• Nie Znaleziono Wyników

Warunek prostopadłości prostych. Warunek prostopadłości prostych Przeczytaj Aplet Sprawdź się Dla nauczyciela

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Warunek prostopadłości prostych. Warunek prostopadłości prostych Przeczytaj Aplet Sprawdź się Dla nauczyciela"

Copied!
11
0
0

Pełen tekst

(1)

Warunek prostopadłości prostych

Warunek prostopadłości prostych Przeczytaj

Aplet Sprawdź się Dla nauczyciela

(2)

Potrafisz już opisać równaniem kierunkowym prostą, która nie jest równoległa do osi Y oraz narysować zbiór punktów, których współrzędne (x, y) spełniają równanie y = ax + b. W tej lekcji poznasz pewną ważną zależność, która ma wiele zastosowań w geometrii analitycznej.

Twoje cele

Rozpoznasz równania prostych prostopadłych.

Wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do danej prostej spełniającej określone warunki.

Wyznaczysz wartości parametrów, przy których proste opisane danymi równaniami są prostopadłe.

Warunek prostopadłości prostych

Źródło: Logan Armstrong, [online], dostępny w internecie:

www.unsplash.com.

(3)

Przeczytaj

Rozważmy proste o równaniach:

y = a1x + b1 i y = a2x + b2.

Przyjmijmy założenia jak na rysunku poniżej. Załóżmy, że są one prostopadłe. Oznacza to, że kąty nachylenia tych prostych do osi X różnią się o 90 °.

Przypomnijmy, że a1=tgα oraz a2=tg(α+90°). Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, możemy wykonać poniżesz przekształcenia:

a2=tg(α+90°)=-ctgα.

Wynika stąd

a1·a2=tgα·(-ctgα)=-1.

Ponieważ powyższe rozumowanie można odwrócić, mamy więc prawo sformułować następujący wniosek, zwany warunkiem prostopadłości prostych.

Proste o równaniach kierunkowych

y=a1x+b1 i y=a2x+b2

są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn współczynników kierunkowych tych prostych jest równy (-1).

k: y=a1x+b1 ⊥ m: y=a2x+b2⇔a1·a2=-1

Przykład 1

Rozstrzygniemy, czy proste o podanych równaniach są prostopadłe.

a) y=0,(3)x-6 i y=-3x+2

Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych

a1=0,(3) i a2=-3.

Zauważmy, że liczba 0,(3) to 13, zatem

a1·a2=13·(-3)=-1.

Wynika stąd, że proste o równaniach y=0,(3)x-6 i y=-3x+2 są prostopadłe.

b) y=3x-2x+6 i y=3x+2x+5

Uporządkujmy podane równania:

(4)

y=(3-2)x+6 i y=(3+2)x+5.

Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych

a1=3-2 i a2=3+2.

Zatem a1·a2=(3-2)(3+2)=3-4=-1.

Wynika stąd, że proste o równaniach y=3x-2x+6 i y=3x+2x+5 są prostopadłe.

c) y=(log23)x+4 i y=(log312)x+2

Odczytajmy współczynniki kierunkowe tych prostych

a1=log23 i a2=log312.

Zauważmy, że

a2=log312=log32-1=-log32=- 1log23.

Zatem

a1·a2=log23·(- 1log23)=-1.

Wynika stąd, że proste o równaniach y=(log23)x+4 i y=(log312)x+2 są prostopadłe.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkt A o współrzędnych (23,-3) prostopadłej do prostej o równaniu y=-x+8.

Odczytajmy współczynnik kierunkowy podanej prostej:

a1=-1.

Szukana prosta ma równanie postaci

y=a2x+b2,

gdzie

a1·a2=-1.

Zatem po podstawieniu do warunku prostopadłości a1=-1, otrzymujemy a2=1. Aby wyznaczyć b2 podstawimy współrzędne punktu A do równania y=x+b2:

-3=23+b2 b2=-33

Zatem równanie szukanej prostej to y=x-33.

