Sterowanie optymalne dwuwymiarowego układu liniowego przy kwadratowym wskaźniku jakości z ograniczeniami na trajektorię i sterowanie

Ba r b a r a Bił y

Gliwice

Sterowanie optymalne dwuwymiarowego układu liniowego przy kwadratowym wskaźniku jakości

z ograniczeniami na trajektorię i sterowanie

(Praca wpłynęła do Redakcji 6.06.1997)

W pracy rozważa się zagadnienie wyznaczania sterowania optymalnego dla ogólnego, liniowego, dyskretnego układu 2-wymiarowego przy kwadra- towym wskaźniku jakości, z ograniczeniami na trajektorię układu i sterowa- nie. Wykorzystuje się idee programowania kwadratowego

1. Postać zadania sterowania optymalnego Zadanie 1

Dany jest obiekt dynamiczny opisany równaniem różnicowym o pos- taci [3]:

(1) x(i + l , j + l)

= A 0x ( i , j ) + A 1x ( i + l , j ) + A 2x ( i , j + l ) + B 0u (i ,j ) + B 1u ( i + l , j ) + B 2u (i ,j + l ) gdzie: x ( i , j ) € Rn, u (i,j) G Rm, (i , j ) 6E N x N (N - zbiór liczb natu- ralnych wraz z zerem), A*, Ą (i — 0,1,2) są macierzami rzeczywistymi odpowiednich wymiarów.

Dla takiego modelu sformułujemy następujące zadanie sterowania opty- malnego:

Wyznaczyć sekwencję sterowań w postaci wektora kolumnowego:

(2) u = [uT(0,0), uT (0 ,1),

uT(r -

s),

ur (r, 0), uT (r, 1 ),..., uT(r, s - 1)]T

u jest wektorem kolumnowym m(r + sr + s)-wymiarowym,

i odpowiadającą jej trajektorię układu (1) w postaci:

(3) x = [a:r (0,0), xT(0,1),..., xT(r - 1, s),

xT(r, 0 ),x r (r, 1),.. . , x T( r , s - 1), x T{r, s)]T x jest wektorem kolumnowym n(r + sr + s + l)-wymiarowym,

minimalizujące wskaźnik jakości postaci:

(4) _(l,j)eDT E ^ x T(i,j)Q (i,j)x(i,j) +<Ę (i,j)x(i,j)

+ E

(■i , j ) € D r,s

- u T(i, j)P(i, j)u(i, j) + dl (i, j)u{i, j) 2

gdzie

Dr,a = { 0 , x { 0 , 1 ,..., s}

Dr,s — D r}S \ {(r, s){

macierze Q(i, j) i P(i, j) są symetryczne, dodatnio określone, wymiaru odpo- wiednio n x n i m x m. Wektory di(i,j) i d2(i,j) są zadanymi wektorami odpowiednio n i rn-wymiarowy mi.

Minimalizacja ta przeprowadzona jest przy następujących ograniczeniach ograniczenia sterowania:

(5a) Wi(i,j) < u(i,j) < w2(i,j) (5b) F(i,j)u (i,j) < w3(i, j) ograniczenia trajektorii

(6a) Pi{i,j) < x(i,j) < p2{i,j ) (6b) H (i,j)x {i,j) < p 3(i,j)

gdzie Pt(i,j) (t = 1,2,3) są odpowiednio zadanymi wektorami, a F(i,j), H(i,j ) są zadanymi macierzami rzeczywistymi odpowiednich wy- miarów,

zadane są warunki brzegowe:

(7) z(ś,0) = x i0 x(0j) - x 0j

gdzie Xio, xoj (i = 0 ,1 ,..., r) (j = 1,2, .. ., s ) są zadanymi wektorami n-wymiarowy mi oraz zadany jest stan końcowy

(8) x ( r , s ) = c k

2. Metoda rozwiązania zadania.

Dokonajmy transformacji układu (1) i wskaźnika jakości (4).

Zdefiniujmy wektor z następująco:

z jest wektorem kolumnowym [(r + 1 ) (s + l)n + (r + sr + s)ra]-wymiarowym.

Wektory x i u zostały zdefiniowane odpowiednio wzorami (2) i (3).

