Analiza obciążenia termicznego płaszcza cysterny do przewozu ciekłych gazów

(1)

ZESZYTY N A U K O W E P O L IT E C H N IK I Ś L Ą S K IE J Seria: E N E R G E T Y K A z. 124

1995 N r kol. 1278

Michał C IA Ł K O W S K I

ANALIZA OBCIĄŻENIA TERMICZNEGO PŁASZCZA CYSTERNY DO PRZEWOZU CIEKŁYCH GAZÓW

S tr e sz c z e n ie .

W p ra cy przedstaw iono zagadnienia optym alnego procesu w y m ra ż a n ia płaszcza cyste rn y z p u n k tu w idze n ia nieprzekroczenia dopuszczalnych naprężeń. W szczególności sform ułow ano dwa fu n k c jo n a ły jakości, k tó ry c h o p tym a liza cja prow adzi do uzyskania cha

ra k te ry s ty k i te m p e ra tu ro w e j procesu w ym ra ża n ia . Rozważania teore

tyczne poparto p rz y k ła d a m i n u m e ryczn ym i analizują c w p ły w grubości płaszcza na ro zkła d naprężeń te rm iczn ych z zachowaniem w a ru n k u

®red — Viup-

A THERMAL LOAD ANALYSIS OF A TANK SHELL FO R LIQUID GAS TRANSPORT

Sum m ary.

Problem s o f an o p tim u m lo w -te m p e ra tu re tre a tm e n t process o f a ta n k sh e ll a t allow able stresses being n o t exceeded, have been presented in th is paper. In p a rtic u la r, th e re have been fo rm u la te d tw o q u a lity fu n ctio n a ls, th e o p tim iz a tio n o f w h ic h re su lts in a tem pera

tu re characteristics o f th e lo w -te m p e ra tu re tre a tm e n t. T heoretical con

siderations have been supported w ith n u m e ric a l examples analysing the influ e n ce o f sh e ll thickness th e rm a l stresses d is trib u tio n , at orec] < o c]0p. con d itio n preserved.

ANALYSE D E R WÄRM EBELASTUNG D E S M ANTELS EIN ER ZUM TRANSPORT FL Ü SSIG EN GASES D IE N E N D E N ZISTERNE

Z u sa m m en fa ssu n g .

In der P raxis m an h a t zie m lich o ft m it großen therm isch e n B e la stu n g zu tu n . Zu diesen F ä lle n gehören K o n s tru k tio n e n die sowohl in hohen als auch in n ie d rig e n T em peraturen a r

beiten. Von der B edeutung is t die S teuerun g m it der Randbedingung e rste r A r t, u m die th e rm isch e S pannung in gegeben Z e itin te rv a ll n ic h t zu überschreiten. In der A rb e it w u rd e dieses Problem gelöst m it der A nnahm e der lin e a re n W ä arm egleichu ng u n d E la s tiz itä ts th e o rie . Das Problem w u rd e am B eispiel der e in dim ensio nalen W ärm egleichung fü r einen Z y lin d e r m it u n b e k a n n te r R andbedingung e rste r A r t a u f der in n e re n Oberfläche. D ie O b e rflä c h e n te m p e ra tu rv e rte ilu n g w urde m it

(2)

der B e rü cksich tig u n g der zulässigen S pannung berechnet. Das fü h r t zu r Aufgabe der quadratisch en P rogram m ierung . D ie theoretischen B e tra ch tu n g e n w u rd e n m it num erischen Beispielen bestätigt.

W STĘP

W w ie lu k o n s tru kcja ch m etalow ych is to tn y w p ły w na ich trw ałość ma zm ienne pole te m p e ra tu r. Zachodzi to zarówno w zakresie w ysokich, ja k rów nież bardzo n is k ic h te m p e ra tu r. W tra k c ie eksploatacji urządzeń p racują

cych w zakresie dużych i gw a łto w n ych zm ian te m p e ra tu r istotnego znaczenia nab ie ra w ielkość czasu, po u p ły w ie którego w ielkość naprężeń zredukow a

nych n ie powoduje zagrożenia dla k o n s tru k c ji. Z d ru g ie j stro n y nie mniejszego znaczenia na b ie ra wyznaczenie optym alnej c h a ra k te ry s ty k i nagrzew ania (np.

tu rb in y cieplne) lu b c h a ra k te ry s ty k i w ym ra ż a n ia (np. cysterny do przewozu skroplonych gazów, z b io rn ik i do ich m agazynow ania), to znaczy wyznaczenie ro z k ła d u te m p e ra tu ry w fu n k c ji czasu pow ie rzch n i nagrzewanej lu b ziębionej, aby nie przekroczyć dopuszczalnych naprężeń w m a te ria le k o n s tru k c ji. T a k postaw ione zadanie prow adzi do zagadnienia program ow ania kw adratowego z ograniczeniam i. R ozwiązanie tego zagadnienia pozw ala na wyznaczenie o ptym alnych pa ra m e tró w pracy k o n s tru k c ji, ja k na p rz y k ła d czasu ponowne

go w ygrzew ania (w ym rażania) po o d staw ien iu urządzenia z eksploatacji.

Zagadnienia naprężeń te rm iczn ych b y ły przedm iotem w ie lu prac o znacze

n iu podstawowym , są to m iędzy in n y m i prace: W. N ow acki [6], E. M elan i H. P arkus [7], B.A. Boley i J.H . W einer [1], H. P arkus [9], ja k rów nież T. C h m ie ln ia k i G. Kosm an [2], T. C h m ie ln ia k , G. Kosm an i A. R usin [3], Z. Orłoś (red.) [8].

