Zginanie prętów prostych – siły wewnętrzne

(1)

Wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

EiP - Wykład Nr 7

Zginanie prętów prostych – siły wewnętrzne

siły wewnętrzne w belkach, twierdzenie Swedlera – Żurawskiego, wyznaczanie wykresów sił poprzecznych i momentów zginających.

(2)

7.1. Zginanie – przypadki „z życia” inżynierów – i nie tylko…

http://www.telegraph.co.uk

www.met-tech.com

Galileo Galilei (1564–1642)

Dialogues Concerning Two New Sciences, 1638

© T. Machniewicz

(3)

7.2. Zginanie – równowaga sił wewnętrznych i naprężeń

𝑴_𝒈𝒚

𝑴_𝐒

𝑷

_𝟏

𝑷

_𝒏

𝑴

_𝒊

𝒒

_𝒊

z≡ n x

y

O≡C

dA

y

A

𝝉_𝒛𝒚

𝑻_𝒙 𝑵

𝑻_𝒚

𝝈

_𝒛

𝑴_𝒈𝒙

𝑵 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒅𝑨

𝑻_𝒙 = 𝝉_𝒛𝒙

𝑨 𝒅𝑨

𝑻_𝒚 = 𝝉_𝒛𝒚

𝑨 𝒅𝑨

𝑴_𝒙 = 𝝈_𝒛

𝑨

𝒚 𝒅𝑨

𝑴_𝒚 = 𝝈_𝒛

𝑨 𝒙 𝒅𝑨

𝑴_𝑺 = 𝝉_𝒛𝒚 𝒙 − 𝝉_𝒛𝒙 𝒚

𝑨 𝒅𝑨

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie

- skręcanie

© T. Machniewicz

(4)

7.3. Siły wewnętrzne w belkach

𝑷

_𝟏

𝑷

_𝒊

𝑷

_𝒋

𝑷

_𝒏

𝑹

_𝒊

𝑹

_𝒋

𝒒

𝑴_𝒊

Belka – element konstrukcji o kształcie pręta, tj. o długości znacznie większej od wymiarów poprzecznych, poddany w dominującym stopniu zginaniu.



 𝑷

_𝟏

𝑷

_𝒊

𝑹

_𝒊

𝑴_𝒊 𝑾

𝑴

𝑷

_𝟏

𝑷

_𝒊

𝑹

_𝒊

𝑴_𝒊

𝑻 𝑴_𝒈

𝑷

_𝒋

𝑷

_𝒏

𝑹

_𝒋

𝒒

𝑴_𝒈

𝑷

_𝒋

𝑷

_𝒏

𝑹

_𝒋

𝒒

𝑻 𝑵

C 𝑾 C

C 𝑵 C

© T. Machniewicz

(5)

Umowa dotycząca znaków sił poprzecznych:

𝑵

𝑷

_𝟏

𝑷

_𝒊

𝑹

_𝒊

𝑴_𝒊

𝑻 𝑴_𝒈

𝑴_𝒈

𝑷

_𝒋

𝑷

_𝒏

𝑹

_𝒋

𝒒

𝑵 𝑻

Siła poprzeczna (siła tnąca) w danym przekroju belki, jest algebraiczną sumą wszystkich sił poprzecznych (prostopadłych do osi belki) działających po jednej stronie rozpatrywanego przekroju.

𝑻 𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻

𝑻 > 𝟎

C C

© T. Machniewicz

(6)

Umowa dotycząca znaków momentów zginających:

𝑵

𝑷

_𝟏

𝑷

_𝒊

𝑹

_𝒊

𝑴_𝒊

𝑻 𝑴_𝒈

𝑴_𝒈

𝑷

_𝒋

𝑷

_𝒏

𝑹

_𝒋

𝒒

𝑵 𝑻

Moment zginający (M_g) w dowolnym przekroju belki poddanej działaniu płaskiego dowolnego układu sił jest algebraiczną sumą momentów pochodzących od wszystkich obciążeń działających po jednej ze stron tego przekroju, obliczanych względem jego środka ciężkości.

C C

M_g M_g

M_g>0 M_g<0

M_g M_g

© T. Machniewicz

(7)

7.4. Więzy belek

a) podpora przegubowa przesuwna

reakcja prostopadła do płaszczyzny przesuwu

b) podpora przegubowa stała siła reakcji o dowolnym kierunku (dwie składowe reakcji)

c) utwierdzenie (wspornik)

siła reakcji o dowolnym kierunku (dwie składowe reakcji) oraz

moment utwierdzenia

c) utwierdzenie przesuwne moment utwierdzenia oraz siła reakcji prostopadła do płaszczyzny przesuwu

𝑹_𝒚

𝑴_𝑼 𝑹_𝒙

𝑹_𝒙 𝑹_𝒚 𝑹 𝑹

𝑹

Charakterystyczne rodzaje więzów belek i związane z nimi siły reakcji.