Przykład 3

Wyznaczymy wartość parametru m, dla którego proste o równaniach y=-x+35m i y=2mx-5x-19m

są prostopadłe.

Zaczniemy od uporządkowania równań i odczytania współczynników kierunkowych.

y=-x+35m⇒a1=-1 y=2mx-5x-19m=(2m-5)x-19m⇒a2=2m-5

Ponieważ proste opisane równaniami kierunkowymi są prostopadłe dokładnie wtedy, gdy iloczyn ich współczynników kierunkowych jest równy (-1), wystarczy więc rozwiązać równanie

(2m-5)·(-1)=-1 2m-5=1 m=(5+1)2

Wobec powyższego jedyna wartość parametru m, dla której proste o równaniach y=-x+35m i y=2mx-5x-19m są prostopadłe to (5+1)2.

Przykład 4

(5)

Prosta k jest prostopadła do prostej l. Wiadomo, że przecinają się one w punkcie A(4,12). Prosta k przecina oś X w punkcie (1,0). Wyznacz równania tych prostych wiedząc, że żadna z nich nie jest równoległa do osi Y.

Ponieważ żadna z prostych nie jest równoległa do osi Y, każdą z nich można opisać równaniem postaci k:y=a1x+b1, l:y=a2x+b2.

Najpierw wyznaczymy równanie prostej k. Korzystając z faktu, że przechodzi ona przez punkty o współrzędnych (4,12) i (1,0), możemy zapisać układ równań:

12=4a1+b10=a1+b1

Po odjęciu równań stronami, otrzymujemy równanie

12=3a1a1=4a1=4b1=-a1=-4

Zatem prosta k ma równanie

y=4x-4.

Ponieważ prosta l jest prostopadła do prostej k, współczynnik kierunkowy jej równania można wyznaczyć z warunku a1·a2=-1 4·a2=-1 a2=-14.

Aby wyznaczyć b2, podstawimy współrzędne punktu (4,12) do równania y=-14x+b2:

12=-14·4+b2 b2=13.

Zatem równanie szukanej prostej to

y=-14x+13.

Słownik

współczynnik kierunkowy prostej

liczba a we wzorze y=ax+b zwanym równaniem kierunkowym prostej; określa nachylenie prostej

(6)

Aplet

Polecenie 1

Zmieniając wartość współczynników równania prostej przy pomocy suwaków, obserwuj zależność między współczynnikami kierunkowymi równań prostych prostopadłych. Wykonaj poniższe ćwiczenia.

Polecenie 2

Czy podane pary równań opisują proste prostopadłe?

y=2x-10 i y=-0,5x+6 y=13x-7 i y=3x+3 y=5x+2x-4 i y=(2-5) x+3 y=xlog25-4 i y=xlog5

tak □ tak □ tak □ tak □

nie □ nie □ nie □ nie □

Polecenie 3

Wyznacz m wiedząc, że równania podane niżej opisują proste prostopadłe.

Równania prostych prostopadłych Wartość parametru m y=-0,125x+4 i y=mx+7

y=0,25x+8 i y=4+(m+3)x y=m4x i y=(m-4)x-9 y=xlog75 i y=-mx(log57)+4

(7)

Sprawdź się

Ćwiczenie 1

Czy podane pary równań opisują proste prostopadłe?

y=-4x-10 i y=0,25x+6 y=0,(25)x-7 i y=-4x+3 y=3x+x-4 i y=-(3-1)2x+3 y=5x-x-4 i y=1(5-1)x+

tak □ tak □ tak □ tak □

nie □ nie □ nie □ nie □

Ćwiczenie 2

Podaj równanie prostej prostopadłej do danej i przechodzącej przez punkt A. Ułamki zapisuj w formie dziesiętnej.

Równanie prostej k Współrzędne punktu A Równanie prostej prostopadłej do k przechodzącej przez A

y=-23x A(-4,1)

y=-0,25x+4,5 A(2,9)

y=0,125x-1 A(2,2)

Ćwiczenie 3

Wyznacz m wiedząc, że równania podane niżej opisują proste prostopadłe. Ułamki zapisuj w formie dziesiętnej.