1. Z A G A D N IE N IA PROSTE

W pracy rozw ażym y rów nanie jed n o w ym ia ro w e niestacjonarnego przewod

n ic tw a cieplnego w postaci:

3 T _ ^ T 1 - 2 8 3T t e (0, <*>) at ~ a2t + x ' a x ’ x e ( x 0, i>

gdzie p a ra m e tr 8 zależy od k s z ta łtu ciała

(3)

Analiza obciążenia termicznego płaszcza cysterny. 47

■ — k u la (w a rstw a k u li)

£

0 walec (ru ra )

— p ły ta (w arstw apłaska)

z w a ru n kie m początkow ym

T(x, 0) = T°(x) x e (x0, 1)

oraz w a ru n k ie m brzegowym

T (x0, t) = f(t) t > 0

(

2

)

(3)

d x ⁼0

x= 1

Zagadnienie początkow o-brzegow e ( l) - ( 3 ) rozw iążem y za pomocą m etody ele

m entu skończonego. R ów nanie (1) spro w a d zim y do dogodniejszej postaci.

M ianow icie mnożąc ró w n a n ie (1) przez fu n k c ję X 1" 25, otrzym ujem y:

1 - 2S dT _ d d t d x

A - 25 . d x

Zakładam y lin io w ą in te rp o la cję fu n k c ji T(x, t) względem zm iennej x.

F unkcja bazowa (p;(x) m a postać:

(4)

oraz

<Pi(x ) =

X - X i _ ! X i - X i_ !

X — X;

x e (Xi.!, Xi>

1 - " - ‘ x e <x¡, x i+1) x i+l x i

0 x e ( X i _ ! , x i+1)

N + l

T(x, t) = X T¡(t) ■ <pi(x) i = 0

(5)

(

6

)

D la rów nom iernego p odziału p rze d zia łu (x0, 1) z k ro k ie m h m am y

(4)

Xj = x 0 + i h i = 0, 1, 2, N + 1, h = ^{1 -Xo} N + l D ow olną fu n kcję ciągłą v(x) możemy przedstaw ić w postaci (6)

N + 1

v(t)

⁼

X

^{v i(t) ■}^<Pi(x)

i = 0

(7)

W celu u zyska n ia ró w n a n ia w ariacyjnego odpowiadającego ró w n a n iu (4) pom nożym y to ró w n a n ie przez fu n kcję v(x) i scałkujem y przez części, stąd:

dK=j^_d_

dx

,1-28 3T

dx v(x) • dx

(

8

)

D okonując całkow ania praw ej stro n y otrzym ujem y:

1 ^ , ! _ 25 3T '

v(x) ■ dx = x — v(x) dx

,1-28

dx ‘ - 1

x . - 2 » | T | v dx =

dx ax

f 1-28 3 T 3v j 1 _ 28 dT

= - x 1 Zb -r— — dx + X 1 — v(x)

J ax ax dx

Zatem ró w nanie (8) m a postać

i v(x) :^.1-28 3T

dt

dx = - J ¹

^_

²⁸

^3T ^{dv ,}

dx dx ⁽⁹⁾

Postać ró w n a n ia w ariacyjnego nie zm ie n i się dla następujących w arunków brzegowych

pow ierzchnia x = x 0 a) I rodzaju (v(x0) = 0) b) I rodzaju (v(x0) = 0) c) I I rodzaju

d) I I rodzaju ox C3T

dx ⁰

pow ierzchnia x = 1 I rodzaju (v(x0) = 0) I I rodzaju

I-o

_y

I rodzaju ( v ( l) = 0)

I I rodzaju ^{3 T}

dx ⁼⁰

(5)

Przypadek a) m a c h a ra k te r ogólny. P rzypadek b) lu b c) odpowiada przepływ o

wi ciepła z je d n ą p o w ierzchnią adiabatyczną, n a to m ia s t przyp a d ko w i d) prze

pływ ciepła w e w n ą trz ciała z dwom a p o w ie rzch n ia m i adiabatycznym i. D la w arunków a, b, c, d będzie zachodzić z n ik a n ie członu

Z uw zględnieniem rodzaju w a ru n k ó w brzegowych opisanych powyżej rów nanie w a ria cyjn e p rz y jm u je postać:

Z praktycznego p u n k tu w id ze n ia in te re su ją cym p rzyp a d kie m je s t przy

padek b) odpow iadający izo la cji cieplnej ścia n ki zew nętrznej (kadłub tu rb in cieplnych, cysterna do przew ozu ciekłych gazów, k o tły parowe). U w zględnie

nie w a ru n k u b) w ró w n a n iu (9a) spowoduje m odyfikację u k ła d u ró w nań odpo

wiadającemu ró w n a n iu (9a). W dalszym ciągu u w zg lę d n ia m y w a ru n e k brze

gowy ty p u a oraz b.

Całkując ró w n a n ie (9) w przedziale czasu ( t - At, t) dostajem y:

Równanie (10) sta n o w i ró w nanie w a ria cyjn e d la ró w n a n ia przew odnictw a cieplnego (4). R ów nanie (10) rozw iążem y w y k o rzystu ją c przedstaw ienie fu n k cji niew iadom ej T(x, t) w yrażone zależnością (6), a d la fu n k c ji v(x) wyrażone zależnością (7). F unkcje (6) i (7) są fu n k c ja m i k la s y H 1((x0, 1)). Zatem mamy:

i i

(9a)

i t i

J X 1 - 25 ■ v(x) [T(x, t) - T(x, t - At)] dx= - j

(

10

)

t - A t x0

di)

a ze w zględu na dowolność w ie lko ści v k o trz y m u je m y

(6)

N + 1

X ITiW

^~

Ti(t

^-

At)]J

x l 25 ' <Pk(x) • cpi(x)

dx +

i = 0

+ j T i( t ) d t j x 1- 2 6 - ^ ^ d x d t

J J dx dx

t - At x„

( 12 )

