Ciekawe ciągi
Arkadiusz Męcel
Seminarium monograficzne: popularyzacja matematyki 4 maja 2009r.
Referat ten ma na celu prezentację kilku ciągów liczb naturalnych, które mogą się z różnych względów wydawać niezwykłe. Głównym naszym celem jest wzbu- dzenie zainteresowania słuchaczy mnogością niezwykłych pomysłów kryjących się za... przypadkowo, jak by się wydawać mogło, dobranymi zestawami pierw- szych kilku wyrazów...
Na rozruszanie komórek pobawmy się w zgadywanie – jaką regułą rządzi się ciąg, którego pierwsze kilka pojawi się poniżej?
1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9
Ciąg ów (A001462) jest, jak na początek, dość niezwykły. Reguła mówi bowiem, że a(n) to ilośc wystąpień liczby n w całym ciągu. Niezbyt to, na pierwszy rzut oka, rekurencyjna definicja. Czytelnik dostrzeże jednak z łatwością, że jest to tylko pozór... Na ironię, rozwiewa się on dopiero w obliczu znajomości reguły.
• (A019460) 2, 3, 3, 5, 10, 13, 39, 43, 172, (177) – dodaj 1, pomnóż przez 1, dodaj 2, pomnoż przez 2...
• (A004000) 1, 2, 4, 8, 16, 77, 145, 668, 1345, 6677, 13444, 55778 – dodaj od- wrotność i posortuj...
A teraz czwarty, przewrotny – wypada ostrzec – przykład... Rozważmy ciąg (A135385), którego pierwsze 9 elementów wygląda całkiem znajomo:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Jaki więc będzie 10. wyraz ciągu? 10? To by było za proste... Jest to bowiem 2592. Nasz ciąg ma więc teraz postać:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 2592 Podajmy dla ułatwienia 11. wyraz ciągu:
24547284284866560000000000.
Matematyk wie, że w takich przypadkach zawsze można uratować się wielomia- nami interpolacyjnymi i mądrze oznajmić: wielomian takiego, a takiego stopnia ma zadane wartości w punktach od 1 do 12. Ale nie o to chodzi! Czy można re- gułę tworzenia tego ciągu opisać inaczej? Czy podpowiedzią będzie ujawnienie, że angielska nazwa tego ciągu to:
P OW ERT RAIN?
A może raczej:
POWERTRAIN?
Wszystko jasne! Przecież 2592 = 2592! Czy to przewrotna wyobraźnia kazała autorowi wymyślić tak diabelskie dzieło? Otóż nie! Pomysłodawcami powertra- ina są słynni w matematycznym świecie łowcy ciągów: Neil Sloane oraz Martin Gardner. Pierwszy z nich jest prawdziwym miłośnikiem ciągów. Jest też twór- cą słynnej internetowej encyklopedii ciągów. Nazbierał ich tam już ponad 150 tysięcy. Choć do wypełnienia Arki wciąż brakuje nie nawet przeliczalnie, ale wręcz nieprzeliczalnie wielu okazów, Sloane ma już w swojej kolekcji prawdziwe dziwolągi...
Wracając jeszcze do omawianego wyżej ciągu... Nie wiadomo, czy jest on w ogó- le nieskończony. Ba! Nie wiadomo, czy istnieje jakikolwiek jego wyraz większy od 24547284284866560000000000. Jest to sympatyczny, choć zapewne niezbyt ważki dla matematyki problem otwarty.
Pobawmy się dalej w zgadywanie na podstawie jakiej reguły powstaje dany ciąg.
Przy tej okazji wynikną kolejne ciekawe pomysły...
Przykład sprzed prawie 40 lat. Znajdź kolejny wyraz ciągu:
679, 378, 168, 48, 32.
