Obecność na wykładach będzie sprawdzana! Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa!

(1)

Optymalizacja Optymalizacja

w procesach biznesowych w procesach biznesowych

dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof.PP dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof.PP

Instytut Informatyki Instytut Informatyki

Obecność na wykładach będzie sprawdzana!

Organizacja zajęć Organizacja zajęć

►

16 godzin wykładów 16 godzin wykładów

dr hab. inż. J. Józefowska, prof. PP dr hab. inż. J. Józefowska, prof. PP

www.cs.put.poznan.plwww.cs.put.poznan.pl//jjozefowskajjozefowska

dyżur: poniedziałek 9.30dyżur: poniedziałek 9.30--11.00, 11.00, pok 436 WE

pok 436 WE

Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa!

pok. 436 WE pok. 436 WE

►

16 godzin ćwiczeń 16 godzin ćwiczeń

dr inż. Grzegorz Waligóradr inż. Grzegorz Waligóra

►

Ok. 16 godzin pracy poza zajęciami Ok. 16 godzin pracy poza zajęciami

Zaliczenie Zaliczenie

►

Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem dopuszczenia do egzaminu

dopuszczenia do egzaminu

►

Egzamin odbędzie się zgodnie z Egzamin odbędzie się zgodnie z harmonogramem sesji

harmonogramem sesji harmonogramem sesji harmonogramem sesji

►

Nie przewidujemy zwolnienia z egzaminu Nie przewidujemy zwolnienia z egzaminu

►

Na egzamin pisemny proszę przynieść Na egzamin pisemny proszę przynieść indeks!

indeks!

Program zajęć Program zajęć

►

Programowanie liniowe Programowanie liniowe

Sformułowanie problemu i przykłady zastosowańSformułowanie problemu i przykłady zastosowań

Algorytm simpleksAlgorytm simpleks

Zagadnienie dualneZagadnienie dualne

Z d i i t t

►

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe

Znajdowanie rozwiązania początkowegoZnajdowanie rozwiązania początkowego

Metoda potencjałówMetoda potencjałów

►

Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne

►

Optymalizacja w zarządzaniu projektami Optymalizacja w zarządzaniu projektami

Literatura Literatura

►

►BadaniaBadania operacyjne,operacyjne, redred.. EE.. Ignasiak,Ignasiak, PWE,PWE, Warszawa,Warszawa, 19971997..

►

►BadaniaBadania operacyjneoperacyjne dladla informatyków,informatyków, skryptskrypt PolitechnikiPolitechniki PoznańskiejPoznańskiej 1137

1137,, BłażewiczBłażewicz JJ..,, CellaryCellary WW..,, SłowińskiSłowiński RR..,, WęglarzWęglarz JJ..,, Wydawnictwo

Wydawnictwo PolitechnikiPolitechniki Poznańskiej,Poznańskiej, Poznań,Poznań, 19841984..

►

►BadaniaBadania operacyjneoperacyjne ww przykładachprzykładach ii zadaniach,zadaniach, redred.. KK.. Kukuła,Kukuła, Jędrzejczyk

Jędrzejczyk ZZ..,, KukułaKukuła KK..,, SkrzypekSkrzypek JJ..,, WalkoszWalkosz AA..,, PracowniaPracownia Jęd ejc y

Jęd ejc y ,, u u au u a ,, SS ypeype JJ ,, a osa os ,, acoaco aa Poligraficzna

Poligraficzna AkademiiAkademii EkonomicznejEkonomicznej ww Krakowie,Krakowie, Kraków,Kraków, 19921992..

►

►BadaniaBadania operacyjne,operacyjne, SiudakSiudak MM..,, OficynaOficyna WydawniczaWydawnicza PolitechnikiPolitechniki Warszawskiej,

Warszawskiej, Warszawa,Warszawa, 19941994..

►

►ManagementManagement forfor Engineers,Engineers, ChapmanChapman CC.. BB..,, CooperCooper DD.. FF..,, PagePage MM.. JJ..,, John

John WileyWiley && Sons,Sons, ChichesterChichester,, 19871987..

►

►TrzaskalikTrzaskalik TT..,, WprowadzenieWprowadzenie dodo badańbadań operacyjnychoperacyjnych zz komputerem,komputerem, Polskie

Polskie WydawnictwoWydawnictwo Ekonomiczne,Ekonomiczne, WW--wawa 20032003..

Literatura Literatura

►

►BadaniaBadania operacyjne,operacyjne, redred.. EE.. Ignasiak,Ignasiak, PWE,PWE, Warszawa,Warszawa, 19971997..