= 0, k = 1, 2, N

Ze w zględu na rozłączne n o ś n ik i fu n k c ji <pk(x) ■ <p1(x) dla k * (i - 1, i, i + 1)

k + 1

I

i = k — 1

[Ti(t) - T ;(t - At)] j X1 25■cpk ( x ) • <pi(x) dx +

x o

J T x(t) d t j x 1 - 25- ^ ^ d x d t l - = 0, 1 < k < N

t i

+

t - A t dx dx

W prow adzając oznaczenia

A ik =

J

^X¹ 28 • <pk(x) ■ cpi(x) dx = A kl

1- 25 d(Pi d(Pk dx dx dx = B T;(t) = T f T i(t - At) = T?

ki

in - 1

oraz obliczając całkę po czasie

(13)

(14)

t - A t

J

T i(t) d t

=

[(3 T i(t)

+ (1

^{- (3)}

■

T ;( t - A)]

■

^{A t}

=

= A t[ p - T f + ( l - | 3 ) - T f - 1] P e < 0 , 1)

(15)

z p a ram etrem P określającym stopień niejaw ności schem atu różnicowego otrzym u je m y dla ró w n a n ia (13) bardziej z w a rtą postać

(7)

k +1

X ( T f - aki - T f " 1 • bik^j = 0 k = 1, 2 , N (16)

i = k - 1 '

gdzie:

a^k = A;k + A t • (3 • Bjk —

bik = A ik — A t (1 — (3) B ik = bki

Dla każdego w ęzła s ia tk i ró w n a n ie (16) m ożem y napisać następująco T k _ i ■ ak_ k _ ! + T k ■ akk + T k + x • ak k + x =

(17)

= T £ : j b k, k _ 1 + T r 1 bkk + T g ; 11 bkik+1 k = 1, 2, N lub w postaci m acierzowej

[A ]{Tn} = [B] {Tn - - (a10 ■ T „ ,0, 0} + (b10 • T T 1 , 0, 0}

W prow adźm y oznaczenie te m p e ra tu ry w ew n ę trzn e j obszaru i na brzegu następująco: 0 O = T 0, uN + x = T N + 1, Di = T i; i = 1, 2, N , w te d y rów nanie (17) przyjm ie postać

[A] ju n} = [B] { u " " *} - {a10 • 0S,^0, ^0,|T ⁺ |b 10 • 0 " “ \ 0, 0,|T (N+1KN+1) (N+1MN+1)

(N + l)x l N xl

albo po odw róceniu m acierzy [A]

{u11} = [A^1] [B] f u " - 1} + { A ^ l f j j 1 • (b10 ■ © r 1 - aio ■ 0 ")

(18) {u11} = [AB] { u n “ 1} + [E] © r 1 - [F]0?

(N+1KN+1) Nx2 2x1 Nx2 2x1

(N + l)x l

lub dla p u n k tu w ew nętrznego (1 < 1 < N)

N

u f = X A B l k u g - 1 + E 1© S - 1 - F 10S (18a) k= 1

Rozwiązując ró w n a n ie re k u re n c y jn e (18) dostajem y

(8)

n

M = ([A B ])n • {-o0} + X ([A B ])n_ 1([E ]) 0* - 1 - [F] 0») (19) i= 1

Rozwiązanie (19) będzie zawsze zbieżne, je ś li no rm a s p e ktra ln a m acierzy [AB], ps([A B ]) < 1. K orzystanie ze w zoru (19) w celu w yznaczenia te m p e ra tu r w ko le jn ych ch w ila ch czasu je s t bardziej k ło p o tliw e aniże li korzysta n ie z zależności (18). We wzorze (19) w ym aga się potęgow ania m acierzy, a w (18) ty lk o m nożenia przez w e kto r. Jednakże do a n a liz y szybkości za n ika n ia w p ły w u te m p e ra tu ry początkowej na chw ilę bieżącą, bardziej odpowiedni je s t zw iązek (19).

Zauw ażm y cenną własność m acierzy [A B ]. Im m niejsza je s t wartość pro

m ie n ia spektralnego m acierzy [A B ], ty m szybciej za n ika w p ły w te m p e ra tu ry początkowej [u°] na te m p e ra tu rę (u11}, m ianow icie m am y oszacowanie

n

II |un}|| < II [A B ]n || ■ II {u0} II + II X ([A B ])"-1 ([E F ]) ■ j© 1“ 1} - [FE] {e 1}) ||(20) i= 1

Powyższa własność je s t w ażna p rz y ro z p a try w a n iu stabilności zagadnienia.

Do dalszych rozważań w ykorzystam y zależność (19), któ rą przekształcim y do postaci bardziej przydatnej w obliczeniach numerycznych, mianowicie:

n + 1

{u11} = [A B ]n {u0} + X |C N n+2-1} ©j,“ 1 (21) i = 1

{ c n+1} = [A B ]n_1 {E}, {G>} = [ABP-2 {E} - [AB]j_1 |F},

D2 < j < n, j c 1} = - [A B ]°{F }

Do w yznaczenia ro z k ła d u te m p e ra tu r w c h w ili k < n będzie użyteczna in n a postać w zoru (19). W ydzielając z zależności (19) 0 “ te m p e ra tu rę w c h w ili x = 0, oraz ©o te m p e ra tu rę w c h w ili końcowej t = otrzym u je m y

k - 1

{uk} = |ZK( + {ZKE| • 0 ° + X lZ E F i} ' ©j, - {F} • ©o, k = 1, 2,... (22) i= 1

gdzie:

[ZK ] = [A B ]k • (u}°, (ZKE| = [A B ]k_1 {E}

{ZE F‘} = [A B ]k~1_i ({E} - [AB] {F})

