f O charakteryzacji Poissona ze

(1)

ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria III: MATEMATYKA STOSOWANA X (1977)

LUCJA GRZEGÓRSKA (Lublin)

O charakteryzacji ^rozkładuPoissona ze zniekształceniem (Praca przyjęta do druku 24.04.1975)

W roku 1963 R.C. Rao ^rozważałproces Poissona z parametrem .A, w którym pierwotne wartości podlegają zakłóceniu opisanemu przez ^rozkładdwumianowy, tj. jeśli obserwacją procesu Poissona X jest n, to prawdopodobieństwo S(r; n) tego,

że wielkość ta zostanie zredukowana do r ^~n, jest równe

(1) S(r; n) = (~)prqn-r, r = ^O~1, ... ,n; O < p < 1; p+q = 1.

W l;'racy [4] Rao wykazał, że jeśli Y jest procesem wyjściowym, czyli procesem uzyskanym w wyniku zakłócenia X, to

(2) P[Y = r] = P[Y = rlA] = P[Y = rlA] =

(~)'

e-"P, gdzie A oznacza zdarzenie, ^żenie wystąpiło zakłócenie X.

R.C. Rao i H. Rubin [5] wykazali, ^żewarunek (2) charakteryzuje ^rozkładPois- sona, a R.C. Srivastawa i A.B.L Srivastawa [8] udowodnili, ^{że jeśli}X jest procesem Poissona i zachodzi (2), to zakłócenie ma charakter dwumianowy, tj. S(r; n) ma

postać (1).

W niniejszej pracy będziemy się zajmować podobnym problemem jak R.C. Rao i H. Rubin w [5] przy założeniu, że X ma rozkład typu PSD bądź typu IPSO. Udo- wodnimy mianowicie następujące dwa twierd~enia.

TWIERDZENIE 1. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie typu PSD (power series distribution ), tj.

a(x)()x

P[X = x] = p(x; O) = /(()) -, x =O, 1, 2, ... ,

gdzie a(x) ~ O, f(O) =

_L

oo a(x)Ox, () E Q = {O: O < () < R}, a R jest promieniem

X=O

zbieżności szeregu potęgowego f (()) i co najmniej jeden ze współczynników a(x) jest dodatni, A jest zdarzeniem, że nie wystąpiło zakłócenie, a Y - zmienną losową obser-

wowaną.

Załóżmy, że rozkład S(r; n) spełnia warunki

µ = rxnp, a²= rxnp(q+{Jnp),

5 Matematyka Stosowana X [65]

(2)

gdzie µ i a² oznaczają odpowiednio wartość oczekiwaną i wariancję tego rozkładu, O < ·a ~ 1, fJ = 1-a,_ p

+

^q= L

Jeśli rozkład zmiennej losowej obserwowanej Y jest taki, że

(3) EY = a1 (O)E(YIA)

oraz (4)

gdzie 0!₁(O) = e< + p[f(O)]-P,

/1

1 (O) = 1-e<1 (O), to zmienna losowa X ma rozkład Poissona.

D o wód. Niech Pn = P[X = ^n]. Zauważmy, że

(5) ^EY⁼

fi~ f:-t.

^~YPnS(y;ⁿ⁾⁼ctpO d(O) /(O) df(O)

I

oraz

I

oo na(n)()nS(n; n)

(6) E(Y[A) = _n=oo_1 _ _ _ _

I

a(n)()nS(n; n)

n=O

Podstawmy/*(()) =

,L

oo a(n)()nS(n; n). Wykorzystując powyższe oznaczenie, wzór (6) możemy napisać

..

n=O w postaci

E(YIA) =

odf;~

⁰

2 j

^f*(O).

Stąd, oraz na mocy (3) i ( 4), otrzymujemy następujące równanie różniczkowe:

O!p [f ( ()) _{a [f(O)]P})P-l df (())Id()

₊

_p = df* _d()(O)

/1 ^{* ( ())}

_.

Rozwiązanie tego równania ma postać

(7) f*(O) = c[P + ct[f(O)]P], c >

o.

Zauważmy teraz, że założenia (3) i ( 4) implikują równość

(8) EY(Y-1) = ct₁(O)E(Y(Y-l)IA).

Biorąc pod ^{uwagę, że}

oo oo oo n

EY(Y-Ó = Ly(y-1) LpnS(y;n) = LLy(y-l)pnS(y;n) =

y=2 n=y n=2 y=2

.=

^a.0²^p²

t,n(n-

l)a(n)0"-²/f(O) = a.0²p²

d~~O)

/ f(O),

(3)

O charakteryzacji ^rozkładuPoissona ze zniekształceniem 67 oraz

EY(Y-l)IA

= f

y(y-1) !,S(y;y)

= 02d

²

~:~0)I

^f*(O)

Y=2

L

^{PnS(n; n)}

n=O

otrzymujemy

Podstawiając teraz do ostatniego wzoru (7), mamy d²f (O) / . • [ df(O)

l

²

^I

²

---{jfj;-;

^f^(O)^{= · ·}

^·-dO /!

^(O).

Rozwiązanie tego równania ma ^postać

f (8)

=

^ecO+c1,

gdzie c > O i c1 są stałymi. Zauważając, że zmienna losowa X o rozkładzie typu PSD z f(()) = ec⁰+c¹ma rozkład Poissona, otrzymujemy ^tezętwierdzenia 1.

