(a) Istnieje R-moduª M 0 taki, »e R-moduª M ⊕ M 0 jest wolny.

Pier±cienie Dedekinda, Lista 13

Niech R b¦dzie pier±cieniem i M, N b¦d¡ R-moduªami.

1. Udowodni¢, »e nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(a) Istnieje R-moduª M ⁰ taki, »e R-moduª M ⊕ M ⁰ jest wolny.

(b) Dla ka»dego epimorzmu ϕ : N → M istnieje homomorzm ψ : M → N taki, »e ϕ ◦ ψ = id M .

2. Udowodni¢, »e ka»dy moduª projektywny jest pªaski.

3. Zaªó»my, »e S ⊂ R jest podzbiorem multyplikatywnym i M, N s¡ R S

moduªami. Udowodni¢, »e:

(a) M ⊗ R N ma jedyn¡ struktur¦ R S -moduªu tak¡, »e naturalne odw- zorowania M, N → M ⊗ R N s¡ R S -liniowe.

(b) M ⊗ R N ∼ = R

M ⊗ _R

N .

4. Zaªó»my, »e S ⊂ R jest podzbiorem multyplikatywnym. Udowodni¢,

»e

M S ∼ = R

M ⊗ R R S , (M ⊗ _R N ) _S ∼ = R

M _S ⊗ _R

N _S .

5. Zaªó»my, »e R jest pier±cieniem lokalnym i M jest sko«czenie gen- erowanym moduªem projektywnym. Udowodni¢, »e M jest wolny. Za- ªo»enie, »e M jest sko«czenie generowany mo»na opu±ci¢ (Kaplanski), ale dowód jest wtedy trudniejszy.

6. Udowodni¢, »e je±li M jest wolny i odwracalny, to M ∼ = R R .

7. Zaªó»my, »e M jest odwracalny. Udowodni¢, »e kanoniczne odwzorowanie M ⊗ _R Hom _R (M, R) 3 m ⊗ ϕ 7→ ϕ(m) ∈ R

jest izomorzmem R-moduªów.

8. Zaªó»my, »e f : M → N jest homomorzmem R-moduªów takim, »e dla ka»dego P ∈ Max(R) odwzorowanie f P : M _P → N _P jest izomorzmem.

Udowodni¢, »e f jest izomorzmem.

9. Udowodni¢, »e je±li M jest lokalnie wolny rangi 1, to M jest odwracalny.