►

►BadaniaBadania operacyjneoperacyjne dladla informatyków,informatyków, skryptskrypt PolitechnikiPolitechniki PoznańskiejPoznańskiej 1137

1137,, BłażewiczBłażewicz JJ..,, CellaryCellary WW..,, SłowińskiSłowiński RR..,, WęglarzWęglarz JJ..,, Wydawnictwo

Wydawnictwo PolitechnikiPolitechniki Poznańskiej,Poznańskiej, Poznań,Poznań, 19841984..

►

►BadaniaBadania operacyjneoperacyjne ww przykładachprzykładach ii zadaniach,zadaniach, redred.. KK.. Kukuła,Kukuła, Jędrzejczyk

Jędrzejczyk ZZ..,, KukułaKukuła KK..,, SkrzypekSkrzypek JJ..,, WalkoszWalkosz AA..,, PracowniaPracownia Jęd ejc y

Jęd ejc y ,, u u au u a ,, SS ypeype JJ ,, a osa os ,, acoaco aa Poligraficzna

Poligraficzna AkademiiAkademii EkonomicznejEkonomicznej ww Krakowie,Krakowie, Kraków,Kraków, 19921992..

►

►BadaniaBadania operacyjne,operacyjne, SiudakSiudak MM..,, OficynaOficyna WydawniczaWydawnicza PolitechnikiPolitechniki Warszawskiej,

Warszawskiej, Warszawa,Warszawa, 19941994..

►

►ManagementManagement forfor Engineers,Engineers, ChapmanChapman CC.. BB..,, CooperCooper DD.. FF..,, PagePage MM.. JJ..,, John

John WileyWiley && Sons,Sons, ChichesterChichester,, 19871987..

►

►TrzaskalikTrzaskalik TT..,, WprowadzenieWprowadzenie dodo badańbadań operacyjnychoperacyjnych zz komputerem,komputerem, Polskie

Polskie WydawnictwoWydawnictwo Ekonomiczne,Ekonomiczne, WW--wawa 20032003..

(2)

Programowanie liniowe Programowanie liniowe gg

Optymalizacja w procesach biznesowych Optymalizacja w procesach biznesowych

Wykład 1 Wykład 1

Plan wykładu Plan wykładu

►

Problem programowania liniowego Problem programowania liniowego

PrzykładPrzykład

Postać kanonicznaPostać kanoniczna

Postać standardowaPostać standardowa

►

Metoda graficzna Metoda graficzna gg

►

Algorytm Algorytm simplex simplex

Początkowa baza dopuszczalnaPoczątkowa baza dopuszczalna

Tablica simpleksTablica simpleks

Warunek optymalności rozwiązaniaWarunek optymalności rozwiązania

Zmiana bazy Zmiana bazy

Transformacja tablicyTransformacja tablicy

►

Metoda sztucznej bazy Metoda sztucznej bazy

Przykład zastosowania PL Przykład zastosowania PL

Mały warsztat naprawia trzy rodzaje urządzeń B₁, B₂, B₃. Każde urządzenie zawiera trzy podstawowe elementy: E₁, E E Naprawa polega na demontażu i/lub montażu E₂, E₃. Naprawa polega na demontażu i/lub montażu elementów E₁, E₂, E₃według określonej technologii. Tabela przedstawia przebieg każdej naprawy, zysk z naprawy urządzenia określonego typu oraz zapas elementów E₁, E₂, E₃w firmie.

Element Element

Urządzenie

EE

₁₁

EE

₂₂

EE

₃₃

zysk zysk [$/szt]

[$/szt]

Przykład zastosowania PL Przykład zastosowania PL

BB

₁₁

33 --22 --44 --1 1

BB

₂₂

--11 44 33 33

BB

₃₃

22 00 88 --22

Zapas [szt.]

Zapas [szt.] 77 12 12 10 10

Aby określić optymalny z punktu widzenia maksymalizacji zysku zakres napraw budujemy model liniowy problemu.

Sformułowanie problemu Sformułowanie problemu

Niech x1 oznacza planowaną liczbę sztuk urządzenia B1

x2oznacza planowaną liczbę sztuk urządzenia B2

x3oznacza planowaną liczbę sztuk urządzenia B3

Całkowity zysk z naprawy urządzeń:

–x1+ 3x2– 2x3

Liczba sztuk elementu E1 potrzebna do realizacji produkcji:

3x1– x2+ 2x3 ≤ 7

Zakład ma zapas 7 sztuk elementu E1

–2x1+ 4x2 ≤ 12 –4x1+ 3x2+ 8x3≤ 10 Podobnie dla elementów E2 i E3:

Sformułowanie problemu Sformułowanie problemu

Zmaksymalizować –x₁+ 3x₂– 2x₃ (1) Przy ograniczeniach 3x x + 2x ≤ 7 (2) Przy ograniczeniach 3x₁– x₂ + 2x₃≤ 7 (2)

–2x₁+ 4x₂ ≤ 12 (3)