Po chwili namysłu widać, że jest to 6. Każdy kolejny element powstaje poprzez wymnożenie cyfr poprzedniego. Widać, że możemy wystartować od dowolnej liczby naturalnej n, niekoniecznie od 679? Czy zawsze dotrzemy do liczby jed- nocyfrowej? Oczywiście tak, przecież iloczyn cyfr danej liczby jest zawsze od niej mniejszy, prawda? W ten sposób po k(n) krokach dojdziemy do liczby jed- nocyfrowej. k(n) nazywamy persistence, czyli po polsku na przykład: oporność liczby n. A nasz ciąg? (A003001) składa się, dla kolejnych n z najmniejszych takich p(n), że k(p(n)) = n. Jednym słowem – z najmniejszych takich, że ich oporność to n. W 1973r. Sloane i Gardner poświęcili temu zacnemu ciągowi cały artykuł, który zwieńczyli teorią, że jest on skończony. Co to znaczy skończony?
Znaczy to tyle, że być może nie istnieje liczba o oporności 12? Żadnej takiej do dziś nie znamy.
Wkracza tu na scenę interesująca prawidłowość związana z zabawą ciągami.
Gdy definiujemy ciąg ’życzeniowo’ (a więc życzymy sobie, by pewna własność zaszła, pewna procedura była zawsze wykonalna w skończenie wielu krokach) może się okazać, że zupełnie nie mamy pojęcia jak jej wykonalności (w dowolnym sensie) dowodzić. Jednym z przykładów jest kolejny dziwoląg z kolekcji Sloane’a (A033865). Jak określić n − ty wyraz sn tego ciągu? Bierzemy n. Jeśli jest to liczba palindromiczna, wówczas sn= n. Jeśli nie, to do n dodajemy n z cyframi w odwróconej kolejności i dostajemy nową liczbę. A potem znowu dodajemy - aż dostaniemy palindrom. I tenże palindrom jest wyrazem sn. Przykład? Niech n= 19. Wówczas:
19 + 91 = 110, 110 + 011 = 121.
Zatem s19= 121.
Definicja jest jak najbardziej życzeniowa. No bo dlaczego w ogóle uda się nam zawsze dostać palindrom? Nie wiadomo... I to nie w jakimś abstrakcyjnym tego stwierdzenia znaczeniu. Nie wiadomo tego już dla 196 ...
Jedną z najciekawszych funkcji encyklopedii Sloane’a jest możliwość wpisania dowolnego skończonego ciągu liczb w nadziei, że słynny łowca lub rozsiani po całym świecie jego pomocnicy odnaleźli okaz, którego kolejnymi wyrazami są obiekty naszego zainteresowania. Wpisanie prostej sekwencji od 1 do 9 nie na- kieruje nad od razu na powertrain! Będziemy musieli przeszukać 150 stron wyni- ków, zawierających 1495 ciągów. Nie ma w tym jednak nic dziwnego. Dominują dość sztucznie utworzone ciągi np. c(n), zwracający najmniejszą wielokrotność n, której suma cyfr wynosi dokładnie n. Nic prostszego - takich ciągów można wyprodukować wiele...
Wpiszmy więc inny znajomy ciąg:
1, 2, 4, 8
Ile potencjalnych ciągów zawierających tę sekwencję umiemy wskazać? Sloane ma ich ponad 1000. Jedna opcja to oczywiście potęgi 2? Umiemy wymyślić coś więcej? Oto kilka mniej, lub bardziej interesujących możliwości:
• (Proste) Liczby takie, że suma ich dzielników jest nieparzysta.
• (A000125) Cake numbers, a więc maksymalna liczba kawałków, na które można podzielić sześcian n planarnymi cięciami. Jaki jest 5. wyraz? 15. A szósty? 26.
• (A000127)Załóżmy, że n punktów leży na okręgu. Prowadzimy cięciwy o końcach w tych punktach. Na ile obszarów zdołamy maksymalnie podzielić koło ograniczone przez wyjściowy okrąg? Dla małych n są to: 1, 2, 4, 8, 16, 31. O tym mógł Czytelnik wiedzieć... A czy wiadomo Czytelnikowi, że a(n) to po prostu suma pierwszych 5 elementów (o ile aż tyle ich tam jest) w n – tym wierszu trójkąta Pascala?