𝑷

M

𝑷

M

𝑴_𝑼 𝑹

© T. Machniewicz

(8)

7.5. Zależności pomiędzy siłami wewnętrznymi a obciążeniem ciągłym belek – tw. Schwedlera–Żurawskiego

𝑹

_𝒊

𝑹

_𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)

z

𝑹

_𝒊

y

z 𝑴_𝒈 𝑻



z+dz

𝑹

_𝒊

𝑴_𝒈 + 𝒅𝑴_𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻



dz

𝑹

_𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)



𝑴_𝒈



y 𝑻

z

y

z



𝒒(𝒛)

𝑴_𝒈

𝑻 𝑴_𝒈 + 𝒅𝑴_𝒈

𝑻 + 𝒅𝑻 y

z

dz



© T. Machniewicz

O

(9)

𝑹

_𝒊

𝑹

_𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)

z





y

z



𝒒(𝒛)

𝑴_𝒈𝑻

𝑴_𝒈 + 𝒅𝑴_𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻

y

z

dz



O

𝑭

_𝒊𝒚

𝒏

𝒊=𝟏

= 𝟎 −𝑻 + 𝒒(𝒛)𝒅𝒛 + 𝑻 + 𝒅𝑻 = 𝟎

𝒒 𝒛 = −𝒅𝑻 𝒅𝒛

Wniosek:

W zakresie długości belki gdzie obciążona jest ona stałym co do wartości obciążeniem ciągłym ( 𝒒 𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 ≠ 𝟎 ) siła tnąca opisana jest równaniem pierwszego stopnia (zmienia się liniowo)

© T. Machniewicz

(10)

𝑹

_𝒊

𝑹

_𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)

z





y

z 𝑴_𝒊𝑶

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎

−𝑴_𝒈 − 𝒒 𝒛 (𝒅𝒛)^𝟐

𝟐 − 𝑻 + 𝒅𝑻 𝒅𝒛 + (𝑴_𝒈 + 𝒅𝑴_𝒈) = 𝟎

𝑻 𝒛 = 𝒅𝑴_𝒈 𝒅𝒛 Wnioski:

 Pochodna funkcji momentu zginającego po współrzędnej wzdłuż osi belki jest równa sile poprzecznej.

 Ekstremum momentu zginającego wystąpi w przekroju gdzie siła poprzeczna jest równa zero.

−𝑴_𝒈 − 𝒒 𝒛 (𝒅𝒛)^𝟐

𝟐 − 𝑻𝒅𝒛 + 𝒅𝑻𝒅𝒛 + 𝑴_𝒈 + 𝒅𝑴_𝒈 = 𝟎



𝒒(𝒛)

𝑴_𝒈𝑻 𝑴_𝒈 + 𝒅𝑴_𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻

y

z

dz



O

−𝑻𝒅𝒛 + 𝒅𝑴_𝒈 = 𝟎

© T. Machniewicz

(11)

𝑹

_𝒊

𝑹

_𝒋

𝒒 = 𝒒(𝒛)

z





y

z

𝑻 𝒛 = 𝒅𝑴_𝒈 𝒅𝒛

Wniosek:

W zakresie długości belki gdzie obciążona jest ona stałym co do wartości obciążeniem ciągłym (𝒒 𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕 ≠ 𝟎) moment zginający jest opisany równaniem drugiego stopnia (zmienia się według paraboli).



𝒒(𝒛)

𝑴_𝒈𝑻 𝑴_𝒈 + 𝒅𝑴_𝒈 𝑻 + 𝒅𝑻

y

z

dz



O

𝒒 𝒛 = −𝒅𝑻

𝒅𝒛 𝒒 𝒛 = −𝒅^𝟐𝑴_𝒈 𝒅𝒛^𝟐 Tw . Schwedlera – Żurawskiego

© T. Machniewicz

(12)

7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.1

A

𝑷

Dane: a, b, P Szukane: Wykresy T(z), M_g(z)

y

B z

a b

𝑹_A 𝑹_B ^𝒏 𝑴_𝒊𝑨

𝒊=𝟏 = 𝟎 −𝑷𝒂 + 𝑹_𝐁(𝐚 + 𝐛) = 𝟎 𝑹_𝐁 = 𝑷𝒂

𝒂 + 𝒃

𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻

𝑻 > 𝟎

𝑴_𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 −𝑹_𝐀 𝐚 + 𝐛 + 𝑷𝒃 = 𝟎 𝑹_𝐀 = 𝑷𝒃