–4x₁+ 3x₂+ 8x₃≤ 10 (4) x₁, x₂, x₃≥ 0 (5)

(3)

Model liniowy Model liniowy

1

zmaksymalizować

ⁿ _{j j}

j

c x

∑

=

funkcja celu (kryterium)

1

przy ograniczeniach

ⁿ _{ij j} _i

, 1

j

a x b i , ,m

=

≥ =

∑ ^K

j

0, 1

x ≥ j = K , ,n

ograniczenia

Model liniowy Model liniowy

1

zmaksymalizować

ⁿ _{j j}

j

c x

∑

=

zmienna decyzyjna

(i)

1

przy ograniczeniach , 1

n

ij j i j

a x b i , ,m

=

≤ =

∑ ^K

j

0, 1

x ≥ j = K , ,n

parametry parametry parametry

(ii)

(iii)

Model liniowy

Model liniowy –– postać kanoniczna postać kanoniczna

1

zmaksymalizować

n j j j

c x

∑

=

1

przy ograniczeniach , 1

n

ij j i j

a x b i , ,m

=

≤ =

∑ ^K

j

0, 1

x ≥ j = K , ,n

Model liniowy Model liniowy

1

zminimalizować

ⁿ _{j j}

j

c x

∑

=

1

przy ograniczeniach , 1

n

ij j i j

a x b i , ,m

=

≥ =

∑ ^K

j

0, 1

x ≥ j = K , ,n

Model liniowy

Model liniowy –– postać standardowa postać standardowa

zmaksymalizować cx

przy ograniczeniach Ax = b

≥ 0 x ≥ 0 x

1 2

m b b

b

⎡ ⎤⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦

b K

1 2

n x x

x

⎡ ⎤⎢ ⎥

=⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦

x K

[

c ,c ,1 2 ,cn

]

=

c K ¹¹ ¹

1

n

m mn

a a

⎡ ⎤

⎢ ⎥

= ⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎣ ⎦

A

K K K K

K

Podstawowe definicje Podstawowe definicje

Rozwiązaniem dopuszczalnym zagadnienia programowania liniowego jest wektor x=(x1,x2,...,xn), spełniający warunki (ii) oraz (iii).

Rozwiązaniem bazowymukładu równań (ii) nazywamy rozwiązanie układu powstałego przez przyrównanie do zera n – m zmiennych przy założeniu, że wyznacznik współczynników pozostałych m p y a o e u, e y ac spó c y ó po os a yc zmiennych jest niezerowy. Te m zmiennych nazywamy zmiennymi bazowymi.

Niezdegenerowanym rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym nazywamy bazowe rozwiązanie dopuszczalne, w którym wszystkie zmienne bazowe są dodatnie.

Maksymalnym (minimalnym) rozwiązaniem dopuszczalnymjest rozwiązanie dopuszczalne, które maksymalizuje (minimalizuje) funkcję celu (i).

(4)

Rozwiązanie metodą graficzną

Rozwiązanie metodą graficzną Własności zbioru rozwiązań dopuszczalnych Własności zbioru rozwiązań dopuszczalnych

►

►Zbiór rozwiązań dopuszczalnych zadania programowania Zbiór rozwiązań dopuszczalnych zadania programowania liniowego jest zbiorem liniowo wypukłym.

liniowego jest zbiorem liniowo wypukłym.

►

►Istnieje punkt wierzchołkowy zbioru rozwiązań Istnieje punkt wierzchołkowy zbioru rozwiązań

dopuszczalnych, w którym funkcja celu przyjmuje minimum dopuszczalnych, w którym funkcja celu przyjmuje minimum (maksimum)

(maksimum) (maksimum).

(maksimum).

►

►Każde bazowe rozwiązanie dopuszczalne jest punktem Każde bazowe rozwiązanie dopuszczalne jest punktem wierzchołkowym zbioru rozwiązań dopuszczalnych.

wierzchołkowym zbioru rozwiązań dopuszczalnych.

►

►Każdemu punktowi wierzchołkowemu zbioru rozwiązań Każdemu punktowi wierzchołkowemu zbioru rozwiązań dopuszczalnych odpowiada m wektorów liniowo dopuszczalnych odpowiada m wektorów liniowo niezależnych z danego zbioru n wektorów związanych z niezależnych z danego zbioru n wektorów związanych z tym punktem.

tym punktem.

Algorytm simpleks Algorytm simpleks

1.

1. sprowadzić problem do postaci standardowej;sprowadzić problem do postaci standardowej;

2.

2. znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe;znaleźć dopuszczalne rozwiązanie bazowe;

3.

3. zbudować początkową tablicę simplekszbudować początkową tablicę simpleks;;

4.

