Ćwiczenia nr 16, AM II, 16.1.2018 Elementy teorii miary c.d. - funkcje mierzalne Zadanie 1. Niech f1, f2, f3, f4: R → R będą funkcjami mierzalnymi. Udowodnić, że funkcja
f (x) =
(f1(x) jeśli f3(x) > f4(x), f2(x) w przeciwnym przypadku jest mierzalna.
Zadanie 2. Niech M będzie mierzalnym podzbiorem Rk. Wykazać, że dowolna funcja f : M → R, której zbiór punktów nieciągłości jest miary zero, jest mierzalna.
Zadanie 3. Wykazać, że dowolna funkcja ściśle rosnąca f : R → R jest mierzalna.
Zadanie 4. Niech f : R → R będzie funkcją różniczkowalną (niekoniecznie klasy C1). Wykazać, że pochodna f′(x) jest funkcją mierzalną. (Teza zadania jest prawdziwa także przy słabszym założeniu, że f jest różniczkowalna prawie wszędzie.)
Zadanie 5. (Konstrukcja funkcji rosnącej klasy C∞ przeprowadzającej zbiór miary dodatniej na zbiór miary zero.) Niech C będzie ”grubym” zbiorem Cantora (patrz zadanie 14/ćwiczenia nr 14) i niech fn : I = [0, 1] → R będzie gładką funkcją o nośniku An (An jest sumą 2n−1 przedziałów otwartych, każdy długości an, usuniętych w n-tym kroku konstrukcji zbioru C, P∞n=12n−1an < 1) taka, że
0 ¬ fn, |fn′|, |fn(2)|, . . . , |fn(n−1)| ¬ 1/2n. (Proszę uzasadnić, że taki ciąg funkcji istnieje.) Niech
f (x) =
∞
X
n=1
fn(x), F (x) = Z x
0
f (t)dt.
Wykazać, że
(a) f jest klasy C∞,
(b) F ([0, 1]) = [0, R01f (t)dt] i w związku z tym λ1(F (C)) = 0.
Zadanie 6. Czy jeśli f : R → R jest funkcją mierzalną i C ⊂ R zbiorem miary zero, to f−1(C) musi być zbiorem mierzalnym?
Zadanie 7. Niech (X, F, µ) będzie przestrzenią z miarą, a fn: X → R będzie ciągiem funkcji mierzalnych względem σ-ciała F . Niech
A = {x : ciąg (fn(x)) jest nieograniczony z góry }.
Wykazać, że A ∈ F.
