O istnieniu i ograniczoności rozwiązań pewnego układu równań różniczkowych z opóźnionym argumentem

ItO C ZN IK I PO LSK IEG O T O W A R Z Y S T W A M A TEM ATYC ZNE G O Seria I: PRA CE M A T E M A T Y C ZN E Y I I I (1963)

J. Bła ż (Katowice)

O istnieniu i ograniczoności rozwiązań pewnego układu równań różniczkowych z opóźnionym argumentem

. i. Przedmiotem moich rozważali będzie układ równań

<pv(t) = o)y(t) dla te( — oo, A } ,

(1 ) , n °?

' ; <pl{t) = У, J — s ) , . . . , (p n(t — s))dsrm(t, s)-{ gr(ł) fi = i o

dla t e ( A , B ) , gdzie v = 1 ,2 , n.

Symbole całkowe po prawych stronach tych równań oznaczają całkowanie w sensie Stieltjesa względem zmiennej s (co przypomina wskaźnik s u dołu symbolu d różniczki) przy ustalonym te { A , B )j В < -foo. N ie­

wiadomymi w tych równaniach są funkcje yv{t), r = 1 ,2, które mają być ciągłe w całym przedziale ( —oo,_B) i mają mieć ciągłe po­

chodne q>'v(t) w przedziale ( A , B ) , przy czym <pv{A ) są rozumiane jako pochodne prawostronne. Oczywiście, żądanie to nakłada już z góry wa­

runek ciągłości na dane w równaniach funkcje (o„{t), które będę nazywał funkcjami początkowymi.

Funkcje cov(t), f Vfl(t, ®i, ..., xn), r vfl{t, s) i gv(t), występujące w równa­

niach (1), uważam za wiadome i przyjmuję, że spełniają one, dla v, у =

= 1 ,2, ..., n, następujący układ założeń:

Z a ło ż e n ia Z.

I. Funkcje f Vfl(t, aą, ..., xn) są określone i ciągłe dla A A^t < В i dla dowolnych układów wartości zmiennych xv, a ponadto

П

(2) \fvil{t, x Xl ..., xn)\ ^ A r/l( t ) + ^ B ni„{t) \xM\, H —1

gdzie A vtx(t) oraz B v/lH(t) oznaczają jakieś funkcje ciągłe i nieujemne w przedziale ( A , B).

I I. Funkcje rVft(t ,s ), zwane tu jądrami, są określone dla te ( А , В ) i Se<0, -fo o ); rni(t, 0) = 0 dla t e ( A , B).

4 6

I I I . Funkcje rv/i(t, s) mają, ze względu na zmienną s i przy ustalo­

nym t , wahanie ograniczone, a mianowicie

OO

¥ r Vfl(t, s) < vni{t) dla t e ( A , B ) ,

s=0

gdzie vv/i(t) oznaczają pewne funkcje ciągłe i nieujemne w przedziale

< A , B ) .

IY . Dla dowolnego rj > 0 istnieje takie К > 0 , że wahanie funkcji rvft(t, s) w przedziale <K, -f oo) spełnia nierówność

oo

¥ rVfi(t, s) < r) dla t e ( A , B ) . s=K

Y. Dla dowolnego Tc > 0 i u e ( A , B ) , к

lim f |rVft{t, s ) - r Vf,{u, s)\ds = 0, o

gdzie te ( A , B).

Y I. Funkcje g„(t) są ciągłe dla t e ( A , B ) , funkcje zaś początkowe (ov(t) — nie tylko ciągłe, ale i ograniczone: |со„(£)| < Q — const.

P rzy tych założeniach przeprowadzę dowód istnienia rozwiązań układu równań (1) — twierdzenie I — oraz podam pewne warunki ich ograniczoności (lub nieograniczoności) — twierdzenia I I , I I I i IY .

2. W szczególnym przypadku, gdy а?1? ..., xn) = xVfl dla v, ц —

= 1, 2, ..., n, układ równań (1) przyjmuje póstać

’<pv{t) — cov(t) dla t A ,

(Г ) “ “

(p'v(t) = 2j

J

Takie właśnie, liniowe układy równań badał wszechstronnie A. D. Mysz- kis w swej znanej monografii [2], jednakże przy nieco bardziej krępują­

cych założeniach o jądrach rv/x(t, s) niż te, które zostały sformułowane wyżej, w obrębie założeń Z. Przyjmował on, oprócz podanych w założe­

niach Z warunków I I i I I I , że rVfi( t , s) = r Vfi(t, e{t)) dla s > o(t), gdzie a(t) oznacza pewmą funkcję ciągłą i nieujemną w przedziale <А , В ) oraz że

e(<)+i

lim f \rm(t, s) — rvfl(u, e)|ds = 0 dla t , u c ( A , B ) , t^u g

skąd można natychmiast wyprowadzić warunki I Y i Y zawarte w zało­

żeniach Z.