4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego (xwybrać największy element wiersza wskaźnikowego (xm+1,km+1,k); );

55 jeżeli jego wartość jestjeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa zero to koniec;mniejsza lub równa zero to koniec;

5.

5. jeżeli jego wartość jest jeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa zero, to koniec; mniejsza lub równa zero, to koniec;

w przeciwnym razie:

a.

a. wyznaczyć element wyznaczyć element xx_lk_lko najmniejszym ilorazie o najmniejszym ilorazie bb_ik_ik//xx_ik_ikdla xdla x_ik_ik≥≥0, 0, ii∈∈BB;;

b.

b. przekształcić tablicę przekształcić tablicę simplexsimplex przyjmując element przyjmując element xxlklkza element za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory:

centralny przekształcenia stosując następujące wzory:

c.

c. wrócić do kroku 4.wrócić do kroku 4.

ij

' ik

ij lj

lk

x x x x

= −x

lj ' lj

lk x x

=x

Algorytm simpleks Algorytm simpleks

1.

2.

3.

3. zbudować początkową tablicę simpleks;zbudować początkową tablicę simpleks;

4.

55 jeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa zero to koniec;jeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa zero to koniec;

5.

5. jeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa zero, to koniec; jeżeli jego wartość jest mniejsza lub równa zero, to koniec;

w przeciwnym razie:

a.

a. wyznaczyć wyznaczyć element element xx_lk_lko najmniejszym ilorazie o najmniejszym ilorazie bb_ik_ik//xx_ik_ikdla xdla x_ik_ik≥≥0, 0, ii∈∈BB;;

b.

b. przekształcić tablicę przekształcić tablicę simplexsimplex przyjmując element przyjmując element xxlklkza element za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory:

c.

ij

' ik

ij lj

lk

x x x x

= −x

lj ' lj

lk x x

=x

Postać kanoniczna problemu PL Postać kanoniczna problemu PL

Zmaksymalizować: –x₁+ 3x₂– 2x₃ Przy ograniczeniach: 3x1– x2+ 2x3 ≤ 7

–2x₁+ 4x₂ ≤ 12

–4x₁+ 3x₂+ 8x₃ ≤ 10 x1, x2, x3≥ 0

Postać standardowa problemu PL Postać standardowa problemu PL

►

Wszystkie ograniczenia mają postać Wszystkie ograniczenia mają postać równań

równań

dodajemy zmienne osłabiające (s dodajemy zmienne osłabiające (s

_ii

≥≥ 0), 0),

i ół ik i f k ji l

Jak to zrobić?

z zerowymi współczynnikami w funkcji celu z zerowymi współczynnikami w funkcji celu

►

Wektor prawych stron ograniczeń jest Wektor prawych stron ograniczeń jest nieujemny (

nieujemny (b b ≥≥ 0) 0)

mnożymy obustronnie równanie przez ( mnożymy obustronnie równanie przez (–1) 1)

►

Funkcja celu jest maksymalizowana Funkcja celu jest maksymalizowana

mnożymy funkcję celu przez ( mnożymy funkcję celu przez (–1) 1)

Jak to zrobić?

(5)

Zmaksymalizować: –3x₁+ 3x₂– 2x₃

Sprowadzenie ograniczeń do postaci równań Sprowadzenie ograniczeń do postaci równań

Zmaksymalizować: –x₁+ 3x₂– 2x₃+ 0s₁+ 0s₂+ 0s₃

Funkcja celu jest maksymalizowana

–4x₁+ 3x₂+ 8x₃ ≤ 10

–2x₁+ 4x₂ ≤ 12

Przy ograniczeniach: 3x1– x2+ 2x3 ≤ 7

–2x₁+ 4x₂ + s₂ = 12

–4x₁+ 3x₂+ 8x₃ + s₃= 10 x1, x2, x3≥ 0

Wektor prawych stron ograniczeń jest dodatni

Przy ograniczeniach: 3x1– x2+ 2x3+ s1 = 7

x₁, x₂, x₃, s₁, s₂, s₃≥ 0

Problem w postaci standardowej Problem w postaci standardowej

Zmaksymalizować: –x₁+ 3x₂– 2x₃+ 0s₁+ 0s₂+ 0s₃ Przy ograniczeniach: 3x1– x2+ 2x3+ s1 = 7

–2x₁+ 4x₂ + s₂ = 12

–4x₁+ 3x₂+ 8x₃ + s₃= 10 x₁, x₂, x₃, s₁, s₂, s₃≥ 0

Algorytm simpleks Algorytm simpleks

1.

2.

3.

4.