𝒂 + 𝒃

𝑷𝒂/(𝒂 + 𝒃) 𝑷𝒃/(𝒂 + 𝒃)

T

z

𝑹_A 𝑷

𝑹_B

M_g

z

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂

z

𝑴_𝒈(𝒛) = 𝑹_𝑨 ∙ 𝒛 = 𝑷𝒃 𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒛

𝑴_{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎; 𝑴_{𝒈(𝒛=𝒂)} = 𝑷𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃

z

𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂 + 𝒃

𝑴_𝒈(𝒛) = 𝑹_𝑨 ∙ 𝒛 − 𝑷(𝒛 − 𝒂) = 𝑷𝒃

𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒛 − 𝑷(𝒛 − 𝒂) 𝑴_{𝒈(𝒛=𝒂)} = 𝑷𝒂𝒃

𝒂 + 𝒃 𝑴_{𝒈(𝒛=𝒂+𝒃)} = 𝟎 M_g>0

𝑹_A z

M_g<0

z 𝑷

𝑷𝒂𝒃 𝒂 + 𝒃 Spostrzeżenia:

1) W miejscu działania skupionej siły poprzecznej występuje skokowa zmiana wartości siły tnącej.

2) Na końcach belki, o ile nie działa tam moment skupiony, moment zginający jest równy zeru.

© T. Machniewicz

(13)

A

Dane: l, q Szukane: Wykresy T(z), M_g(z)

y

B z

l

𝑴_𝒊𝑨

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 −𝒒𝒍 ∙ 𝒍

𝟐 + 𝑹_𝐁𝒍 = 𝟎

𝑹_𝐀 = 𝑹_𝐁 = 𝒒𝒍 𝟐

𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻

𝑻 > 𝟎

𝑴_𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎

T

z 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝒍

𝑴_𝒈(𝒛) = 𝑹_𝑨 ∙ 𝒛

𝑴_{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎 𝑴_{𝒈(𝒛=𝒍)} = 𝟎 M_g>0

𝑹_A

z

M_g<0

𝑹_B 𝑹_A

z 𝒒𝒍 ∙ 𝒍

𝟐 − 𝑹_𝐀𝒍 = 𝟎

𝒒𝒍/𝟐

−𝒒𝒍/𝟐 𝑹_A

𝑹_B

z₀=l/2 𝑻_(𝒛) = 𝑹_𝑨 − 𝒒𝒛

𝒒

Q_(z)=qz

= 𝒒𝒍

𝟐 − 𝒒𝒛 𝑻_(𝒛=𝟎) = 𝒒𝒍

𝟐 𝑻_(𝒛=𝒍) = −𝒒𝒍 𝟐 𝑻_(𝒛=𝒛_𝟎₎ = 𝒒𝒍

𝟐 − 𝒒𝒛_𝟎 = 𝟎 𝒛_𝟎 = 𝒍 𝟐

z

𝒒

−𝒒 ∙ 𝒛 ∙ 𝒛

𝟐 = 𝒒𝒍

𝟐 𝒛 − 𝒒 ∙ 𝒛^𝟐 𝟐

𝑴_{𝒈(𝒛=𝒛}

𝟎=𝒍/𝟐) = 𝒒𝒍 𝟐 ∙ 𝒍

𝟐 − 𝒒 ∙ 𝒍^𝟐

𝟖 = 𝒒𝒍^𝟐 𝟖 M_g

z

𝒒𝒍^𝟐/𝟖 Spostrzeżenia:

3) W zakresie działania niezerowego obciążenia ciągłego siła tnąca zmienia się liniowo, zaś moment zginający według paraboli.

4) W miejscu gdzie siła poprzeczna osiąga wartość

zero występuje ekstremum momentu zginającego.