Natomiast nieliniowe układy równań typu (1) były przedmiotem pracy [1], znajdującej się dopiero w druku i udostępnionej mi dzięki

J. B ł a ż

4i O istnieniu i ograniczoności rozwiązań pewnego uMadu równań

uprzejmości autorów, zawierającej dowód istnienia i jednoznaczności rozwiązań układów równań typu (1), przeprowadzony metodą kolejnycli przybliżeń, przy założeniach różniących się od założeń Z w sposób istotny tylko w punkcie I, gdzie autorowie wspomnianej pracy zakładali, że funkcje f v/i(t, a?!, ..., xn) spełniają warunek Lipschitza ze względu na zmienne W dowodzie tym ważną rolę odgrywał następujący lemat, będący uogólnieniem lematu podanego w monografii [2] na str. 2 1:

Lemat. Jeżeli funTccja P ( t , s) jest ciągła i ograniczona dla A < t < B*

i s > 0, a funkcje rVfi(t ,s ) (v, p = 1 ,2 , ..., n) spełniają założenia Z, I I - Y , to całka Stieltjesa

00

) P ( t , s)dsrv^{t, s)

, o

zależy w sposób ciągły od parametru te \A, B * } .

Z lematu tego będę korzystał w dalszych rozumowaniach.

3. Twierdzenie I. Jeżeli spełnione są założenia Z, to układ równań (1) ma co najmniej jedno rozwiązanie cpv{t), v — 1, 2, ..., n, określone w całym, przedziale ( — o o ,B ).

D ow ód . Wzorując się na metodzie stosowanej przez L. Tonelli’ego (por. np. [3], str. 42), zbuduję n pomocniczych ciągów funkcji pl(t), i = 1 ,2, ..., w sposób następujący:

Przyjmuję, że

(3) {

<pl(t) = cov(t) dla t < A , v = 1, 2, ..., n,

, , ^*

71 Ц ( 00

JT / /

...,

p = l A ( O

i

d r-f

--j- J y „ (T)^ T dla A < t < B, v = 1, 2, ..., n,

gdzie f = max [LI, t — l/ i]. Wobec założenia Z V I, funkcje pv(t) są wspól­

nie ograniczone i ciągłe dla t < A. Przypuśćmy na chwilę,, że funkcje te zostały już określone dla dowolnie ustalonego i oraz dla t < Bf = A-j- Ą -jji < B, gdzie j oznacza liczbę naturalną, i że funkcje te są ciągłe w tym zakresie zmiennej t. Na mocy lematu podanego w rozdziale 2 całki

OO

J U ( r > SPi — s) , • • • j <Pn (7 — *)) (t ,8) o

muszą być również funkcjami ciągłymi zmiennej т w przedziale ( A , B j ) i wobec tego równania (3) określają funkcje <plv(t) w sposób jednoznaczny i z zachowaniem ciągłości, w przedziale <Б?-, Bj+1), gdzie Bj+l =

= min {Bj + 1 f i , B). Stąd wnosimy już, na zasadzie indukcji, że dla do­

wolnie ustalonego wskaźnika i równania (3) wyznaczają w sposób jedno-

48

znaczny funkcje <pl (t) w każdym z przedziałów ( — 00, Bj), gdzie j = 1 , 2 , lub też j = 1 ,2 , J i Bj = B. Tym samym funkcje, o których mowa, są jednoznacznie określone przez równania (3) w całym przedziale ( — 00, B) i ciągłe w tym przedziale dla v = 1 , 2, ..., n oraz i — 1, 2, ...

Wprowadźmy oznaczenia:

j . B ł a z

t

W Gv{t) = / ^(т)йг|,

(S) (r(4) = max (+(/)

v = 1, 2, , n

n n

(6)

(7)

h(t) = max V v = В2.--- >n /f^i L

t

H (t) = J h ( r ) d r . A

Opierając się że funkcje

na założeniach Z, I-1 1 1 i Y l, stwierdzamy z łatwością,

(8) ⁰%{t) — max {sup \ф1(н) \ + 1}

v = 1, 2,.. ., n

czynią zadość nierównościom

i

(9) <F\t) + WHt) = F{b) + f Ъ {т)ф1(т)(1т A

dla te { A , by, gdzie h oznacza dowolnie ustaloną liczbę z przedziału

<A , B ) i

F( b) = 4 2 + 1 + max Q(u).