5.

w przeciwnym razie:

a.

a. Wyznaczyć Wyznaczyć element element xx_lk_lko najmniejszym ilorazie o najmniejszym ilorazie bb_ik_ik//xx_ik_ikdla xdla x_ik_ik≥≥0, 0, ii∈∈BB;;

b.

b. Przekształcić tablicę Przekształcić tablicę simplexsimplex przyjmując element przyjmując element xxlklkza element za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory:

c.

ij

' ik

ij lj

lk

x x x x

= −x

lj ' lj

lk x x

=x

Dopuszczalne rozwiązanie bazowe Dopuszczalne rozwiązanie bazowe

Rozwiązaniem bazowym jest rozwiązanie, Rozwiązaniem bazowym jest rozwiązanie, które powstaje przez przyrównanie do zera które powstaje przez przyrównanie do zera n

n –– m zmiennych i rozwiązanie powstałego m zmiennych i rozwiązanie powstałego układu równań.

układu równań.

Jeżeli w rozwiązaniu bazowym wartości Jeżeli w rozwiązaniu bazowym wartości wszystkich zmiennych są nieujemne, to jest wszystkich zmiennych są nieujemne, to jest ono rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym.

ono rozwiązaniem bazowym dopuszczalnym.

Uwaga: w postaci standardowej zawsze n>m

Znalezienie bazy początkowej Znalezienie bazy początkowej

Zmaksymalizować: –x₁+ 3x₂– 2x₃

Przy ograniczeniach: 3x1– x2+ 2x3+ s1 = 7

–2x₁+ 4x₂ + s₂ = 12

–4x₁+ 3x₂+ 8x₃ + s₃= 10 x1, x2, x3≥ 0 Niech x1 = x2 = x3 = 0 x₁, x₂, x₃, s₁, s₂, s₃≥ 0

Znalezienie bazy początkowej Znalezienie bazy początkowej

3x1– x2+ 2x3+s1 = 7

–2x₁+ 4x₂ + s₂ = 12

–4x₁+ 3x₂+ 8x₃ +s₃= 10 Niech x1 = x2 = x3 = 0

Jest to rozwiązanie bazowe dopuszczalne

(6)

Algorytm simpleks Algorytm simpleks

1.

2.

3.

4.

4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego (xwybrać największy element wiersza wskaźnikowego (x_m+1,k_m+1,k); );

5.

w przeciwnym razie:

a.

a. Wyznaczyć Wyznaczyć element element xxlklko najmniejszym ilorazie o najmniejszym ilorazie bbikik//xxikikdla xdla xikik≥≥0, 0, ii∈∈BB;;

b.

b. Przekształcić tablicę Przekształcić tablicę simplexsimplex przyjmując element przyjmując element xx_lk_lkza element za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory:

c.

ij

' ik

ij lj

lk

x x x x

= −x

lj ' lj

lk x x =x

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i

1 2 3

4

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i

1

Numer wiersza tablicy.

Liczba wierszy: m+1.

2 3 4

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B

1 ss₁₁

Nazwy wektorów tworzących bazę.

2 ss22

3 ss₃₃ 4

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B

1 ss₁₁ 00

Współczynniki przy zmiennych bazowych w

funkcji celu.

2 ss₂₂ 00

3 ss33 00 4

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B RHS

1 ss₁₁ 00 77

Wartości zmiennych bazowych w bieżącym

rozwiązaniu.

2 ss₂₂ 00 1212

3 ss33 00 1010

4

(7)

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 ss₁₁ 00 77

2 ss₂₂ 00 1212

3 ss₃₃ 00 1010

4

Nazwy wszystkich zmiennych.

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 ss₁₁ 00 77

Współczynniki przy zmiennych w funkcji celu.

2 ss₂₂ 00 1212

3 ss₃₃ 00 1010

4

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

Współczynniki przy zmiennych w ograniczeniach.

2 ss22 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

j i ij

i B

z c x

∈

= ∑

2 ss22 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4

Wiersz wskaźnikowy.

Wartości c_j- z_j

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

j i ij

i B

z c x

∈

= ∑

2 ss₂₂ 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss33 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00

Wiersz wskaźnikowy.

Wartości c_j- z_j

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

2 ss₂₂ 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss33 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

Wartość funkcji celu w bieżącym rozwiązaniu.

(8)

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

2 ss₂₂ 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

Własności rozwiązań optymalnych Własności rozwiązań optymalnych

►

Jeżeli dla ustalonego Jeżeli dla ustalonego jj spełniony jest warunek spełniony jest warunek zz

_jj

––

cc

_jj

> 0, to można skonstruować zbiór rozwiązań > 0, to można skonstruować zbiór rozwiązań dopuszczalnych taki, że dla każdego elementu dopuszczalnych taki, że dla każdego elementu tego zbioru spełniona jest nierówność

tego zbioru spełniona jest nierówność zz < < zz

₀₀

, gdzie , gdzie ńń

dolna granica

dolna granica zz jest albo skończona albo jest albo skończona albo nieskończona (

nieskończona ( zz oznacza wartość funkcji celu w oznacza wartość funkcji celu w punkcie należącym do zbioru rozwiązań punkcie należącym do zbioru rozwiązań dopuszczalnych.

dopuszczalnych.