© T. Machniewicz

(14)

A

Dane: a, b, M Szukane: Wykresy T(z), M_g(z)

y

B z

a b

𝑹_A

𝑹_B

𝑴_𝒊𝑨

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝑴 − 𝑹_𝐁(𝐚 + 𝐛) = 𝟎 𝑹_𝐁 = 𝑴

𝒂 + 𝒃

𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻

𝑻 > 𝟎

𝑴_𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝑴 − 𝑹_𝐀(𝐚 + 𝐛) = 𝟎 𝑹_𝐀 = 𝑴

𝒂 + 𝒃

𝑴/(𝒂 + 𝒃)

T

z

𝑹_A 𝑹_B

𝟎 ≤ 𝒛 < 𝒂

z

𝑴_𝒈(𝒛) = 𝑹_𝑨 ∙ 𝒛 = 𝑴

𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒛

𝑴_{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝟎; 𝑴_{𝒈(𝒛=𝒂)} = 𝑴𝒂 𝒂 + 𝒃

z

𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝒂 + 𝒃

𝑴_𝒈(𝒛) = 𝑹_𝑨 ∙ 𝒛 − 𝑴 𝑴_𝒈(𝒛) = 𝑴

𝒂 + 𝒃 ∙ 𝒛 − 𝑴 𝑴_{𝒈(𝒛=𝒂)} = 𝑴𝒂

𝒂 + 𝒃 − 𝑴 = 𝑴 𝒂

𝒂 + 𝒃 − 𝟏 = − 𝑴𝒃 𝒂 + 𝒃 𝑴_{𝒈(𝒛=𝒂+𝒃)} = 𝟎

M_g>0

𝑹_A z

M_g<0

z 𝑴

M_g

z

𝑴𝒂 𝒂 + 𝒃

Spostrzeżenie:

5) W miejscu działania skupionego momentu występuje skokowa zmiana wartości momentu zginającego.

𝑴

− 𝑴𝒃 𝒂 + 𝒃

𝑴

(15)

A

Dane: a, q Szukane: Wykresy T(z), M_g(z)

y

z B

2a

𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟐𝒂

𝑴_𝒈(𝒛) = 𝑴 − 𝒒𝒛 ∙ 𝒛 𝟐 𝑴_{𝒈(𝒛=𝟎)} = 𝒒𝒂^𝟐

𝑹_A

𝑻_(𝒛) = 𝒒𝒛 𝒒

𝑻_(𝒛=𝟎) = 𝟎 𝑻_{(𝒛=𝟐𝒂)} = 𝟐𝒒𝒂

𝑷 = 𝟒𝒒𝒂 z a

𝑴 = 𝒒𝒂^𝟐

T z

𝑴_𝑼

Q_(z)=qz

𝑷 𝟐𝒒𝒂

𝑹_A −𝟐𝒒𝒂

z

𝟐𝒂 ≤ 𝒛 ≤ 𝟑𝒂

𝑻_(𝒛) = 𝒒 ∙ 𝟐𝒂 − 𝑷 = 𝟐𝒒𝒂 − 𝟒𝒒𝒂 = −𝟐𝒒𝒂

𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻

𝑻 > 𝟎

^M^g

z

M_g>0 M_g<0

= 𝒒𝒂^𝟐 − 𝒒𝒛^𝟐 𝟐 𝑴_{𝒈(𝒛=𝟐𝒂)} = −𝒒𝒂^𝟐

𝒒𝒂^𝟐

−𝒒𝒂^𝟐

𝑴 𝑴_𝒈(𝒛) = 𝑴−𝒒 ∙ 𝟐𝒂 ∙ (𝒛 − 𝒂) +𝑷(𝒛 − 𝟐𝒂)

𝑴_𝒈(𝒛) = 𝒒𝒂^𝟐 + 𝟐𝒒𝒂^𝟐 − 𝟐𝒒𝒂𝒛 + 𝟒𝒒𝒂𝒛 − 𝟖𝒒𝒂^𝟐 𝑴_𝒈(𝒛) = 𝟐𝒒𝒂𝒛 − 𝟓𝒒𝒂^𝟐

𝑴_{𝒈(𝒛=𝟐𝒂)} = −𝒒𝒂^𝟐 𝑴_{𝒈(𝒛=𝟑𝒂)} = 𝒒𝒂^𝟐

𝒒𝒂^𝟐 𝑴_U

(16)

A

Dane: a, q Szukane: Wykresy T(z), M_g(z)

B

a 𝒒

𝑴 = 𝒒𝒂^𝟐

C D

a 1. Wyznaczanie reakcji:

𝑴_𝒊𝑩

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 −𝒒𝒂𝒂

𝟐 − 𝒒𝒂^𝟐 + 𝑹_𝐁𝐲𝒂 = 𝟎 𝑹_𝑩𝒚 = 𝟑

𝟐𝒒𝒂

𝑴 = 𝒒𝒂^𝟐

𝑹_A 𝑹_By

𝑹_Bx

𝑭_𝒊𝒚

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 −𝑹_𝐀 + 𝑹_𝐁𝐲𝒂 = 𝟎 𝑹_𝑨 = 𝟑

𝟐𝒒𝒂 𝑭_𝒊𝒙

𝒏

𝒊=𝟏 = 𝟎 𝒒𝒂 − 𝑹_𝐁𝐱 = 𝟎

𝑹_𝑩𝒙 = 𝒒𝒂

x y

(17)