(9)

Analiza, obciążenia termicznego płaszcza cysterny. 53

2. W Y Z N A C Z E N IE N A P R Ę Ż E Ń T E R M IC Z N Y C H W W A L C U Z O TW O REM KO ŁO W YM

Dla walca z otw orem ko ło w ym o p ro m ie n iu w e w n ę trzn ym a oraz zewnę

trznym b p rz y swobodnie przem ieszczających się prze kro ja ch poprzecznych składowe sta n u n aprężan ia w y ra ża ją się w zo ra m i [4]:

o r =

E P T W 1

i - v ą2 (23)

E (iT w

a P = l - v Y ^ - s i ^ d ą + n h - T ^ d ą -

1 _ ą i ^ ą, w

T ©

Tw (24)

E p T w

1 — v 1 — C i - A w A w Si

(25)

R w gdzie T w je s t te m p e ra tu rą odniesienia.

Dzieląc p rzedział © , 1), 1 na N + 1 podprzedziałów , całkę ze zm ienną górną granicą m ożem y w y ra z ić w postaci m acierzowej

J ą • T © dą = [C A L(i, j) ] | f 0')) i, j =

1

^,

2

^, ^{N + 2}

stąd

EPTW © 1 - V ą?

E P T W 1 - v

i - S !

[S IG R (i.j)]

[C AL(N +2, j)] - [C A L (j, j)]|T (j)j =

E p T w

(26) )t ü)( = y ^ [ s i g r]{t

E P T W M i ) } = T =

1 [CAL(N +2, j)] + [C A L(j, j)] - [ I ( i, j) l 1 _ SI Si

t e ) = (27) :L [ S I G T ( i J ) ] { f ü ) l = EPTW

1 - v [SIG T] T

(10)

E P T W 1 — v 1 - 5 !

[CAL(N +2, j)] - [I(j, j)]

E p T w

rG)| =

(28)

Ze w zględu na fa k t, że stałe pole te m p e ra tu ry n ie w yw o łu je naprężeń, o trzy

m uje m y

Śi N + 2

J ą i d ^ = | ( ą f - ą f ) = £ c AL(i,j)

\ i j=i

Zależność ta je s t bardzo użyteczna p rz y ba d a n iu poprawności wyznaczania m acierzy [C A L ].

3. W P ŁY W T E M P E R A T U R Y N A R O Z K Ł A D N A P R Ę Ż E Ń W PŁASZCZU C Y S TE R N Y

C yste rn y do przewozu ciekłych gazów p ra cu ją w n is k ic h te m p e ra tu ra ch i w procesie w y m ra ż a n ia w płaszczu cyste rn y pow stają duże dodatnie naprężenia obwodowe ja k rów nież w zględnie duże naprężenia obwodowe pochodzące od d zia ła n ia ciśn ie n ia w ew nętrznego pw > pz. W sk ra jn y c h przypadkach sum ary

czne naprężenia przekraczają naprężenia dopuszczalne. Istotne zatem staje się wyznaczenie c h a ra k te ry s ty k i w y m ra ż a n ia z p u n k tu w idzenia

- nieprzekroczenia dopuszczalnych naprężeń term icznych,

- m in im a ln e g o czasu w ym ra ż a n ia t min, p rz y k tó ry m różnica te m p e ra tu r spełnia nierówność

i m r , t min) - T j d r \ (Ri_ K ) <b (29) Rw

N ajw iększe naprężenia term iczne pow staną dla r = Rw i szoku termicznego, to znaczy, gdy te m p e ra tu ra T IR ^, x) = T p = const, T (r, 0) = 0. In n y m i słowy, rozw ażym y w p ły w grubości płaszcza cyste rn y na w ielkość naprężeń te rm icz

nych dla w a ru n k u brzegowego I rodzaju. W p rzyp a d ku zm iennej te m p e ra tu ry brzegu zagadnienie optym alnego w yznaczenia c h a ra k te ry s ty k i w ym rażania

(11)

należy rozw iązać z u w zględn ieniem w a ru n k u dopuszczalnych naprężeń te r micznych oraz m in im a ln e g o czasu w ym ra ża n ia . Zagadnienie to możemy sfor

mułować następująco:

W yznaczyć przebieg fu n k c ji te m p e ra tu ry T (r = Rw, x) = fix), k tó ry spowodu

je nieprzekroczenie naprężeń dopuszczalnych w czasie 0 < x < xk i dla czasu końcowego x = xk z m in im a liz u je całkę

Rz

I T =

J

[T(r, xk) - T J r ) ] 2 d r = m in (30) Rw

gdzie te m p e ra tu ra T „ (r) odpowiada stanow i ustalonem u.

W przyp a d ku cysterny do przew ozu gazów skroplonych możemy przyjąć, że te m p e ra tu ra T„,(r) = const i je s t ró w n a te m p e ra tu rz e czyn n ika przewożonego.

W w y n ik u je d n a k p rze p ływ u ciepła przez osłonę izolacyjną zb io rn ik a będzię następował nieznaczny p rze p ływ ciepła, którego p rze p ływ określa z dobrym przybliżeniem stacjonarne ró w n a n ie prze w o d n ictw a cieplnego (można zanie

dbać zm ianę pojemności cieplnej ciekłego gazu w y n ik łe j z p rze p ływ u ciepła przez osłonę). S tan określony te m p e ra tu rą T„,(r) odpowiada stanow i eksplo

atacji cysterny. D la stałej te m p e ra tu ry o trz y m u je m y stan beznapręże- niowy. Zatem powyższe k ry te riu m m ożna w yra zić rów nież w postaci

R,.