Własności rozwiązań optymalnych Własności rozwiązań optymalnych

Jeżeli dla dowolnego rozwiązania dopuszczalnego Jeżeli dla dowolnego rozwiązania dopuszczalnego x = (X

x = (X

₁₀₁₀

PP

₁₁

, x , x

₂₀₂₀

PP

₂₂

, …, x , …, x

_m0_m0

) spełnione są warunki ) spełnione są warunki zz

_jj

–– cc

_jj

< 0 dla wszystkich j = 1, 2, …, n, to (1) i (2) < 0 dla wszystkich j = 1, 2, …, n, to (1) i (2) określają minimalne rozwiązanie dopuszczalne.

określają minimalne rozwiązanie dopuszczalne.

xx

₁₀₁₀

PP

₁₁

+ x + x

₂₀₂₀

PP

₂₂

+ … + x + … + x

_m0_m0

PP

_m_m

= b = b (1) (1) xx

₁₀₁₀

cc

₁₁

+ x + x

₂₀₂₀

cc

₂₂

+ … + x + … + x

_m0_m0

cc

_m_m

= z = z

₀₀

(2) (2)

Algorytm simpleks Algorytm simpleks

1.

2.

3.

4.

5.

w przeciwnym razie:

a.

a. Wyznaczyć Wyznaczyć element element xx_lk_lko najmniejszym ilorazie o najmniejszym ilorazie bb_ik_ik//xx_ik_ikdla xdla x_ik_ik≥≥0, 0, ii∈∈BB;;

b.

b. Przekształcić tablicę Przekształcić tablicę simplexsimplex przyjmując element przyjmując element xxlklkza element za element centralny przekształcenia stosując następujące wzory:

c.

ij

' ik

ij lj

lk

x x x x

= −x

lj ' lj

lk x x

=x

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

2 ss₂₂ 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss33 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

2 ss₂₂ 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss33 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

(9)

Algorytm simpleks Algorytm simpleks

1.

2.

3.

4.

4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego (xwybrać największy element wiersza wskaźnikowego (x_m+1,k_m+1,k););

5.

w przeciwnym razie:

a.

a. Wyznaczyć Wyznaczyć element element xxlklko najmniejszym ilorazie o najmniejszym ilorazie bbikik//xxikikdla xdla xikik>>0, 0, ii∈∈BB;;

b.

c.

ij

' ik

ij lj

lk

x x x x

= −x

lj ' lj

lk x x =x

Jeżeli wszystkie x Jeżeli wszystkie xikik≤≤0, 0, ii∈∈BB, ,

to funkcja celu może to funkcja celu może przyjmować dowolnie duże przyjmować dowolnie duże wartości (rozwiązanie wartości (rozwiązanie

nieograniczone).

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

kolumna k

2 ss₂₂ 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

kolumna k

2 ss22 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

12/4 < 10/3

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

kolumna k

2 ss22 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ 00 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

wiersz l

element centralny przekształcenia

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

kolumna k

2 xx₂₂ 33 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss33 –2 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

wiersz l

zmienna x2(z kolumny k) zastępuje w bazie zmienną s₂(z wiersza l)

Algorytm simpleks Algorytm simpleks

1.

2.

3.

4.

4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego (xwybrać największy element wiersza wskaźnikowego (x_m+1,k_m+1,k););

5.

w przeciwnym razie:

a.

b.

c.

ij

' ik

ij lj

lk

x x x x

= −x

lj ' lj

lk x x =x

(10)

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

kolumna k

kolumna j

wiersz i

2 xx₂₂ 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ –2 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

wiersz l wiersz i

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 ss₁₁ 00 33 –1 22 11 00 00 77

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

kolumna k

kolumna j

wiersz i

3 –1

2 xx₂₂ 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ –2 –4 33 88 00 00 11 1010

4 –1 33 –2 00 00 00 00

wiersz l wiersz i

–2 4

–

* =2,5

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ 1 ss₁₁ 00 5/25/2 0 22 11 1/41/4 00 1010

kolumna k

2 xx22 00 –2 44 00 00 11 00 1212

3 ss₃₃ –2 –5/2 00 88 00 –3/4 11 11

4 1/2 00 –2 00 –3/4 00

wiersz l

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ 1 ss₁₁ 00 5/25/2 0 22 11 1/41/4 00 1010

kolumna k

2 xx22 00 –1/2 11 00 00 1/41/4 00 33

3 ss₃₃ –2 –5/2 00 88 00 –3/4 11 11

4 1/2 00 –2 00 –3/4 00

wiersz l

Algorytm simpleks Algorytm simpleks

1.