Równania prostych prostopadłych Wartość parametru m y=(-13)x+4 i y=mx+7

y=4x+8 i y=4+(-0,25m+3)x y=m-23x i y=(4-2m)x-9 y=(1-2)x i y=m(1+2)x+7

(8)

Ćwiczenie 4

Wyznacz b wiedząc, że równania podane niżej opisują proste prostopadłe. Przeciągnij i upuść.

<math><mi>b</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math>, <math><mi>b</mi><mo>=</mo><mo>-

</mo><mn>10</mn></math>, <math><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>5</mn></math>, <math><mi>b</mi>

<mo>=</mo><mo>-</mo><mn>3</mn></math>, <math><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>3</mn></math>,

<math><mi>b</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>2</mn></math>, <math><mi>b</mi><mo>=</mo>

<mn>8</mn></math>, <math><mi>b</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>6</mn></math>

y=x+2b i y=-(b2+4b+4)x-8

y=-0,2x-1 i y=|b-3|x-3b

y=9-|4-b|x i y=x+5b

y=18|8+b|x i y=5+3b-4x

Ćwiczenie 5

Proste k i l są prostopadłe i przecinają oś Y w punkcie A o rzędnej 4. Wyznacz równania tych prostych wiedząc, że do prostej l należy punkt B(-2,8).

Uzupełnij

(9)

Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy podane pary równań opisują proste prostopadłe. Możesz wykorzystać postać kierunkową prostej.

2x-3y+7=0 i 3x+2y-10=0 7y+10-5x=0 i 7y+10+5x=0 3x-5y+2=0 i -10x-6y-15=0 2x-3x+7=0 i 9y+5y-10

tak □ tak □ tak □ tak □

nie □ nie □ nie □ nie □

Ćwiczenie 7

Dany jest trójkąt ABC, którego wierzchołki mają następujące współrzędne: A0,2, B4,-4, C9,6. Wyznacz współrzędne ortocentrum (punktu przecięcia prostych zawierających wysokości) tego trójkąta.

Uzupełnij

Ćwiczenie 8

Dane są dwa przeciwległe wierzchołki A1,7 i C1;-5,5 prostokąta ABCD. Prosta o równaniu y = 2x−54 jest osią symetrii tego prostokąta. Oblicz współrzędne wierzchołków B i D tego prostokąta.

Uzupełnij

(10)

Dla nauczyciela

Autor: Sebastian Guz Przedmiot: Matematyka

Temat: Warunek prostopadłości prostych Grupa docelowa:

Szkoła ponadpodstawowa, liceum ogólnokształcące, technikum, zakres rozszerzony Podstawa programowa:

Treści nauczania – wymagania szczegółowe:

IX. Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej. Zakres podstawowy. Uczeń:

1) rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje;

Kształtowane kompetencje kluczowe:

kompetencje obywatelskie;

kompetencje cyfrowe;

kompetencje osobiste, społeczne i w zakresie umiejętności uczenia się;

kompetencje matematyczne oraz kompetencje w zakresie nauk przyrodniczych, technologii i inżynierii.

Cele operacyjne:

Rozpoznasz równania prostych prostopadłych.

Wyznaczysz równanie prostej prostopadłej do danej prostej spełniającej określone warunki.

Wyznaczysz wartości parametrów, przy których proste opisane danymi równaniami są prostopadłe.

Strategie nauczania:

konstruktywizm;

konektywizm.

Metody i techniki nauczania:

odwrócona klasa;

rozmowa nauczająca w oparciu o treści zawarte w sekcji „Aplet” i ćwiczenia interaktywne;

dyskusja.

Formy pracy:

praca indywidualna;

praca w parach;

praca w grupach;

praca całego zespołu klasowego.

Środki dydaktyczne:

komputery z głośnikami, słuchawkami i dostępem do internetu;

zasoby multimedialne zawarte w e‑materiale;

tablica interaktywna/tablica, pisak/kreda.