ked = i f°red(r, Tk) - W e d iT j]2 d r = m in (31) Rw

Funkcjonał I T je s t fu n kcjo n a łe m kw a d ra to w y m , n a to m ia s t fu n k c jo n a ł I Gr nie jest funkcjona łem k w a d ra to w y m ze w zględu na n ie lin io w ą zależność od te m peratury, m ianow icie

<*red

= [(ar - o9)2 + (cr - oz)2 + (o«p - oz)2]

a naprężenia o r, cr,p, o z ja k o fu n kcje te m p e ra tu ry m ożem y w yra zić ja k o w e kto ry, któ rych kolejne elem enty odpow iadają w artościom naprężeń w kolejnych punktach s ia tk i

N + 2

{or} = [SIGR] • {T| o r, ; = X SI GRt ' Tj (32)

j = i

(12)

JoJ = [SIGT] • T

N + 2

a <p, i ~

X

SIGTjj • Tj

j = i

(33)

N + 2

(

g

2| = [SIGZ] • {T} a z, i = ^ SIGZu • T

j

j = i

(34)

stąd dla p u n k tu o num erze „ i” m am y:

(ar.i-a.p.i)2 -

X (SIGR

jj

- SIGTy) Tj

L J

2 = [|SRTi}T{T l]2 =

{t|T {SRT1} i S R T f jT}

(Gr, i a z, i)

X (SIGRy - SIGZy) ■ Tj

^{= [(SRZ1}}

iT fjS R Z H iS R Z 1^ (T|

(^(p, i Oz,^{i) ~}

X (SIGTy - SIGZy) Tj **[{SRZ*} {T}]**

oraz

= {T}T (STZl}{S T Z i}T jT|

2 ■Oredt i = jT} N SR Tf jS R T 1} + {S R T }|S R Z 1f +

+ {STZ‘} jSTZ1}! (T| = {T}1 (SRED1} {T}

(35)

F u n kcjo n a ł I a dla niezerowej fu n k c ji o red(T„) zaw iera w yrażenie p ie rw ia stkowe, co sp ra w ia duże kło p o ty num eryczne. W celu u n ik n ię c ia tych niedo

godności możemy przyjąć, że stan końcow y je s t stanem beznaprężeniowym Ored(Too) = 0, co je s t konsekw encją przyjęcia stałej te m p e ra tu ry T„. Założenie to je s t technicznie u sp ra w ie d liw io n e p rz y p rz yję ciu dostatecznie dobrej izola

cji zew nętrznej i długiego czasu w ym ra ża n ia . D la ta k ic h założeń funkcjona ł I 0r d p rz y jm u je postać

(13)

R,

h reó = j o?ed (r > ^k) d r = m in (36) Rw

lub po w y k o n a n iu całkow ania

N + 2

iared = X Yi °red (ń, t k) (37)

i= 1

gdzie w sp ó łczyn n iki y; są w y n ik ie m zastosowanej m etody całkow ania (na p rzykła d łu k ó w parabolicznych). W sta w ia ją c te ra z w yrażenie na a,2ed_ j do funkcjona łu I „ o trz y m u je m y fu n k c jo n a ł k w a d ra to w y ze w zględu n a w e k to r te m p e ra tu ry {T}, m ianow icie

N + 2

łared = X | {T}T jSRED1} {T} - {T} [SK] {T} (38)

i = 1

Zauw ażyliśm y, że konsekw encją p rzyję cia stałej te m p e ra tu ry końcowej T „ było zn ika n ie naprężeń o red(T00), co doprow adziło do fu n k c jo n a łu kw ad ra to w e go I 0re|. F u n kcjo n a ł te m p e ra tu ry I? zaw ierać będzie form ę lin io w ą ze względu na nie zn ika n ie członu T „.

N ajw iększe naprężenia te rm iczn e w ystę p u ją n a obwodzie r = R ^ i w tedy Oę = G z , G r = 0, wówczas

2G?ed =

<Ą

+

dl

=

2ol

o red = Ig 9 I

więc w p u n k ta c h s ia tk i o trzym u je m y

^red, i — I ^<p, i I — i) ' ^cp, i — signCCJ^ i) ' SIG Tjj •Tj — j

= sign(ov d |SRTi}T {T}

lub

a?ed,i = !T}T {SRT} (SRTi}T (TJ

Zagadnienie p o szu kiw a n ia przebiegu te m p e ra tu ry pow ierzchni wewnę

trznej płaszcza cyste rn y możem y sform ułow ać następująco:

(14)

N iech T (r, x) będzie rozw iązaniem ró w n a n ia przew odnictw a ciepła (1) z w a ru n ka m i (2) - (3). Poszukiwać będziemy rozkładu tem peratury T (r = RAV, t), d la którego po czasie x = xk całka

gdzie T r oznacza te m p e ra tu rę roboczą czynnika. Ze w zględu na niezerową w ielkość te p e ra tu ry T k optym alne rozw iązanie p rz y starcie od te m p e ra tu ry początkowej T 0 ^ T k nie będzie fu n k c ją stalą. W a ru n e k nierównościowy (50) można ująć przez zastosowanie m etody m nożników Lagrange’a albo fu n k c ji k a ry.

4. W Y Z N A C Z E N IE O P T Y M A LN E G O PRO CESU N A G R Z E W A N IA (C H Ł O D Z E N IA ) N A PO DSTAW IE M IN IM A L IZ A C J I F U N K C J O N A Ł U N A P R Ę Ż E Ń (49)

W punkcie ty m p rze d sta w im y num eryczną realizację m in im a liz a c ji fu n k c jo n a łu I a bez w a ru n k u dodatkowego a(p(x0, x) < c dop. Z fizycznego p u n k tu w id ze n ia w a ru n e k te n będzie ingerować, w p rzyp a d ku gdy czas nagrzew ania (chłodzenia) będzie kró ts z y od czasu xopt zależnego od średnic r u r y i m a te ria łu , z którego je s t ona w ykonana. W p rzyp a d ku xk < xopt należy się spodziewać, że w przedziale (0, xk), te m p e ra tu ra nagrzew an ia (chłodzenia) może przekraczać te m p e ra tu rę w c h w ili końcowej xk.