2.

3.

4.

4. wybrać największy element wiersza wskaźnikowego (xwybrać największy element wiersza wskaźnikowego (x_m+1,k_m+1,k); );

5.

w przeciwnym razie:

a.

b.

c.

ij

' ik

ij lj

lk

x x x x

= −x

lj ' lj

lk x x =x

Tablica simpleks Tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ 1 ss₁₁ 00 5/25/2 0 22 11 1/41/4 00 1010 2 xx₂₂ 33 –1/2 11 00 00 1/41/4 00 33

3 ss33 0 –5/2 00 88 00 –3/4 11 11

4 1/2 00 –2 00 –3/4 00 9

(11)

Tablica simpleks Tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 ss₁₁ 00 5/25/2 0 22 11 1/41/4 00 1010 2 xx₂₂ 33 –1/2 11 00 00 1/41/4 00 33

3 ss₃₃ 0 –5/2 00 88 00 –3/4 11 11

4 1/2 00 –2 00 –3/4 00 9

Tablica simpleks Tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3

1 ss₁₁ 00 5/25/2 0 22 11 1/41/4 00 1010 2 xx₂₂ 33 –1/2 11 00 00 1/41/4 00 33

3 ss₃₃ 0 –5/2 00 88 00 –3/4 11 11

4 1/2 00 –2 00 –3/4 00 9

Tablica simpleks Tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ 1 ss₁₁ 00 5/25/2 0 22 11 1/41/4 00 1010

2 xx22 33 –1/2 11 00 00 1/41/4 00 33

3 ss₃₃ 0 –5/2 00 88 00 –3/4 11 11

4 1/2 00 –2 00 –3/4 00 9

Końcowa tablica simpleks Końcowa tablica simpleks

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ 1 xx₁₁ –11 11 0 4/54/5 2/52/5 1/101/10 00 44

2 xx22 33 0 11 2/52/5 1/51/5 3/103/10 00 55

3 ss₃₃ 0 0 00 1010 11 -1/2 11 1111

4 0 00 ^-12/5 --1/51/5 -4/5 00 11

i B c^B –1 3 –2 0 0 0 RHS

x₁ x₂ x₃ s₁ s₂ s₃ 1 xx₁₁ –11 11 0 4/54/5 2/52/5 1/101/10 00 44

Rozwiązanie optymalne Rozwiązanie optymalne

x1=4 x₂=5 x₃=0 z=11

s1=0 s₂=0 s₃=11

2 xx₂₂ 00 0 11 2/52/5 1/51/5 3/103/10 00 55

3 ss33 –2 0 00 1010 11 -1/2 11 1111

4 0 00 ^-12/5 --1/51/5 -4/5 00 11

Interpretacja rozwiązania Interpretacja rozwiązania

►

Maksymalny zysk to 11$. Maksymalny zysk to 11$.

►

Należy naprawić 4 szt. urządzenia B Należy naprawić 4 szt. urządzenia B

₁₁

i 5 szt. i 5 szt.

urządzenia B

₂₂

, natomiast nie należy przyjmować , natomiast nie należy przyjmować zleceń na naprawę urządzenia B

zleceń na naprawę urządzenia B

₃₃

..

►

Wartości zmiennych uzupełniających oznaczają Wartości zmiennych uzupełniających oznaczają zapas części, który pozostanie w magazynie po zapas części, który pozostanie w magazynie po zakończeniu produkcji.

zakończeniu produkcji.

►

Elementy E Elementy E

₁₁

i E i E

₂₂

zostaną zużyte, natomiast zostaną zużyte, natomiast pozostanie 11 szt. Elementu E

pozostanie 11 szt. Elementu E

₃₃

. .

(12)

Przykład 2 Przykład 2

Zminimalizować: 2x₁+ x₂+ x₃ Przy ograniczeniach: x1+ 3x2+ x3 ≥ 3

2x₁+ x₂+ 2x₃ ≤ 5 2x₁+ 2x₂+ x₃ ≥ 2 x1, x2, x3≥ 0

Postać standardowa Postać standardowa

Zmaksymalizować: 2x₁+ x₂+ x₃ Przy ograniczeniach: x1+ 3x2+ x3– s1 = 3

2x₁+ x₂+ 2x₃+ s₂= 5 2x₁+ 2x₂+ x₃ – s₃= 2 x1, x2, x3≥ 0

Baza dopuszczalna?

Metoda sztucznej bazy Metoda sztucznej bazy j j y y

Metoda sztucznej bazy Metoda sztucznej bazy

I.

