Geometria z algebrą liniową II, 2020/2021 ćwiczenia 17. – szkice rozwiązań
30 kwietnia 2021
1. (·) Udowodnij, że jeśli v ∈ V , gdzie V jest przestrzenią liniową nad C oraz ξ : V × V → C jest formą hermitowską, to ξ(v, v) ∈ R.
Rzeczywiście, mamy
ξ(v, v) = ξ(v, v),
zatem ξ(v, v) ∈ R.
2. Udowodnij, że A ∈ Mn×n(C) jest macierzą formy półtoraliniowej ξ : V × V → C w bazie {v1, . . . , vn} wtedy i tylko wtedy, gdy A = [aij]1¬i,j¬n, gdzie aij = ξ(vi, vj).
Rzeczywiście jeśli A ∈ Mn×n(C) jest macierzą formy półtoraliniowej ξ, to skoro współrzędne vi i vj w bazie {v1, . . . , vn} to A = [aij]1¬i,j¬n, to same zera z wyjątkiem jedynki odpowiednio na i-tym i j-tym miejscu, więc
ξ(vi, vj) =
n
X
i,j=1
aijxiy¯j= aij· 1 · ¯1 = aij.
W drugą stronę, jeśli A = [aij]1¬i,j¬n, gdzie aij = ξ(vi, vj) oraz (x1, . . . , xn) i (y1, . . . , yn) są współrzęd- nymi w bazie {v1, . . . , vn} wektorów v i w oraz A = [aij]1¬i,j¬n, to rzeczywiście
ξ(v, w) = ξ(
n
X
i=1
xivi,
n
X
j=1
yjvj) = X
1¬i,j¬n
xiy¯jξ(vi, vj) = X
1¬i,j¬n
xiy¯jaij.
3. Niech A będzie macierzą formy półtoraliniowej ξ : V × V → C w bazie A. Udowodnij, że:
a) macierz A jest hermitowska wtedy i tylko wtedy, gdy ξ jest hermitowska, Niech A = [aij].
Jeśli A jest hermitowska, to
ξ(v, w) = X
1¬i,j¬n
xiy¯jaij = X
1¬i,j¬n
xiy¯jaji= X
1¬i,j¬n
¯
xiyjaji= X
1¬i,j¬n
¯
xiyjaji= ξ(w, v).
Jeśli ξ jest hermitowska, to na mocy poprzedniego zadania, aij = ξ(vi, vj) = ξ(vj, vi) = aji.
b) jeśli ξ jest iloczynem hermitowskim, to A jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy A jest diagonalna.
Jasne na mocy poprzedniego zadania.
4. (··) Niech h : C2→ C będzie zadane wzorem h((x1, x2), (y1, y2)) = (ay1− (2 − i)y2)(−ix1+ bx2).
a) Wypisz macierz tej formy w bazie standardowej.
h((x1, x2), (y1, y2)) = −i¯ax1y¯1+ b¯ax2y¯1+ (−1 + 2i)x1y¯2+ (−2 − i)bx2y¯2 Zatem macierz to
−i¯a −1 + 2i b¯a (−2 − i)b
.
1
b) Dla jakich a, b ∈ C h jest formą hermitowską?
Zatem jeśli a = p + iq, b = s + it, to ta forma jest hermitowska, gdy: −i¯a ∈ R, (−2 − i)b ∈ R, b¯a = −1 + 2i = −1 − 2i, czyli p = 0, −2t − s = 0, czyli s = −2t. Zatem a = iq oraz b = −2t + it i zostaje warunek b¯a = −1 − 2i, czyli (1 + 2i)qt = −(1 + 2i), a więc dla ta forma jest hertmitowska dla a = iq, b = 1q(2 − i), q ∈ R \ {0}.
c) Dla jakich a, b ∈ C ta forma jest iloczynem hermitowskim?
Zatem macierz tej formy to
−q −1 − 2i
−1 + 2i −5q
Wyznacznik tej macierzy to 0, więc nie może być to iloczyn hermitowski.
