Analiza matematyczna, klasa 1b Sprawdzian nr 3, 11 XII 2018

Analiza matematyczna, klasa 1b Sprawdzian nr 3, 11 XII 2018

grupa A

Zadanie 1. Inspektor Craig odwiedziª wyspy Rycerzy i Šotrów. (Rycerze zawsze wypowiadaj¡ zdania praw- dziwe, Šotrzyfaªszywe.) Inspektor byª zainteresowany jaka jest proporcja rycerzy do ªotrów na danej wyspie, a tak»e czy istnieje zwi¡zek mi¦dzy kªamaniem a paleniem.

(a) Na pierwszej wyspie, któr¡ odwiedziª, wszyscy mieszka«cy mówili to samo: Wszyscy z nas s¡ tego samego typu.¹ Co mo»na powiedzie¢ o mieszka«cach tej wyspy?

(b) Na nast¦pnej wyspie wszyscy mieszka«cy mówili: Niektórzy z nas s¡ rycerzami, a niektórzy ªotrami.

(c) Na nast¦pnej wyspie Inspektor przesªuchaª wszystkich mieszka«ców z wyj¡tkiem jednego, który spaª. Wszyscy powiedzieli: Wszyscy z nas s¡ ªotrami. Nast¦pnego dnia inspektor spotkaª mieszka«ca-±piocha i zapytaª go: Czy to prawda, »e wszyscy mieszka«cy tej wyspy to ªotry? Mieszkaniec-±pioch odpowiedziaª tak lub nie. Jakiej udzieliª odpowiedzi?

(d) Na nast¦pnej wyspie Inspektor postanowiª zaj¡¢ si¦ problemem palenia. Wszyscy powiedzieli to samo: Wszyscy rycerze na tej wyspie pal¡. Co mo»na powiedzie¢ o proporcjach rycerzy i ªotrów na tej wyspie? Co mo»na powiedzie¢ o ich zwyczajach palenia?

Zadanie 2. Oce« warto±¢ logiczn¡ ka»dego ze zda«:

(a) ∃x∈R∀_y∈Ry ­ x ∨ y ¬ x², (b) ∀y∈R∃_x∈Ry < x ∧ y > x²,

(c) ∃x∈R∀_y∈R∃_z∈Rx + y + z ­ 0 ∧ x + y − z ­ 0, (d) ∀x∈R∃_y∈R∀_z∈Rx + y + z ­ 0.

Zadanie 3. Które ze zda« s¡ prawdziwe:

(a) (A ∪ B) \ (A ∪ D) = B \ D,

(b) B \ [(B \ A1) ∪ (B \ A₂) ∪ . . . ∪ (B \ A_n)] ⊂ B ∩ A₁∩ A₂∩ . . . ∩ A_n. (c) Je»eli A0⊃ A₁ ⊃ A₂ ⊃ A₃ ⊃ . . ., to

∞

[

n=1

(A_2n−1\ A_2n) ∪

∞

\

n=1

An⊃ A₀\

∞

[

n=1

(A_2n\ A_2n+1).

Odpwied¹ prosz¦ uzasadni¢.

Zadanie 4. Wykaza¢, korzystaj¡c tylko z aksjomatów liczb rzeczywistych i wniosków poni»ej, »e dla dowol- nych liczb rzeczywistych x, y takich, »e x < y, istnieje liczba rzeczywista z taka, »e x < z < y.

Zadanie 5. Dane s¡ liczebno±ci zbiorów sko«czonych A1, A2, . . . i ich przeci¦¢ Ai1 ∩ . . . ∩ A_ik. Znajd¹ wzór na liczb¦ elementów zbiorów:

(a) A14A₂4A₃, (b) A14A₂4 . . . 4A_n.

(A4B oznacza ró»nic¦ symetryczn¡ zbiorów A i B.)

1Przez typ rozumiemy: rycerz lub ªotr.

Aksjomaty liczb rzeczywistych.

D1 ∀a,b∈Ra + b = b + a(przemienno±¢ dodawania),

D2 ∀a,b,c∈R(a + b) + c = a + (b + c)(ª¡czno±¢ dodawania), D3 ∃0∈R∀_a∈Ra + 0 = a (istnienie elementu zerowego), D4 ∀a∈R∃_b∈Ra + b = 0(istnienie elementu przeciwnego).

M1 ∀a,b∈Ra · b = b · a(przemienno±¢ dodawania), M2 ∀a,b,c∈R(a · b) · c = a · (b · c), (ª¡czno±¢ mno»enia), M3 ∃1∈R∀_a∈Ra · 1 = a(istnienie jedynki),

M4 ∀06=a∈R∃_b∈Ra · b = 1 (istnienie elementu odwrotnego).

MD ∀a,b,c∈R(a + b) · c = a · c + b · c(rozdzielno±¢ mno»enia wzgl¦dem dodawania).

ZJ 0 6= 1.

N1 ∀a,b,c∈Rb < c =⇒ a + b < a + c(monotoniczno±¢ dodawania), N2 ∀a,b,c∈R(a > 0 ∧ b < c) =⇒ a · b < a · c(monotoniczno±¢ mno»enia) , N3 ∀a,b,c∈R(a < b ∧ b < c) =⇒ a < c(przechodnio±¢ relacji <),

N4 ∀a,b∈R zachodzi dokªadnie jedna z mo»liwo±ci a < b ∨ a = b ∨ a > b (trychotomia relacji <).

C Dla dowolnego ograniczonego z góry podzbioru A ⊂ R w±ród wszystkich ogranicze« gónych zbioru Aistnieje liczba najmniejsza. Liczb¦ t¦ nazywamy kresem górnym zbioru A. (aksjomat ci¡gªo±ci (zupeªno±ci))

Wnioski:

1. Element zerowy z D3 jest wyznaczony jednoznacznie. Podobnie, jedynka w E3 jest wyznaczona jednoznacznie.

2. ∀a∈Ra · 0 = 0,

3. ∀a,b∈R istnieje dokªadnie jedna liczba c ∈ R taka, »e a + c = b. W szczególno±ci, element b taki,

»e a + b = 0 jest jedyny i oznaczamy go przez −a. Podobnie, dla dowolnej liczby a 6= 0 istnieje dokªadnie jedna liczba b ∈ R taka, »e a · b = 1. Oznaczamy j¡ przez ¹_a (odwrotno±¢ liczby a).

4. −a = (−1) · a, −(−a) = a.

5. Dla dowolnych a, b, c, d ∈ R, je±li a < b i c < d, to a + c < b + d,

6. Dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich a, b, c, d, je±li a < b i c < d, to a · c < b · d, 7. Je±li x > 0, to −x < 0.

8. a²­ 0. 9. 1 > 0.

10. (a + b)² = a²+ 2 · a · b + b². 11. Je±li ab = 0, to a = 0 lub b = 0.

12. ²₃− ³₅ = ₁₅¹.

2