Wówczas po prostych przekształceniach można wskaźnik jakości (4) za- pisać w postaci

(10) I = ^ ( z , Q z ) + (d,z)

(symbol (,) oznacza iloczyn skalarny wektorów) gdzie macierz Q ma postać:

(11) Q = diag[Q(0,0 ) ,..., Q(r, s), P (0 ,0 ),... , P(r, s - 1)]

(12) dT = [di(0,0),... ,d1(r,s),d2(0,0),... ,d2(r,s — 1)]

Pisząc równania (1) w każdym punkcie (ż,j) prostokąta Dr>s i uwzględ- niając warunki (7), (8) otrzymamy układ równań w postaci

(13) gdzie (14)

Rz = c

R = [F,G]

* c r ' AqXqq + T l l ^ l O + A 2 Xq\ "

C2 AqXq i + A2X0 2

c = .Cr _

, C i =

^ o ^ o s - i + A 2 Xq s

+ AiXio + A 2XQ1

Ci -

o

0

g

R sn

cr

i = 2, 3 ,..., r — 1 A

X

- — i 50 H- -d-l^rO

0 G Rsn

Ck

0 0 ... 0 0 1

f

2 Pi 0 ... 0 0

0

2 Pi ... 0 0

. 0 0 0 ... p2 Pl-

macierze Fi i F2 są określone następująco:

- I 0 0 ... 0 0

~ A 1 I 0 ... 0 0

Fx = 0 —Ai I ... 0 0

. 0 0 0 ... - A l I

' —A 2 0 0 0 0 -

—A

—A2 0 0 0

f

2 = —A

—A 2 ... 0 0

. 0 0 0 —A

A 2 -

\Gi

2 0 0 0 -

G = - 0 G

2 0 0

0 0 0

2 0

L 0 0 0 G 1

2.

1))

b

2 0 0 0 1

Gi = - 0 Bo

2 0 0

0 0 0

2 0

L 0 0 0 Bo

2 J snxm(s+l)

r Bi 0 0 0 1

g

2 = — 0 Bi 0 0

. 0 0 Bi 0 . snxm(s + l)

r Bi 0 0 1

G2 = — 0 Bi 0

. 0 0 B i l

Ograniczenia (5) i (6) na wektory sterowań i stanu można zapisać współ- me

(16) P •

(17) a. < z < /3

gdzie

x(0, 0) p3(0,0)

x(r,s) P3{r,s)

w(0,0) ’ w3(0,0)

u(r,

— 1) Pi(0,0)

w3( r , s - 1)_

p2(0,0)

P 2 (r,s)

w2{ 0

0

_wi(r, 5 — 1) J lw2(r,s — l)_

P = diag[tf(0,0 ) ,..., H(r, s), F(0,0),... , F(r, 5 - 1)]

gdzie wektory a, (3, v są wektorami kolumnowymi [(r 4- l)(s + l)n + (r + sr -f s) m]-wymiarowymi.

W wyniku powyższej transformacji można postawione zadanie sterowa- nia optymalnego z ograniczeniami (Zad. 1) zapisać jako zadanie programo- wania kwadratowego w postaci:

Zadanie 2 Zminimalizować

gdzie macierz Q jest macierzą symetryczną, dodatnio półokreśloną.

Zadanie 2 jest równoważne Zadaniu 3.

Zadanie 3 Zminimalizować przy ograniczeniach

(18) R - z = c, P ■ z < v, a < z < (3

przy ograniczeniach:

(19)

Rw — c — Ra Pw + y = v — P a

t + w = (3 — a

t > 0, w > 0, y > 0

Równoważność tych zadań wyrażona jest w twierdzeniu:

TWIERDZENIE 1. Wektor z jest rozwiązaniem optymalnym Zad. 2. wtedy i tylko wtedy gdy wektory kolumnowe w,t,y określone następująco:

w = z — a

(20) t = (3 - z

y = v — Pz stanowią rozwiązanie optymalne Zad. 3.

Zdefiniujmy teraz wektor kolumnowy x — [wT, tT, yT]T gdzie w,t,y są określone powyższymi równaniami (20) oraz

c = c — Ra v — v — P a

(21) 6 = ( 3 - a

Q = diag[Q, 0,0]

dF = [d, 0,0]

Wówczas Zad. 3. przyjmie postać następującego zadania programowania kwadratowego.

Zadanie 4 Zminimalizować

- ( x , Q x ) + (d,x) przy ograniczeniach x > 0 oraz Rx = c gdzie

' R 0 0 ' w c

(22) Rx = P O I t

I I 0 y 8_

gdzie x, d są wektorami t-wymiarowymi, c wektorem p-wymiarowym, R jest macierzą wymiarupxt, Q jest macierzą symetryczną, dodatnio półokreśloną, wymiaru t x t.

Korzystając z twierdzenia Kuhna-Tuckera wyprowadzamy warunki ko- nieczne istnienia rozwiązania optymalnego Zad. 4. Funkcja celu jest wypukła i zbiór ograniczeń jest wypukły, zatem warunki konieczne są warunkami wystarczającymi.

T

2. Wektor x jest rozwiązaniem optymalnym Zad. 4 wtedy i tylko wtedy gdy istnieją wektory X £ ł?p, v £ R*, u > 0 takie że spełniony jest układ równań:

Qx — R T X — u + d = 0

(23) Rx = c

= 0, .7 = 1 ,2 ,...,*

Zatem Zad. 1 zostało przetransformowane do postaci zadania programo- wania kwadratowego. Rozwiązanie optymalne można zatem wyznaczyć z po- wyższego układu równań (23). Istnieje wiele efektywnych metod iteracyjnych rozwiązania powyższego układu, wśród nich najbardziej znana jest metoda Wolfe’a, oparta na modyfikacjach algorytmu sympleks.

