• Nie Znaleziono Wyników

Zbi´ or X nazywamy dziedzin¸ a funkcji, a elementy zbioru X argumentami funkcji f . Zbi´ or f (X), sk ladaj¸ acy si¸ e z obraz´ ow f (x) wszystkich element´ ow x ∈ X nazy- wamy zbiorem warto´ sci funkcji f .

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Zbi´ or X nazywamy dziedzin¸ a funkcji, a elementy zbioru X argumentami funkcji f . Zbi´ or f (X), sk ladaj¸ acy si¸ e z obraz´ ow f (x) wszystkich element´ ow x ∈ X nazy- wamy zbiorem warto´ sci funkcji f ."

Copied!
4
0
0

Pełen tekst

(1)

0.1 Funkcje

Definicja 1. Niech X i Y b¸ ed¸ a dowolnymi niepustymi zbiorami. Je˙zeli ka˙zdemu elementowi x ∈ X zosta l przyporz¸ adkowany dok ladnie jeden element y ∈ Y , to m´ owimy, ˙ze okre´ slona zosta la funkcja f odwzorowuj¸ aca zbi´ or X w zbi´ or Y . Symbolicznie piszemy

f : X → Y.

Uwaga 1. Element y przyporz¸ adkowany elementowi x nazywamy warto´ sci¸ a funkcji f na elemencie x lub obrazem elementu x i oznaczamu symbolem f (x).

Zbi´ or X nazywamy dziedzin¸ a funkcji, a elementy zbioru X argumentami funkcji f . Zbi´ or f (X), sk ladaj¸ acy si¸ e z obraz´ ow f (x) wszystkich element´ ow x ∈ X nazy- wamy zbiorem warto´ sci funkcji f .

Uwaga 2. Zamiast s lowa funkcja u˙zywa´ c b¸ edziemy zamiennie tak˙ze s l´ ow odw- zorowanie, przekszta lcenie, przy czym zawsze mamy w pami¸ eci powy˙zsz¸ a definicj¸ e.

Przyk lad 1. Poni˙zej podajemy przyk lady funkcji okre´ slonych za pomoc¸ a latwych

”w obs ludze” recept:

1. f : R → R, f (x) = 2x + 4;

2. f : R → R, f (x) = x 2 ; 3. f : R → R, f (x) = 1+x 2

2

; 4. f : R → R, f (x) = x 7 + 3x + 1;

5. f : R 2 → R, f(x, y) = x + y;

6. f : R 2 → R 2 , f (x, y) = (x + y, x − y);

7. f : R → R 2 , f (x) = (cos x, sin x);

8. f : R 2 → R 3 , f (x, y) = (2 x , x + y, e y );

Interesowa´ c nas b¸ ed¸ a w dalszej cz¸ e´ sci wyk ladu pewne w lasno´ sci, kt´ ore mog¸ a posiada´ c funkcje.

Definicja 2. Funkcj¸ e f : X → Y nazywamy

1. r´ o ˙znowarto´ sciow¸ a, je˙zeli dla dowolnych x 1 , x 2 ∈ X zachodzi implikacja x 1 6= x 2 ⇒ f (x 1 ) 6= f (x 2 ).

2. ”na”, je˙zeli

f (X) = Y.

3. bijekcj¸ a, je˙zeli ma w lasno´ s´ c (1) i (2).

1

(2)

Definicja 3. Niech f : X → Y, g : Y → Z. Z lo ˙zeniem funkcji f i g nazywamy funkcj¸ e

g ◦ f : X → Z okre´ slon¸ a wzorem

(g ◦ f )(x) = g(f (x)).

Przyk lad 2. Niech

f : R → R, f (x) = 2x + 1, g : R → R, g(x) = x 2 . Wtedy

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(2x + 1) = (2x + 1) 2 = 4x 2 + 4x + 1, podczas, gdy

(f ◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x 2 ) = 2x 2 + 1.

Stwierdzenie 1. Niech f : X → Y, g : Y → Z, h : Z → V . Wtedy h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f.

Stwierdzenie 2. Je˙zeli f : X → Y, g : Y → Z s¸ a funkcjami r´ o˙znowarto´ sciowymi (odpowiednio funkcjami ”na”, bijekcjami), to z lo˙zenie g◦f jest funkcj¸ a r´ o˙znowarto´ ciowa¸ a (”na”, bijekcj¸ a).

Definicja 4. Niech X b¸ edzie dowolnym niepustym zbiorem. Funkcj¸ e id X : X → X, id X (x) = x

nazywamy to ˙zsamo´ sci¸ a (identyczno´ sci¸ a) na zbiorze X.

Stwierdzenie 3. Dla dowolnego odwzorowania f : X → Y zachodz¸ a wzory id Y ◦ f = f,

f ◦ id X = f.

Definicja 5. Niech f : X → Y b¸ edzie bijekcj¸ a. Definiujemy funkcj¸ e g : Y → X w nast¸ epuj¸ acy spos´ ob

y∈Y g(y) = jedyny taki element x ∈ X, ˙ze f (x) = y.

Uwaga 3. Poniewa˙z f jest bijekcj¸ a, to powy˙zsza definicja jest poprawna. Funkcj¸ e g nazywamy funkcj¸ a odwrotn¸ a do f i zwyczajowo oznaczamy f −1 (nie myli´ c z funkcj¸ a f 1 !). Mamy

∀ x∈X ∀ y∈Y f −1 (y) = x ⇐⇒ f (x) = y.