W yznaczm y postać fu n k c jo n a łu I 0 fd w fu n k c ji ko le jn ych te m p e ra tu r powie

rz c h n i w ew nętrznej {©¿, ..., 0 " “ *} p rz y zadanej te m p e ra tu rze w c h w ili począt

kow ej 0 ° i końcowej 0 ". Tem peraturę w p u n k ta c h s ia tk i x(2), ..., x(N+2) i kolejnych ch w ilach czasu n w yraża zależność (21):

(40) R

osiągnie m in im u m p rz y zachow aniu w a ru n k u

Ored ^ C dop, 0 < X < Xk , T ( R w , T k ) = T r (41)

n + 1 n

{u11} = [A B ]n {u0} + £ {CNn + 2 - ■i} • © i " 1 = [A B ]n {u0} + £ {CN" + 1- 1} ■ ©*0

i = 0

a fu n k c jo n a ł naprężeń zredukow anych

(15)

I?ed = [SK] |T n} |T n}T = { © ” U?, Di, ..., U & + J (42)

Zauważmy, że d la stałego w e k to ra te m p e ra tu ry {Tn} ^ {0} naprężenia znikają, co powoduje zerow anie się fu n k c jo n a łu I f ed, to znaczy

(Tn}T [SK] [T n] = 0 (43)

Zatem m acierz [SK] je s t m acierzą półdo d a tn io określoną. Do dalszej ana lizy p rzyjm ujem y, że te m p e ra tu ra początkow a ©£ i te m p e ra tu ra końcowa 0£

(w punkcie x 0) są w a rto ścia m i znanym i. W yd zie lm y zatem te dw ie w ielkości z w yrażenia (21)

n - 1

u f = F N f + C N f + 1 ■0 ° C N / ■ ©£ + X C N f + 1 “ 1 ■ © j,=

i = 1 n - 1

: F N f + Wj + ^ C N f + 1 ~ • ©j, i = 1

W tedy

©S u?

^N + l

N + 2

= {©o,

N + 2

S K n - e f + ^ S K y U f . j

j = 2

N + 2

S K N + 2>1- e g + X S K N + 2 i l - t ) f _ 1

j = 2

(16)

= 0 n •

N + 2

N + 2n

+ X ui-i i = 2

N + 2

j = 2

f N + 2

^ S K y U f ^ + ^ S K u U j Ł j

j = 2 j = 2

N + 2 N + 2

+ 1 i=2 j=2 Ze w zględu n a symetryczność m acierzy [SK], SKy - SKj; otrzym ujem y

N + l N + 1 N + 1

I Cred = (0 " )2 S K n + 2 0 " ■ X S K j, j + x u f + £ £ SK, +a> i + x u f uj1 (44) j = i i = i j = i

a stąd na podstaw ie (21)

N + 1 N + 1 N + 1

;2 0 ? X S K 1>J + 1-CNf + 1- m + X E S i + u + i-

j = l i = l j = l

■ [(F N j1 + Wj) C N f + 1 - m + (F N f + W i) CNj1 +1 - m] +

N + l N + l n - l

i ostatecznie

[DS(

\

0 J = jFRf

\

5. W Y Z N A C Z E N IE O P T Y M A L N E G O PROCESU N A G R Z E W A N IA (C H Ł O D Z E N IA ) N A PO DSTAW IE M IN IM A L IZ A C J I F U N K C J O N A Ł U T E M P E R A T U R Y (39)

Podobnie ja k w punkcie poprzednim p rze d sta w im y num eryczną realizację m in im a liz a c ji fu n k c jo n a łu I T. W yznaczm y więc postać fu n kcjo n a łu I T w fun-

(17)

nej te m p e ra tu rze w c h w ili początkowej 0 ° i końcowej W yznaczm y postać jaw ną fu n k c jo n a łu te m p e ra tu ry (30).

ć)T I

W stanie u sta lo n ym ze w zględu na w a ru n e k — | r = 0 te m p e ra tu rę T„,(r) = T w i fu n k c jo n a ł I T je s t w ygodniej p rzekształcić do postaci:

z

It = J

T (r, xk)

- 1 d r (46)

lub po w y k o n a n iu całkow ania

Zatem

N + 1

Z

Yj + 1 [ ( ^ ) 2 - 2u * + l ]

1 9It N + 1

2 3 0 “ : X Yj + 1 •

3 = 1

j = l

n anf

of — — - — — J 3 0 “ 3 0 “

(47)

r) 1^n

— L = C N f + 1~m

30“ J m = 1, 2, ..., n - 1

Stąd m - t y w ie rsz m acierzy m a postać

N + 1 N + 1

X Yj + 1 C N f + 1 ~ m • u f = X Yj + 1 CNj1 + 1

3 = 1 3 = 1

lub po p o d sta w ie n iu w yra że n ia na uj1

N + 1 n - 1 N + 1

j = l i = 0 j = l

(18)

N + 1

(48)

p =i j = i

N + 1

M acierz [DT] je s t m acierzą sym etryczną.

N iech xopt oznacza czas nagrzew an ia (chłodzenia), w czasie którego przej

ściu od te m p e ra tu ry początkowej x0 do te m p e ra tu ry końcowej xk = xopt nie n a stą p i przekroczenie naprężeń dopuszczalnych. Zatem d la czasów xk < xopt n a stą p i przekroczenie dopuszczalnych naprężeń. Jest to w y n ik ie m m in im a li

zacji funkcjona łów : fd i I T, gdyż proces m in im a liz a c ji prow adzi do równo

m iernego ro z k ła d u te m p e ra tu r w c h w ili x = xk. W tra k c ie m in im a liz a c ji nie n a k ła d a liś m y żadnych ograniczeń n a w a rto ści naprężeń zredukow anych na p ow ierzchni w ew nętrznej (x0 = Rw. Gre(j = | a (() | ).