Przebieg lekcji Przed lekcją:

1. Uczniowie zapoznają się z treściami zapisanymi w sekcji „Przeczytaj”.

Faza wstępna:

1. Przedstawienie uczniom tematu: „Warunek prostopadłości prostych” oraz celów lekcji, a następnie określenie

(11)

kryteriów sukcesu.

2. Nauczyciel prosi wybranego ucznia lub uczniów o przedstawienie sytuacji problemowej związanej z tematem lekcji.

Faza realizacyjna:

1. Nauczyciel przechodzi do sekcji „Sprawdź się”. Zapowiada uczniom, że w kolejnym kroku będą rozwiązywać ćwiczenia numer 1 i 2, i będą to robić wspólnie. Wybrana osoba czyta po kolei polecenia. Po każdym

przeczytanym poleceniu ochotnik udziela odpowiedzi. Reszta uczniów ustosunkowuje się do niej, proponując swoje pomysły. Nauczyciel w razie potrzeby koryguje odpowiedzi, dopowiada istotne informacje, udziela uczniom informacji zwrotnej.

2. W kolejnym kroku uczniowie realizują w parach ćwiczenia 3‑5, po ich wykonaniu porównują otrzymane wyniki z inną parą.

3. Zadania numer 6, 7 i 8 uczniowie wykonują indywidualnie, a następnie omawia je nauczyciel.

Faza podsumowująca:

1. Omówienie ewentualnych problemów z rozwiązaniem ćwiczeń z sekcji „Sprawdź się”.

Praca domowa:

1. Zadanie dla kolegi/koleżanki. Uczniowie dobierają się w pary i opracowują zadania analogiczne do ćwiczeń 7 i 8 z sekcji „Sprawdź się”. Następnie przesyłają je do siebie mailem, rozwiązują i na następnej lekcji porównują wyniki.

Materiały pomocnicze:

E‑podręcznik z matematyki na stronie: www.epodreczniki.pl Wskazówki metodyczne:

Nauczyciel może wykorzystać medium w sekcji „Aplet” do pracy przed lekcją. Uczniowie zapoznają się z jego treścią i przygotowują do pracy na zajęciach w ten sposób, żeby móc samodzielnie rozwiązać zadania w temacie

„Warunek prostopadłości prostych”.

Przetwarzam wzory matematyczne: 1%

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zauważają, że funkcja wykładnicza ma zastosowanie do obliczania wysokości kapitału złożonego na określony czas przy ustalonym oprocentowaniu lub przy braniu kredytów..

Jeśli będzie żył w ten sposób, nic więcej do szczęścia nie jest mu już potrzebne, osiągnie bowiem doskonałość, którą odczuwa się właśnie jako szczęście.. Jak zatem

charakteryzuje etapy oraz wskazuje główne okresy i obszary udamawiania zwierząt gospodarskich, ocenia pozytywne i negatywne skutki udomowienia zwierząt. Strategie:

Badanie właściwości cukrów prostych oraz złożonych Cukierki, znane pod nazwą „landrynki”, składają się prawie w stu procentach z cukru złożonego, czyli sacharozy!.

Porównasz rozwiązania równania kwadratowego obliczane algorytmem zwykłym (za pomocą wyznacznika delty) i stabilnym (bazującym na wzorach Viete'a).. Zweryfikujesz sposób

2. Przekazanie danych osobowych odbyło się za pośrednictwem osoby trzeciej, natomiast osoba, której te dane dotyczą, została jedynie poinformowana o ich upublicznieniu, lecz

Porównasz czas działania programów bazujących na algorytmach o złożoności logarytmicznej i liniowo‑logarytmicznej oraz programów, w których zaimplementowano algorytmy

Zakazane jest istnienie partii politycznych i innych organizacji odwołujących się w swoich programach do totalitarnych metod i praktyk działania nazizmu, faszyzmu i komunizmu, a