A^.u^b

Ale W*{A) = F( b) oraz dWi (t)/dt = ii{t)0 l (t) < łi(t)W l (t)', zatem, z uwagi na (9) i definicję funkcji 0 l (t), będzie

(1 0) \(pv{t)\ + W l {t) + F{b)ex-pH(t) dla t e ( A , b ) , - i = 1 , 2 , . . . , czyli funkcje <pl(t) muszą być wspólnie ograniczone w każdym z prze­

działów ( — o o ,ó ), gdzie b e y A , B).

Przypuśćmy teraz, że liczby t i t + ó > t należą do przedziału <A, b}, gdzie be ( A , B). Z równań (3) wynika, że

в = \<pi(t+d)-<pi(t)\ <

n t j + 6 0 0 ^+<5

< f j j fw(r,<pl(r— s), (ргп{т— 8))darr/t{r, *)j dr + |J ^(т)Йт|.

/« = 1 ^ 0 <

Stąd, na mocy założeń Z i z uwagi na związki (6), (9), (8) i (10),

Ц-\- 6 t f <5

U < j /t (т)Фг(т)йт + j j dr < Л(Ь) Ió\,

4 1

gdzie A(b) oznacza pewną funkcję rosnącą zmiennej b. Widzim y więc, że funkcje <pl(t) są nie tylko wspólnie ograniczone, ale i jednakowo ciągłe w każdym ograniczonym podprzedziale ( A , by przedziału (A ., B).

Mech teraz bp, p = 1 ,2, . . . , oznacza pewien rosnący ciąg liczb z przedziału ( А , В ), zbieżny do В (rosnący nieograniczenie, jeśli i? = -J-oo).

Na mocy znanego twierdzenia Arzeli, istnieje, dla każdego ustalonego p , ciąg liczb naturalnych i ( p , q), q = 1 , 2, ..., taki że zawsze ciąg i (p + 1, q), q — 1 ,2, . . . , jest podciągiem wyjętym z ciągu i{p , q) i oprócz tego, dla każdej pary ustalonych wskaźników p, v, ciąg funkcji cpx} v’q\t), q —

= 1,2, . . . , jest w odpowiednim przedziale <A, bpy jednostajnie zbieżny do pewnej funkcji ciągłej y%(t). Jest oczywiste, że zawsze y%+1(t) = y%(t) w przedziale ( A , bp) i wobec tego ciąg funkcji po przekątni ąx} v,p){t), p = 1 ,2, . . . , jest przy ustalonym v zbieżny w całym przedziale ( A , В ) do pewnej funkcji <pv(t), która w każdym z przedziałów ( A , bp> pokrywa się z odpowiednią funkcją Zbieżność ta jest. jednostajna w każdym podprzedziale ograniczonym przedziału <А , В ). Skoro było stale <fv(t) =

= cov(t), dla t < A, v = 1, 2, n oraz i = 1 ,2, ..., to możemy prze­

dłużyć funkcje cpv{t) w sposób ciągły w lewo, na cały przedział ( —oo, B), przyjmując, że <pv{t) = cov(t) dla t < A.

Pozostaje jeszcze sprawdzenie, że określone w ten sposób funkcje

<pv(t), v = 1, 2, ..., щ spełniają równoważny warunkom (1) układ równań

<pv(t) = cov(ł) dla t < A ,

n i oo

<pv(i) = mv( A ) A £ j { J f v/l(r ,cpi(r— s ),. . . ,(pn(r - S))dsrnt(r ,s)^dr a

( 1 1 ) 1 = 1 A 0

t

-f J gv (r) dr dla A < t < В ,

gdzie v = 1 ,2 , ..., n. W tym celu wystarczy sprawdzić, że dla ustalonej wartości t A A drugi człon nierówności

n i oo

\epv(t) — o)v(A ) — J { J f nt{r, <pi(r — 8), (pn{r — s))dsrv/l(r, s )}d r --

// = 1 A 0

i

— J.'M 'O'h <

n 4{p,p) у ,

+ У I 1 I l U ( r , (f)iP’v) ( r - s) , ...) ~ U ( r , <pi (T - s) ,...) ] dsrv/l{r , 8) I dr +

/ < - 1 A ' o

t oo

+ J I J fvp(r, <pi{r— s), . . . , p n{ r — s))dsrni{r, e)| dr

4 ( p , p ) 0

O istnieniu i ograniczoności rozwiązań pewnego układu równań 49

Prace Matematyczne VIII. 1 4

50 J . B ł a i

dąży do zera, gdy p -> + 00. Przez obustronne zróżniczkowanie tych spośród równań (11), które odnoszą się do przedziału <A, B) dochodzi się do wniosku, że funkcje <pv(t) mają w tym przedziale ciągłe pochodne i spełniają odpowiednie równania (1), co kończy dowód twierdzenia.