5. Niech hV1, h·, ·i1i i hV2, h·, ·i2i będą przestrzeniami unitarnymi n-wymiarowymi oraz niech ψ : V1 → V2
będzie izomorfizmem liniowym. Niech B1, B2 to będą bazy odpowiednio V1 i V2 oraz niech B1, B2 będą macierzami odpowiednio h·, ·i1 oraz h·, ·i2 odpowiednio w bazach B1 i B2. Niech w końcu, A = M (ψ)BB2
1. Udowodnij, że ψ jest izomorfizmem unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy B1= ATB2A.¯
Jeśli A = [aij]1¬i,j¬n, B1= [bij]1¬i,j¬n oraz B2= [cij]1¬i,j¬n, a także ATB2A = [d¯ ij]1¬i,j¬n, to
dij =
n
X
q=1 n
X
p=1
apicpq¯aqj
ψ jest izomorfizmem unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy hvi, vji1 = hψ(vi), ψ(vj)i2. Po lewej stronie to jest po prostu bij. Za to po prawej stronie to
n
X
p,q=1
cpqxpy¯q,
gdzie (x1, . . . , xn) to współrzędne wektora ψ(vi) w bazie B2, czyli xp= api, a (y1, . . . , yn) to współrzędne wektora ψ(vj) w bazie B2, czyli yq = aqj.
6. Niech (V1, h·, ·i1) i (V2, h·, ·i2) będą przestrzeniami unitarnymi n-wymiarowymi oraz niech ψ : V1 → V2
będzie izomorfizmem liniowym. Niech B1, B2 to będą bazy ortonormalne odpowiednio V1 i V2 oraz niech A = M (ψ)BB2
1. Udowodnij, że ψ jest izomorfizmem unitarnym wtedy i tylko wtedy, gdy ATA = I.¯
Stosujemy poprzednie twierdzenie dla takich baz. W przypadku baz ortonormalnych po prostu B1= B2= I.
7. Wykaż, że macierz A ∈ Mn×n(C) jest unitarna wtedy i tylko wtedy gdy jej kolumny (równoważnie, wiersze) stanowią bazę ortonormalną przestrzeni unitarnej Cn ze standardowym iloczynem hermitowskim.
Owszem, macierz zmiany bazy z ortonormalnej na ortonormalną jest izomorfizmem unitarnym.
8. Niech ϕ : C2 → C2 będzie zadane wzorem ϕ((x, y)) = (tx + iy, ix − ¯ty). Rozstrzygnij, dla jakich t ∈ C przekształcenie to jest izomorfizmem unitarnym w sensie standardowego iloczynu hermitowskiego.
Wystarczy sprawdzić, czy macierz tego przekształcenia w bazie standardowej jest unitarna, a tak jest, bowiem
t i i −¯t
·
t¯ −i
−i −t
=
1 + |t|2 −2ti
−2ti 1 + |t|2
,
a zatem potrzeba i wystarcza, by t = 0.
9. Wykaż, że moduły wartości własnych automorfizmów przestrzeni unitarnych są równe 1.
Niech v będzie wektorem własnym dla wartości własne a w automorfizmie φ. Wtedy hv, vi = hφ(v), φ(v)i = hav, avi = a¯ahv, vi,
zatem a¯a = 1, zatem |a| =√ a¯a = 1.
2
10. (?) Wykaż, że dla każdego automorfizmu przestrzeni unitarnej istnieje ortonormalna baza złożona z wek- torów własnych.
Dowód indukcyjny. Oczywiście dla wymiaru zero to prawda. Załóżmy, że jest to prawda dla przestrzeni n−1 wymiarowych. I niech dim V = n oraz ϕ jest jej automorfizmem unitarnym. Istnieje wektor własny ϕ, v dla wartości własnej a (a 6= 0, skoro to automorfizm), zatem przestrzeń (lin(v))⊥ jest n − 1-wymiarowa i niezmiennicza ze względu na ϕ, bo rzeczywiście, jeśli w⊥v
hv, ϕ(w)i = 1
ahϕ(v), ϕ(v)i = hv, wi a = 0.
Bierzemy zatem bazę z założenia indukcyjnego i dorzucamy v/kvk.
3