• (A089473) Rozważmy znaną zabawkę, w której mamy obrazek złożony z 8 elementów i jednym okienkiem wolnym. Mamy przesunąć wszystko tak, by powstał obrazek. a(n) mówi ile jest możliwych konfiguracji startowych takiej zabawki jeżeli mamy ją ułożyć w dokładnie n ruchów. Jest to bardzo dziwny ciąg. W okolicach 20 ma on wartości rzędu 20000, a dla 31 ma on wartość 2...
Jeśli dołożymy jeszcze 16, 32 i 64 pojawiają się kolejne, coraz to nowsze ciągi...
A wraz z nimi coraz dziwniejsze definicje. Na ile maksymalnie regionów można podzielić 5 wymiarową przestrzeń n 4 wymiarowymi sferami? Albo jakie są szan- se przeżycia w rosyjskiej ruletce? Ile dokładnie podzbiorów zbioru {1, 2, . . . , n}
zawiera dokładnie jeden kwadrat (aż do 128 pasuje)?
Na koniec o ciągu ważnym. Jest wiele ciągów ważnych i o żadnym takim nie było dotąd mowy. Wystartujmy od tego, czym jest zapis przy tzw. super zasadzie 2.
Otóż, bierzemy liczbę, np. 11 i rozkładamy ją w bazie dwójkowej:
11 = 23+ 21+ 20.
Teraz, także wykładniki zapisujemy tak, by były w bazie 2 (i wykładniki wy- kładników itd...). Dla ułatwienia oznaczamy 20 jako 1. Dla 11 jest to:
11 = 22+1+ 21+ 1.
Każdą liczbę naturalną umiemy przedstawić w ten sposób. Zdefiniujmy przykła- dowy ciąg Goodsteina, bo o nim mowa. Zrobimy to dla liczby 3 (każda liczba naturalna ma swój własny egzemplarz tego ciągu). G0 = 3. Startujemy więc od wybranej liczby naturalnej. Teraz, G1 będzie zapisem 3 przy super zasa- dzie 2, a więc: G1 = 2 + 1 = 3. Ważny jest kolejny krok! G2 powstaje przez zamianę w zapisie 2 + 1 wszystkich dwójek na trójki i odjęcie 1. Działa to w ogólnym przypadku, np. dla 11 byłoby to 33+1+ 3 + 1 − 1. Dla trójki jest to G2= 3 + 1 − 1 = 3. Przy G3zamieniamy trójki na czwórki i znowu odejmujemy 1. Mamy więc: G3= 41− 1 = 1 + 1 + 1. Zauważmy, że cały czas zależy nam na tym, by zapis nowo powstałego elementu Gn był przy super zasadzie n + 1. Za- uważmy, że dalej już nic nie będziemy podmieniać, a tylko odejmować. A więc:
G4 = 1 + 1 + 1 − 1, zaś G5 = 1 + 1 − 1 i ostatecznie przy G6 0. Pokazaliśmy jak wygląda konstrukcja i wiadomo już jak ją przenieść na dowolny element startowy. Pytanie – czy to przypadek, że ostatecznie ciąg nam się wyzerował?
Otóż nie! Ale czy potrafimy to udowodnić? Otóż odpowiedź brzmi – nie zawsze!
Jest to drugi w historii przykład twierdzenia, którego nie da się udowodnić ani obalić na gruncie aksjomatyki Peano liczb naturalnych. Był to swego czasu dość sensacyjny wynik. I nie tak dawny znowu, bo z 1982 roku. A na koniec odpo- wiedzmy sobie na pytanie – dlaczego jednak to twierdzenie jest prawdziwe? Z kursu logiki, czy wstępu do matematyki możemy pamiętać, że aksjomaty Peano
te są twierdzeniami teorii ZF. O ile tylko aksjomaty teorii ZF są niesprzeczne, to twierdzenie Goodmana możnaby dopisać jako kolejny niezależny aksjomat. Je- żeli jednak dorzucimy pewnik wyboru i wprowadzimy na scenę prawa rządzące w pozaskończonym świecie liczb porządkowych, wówczas możemy juz wyprodu- kować zupełnie ścisły i całkiem nietrywialny dowód wspomnianego wyżej faktu.
Na tym zapewne wypada zakończyć. Materiału jest chyba na więcej niż 45 minut.