4. Tw i e r d z e n i e I I . Jeżeli spełnione są założenia Z, I - Y I i jeśli funkcje Gv{t), v — 1 , 2 , . . ., % , oraz H (t) są ograniczone w przedziale <A., B)

(por. wzory 4-7), to Tcażde rozwiązanie <pv(t)f v = 1, 2, układu rów­

nań (1) jest ograniczone i oprócz tego istnieją granice t

(1 2) lim L ( « ) — f g v( r ) d r ,, v = 1, 2, . . . , n.

B > t - + B 1 j 7

D o w ó d . Przypuśćmy, że spełnione są założenia Z, że funkcje <pv(t) stanowią pewne rozwiązanie układu równań (1) i że

G o ^ G ^ t ) , v = l , 2 t

H0 > H (t) = I J* h (t) dr I

w całym przedziale < A , B ) . №ech będzie ponadto (13) Г — Q - \ - GqĄ - 1,

(14) Ф(<) = max {sup |99v(w)|-f 1} .

Ponieważ funkcje <p,(t) muszą oczywiście spełniać także układ równań (1 1), więc, co łatwo sprawdzić,

t

<t>{t) < W{t) = Г + f h ( r ) 0 ( r ) d r dla te< A , B) .

A

Ale

W ( A ) = Г i W' ( t ) = h{t)0{t) < h( t ) W{t ) ,

więc t

Ф{1) Ж(<) < Z1 exp J h( r ) dr < (7 = /'exp#,, = const < + 00,

skąd (<)I < 0 dla że<A, J3), a więc funkcje cpv{t) są ograniczone.

A b y dowieść drugiej części tezy, przyjmuję, że t

V>v{t) = <Pv{t)— f gv(r)dr.

A

Z równań (11) wynika, że jeśli A < t < s < B, to

.9 S

|y\,(.<?) — ^(01 < J Л(т)Ф(т)йт < 0 j h(T)dr

t t

dla v = 1 ,2,...,% ; lecz wobec założenia o ograniczoności funkcji H (t ) ostatni człon tych nierówności dąży do zera, gdy t B, co pociąga za sobą istnienie granic funkcji ipv(t) dla t В, a, tym samym granic (12), co kończy dowód drugiej części twierdzenia.

U w a g a 1. Jeżeli któraś z funkcji Gv(t) nie jest ograniczona, ale po­

zostałe założenia twierdzenia I I są spełnione, to któraś z funkcji <pv{t) musi byó także nieograniczona, bo w przeciwnym razie mielibyśmy dla v — 1 , 2 , . . . , %

t

Gv(t) < |<М^)Ц-\Wv(t)\ ^ const-f- J h ( r ) 0 ( r ) d r < + o o ,

A

co jest sprzeczne z założeniem, że nie wszystkie Gv(t) są ograniczone.

U w a g a 2. Z drugiej części twierdzenia I I wynika bezpośrednio, że o ile spełnione są jego założenia i dla któregoś z wskaźników v istnieje granica

t

O istnieniu i ograniczoności rozwiązań pewnego układu równań 51

to istnieje granica odpowiedniej składowej rozwiązania ИпкрДг).

U+B

Jako wnioski z twierdzenia I I otrzymujemy:

Twieedzenie I I I . Jeżeli spełnione są założenia Z, I - V I i jeżeli dla v, p, x = 1,2, . . . , n funkcje Gv{t) i vvtt{t) oraz całki funkcji A Vfi(t) i B VM„(t) są ograniczone, to funkcje q>v{t), będące rozwiązaniem układu równań (1) są ograniczone i istnieją granice (1 2).

Twieedzenie IV . Jeżeli spełnione są założenia Z, I - Y I i dla v, p, x =

= 1 , 2 , . . . , % funkcje Gv(t), A Vfi(t) i B vm (t) oraz całki funkcji vVfi(t) są ograniczone, to rozwiązanie (pv(t) układu równań (1) jest ograniczone i ist­

nieją granice (1 2).

Do każdego z tych twierdzeń stosują się oczywiście uwagi 1 i 2. Panu Profesorowi A. Bieleckiemu, recenzentowi niniejszej pracy, składam wyrazy podziękowania za Jego cenne uwagi, dzięki którym praca zyskała na ogólności i przejrzystości.