TWIERDZENIE 2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie typu IPSD, tj.

l ^p+a;i~J

^dla ^x=O,

P[X = x} = p(x;O,a) =

a(x)

ox

^dl ²

a f(O) a x

=

I, , ... ,

gdzie O < ^et~I, f3 = 1-et, a(x) ~ O, f(()) =

L

oo a(x)Ox, () ^EQ = {8: O<()< R}t a R jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego X=O f(O) i co najmniej jeden ze ^współ- czynników a(x) jest dodatni, A jest zdarzeniem oznaczającym, że nie wystąpiło zakłó

cenie, a Y-zmienną losową obserwowaną.

Załóżmy, że rozkład S(r; n) ^spełniawarunkiµ = np, ^<J²= npq, gdzie p+q = 1, a µ i <J² oznaczają wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu S(r; n). Jeśli rozkład

zmiennej losowej obserwowanej jest taki, że

(9)

(IO) <J²Y = a1(0)<1²(YIA)+a1(0){31(0)E2(YIA),

gdzie ^et1 (8) = et+ {3[f(0)]1-P, et₁(O)+

p

1 (8) = I, to zmienna losowa X ma ^rozkład Poissona ze zniekształceniem.

D o w ó d. Zauważmy, że

(Il) EY

=~Pn J;.

^{rS(r; n)}⁼^apO

^d~~)

^{/ f(O),}

(4)

oraz (12)

a

i:

na(n) ons(n; n) jf(())

E(YJA) = n=t . oo •

. {3S(O; O)+ a

n~o

a(n)·frS(n; n)

j

^f(O)

oo

Podstawiając w (11)/*(0) =

I:

a(n)OnS(n; n) oraz zauważając, że S(O; O) = 1, otrzymujemy n=O

. E(YIA) = ei.O df;JO) /[af*(0)+{3f(O)].

Stąd oraz na mocy (9) i (11) mamy

(13) ^p

d~~)

lf(O) = {cx+Pff(O)J^1-•}

df;~O) I.

[cxf*(O)+/lf(O)].

Warunki (7) i (8) implikują równość (14)

Ale a

oo

E(Y(Y-1)) = CX1 (O)E(Y(Y- I)IA).

E(Y<Y-1))

⁼^a.p²

0

²

a'fo~> j 1<0>.

a.02d2f*(O)/d()2 E( Y(Y - 1 )IA) = {Jf(O)

+

a.f*(O) ,

gdzie /*(O)

= I:

a(n)OnS(n; n). Zatem z równości (14) otrzymujemy

n=O

(15)

P2d2fo~> j

^f(ll)⁼ {cx+/l[f(O)J'-•}

d2;~o) j

[a.f*(O)+/lf(O)J.

Tak więc otrzymaliśmy układ równań (13) i (15) na poszukiwane funkcje /*(O) i /(O).

Zauważmy teraz, że funkcja f*(O)

=

^[f(O)]P^spełniarównanie (13). Podstawiając ją do (15) otrzymujemy

dJo~> ;

^f(O)^{= (}

^d~~) r;

^[/(0)]2.

Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja f(O) = ecO+c1,

gdzie c > O i c 1 są stałymi.

Zauważając, że zmienna losowa X o rozkładzie typu IPSD z f(O)

=

^ec⁰^+c1^ma

rozkład Poissona ze zniekształceniem, otrzymujemy ^tezętwierdzenia 2.

(5)

O charakteryzacji ^rozkładuPoissona ze zniekształceniem 69

Bibliografia

(1] W. Dyczka, T. Świątkowski, O rodzinach rozkładów prawdopodobieństwa typu PSD, Zeszyty Naukowe Politechniki ^Łódzkiej,Matematyka z. 2 Nr 152 (1973), str. 5-24.

(2] A. N o a ck, Class of random variables with discrete distriputions, Ann. Math. Stat. 21 (1) (1950), str. 127-132.

[3] K. N. Pa n da y, On generalized inflated Poisson distribution, J. Scienc. Res. Benares Hindu Univ. XV (2) (1964-65), str. 157-162.

[4] R. C. Ra o, On discrete distributions arising out of methods of ascertainment, Internat. Symp.

on Discrete Distributions, McGill University, (1963), str. 320-332.

[5] R. C. Ra o, H. R u b i n, On a characterization of the Poisson distribution, Sankhya, Ser.

A, 26 (1964), str. 295-298.

[6] D. N. Shan b ha g, R. M. C 1 ark, Some characterizations for the Poisson distribution starting with a power series c;fistribution, Proc. Camb. Phil. Soc. 71. 3 (1972), str. 517-527.

[7] S. N. Si n g h, A note of inflated Poisson distribution, J. Indian Statist. Assoc. 1. 3 (1963), str. 140-144.

[8] R. C. Sr i v a s t a w a, A. B. L S r i va s t a w a, On a characterization of Poisson distri- bution, J. Appl. Probability, 7(1970), str. 497-501.

f O charakteryzacji Poissona ze

(~)'

_L

+

/1

fi~ f:-t.

I

I

I

,L

..

odf;~

2 j

+

/1 * ( ())

o.

.=

t,n(n-

d~~O)

= f

= 02d

~:~0)I

L

l

I

---{jfj;-;

·-dO /!

=

l p+a;i~J

ox

=

L

p

=~Pn J;.

d~~)

i:

n~o

j

I:

d~~)

df;~O) I.

E(Y<Y-1))

0

a'fo~> j 1<0>.

+

= I:

P2d2fo~> j

d2;~o) j

=

dJo~> ;

d~~) r;

=

•

₊

/1 ^{* ( ())}

^I

^·-dO /!

l ^p+a;i~J

^d~~)

^d~~) r;