LISTA 100
Zadanie 1.
Rozwiąż równanie: sin (𝑥 +𝜋
3) sin (𝑥 −𝜋
3) = −1
2 , w przedziale 〈0; 2𝜋〉
Zadanie 2.
Dany jest wielomian 𝑊(𝑥) = 2𝑥3+ 𝑛𝑥2+ 𝑚𝑥 + 8. Wyznacz liczby 𝑚 i 𝑛, jeśli wiadomo, że reszta z dzielenia wielomiany 𝑊 przez dwumian (𝑥 + 2) jest równa 4 i jednym z
pierwiastków jest liczba (−1). Wykaż, że ten wielomian ma dwa różne pierwiastki.
Zadanie 3.
Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 156. Liczby te są jednocześnie pierwszym, siódmym i dwudziestym piątym wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego.
Wyznacz te liczby.
Zadanie 4.
Na okręgu o promieniu 𝑟 opisano trapez równoramienny o podstawach 𝑥 i 4𝑥. Wykaż, że 𝑟 = 𝑥.
Zadanie 5.
Rozwiąż układ równań: { 𝑦 − |𝑥 − 2| = 0 𝑥2− 4𝑥 + 𝑦2= −2 Zadanie 6.
Dane są zbiory punktów, określone nierównościami 𝐴: 𝑥2− 6𝑥 + 𝑦2+ 12𝑦 ≤ 4 i 𝐵: 3𝑥 + 𝑦 − 3 ≥ 0. Narysuj figurę 𝐹 = 𝐴 ∩ 𝐵 i wyznacz jej pole.
Zadanie 7.
Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości 𝐻 = 8 i krawędzi podstawy 𝑎 = 12. Przez krawędź podstawy i środki rozłącznych z nią krawędzi bocznych poprowadzono płaszczyznę. Wykonaj odpowiedni rysunek i oblicz pole otrzymanego przekroju.
Zadanie 8.
Z urny zawierającej 4 kule białe i 6 czarnych losujemy jedną. Po obejrzeniu koloru zwracamy ją do urny. Następnie wyciągamy 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ten sposób wylosujemy 3 kule jednego koloru.
Zadanie 9.
Rozwiąż nierówność: log1
3
(2𝑥2− 𝑥) ≤ log1
3
(2 − 𝑥)
Zadanie 10.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z podstawą kąt 30°.
Oblicz cosinus kąta dwuściennego. Ponadto wyznacz objętość tego ostrosłupa, jeżeli pole boczne jest równe 4𝑆.