Prace cytowane

[1] A. B ie le c k i et M. M a k sy m , Sur une generalisation d'un thćorśme de A . B . Muichkis, Biuletyn Lubelskiego Towarzystwa Naukowego, 2 (1962).

[2] А. Д. М ы ш кис, Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, Москва-Ленинград, 1951.

[3] Дж. С ан сон е, Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 1, Москва 1953.

52 J. B ł a ż

Ян Блаж (Катовице)

О С У Щ Е С ТВ О В А Н И И И Е Д И Н С ТВ Е Н Н О С ТИ Р Е Ш Е Н И Й Н Е К О ТО РО Й СИСТЕМ Ы Д И Ф Ф Е Р Е Н Ц И А Л Ь Н Ы Х У Р А В Н Е Н И Й С ЗАПАЗДЫ ВАЮ Щ ИМ

АРГУМ ЕНТОхМ РЕЗЮМЕ

А. Белецкий и М. Максым [1] доказали, но методу последовательных приближений, существование и единственность решения системы дифферен­

циальных уравнений с запаздывающим аргументом, в виду

(¹)

cpv(t) = U)v{t) для t e ( — o o , A ) , п оо

?>'(0 = У,

S

v — 1,2 n.

Принимая предположения, которые отличаются от предположений А. Белец­

кого и М. Максыма в этом, что вместо условия Липшица предполагаю п

\ f v f t ( Ц , • • • > | ^ ( t ) - j - 2 * VfAH ( t) | a s Mj ,

X=1

[A v/1(tf) и B VIXK{t), v , fi, x — l , 2, , n, обозначают некоторые функции7 непре­

рывные и неотрицателные на отрезке < А ,Б )], доказываю, но методу Тонелли (см. [3], стр. 42), что задача Коши для системы (1) имеет хотя бы одно решение.

Считая кроме того, что функции Gv{t), v — 1 ,2 , ..., п, и H( t) ограничены на

<.А, В), где

i

Gv(t) = I / gv(r)dr|, A

t n n

Jj (t) = j j max ^ I A Pft( r ) + Bvf.ru (0| Vp/i ( r ) } dr ,

A v fi = l я — 1

причем функции vVft(t) удовлетворяют неравенству

ОО

Т Tvnit, s) < Vvfi{t), t e ( A , B ) ,

s = 0

доказываю, что все решения cpv{ t ) , v — 1, 2, системы уравнений (1) огра­

ничены и существуют пределы:

i

lim \(pv{t) — Г.9у(т)йт|, v= 1 , 2 , . . . , w.

B > i - > B1 J ' 1

Эти теоремы обобщают некоторые результаты А. Д. Мышкиса [2], касающиеся линейных систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

O istnieniu i ograniczoności rozwiązań pewnego układu równań 53

J. Bł a ż (Katowice)

ON T H E E X IS T E N C E A N D BO U ND ED NESS OF S O LU TIO N S OF A SYSTEM OF D IF F E R E N T IA L E Q U A TIO N S W IT H D E L A Y E D A R G U M E N T

SUMMARY

A. Bielecki and M. Maksym [1] have demonstrated, using a method of succes­

sive approximation, the existence and uniqueness of the solution of the system of differential equations with delayed argument of the form

f (pv (t) — ojv (t), for t < Л ,

m I n 00

|p'(Q = £ / -M *» ...,(p n ( t - s ) ) d srv/l{t, «) + «/„(*), for < e < i, B ) ,

Under the same assumptions as in [1], replacing only the condition of Lipschitz by n

•••> -Oi.) I ^ A Vfl (t) -f- ^ Jiv/tx {t)\Wx\ » H—1

[ A vlx(t) and B v/xx{t), v , f i , x = 1 , 2 , . . . , n, denote continuous and nonnegative func­

tions in the interval < A , B) ] , it is proved, by Tonelli’s method (see, for instance, [3], page 42), that the Cauchy problem has at least one solution. Assume furthermore that the functions

t

Gv{t) = \ j gv(r)dr\, v = 1, ..., n,

A

i n n

H (t) — J* {m ax {r)]vvft(T) \ d r,

A v ft= 1 x = l

are hounded in the interval < A , B), where the functions vVfi{t) satisfy the inequalities:

OG

Var rv/x(t, s) < vvfi ( t ) , v, /л = 1, 2, n, t e<A , B) , s=o

then each solution q>v(t), v = 1, 2, ..., n, of the system (1) is bounded in the interval

< A , B ) and that the limits

t

lim Icpv(t) -- ( gv(r )d r i, v — 1 ,2 ,

B>U+B A

exist. These theorems generalize some results of A. D. My skis [2].