Zatem d la xk < xopt należy do fu n kcjo n a łó w 1 ^ , I T dołączyć w a ru n e k

W yznaczmy zatem postać ja w n ą tego w a runku. N a podstawie (33) otrzym ujem y

< V X0> U | — ^dop (50)

N + 2 N + l

U w zględniając zależność (21) dostajem y

N + 1

(19)

n - 1 n-lŃ + l ^\

+ X ZEFjjj 0P - Fj ■ 0 ‘ ) = X I S IG T 1;j + ! ■ ZEFpj -0P +

P=i p = i j = i (51)

/

N + l N + l

j = i j = i

i = 1, 2, n stąd o trzym u je m y u k ła d nierów ności

gdzie m acierz A je s t m acierzą p ro s to k ą tn ą o w ym ia rze n x (n -1 ).

6. O B L IC Z E N IA N U M E R Y C Z N E

Z praktycznego p u n k tu w id ze n ia je s t rzeczą n a tu ra ln ą wyznaczenie ekstre

malnego procesu n agrzew an ia (w ym ra ża n ia ) k o n s tru k c ji poddawanej obciąże

niom cieplnym .

E kstre m a ln e nagrzew anie (w ym rażanie) je s t opisane w a ru n k ie m brze

gowym I rodzaju (w w ielkościach b ezw ym iarow ych — te m p e ra tu ra n a brzegu równa 1, a początkow a ró w n a 0). Ze w zględu na eksploatację z b io rn ikó w do przewozu skroplonych gazów p o w ie rzch n ia zew nętrzna je s t izolow ana te rm i

cznie, co m odelujem y w a ru n k ie m brzegow ym I I rodzaju.

D la ty c h w a ria n tó w przeprow adzono obliczenia naprężeń term icznych, k tó rych przebieg przedstaw iono n a ry s u n k u 1 d la różnych grubości płaszcza cysterny i d la kole jn ych c h w il czasu. D la c h w il początkowych naprężenia term iczne d la danych m a te ria ło w y c h są rzędu 500 M Pa, co dla n ie któ rych s ta li je s t w artością w iększą n iż naprężenia dopuszczalne (rys. 1).

N a ry s u n k a c h 2-¡-5 przedstaw iono proces w y m ra ż a n ia płaszcza cysterny od te m p e ra tu ry początkowej T°(x) = 0 do te m p e ra tu ry roboczej T r = -190°C.

Założony czas w y m ra ż a n ia xk = 50 s. Pozostałe w ie lko ści zaznaczono na rysunkach. O bliczenia przeprowadzono d la czterech w a ria n tó w grubości p ła szcza g = 8, 12, 16, 20 m m , a odpowiadające im przebiegi optym alnych k rzyw ych w y m ra ż a n ia zapew niających nieprzekroczenie dopuszczalnych n a prężeń pokazano n a ko le jn ych rysunkach.

D la procesu optym alnego w y m ra ż a n ia interesujące je s t wyznaczenie krzyw e j rozdzielającej obszar, w k tó ry m naprężen ia term iczne osiągają w a rto ści naprężeń dopuszczalnych, od obszaru w k tó ry m naprężenia term iczne m aleją ze w zględu na w yró w n yw a n ie się te m p e ra tu r w płaszczu cysterny.

(20)

Rys. 1. Rozkład naprężeń obwodowych na powierzchni wewnętrznej x0 = Rw dla różnych grubości płaszcza zbiornika przy szoko

wym działaniu tem peratury na tej powierzchni

Fig. 1. Circumferencial stresses distribution on a interior surface x0 = Rw, for various tank shell thicknesses at shock tem perature impact upon th a t surface

łCiałkowski

(21)

Rys. 2. Wykres optymalnego procesu wymrażania płaszcza zbiornika dla tem peratury roboczej Tr = -190°C i grubości płaszcza g = 8 mm

Fig. 2. A d ia g ra m of a ta n k sh ell o p tim u m lo w -te m p e r a tu re tr e a tm e n t process, a t th e w orking te m p e ra tu re T, = -190°C a n d sh ell

th ic k n e ss g = 8 m m CD

U1

Analizaobciążeniatermicznegopłaszczacysterny...

(22)

Rys. 3. W ykres opty m aln eg o p ro cesu w y m ra ż a n ia p łaszcza zb io rn ik a dla te m p e ra tu ry roboczej T,- = -1 90°C i g rubości p łaszcza g = 12 m m

Fig. 3. A d ia g ra m of a ta n k sh e ll o p tim u m lo w -te m p e r a tu re tr e a tm e n t process, a t th e w o rk in g te m p e r a tu r e T, = -1 90°C an d shell th ic k n e ss g = 12 m m

łCiałkowski

(23)

- 1 0 0

TIs]

Rys. 4. Wykres optymalnego procesu wymrażania płaszcza zbiornika dla tem peratury roboczej Tr = -190°C i grubości płaszcza g = 16 mm

Fig. 4. A d ia g ra m of a t a n k sh ell o p tim u m lo w -te m p e r a tu re tr e a tm e n t p rocess, a t th e w o rk in g te m p e r a tu r e Tr = -1 9 0 °C a n d sh ell

th ic k n e s s g = 16 m m CT>

'-J

(24)

