Dla każdej liczby naturalnej n mamy 2nn

Arytmetyka teoretyczna

LISTA 3: Twierdzenie Czebyszewa o liczbach pierwszych.

Twierdzenie Czebyszewa Dla każdej liczby naturalnej n > 1 istnieje liczba pierwsza p taka, że n < p < 2n.

Lemat 1. Dla każdej liczby naturalnej n i liczby pierwszej p, wykładnik, z którym liczba pierwsza p wchodzi do rozwini¸ecia liczby n! na czynniki pierwsze jest równy

α =h

n p

i +h

n p²

i +h

n p³

i + . . . .

Lemat 2 (zadanie na indukcj¸e). Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 5 mamy

2n n



< 4ⁿ⁻¹.

Lemat 3 (zadanie). Dla każdej liczby naturalnej n mamy ²ⁿ_n
≥ ²_2n²ⁿ.

Wskazówka : 2n2n n



= 2 1 3 1

4 2 5

2 · ... ·2n − 2 n − 1

2n − 1 n − 1

2n n

2n

n > 2²ⁿ. Lemat 4 (zadanie). Dla każdej liczby rzeczywistej x liczbah

2xi

− 2h xi ma wartość 0 lub 1.

Lemat 5. Czynniki pierwsze liczby ²ⁿ_n
wi¸eksze od√

2n wyst¸epuj¸a w jej rozwini¸eciu z wykładnikiem 1.

Lemat 6. Dzieliniki liczby ²ⁿ_n
postaci p^r, gdzie p jest liczb¸a pierwsz¸a, a r wykładnikiem naturalnym, s¸a mniejsze od 2n.

Lemat 7. Dla każdej liczby naturalnej n > 2 i liczby pierwszej p speł- niaj¸acej nierówność ²₃n < p ≤ n, p nie dzieli liczby ²ⁿ_n
.

Lemat 8 (zadanie). Dla każdej liczby naturalnej n > 1 jeśli istniej¸a liczby pierwsze p takie,

(a) że n < p < 2n, to ich iloczyn jest mniejszy od 4ⁿ⁻¹

(Wskazówka: Wykorzystać Lemat 2 i fakt, że dla n < p < 2n zachodzi p| ²ⁿ_n
);

(b) że p ≤ n, to ich iloczyn jest mniejszy od 4ⁿ

(Wskazówka: wykorzystać punkt (a) i indukcj¸e matematyczn¸a).

Lemat 9. Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 14 liczba π(n) wszystkich liczb pierwszych p ≤ n spełnia nierówność π(n) ≤ ⁿ₂ − 1.

1

Lemat 10. Dla liczby każdej naturalnej n > 2, jeśli pomi¸edzy n i 2n nie leży żadna liczba pierwsza, to spełniona jest nierówność ²ⁿ_n
≤ (2n)^π(√2n)·P , gdzie

P = Y

{p : p jest liczb¸a pierwsz¸a i √

2n < p < 2n 3 }.

Lemat 11. Dla każdej liczby naturalnej n ≥ 100 takiej, że nie ma liczb pierwszych pomi¸edzy liczbami n i 2n, spełnione s¸a nierówności:

(a) ²ⁿ_n
< (2n)

√ 2n

2 −1· 4²ⁿ³ ; (b) 2

√2n < (2n)³².

Lemat 12. (a) Dla każdej liczby naturalnej k ≥ 4, mamy 2^k > 3(k + 1);

(b) Dla każdej liczby rzeczywistej x ≥ 4, mamy 2^x > 3x;

(c) Dla każdej liczby rzeczywistej x ≥ 12 mamy 2^x> x³. Lemat 13. Dla liczb naturalnych n ≥ 100 mamy 2

√

2n > (2n)³². Lemat 14. Jeśli n ≥ 100, to pomi¸edzy n i 2n leży liczba pierwsza.

Lemat 15 (zadanie). Jeśli istnieje ci¸ag liczb pierwszych q₁, q₂, . . . , q_n+1 taki, że q₁ = 2 i q_k+1 < 2q_k dla k = 1, 2, . . . , m oraz q_m+1 > 100, to Twierdze- nie Czebyszewa prawdziwe jest dla każdej liczby naturalnej 2 ≤ n ≤ 100.

Zadania na zastosowanie Tw.Czebyzewa.

Zad.1. Pokazać, że dla każdej liczby naturalnej n > 1 istniej¸a co najmniej trzy różne liczby pierwsze maj¸ace w zapisie dziesi¸etnym po n cyfr.

Zad.2. Dla każdej liczby naturalnej n, niech p_n oznacza n-t¸a liczb¸e pier- wsz¸a. Pokazać, że dla dla każdej liczby naturalnej n > 2 mamy p_n+1 <

p1+ p2+ . . . + pn.

Zad.3. Pokazać, że 5 jest jedyn¸a liczb¸a naturaln¸a, która jest sum¸a wszys- tkich liczb pierwszych od niej mniejszych.

Zad.4 Dowieść, że dla n > 1 liczba n! nie jest pot¸eg¸a liczby naturalnej o wykładniku wi¸ekszym niż 1.

2