Algorytm wyznaczania sterowania optymalnego

Krok 1. Dla zadanych macierzy Ak,Bk(k = 0,1,2) i zadanych wektorów Xio,xoj znaleźć macierze F ,G ,R zadane wzorami (14), (15).

Krok 2. Dla ustalonych pk(«, j) (k = 1,2,3) oraz H ( i , j ), F {i,j) znaleźć macierz P(16) i wektory ograniczające a, (3(17)

Krok 3. Dla zadanych Q(i, j), P { i , j ), d i(?,j), d2(i,j) określić macierz Q( 11) i wektor d(12).

Krok 4. Zdefiniować wektor x,c, d, macierz Q,R według wzorów (21).

Krok 5. Wyznaczyć rozwiązując układ (23) wektor x określający sekwen- cję sterowań i stanów optymalnych.

Przykład liczbowy. Rozważmy model ogólny układu 2-D opisany równa- niem (1), w którym

A

= Ai = A 2 — Bo — Bi — B2 = 1 n = m = 1, (r, s) = (1,2)

Macierze Q(i,j) i P ( i , j ) występujące we wskaźniku jakości (4) mają postać Q(i,j) = P (i,j) = 1, di = d2 = 0

Warunki brzegowe (7) są dane równościami:

^oo = xio = 2 xoi = x 02 = 0 stan końcowy (8) jest zadany

x (l,2 ) — c/j — 2 oraz ograniczenia (5) w postaci

w iih j) = - 1 F (i,j) = w3( i j ) = 0 w2 (i,j) = 1

ograniczenia (6)

Pi{i,j) = - 2 ~ p 3(hj ) = 0 p2(i,j) = 2 Krok 1. Wektor z przyjmujemy w postaci następującej:

zT = [rc(l, l),u (0 ,0 ),u (0 ,1), a (0 ,2), u (l, 0), u(l, 1)]

Równanie (13) Rz — c ma postać określoną wzorami (14) i (15) gdzie:

R = '1 - 1 - 1 0 -1 o

to __ 1

1 0 1 1 0 1 c = 2

Krok 2. Wektory i macierze ograniczające według wzorów (16) i (17) są dane

a - 2 , - 1 , - 1 , - 1 , - 1 , - 1 ] PT = [2,1,1,1,1,1), P = 0, « = 0

Krok 3. Macierz Q i wektor d można zapisać według wzorów (11) i (12) Q = diag[l, 1,1,1,1,1]

dT = [2,1,1,1,1,1]

Krok 4. Wektory x,c, d i macierze Q, R według wzorów (21) są dane x = [w, t, y]T

- Ra =

dF — [d, 0,0] Q = diag[Q, 0,0]

R R

w C

0 0 ^/

t V

I--- 1—i O i_____

. y . _s_

gdzie

5 = [4,2,2,2,2,2]“

Krok 5. Dła tak zadanych warunków istnieje rozwiązanie optymalne we- dług (23) w postaci

u(0,0) = —1 u(0,1) — —1 X (l,l) = 1 u(l,0) = —1 u(l, 1) = 1 Minimalna wartość wskaźnika jakości / i ,2 = 7

Literatura

[1] B. B iły , Optymalny regulator liniowo-kwadratowy dla układu 2-D , Zeszyty Naukowe Politechniki Śląskiej, seria M at.-Fiz. z. 72 1995.

[2] M. D. C a n o n , C. D. C u llu m , E. P o la k , Sterowanie optymalne i programowanie matematyczne, W N T , Warszawa 1975.

[3] T. K a c z o r e k , Linear Control Systems, vol. I i vol. II Research Studies Press and J.

Wiley, New York 1992/93.

[4] T. K a c z o r e k , Teoria sterowania i systemów, P W N Warszawa 1996.

[5] T. K a c z o r e k , The linear-quadratic optimal regulator for singular 2-D systems with variable coefficients, IEEE Trans. Automat. Contr. 34, 5(1989)

[6] J. K la m k a , Sterowalność układów dynamicznych, P W N , Warszawa-Wrocław 1990.

POLITECHNIKA ŚLĄSKA GLIWICE

A b stra c t. The main purpose of this note is to present a method for solving the linear- quadratic optimal regulator for discrete, linear general two-dimensional system with con- stant coefficients. The quadratic optimal regulator problem can be formulated: find of se- quence of control vectors in fixed rectangle, which transfer the system to given final state vector and minimizes the quadratic performance index, with constraints of control and state vector. This problem, by transformation for systemand performance index is reduced to equivalent mathematical programming problem. Necessary and sufficient conditions are established for the existence of a solution to this problem. W ith slight modifications the considerations can be extended for 2-D systems with variable coefficient and n-D linear systems.