Fig. 5. A d ia g r a m of a ta n k sh e ll o p tim u m lo w -te m p e r a tu re tr e a tm e n t pro cess, a t th e w o rk in g te m p e r a tu r e Tr = -1 9 0 °C a n d sh ell th ic k n e ss g = 20 m m

(25)

Rys. 6. Krzywa rozdziału naprężeń na obszar, w którym a<p(Rw, X) = ^Odop,x < x* oraz obszar o malejących naprężeniach a<p(Rw, Ti) <

a 9(Rw, X2) < Odop, Xl > X2 > x*

Fig. 6. A stress division curve into domains in which a) CfyiRw, x) = adop, x < x* b) o^iRw, xi) < aip(Rw, X2) < Odop, xi > X2> x*

(26)

P u n k t ro zd zia łu tych dwóch obszarów wyznacza para (x*, g), gdzie x* je s t czasem, po u p ły n ię c iu którego przyłożenie te m p e ra tu ry T = T r na pow ierzchni R = R „ n ie spowoduje przekroczenia naprężeń te rm iczn ych dla płaszcza o grubości g. O dpow iednie p u n k ty (x*, g) z rys. 6 odpow iadają p u n k to w i spadku naprężeń na rysu n ka ch 4-^6. Dł a w zrastającej grubości „g” płaszcza cysterny czas x* w zra sta w ykładniczo.

A u to r dziękuje Zakładom M E T A L C H E M — K ościan za zainicjow anie tego te m a tu .

Pracę w ykonano w ram ach badań w ła sn ych B W -0 6 6 -5 6 /9 4 .

L IT E R A T U R A

[1] Boley B.A., W einer J.H .: T heory o f th e rm a l stresses. J. W iley, New Y o rk 1960.

[2] C h m ie ln ia k T., Kosm an G.: Obciążenia cieplne tu r b in parow ych W N T, W arszaw a 1990. ’

[3] C h m ie ln ia k T., Kosm an G., R usin A.: Pełzanie elem entów tu rb in ciepl

nych, W N T , W arszaw a 1990.

[4] L ip k a J.: W ytrzym ałość m aszyn w irn ik o w y c h . PW N, W arszaw a 1967.

[5] Luenberger D.G.: T eoria o p tym a liza cji. B ib lio te k a N aukow a In żyn ie ra , PW N, W arszaw a 1974.

[6] N ow acki W.: Teoria sprężystości. PW N, W arszaw a 1970.

[7] M ela n E., F a rk u s H .: W ärm espannungen infolge sta tio n ä re r Tem pera

tu rfe ld e r. S p rin g e r-V e rla g . W ien 1959.

[8] O rłoś Z. (red.): N aprężenia cieplne. PW N , W arszaw a 1991.

[9] P arkus H.: In s ta tio n ä re W ärm espannungen. S p rin g e r-V e rla g . W ien 1959.

Recenzent:

W płynęło do Redakcji: 21. 06. 1994 r.

D r hab. inż. K a zim ierz K u rp isz

A b stract

In engineering, we often deal w ith s tru c tu ra l components under h ig h th e r

m a l load. C onstructions w o rk in g in h ig h and low tem peratures are among them . T his paper refers to one o f them .

(27)

I t consideres th e problem o f in flu e n ce and c o n tro l o f th e f ir s t boundary condition upon rece ivin g a desired th e rm a l stresses d is trib u tio n w ith in a p a rticu la r tim e in te rv a l. I t has th e re q u ire d stresses - allow able, because of the constructions w o rk in g r e lia b ility — cannot be exceeded.

This problem has been solved w ith in th e lim its o f lin e a r equation o f the heat conduction and e la s tic ity th e o ry. C o nsidering th e construction shape, a one-dim ensional lin e a r equation o f he a t conduction w ith an u n kn o w n c y lin der bound ary con d itio n o f th e f ir s t k in d upon th e c y lin d e r in te rio r surface was im plem ented fo r calculations. T e m p e ra tu re d is trib u tio n on th e in n e r surface of the c y lin d e r was detem ined fro m th e co n d itio n assum ing th a t th e dem an

ded th e rm a l stresses w e rw n o t exceeded. Such a fo rm u la tio n o f th e problem has led to th e issue o f q u a d ra tic p ro g ra m m in g .

Theoretical considerations have been illu s tra te d w ith n u m e ric a l examples.

Analiza obciążenia termicznego płaszcza cysterny do przewozu ciekłych gazów

ANALIZA OBCIĄŻENIA TERMICZNEGO PŁASZCZA CYSTERNY DO PRZEWOZU CIEKŁYCH GAZÓW

S tr e sz c z e n ie .

A THERMAL LOAD ANALYSIS OF A TANK SHELL FO R LIQUID GAS TRANSPORT

Sum m ary.

ANALYSE D E R WÄRM EBELASTUNG D E S M ANTELS EIN ER ZUM TRANSPORT FL Ü SSIG EN GASES D IE N E N D E N ZISTERNE

Z u sa m m en fa ssu n g .

(

)

(

)

v(t)

X

(

)

dx = - J 1

28

I-o

(

)

X ITiW

Ti(t

At)]J

dx +

( 12 )

I

J

J

=

+ (1

■

■

=

1

2

J

= [(ar - o9)2 + (cr - oz)2 + (o«p - oz)2]

JoJ = [SIGT] • T

X

(

2| = [SIGZ] • {T} a z, i = ^ SIGZu • T

X (SIGR

- SIGTy) Tj

X (SIGRy - SIGZy) ■ Tj

X (SIGTy - SIGZy) Tj [{SRZ*} {T}]

<Ą

dl

2ol

;2 0 ? X S K 1>J + 1-CNf + 1- m + X E S i + u + i-

\

\

Z

A b stract

dx = - J ¹

²⁸

X (SIGTy - SIGZy) Tj **[{SRZ*} {T}]**