√ √ 5 −( 5 ) ¿−¿ √ 2 2 −¿ √ − 2 √ − 2 −¿ −¿ −¿ √ √ √ − 5 − 5 − 25 √ √ √ − 5 − 5 − 5 √ √ √ √ − 5 , − 2 , 2 , 5

(1)

Temat: Zbiór wartości funkcji liczbowej.

Zbiór wartości funkcji – jest to zbiór wszystkich y-ów należących do danej funkcji. Są to liczby, które możemy wyznaczyć wstawiając poszczególne argumenty „x” do wzoru funkcji.

Zad. 8.68

b) f(x)=30-x Df={0,5,10,15,20}

Rozwiązanie:

Żeby wyznaczyć zbiór wartości funkcji opisanej wzorem f(x)=30-x, należy podstawić w miejsce „x” w tym wzorze kolejne liczby z dziedziny funkcji

f(0)=30-0=30 f(5)=30-5=25 f(10)=30-10=20 f(15)=30-15=15 f(20)=30-20=10

Zbiór otrzymanych wyników to zbiór wartości funkcji dla określonej dziedziny ZWf={10,15,20,25,30}

a)f(x)=1 Df={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3}

Rozwiązanie:

Ten przypadek jest wyjątkowy, bo skoro zbiór wartości to zbiór otrzymanych wyników po podstawieniu za „x” we wzorze funkcji liczb z dziedziny, to gdzie mamy podstawić nasze liczby z dziedziny, skoro we wzorze funkcji nie ma iksa? Wzór f(x)=1 mówi o tym, że dla każdego elementu z dziedziny, wynik będzie równy jeden.

f(-4)=1 f(-3)=1 f(-2)=1 f(-1)=1 f(0)=1 itd. …

zatem wynikiem jest tylko jedynka ZWf={1}

c)f(x)= -x² Df={ −

√

^{5 ,−}

√

^{2 ,}

√

^{2 ,}

√

⁵ ^}

f( −

√

5 ⁾⁼ −

√

⁵

−¿ ⁾

2 = - 5 możemy rozpisać tak −

√

⁵

−¿ ⁾

2 = −

√

⁵

−¿ ^{) (} −

√

5 ^{) =} −

√

25 ^{= -5}

f( −

√

2 ⁾⁼ −

√

²

−¿ ⁾

2= -2

f(

√

² ⁾⁼ √²¿

−¿

2= -2 f(

√

⁵ ⁾⁼ ⁻⁽

√

⁵⁾ ²^{= -5}

ZWf={-2, 5} Jeśli liczone wartości się powtórzyły, to do zbioru wartości dany wynik wpisujemy tylko raz

Zad. 8.72

Liczbom ze zbioru {0,1,2,3,4,5,6,7} mamy przyporządkować resztę z dzielenia tych liczb przez 4.

Jeśli 0 podzielę przez 4, to nie mam całości i reszta to 0.

Jeśli 1 podzielę przez 4, to nie mam całości i reszta to 1 Jeśli 2 podzielę przez 4, to nie mam całości i reszta to 2 Jeśli 3 podzielę przez 4, to nie mam całości i reszta to 3 Jeśli 4 podzielę przez 4, to mamy całość jeden i reszta to 0

(2)

Jeśli 5 podzielę przez 4, to mamy całość jeden i reszta to 1 Jeśli 6 podzielę przez 4, to mamy całość jeden i reszta to 2 Jeśli 7 podzielę przez 4, to mamy całość jeden i reszta to 3

Patrzymy jakie wyniki uzyskaliśmy i zapiszemy: ZWf={0,1,2,3}

Bardzo często też można spotkać zadania, w których należy odczytać zbiór wartości z wykresu funkcji. W takiej sytuacji patrzymy odkąd dokąd na osi OY zawiera się nasz wykres ( zbiór wartości czytamy tak jak pokazuje kierunek strzałki na osi OY – od DOŁU do GÓRY ).

Jeśli wykres jest linią ciągłą na rysunku, to szukamy najniżej położonego punktu na wykresie oraz najwyżej położonego punktu na wykresie. Zbiór wartości zapisujemy jako przedział- od igreka najniżej położonego punktu, do igreka najwyżej położonego punktu). Jeśli wykres składa się z pojedynczych punktów, zbiór wartości zapisujemy w nawiasach { .. } jako zbiór iksów z poszczególnych punktów.

Obejrzcie https://www.youtube.com/watch?v=uSoiw7y_eZQ

Ćwiczenie 1 Odczytaj zbiór wartości funkcji f na podstawie poniższego wykresu

Nasz wykres – patrząc na oś OY mieści się w zakresie od -4 do 4, zatem ZWf = <-4, 4>

Nawias domknięty w -4 oraz w 4, ponieważ na wykresie znajdziemy choć po jednym punkcie, który ma takiego czy takiego igreka

Ćwiczenie 2 Odczytaj zbiór wartości funkcji f na podstawie poniższego wykresu

ZWf=<-2, 3>

Ćwiczenie 3Odczytaj zbiór wartości funkcji f na podstawie poniższego wykresu

Wykres nie jest ciągły! Dlatego należy uważać. Szukamy najniżej położonego punktu – jego wartość to -2. Przyłóż długopis do y=-2. Przesuwamy go powoli w pionie do góry i sprawdzamy, czy są na wykresie punkty mające wskazywane przez nas igreki. Okazuje się że mimo tego iż wykres nie jest ciągły, to osiągane są przez poniższą funkcje wszystkie wartości od -2 aż do 2.

(3)

Zw= (-2, 2>

nawias okrągły w -2 bo kropka otwarta na wykresie i nie ma żadnego innego punktu który by miał igreka równego -2. Nawias domknięty w 2, bo – pomimo otwartej kropki na wysokości 2 – jesteśmy w stanie znaleźć choć jeden punkt który ma igreka równego 2 (np. punkt (1,2) ) https://www.youtube.com/watch?v=TtOcCL47b1A

Zad. 8.77 d)

Wykres nie jest ciągły – widać że składa się z dwóch części. Najmniejszy „y” osiągany przez tę funkcję to -3.

Przyłóż długopis do igreka -3 i powoli przesuwaj długopis do góry po osi OY. Zauważ że w między -1 a 1 na osi OY nie ma wykresu. Tzn. że nie możemy podać zbioru wartości od -3 do 3 , bo w przedziale od -1 do 1 nie ma

rysunku. Robimy sumę dwóch przedziałów opisujących zbiór wartości każdej z części wykresu ZWf=<-3, -1> U (1, 3)

e)

Wykres składa się z dwóch części: ciągłej linii oraz jednego osobnego punktu ZWf= <-3, 2> U {3}

Ciągła część wykresu przypominająca literę V jest w zakresie od -3 na osi y (kropka zamalowana) do 2 na osi y (kropka zamalowana, bo jest punkt (4,2) który ma igreka równego dwa). Natomiast jeśli na wykresie są osobne punkty, to dodatkowo dopisujemy do zbioru wartości wszystkie igreki z tych osobnych punktów. U nas na rysunku jest tylko jeden taki punkt, więc do zbioru wartości dołączamy zbiór {3}; symbol U to „suma”

Praca domowa:

Zad 8.77 a,b,d Zad. 8.70. 8.71