2

(3)

Przyk lad 3. Niech f : R → R, f (x) = 5x + 1. Wtedy y = 5x + 1

5x = y − 1 x = 1

5 y − 1 5 ,

a zatem funkcj¸ e odwrotn¸ a do f mo˙zna zapisa´ c wzorem f −1 (x) = 1

5 x − 1 5 .

Stwierdzenie 4. Niech f : X → Y b¸ edzie bijekcj¸ a. Zachodz¸ a wzory f −1 ◦ f = id X , f ◦ f −1 = id Y .

Definicja 6. Je˙zeli X i Y s¸ a pewnymi zbiorami liczb rzeczywistych, to funkcj¸ e f : X → Y nazywamy funkcj¸ a liczbow¸ a. Jej wykres jest zbiorem punkt´ ow

W f = {(x, f (x)) | x ∈ X}.

Uwaga 4. Cz¸ esto podany jest wz´ or funkcji, ale nie ma podanej dziedziny. W´ owczas przyjmujemy, ˙ze dziedzin¸ a funkcji jest najwi¸ ekszy zbi´ or element´ ow ze zbioru R, dla kt´ orych wz´ or tej funkcji ma sens. Dziedzin¸ e wyznaczon¸ a w taki spos´ ob nazy- wamy dziedzin¸ a naturaln¸ a funkcji.

Definicja 7. Funkcje f : X → R, g : Y → R s¸a r´ owne, je˙zeli maj¸ a r´ owne dziedziny, tzn. X = Y i f (x) = g(x) dla ka˙zdego x ∈ X.

Przyk lad 4. 1. Zbada´ c, czy podane funkcje s¸ a r´ owne:

(a) f (x) = (x − 2) 2 , g(x) = x 2 − 4x + 4.

(b) f (x) = x−1 1 , g(x) = x x+1

2

−1 .

2. Wyznacz dziedziny nast¸ epuj¸ acych funkcji (a) f (x) = x x−3

2

+1 , oblicz f (0) i f (x − 1);

(b) f (x) = √

2x + 5 + x 3 , oblicz f (2) i f (x + y).

Definicja 8. Funkcj¸ e f : X → Y nazywamy

1. rosn¸ ac¸ a na zbiorze X, je˙zeli dla ka˙zdych dw´ och liczb x 1 , x 2 ∈ X x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) < f (x 2 );

2. malej¸ ac¸ a na zbiorze X, je˙zeli dla ka˙zdych dw´ och liczb x 1 , x 2 ∈ X x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) > f (x 2 );

3

(4)

3. niemalej¸ ac¸ a na zbiorze X, je˙zeli dla ka˙zdych dw´ och liczb x 1 , x 2 ∈ X x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) ≤ f (x 2 );

4. nierosn¸ ac¸ a na zbiorze X, je˙zeli dla ka˙zdych dw´ och liczb x 1 , x 2 ∈ X x 1 < x 2 ⇒ f (x 1 ) ≥ f (x 2 ).

Przyk lad 5. 1. Zbadaj monotoniczno´ s´ c funkcji f (x) = 1 2 x + 1 2 .

2. Zbadaj monotoniczno´ s´ c funkcji f : {2, 3, 6} → R, f (2) = 5, f (3) = 0, f (6) = 10.

3. Wyka˙z, ˙ze funkcja y = x 2 + 1 jest rosn¸ aca na przedziale [0; +∞).

4. Wyka˙z, ˙ze funkcja y = x+2 x−1 jest malej¸ aca na przedziale (−∞; 1).

Definicja 9. Funkcj¸ e f nazywamy okresow¸ a, gdy istnieje taka liczba T 6= 0,

˙ze dla ka˙zdej liczby x z dziedziny funkcji liczba x + T tak˙ze nale˙zy do dziedziny oraz

f (x) = f (x + T ).

Liczb¸ e T nazywamy okresem funkcji. Je˙zeli istnieje najmniejszy okres do- datni, to nazywamy go okresem podstawowym.

Definicja 10. Funkcj¸ e f nazywamy parzyst¸ a, gdy dla ka˙zdej liczby x z dziedziny funkcji f liczba −x tak˙ze nale˙zy do dziedziny oraz

f (x) = f (−x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgl¸ edem osi OY.

Definicja 11. Funkcj¸ e f nazywamy nieparzyst¸ a, gdy dla ka˙zdej liczby x z dziedziny funkcji f liczba −x tak˙ze nale˙zy do dziedziny oraz

f (−x) = −f (x).

Wykres funkcji parzystej jest symetryczny wzgl¸ edem punktu (0, 0).

Przyk lad 6. Wyka˙z, ˙ze poni˙zsze funkcje s¸ a parzyste:

1. f (x) = x 2 + 5, x ∈ R;

2. f (x) = √

2x 2 + 5 − 2, x ∈ R;

3. f (x) = x x

53

+2x −x , x ∈ R \ {0}.

Przyk lad 7. Poka˙z, ˙ze nast¸ epuj¸ ace funkcje s¸ a nieparzyste:

1. f (x) = 3x 3 − 7x, x ∈ R, 2. f (x) = 1 x , x ∈ R \ {0}, 3. f (x) = 1−x x

72

, x ∈ R \ {−1, 1}.

4

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

[r]

[r]

4. Stojące na stole akwarium o szerokości w, długości l i wysokości h napełniono wodą po czym przechylono wzdłuż boku l tak, że podstawa akwarium tworzy ze stołem kąt

[r]

Funkcja jest monotoniczna na zbiorze, gdy jest rosn¡ca, niemalej¡ca lub nierosn¡cana tym

Oblicz stosunek pola powierzchni tej sfery do pola powierzchni sfery opisanej na graniastos

[r]