7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.5 Dane: a, q Szukane: Wykresy T(z), M_g(z)

qz 1 z 1

A B

a 𝒒

𝑴 = 𝒒𝒂^𝟐

C D

a

𝑹_A 𝑹_By

𝑹_Bx

𝑹_𝑨 = 𝟑

𝟐𝒒𝒂 𝑹_𝑩𝒙 = 𝒒𝒂 𝑹_𝑩𝒚 = 𝟑 𝟐𝒒𝒂

2. Wyznaczanie sił poprzecznych:

T_(z)

𝟎 ≤ 𝒛_𝟏 ≤ 𝒂

𝑻_(𝒛_𝟏₎ = −𝒒𝒛_𝟏 𝑻_(𝒛_𝟏_=𝟎) = 𝟎 𝑻_(𝒛_𝟏_=𝒂) = −𝒒𝒂 𝟎 ≤ 𝒛_𝟐 ≤ 𝒂

𝑻_(𝒛_𝟐₎ = −𝑹𝑨 𝑻_(𝒛_𝟐_=𝟎) = 𝑻_(𝒛_𝟐_=𝒂) = −𝟑 𝟐𝒒𝒂 z₂

= −𝟑 𝟐𝒒𝒂 𝟎 ≤ 𝒛_𝟑 ≤ 𝒂

z3

𝑻_(𝒛_𝟑₎ = 𝑹_𝑩𝒙 _{= 𝒒𝒂} 𝑻_(𝒛_𝟑_=𝟎) = 𝑻_(𝒛_𝟑_=𝒂) = 𝒒𝒂

𝑻 𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻 𝑻

𝑻 > 𝟎

^𝑻

𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻

𝑻 > 𝟎

𝑻

𝑻 < 𝟎

𝑻

𝑻 > 𝟎

z 1

z₂

z3

−𝒒𝒂

−𝟑 𝟐𝒒𝒂

𝒒𝒂

(18)

7.6. Wyznaczanie sił wewnętrznych w belkach - przykłady Przykład 7.5 Dane: a, q Szukane: Wykresy T(z), M_g(z)

qz 1 z 1

𝑹_𝑨 = 𝟑

𝟐𝒒𝒂 𝑹_𝑩𝒙 = 𝒒𝒂 𝑹_𝑩𝒚 = 𝟑 𝟐𝒒𝒂

A B

a 𝒒

𝑴 = 𝒒𝒂^𝟐

C D

a

𝑹_A 𝑹_By

𝑹_Bx

3. Wyznaczanie momentów zginających:

𝟎 ≤ 𝒛_𝟏 ≤ 𝒂: 𝑴_{𝒈(𝒛𝟏)} = −𝒒𝒛_𝟏𝒛_𝟏

𝑴_{𝒈(𝒛𝟏=𝟎)} = 𝟎 𝟐 𝑴_{𝒈(𝒛𝟏=𝒂)} = −𝒒𝒂^𝟐 𝟐 𝟎 ≤ 𝒛_𝟐 ≤ 𝒂: 𝑴_{𝒈(𝒛𝟐)} = −𝒒𝒂^𝟐

𝟐 − 𝑹𝑨𝒛_𝟐 z₂

= −𝒒𝒂^𝟐 𝟐 − 𝟑

𝟐𝒒𝒂𝒛_𝟐 𝟎 ≤ 𝒛_𝟑 ≤ 𝒂:

z3

𝑴_{𝒈(𝒛𝟑)} = −𝑹_𝑩𝒙 𝒛_𝟑

T_(z)

−𝒒𝒂

−𝟑 𝟐𝒒𝒂

𝒒𝒂

= −𝒒𝒛_𝟏^𝟐 𝟐

𝑴_{𝒈(𝒛𝟐=𝟎)} = −𝒒𝒂^𝟐

𝟐 𝑴_{𝒈(𝒛𝟐=𝒂)} = −𝟐𝒒𝒂^𝟐

= −𝒒𝒂𝒛_𝟑

𝑴_{𝒈(𝒛𝟑=𝟎)} = 𝟎 𝑴_{𝒈(𝒛𝟑=𝒂)} = −𝒒𝒂^𝟐

M_g(z)

−𝒒𝒂^𝟐 𝟐

−𝟐𝒒𝒂^𝟐

−𝒒𝒂^𝟐 𝑴