"

y x 0 1

#

6= 0 dla y 6= 0. Ocznaczając u(x, y) = v(ξ, η) otrzymujemy

∂u

∂x = ∂v

∂ξy, oraz ∂u

∂y = ∂v

∂ξx + ∂v

∂η. Ponadto

∂²u

∂x² = ∂²v

∂ξ²y²

∂²u

∂x∂y = ∂²v

∂ξ²yx + ∂²v

∂ξ∂ηy + ∂v

∂ξ,

∂²u

∂y² = ∂²v

∂ξ²x²+ 2 ∂²v

∂ξ∂ηx + ∂²v

∂η². Podstawiając do równania (9) otrzymujemy

η∂²v

∂η² + 2∂v

∂η = 0

stąd

∂²v

∂η² + 2 η

∂v

∂η = 0, dla η 6= 0 jest postacią kanoniczna równania (9).

Zauważmy, że po sprowadzeniu równania do postaci kanonicznej możliwe jest bezpośrednie wyznaczenie rozwiązania równania. Istotnie, z ostatniej rów- ności wynika, że dla η 6= 0

∂v

∂η(ξ, η) = 1

η² + F (ξ), F ∈ C²(R).

Zatem przy założeniu, że η 6= 0 otrzymujemy v(ξ, η) = G(ξ) − F (ξ)

η , F, G ∈ C²(R).

Reasumując rozwiązaniem równania (9) na zbiorze {(x, y) ∈ R² : y 6= 0} jest funkcja

u(x, y) = G(xy) −F (xy) y , gdzie F, G ∈ C²(R).

Uwaga 5.2. Metoda rozwiązywania równania różniczkowego cząstkowego po- legająca na sprowadzeniu równania do postaci kanonicznej a następnie na rozwiązaniu równania w sposób bezpośreni nazywamy metodą charaktery- styk.

Przykład 5.3. Rozważmy równanie

(12) ∂²u

∂x² − 2 sin x ∂²u

∂x∂y − cos²x∂²u

∂y² − cos x∂u

∂y = 0.

Rozwiążemy równanie stasując metodę charakterystyk. Sprowadzimy najpierw rówananie (12) do postaci kanonicznej. Rozważmy równanie charakterystyczne równania

(13) dy

dx

!2

+ 2 sin xdy

dx − cos²x = 0.

Stąd rozważane równanie jest hiperboliczne na całej płaszczyźnie, gdyż

∆(x, y) = 4sin²x + 4cos²x = 4.

Ponadto

dy

dx = − sin x − 1 lub dy

dx = − sin x + 1.

Niech zatem

ξ(x, y) = y − cos x − x η(x, y) = y − cos x + x.

Wówczas przyjmując v(ξ, η) = u(x, y) równanie (12) sprowadzamy do postaci kanonicznej

∂²v

∂ξ∂η = 0.

Stąd

v(ξ, η) = F (ξ) + G(η) F, G ∈ C²(R).

Ostatecznie dla (x, y) ∈ R²

u(x, y) = F (y − cos x − x) + G(y − cos x + x), gdzie F, G ∈ C²(R).