I. Wprowadzamy k Wprowadzamy k ≤≤ m zmiennych sztucznych. Zmienne te są nieujemne, a m zmiennych sztucznych. Zmienne te są nieujemne, a ich współczynniki w funkcji celu przyjmują wartość (

ich współczynniki w funkcji celu przyjmują wartość (––M), gdzie M jest dużą M), gdzie M jest dużą liczbą dodatnią.

liczbą dodatnią.

II.

II. Tablicę simpleks ze sztucznymi wektorami przekształcamy jak zwykłą Tablicę simpleks ze sztucznymi wektorami przekształcamy jak zwykłą tablicę, dopóki:

tablicę, dopóki:

1.

1. wszystkie sztuczne wektory zostaną wyeliminowane z bazy, tj. mamy bazę wszystkie sztuczne wektory zostaną wyeliminowane z bazy, tj. mamy bazę dopuszczalną pierwotnego zagadnienia;

dopuszczalną pierwotnego zagadnienia;pp ą pą p gg gg ;; 2.

2. brak dodatnich współczynników przy Mbrak dodatnich współczynników przy M a.

a. jeżeli sztuczna część funkcji celu jest dodatnia, to zagadnienie nie ma rozwiązania jeżeli sztuczna część funkcji celu jest dodatnia, to zagadnienie nie ma rozwiązania dopuszczalnego;

dopuszczalnego;

b.

b. jeśli sztuczna część funkcji celu jest równa zero, to mamy zdegenerowane rozwiązanie jeśli sztuczna część funkcji celu jest równa zero, to mamy zdegenerowane rozwiązanie dopuszczalne pierwotnego zagadnienia, które zawiera co najwyżej jeden sztuczny dopuszczalne pierwotnego zagadnienia, które zawiera co najwyżej jeden sztuczny wektor. Przekształcamy tablicę simpleks wprowadzając do bazy wektor, który wektor. Przekształcamy tablicę simpleks wprowadzając do bazy wektor, który odpowiada największemu dodatniemu elementowi wiersza wskaźnikowego przy odpowiada największemu dodatniemu elementowi wiersza wskaźnikowego przy zerowej wartości współczynnika przy M.

zerowej wartości współczynnika przy M.

III.

III. Kolumny odpowiadające zmiennym sztucznym, które opuściły bazę można Kolumny odpowiadające zmiennym sztucznym, które opuściły bazę można eliminować z obliczeń.

eliminować z obliczeń.

IV.

IV. Po otrzymaniu bazy dopuszczalnej zagadnienia pierwotnego kontynuujemy Po otrzymaniu bazy dopuszczalnej zagadnienia pierwotnego kontynuujemy realizację algorytmu simpleks aż do otrzymania rozwiązania problemu realizację algorytmu simpleks aż do otrzymania rozwiązania problemu pierwotnego.

pierwotnego.

Sztuczna baza Sztuczna baza

Zmaksymalizować: 2x₁+ x₂+ x₃– Ma₁– Ma₃ Przy ograniczeniach: x1+ 3x2+ x3– s1+ a1= 3

2x₁– x₂+ 2x₃+ s₂ = 5 –2x₁+ 2x₂– x₃ – s₃+ a₃= 2

x1, x2, x3, s1, s2, s3, a1, a3≥ 0 x1= x2= x3= s1= s3= 0

Sztuczna baza Sztuczna baza

Zmaksymalizować: 2x₁+ x₂+ x₃– Ma₁– Ma₃ Przy ograniczeniach: a1= 3

s₂= 5 a₃= 2

x₁= x₂= x₃= s₁= s₃= 0

(13)

Początkowa tablica simpleks Początkowa tablica simpleks

i B c^B 2 1 1 0 0 0 -M -M RHS

x1 x2 x3 s1 s2 s3 a1 a₃

1 a1 -M 1 3 1 -1 0 0 1 0 3

2 s2 0 2 1 2 0 1 0 0 0 5

3 a₃ -M 2 2 1 0 0 -1 0 1 2

4 2+3M 1+5M 1+2M -M 0 -M 0 0 --5M5M

Rozwiązanie Rozwiązanie

ExploreLP.exe

Przykład 3 Przykład 3

Zminimalizować: – 2x1– 3x2

Przy ograniczeniach: x₁+ 3x₂ ≥ 5 – x1+ 2x2 ≤ 2

5x1+ x2 ≤ 7 x₁, x₂≥ 0

Rozwiązanie Rozwiązanie

ExploreLP.exe

Przykład Przykład 44

Zmaksymalizować: x₁+ 2x₂ Przy ograniczeniach: x1+ x2≤ 5

x₁+ x₂≥ 8

x1, x2≥ 0

Przykład Przykład 44

Zmaksymalizować: x₁+ 2x₂

Przy ograniczeniach: x1+ x2+ s1 = 5 x₁+ x2 – s₂+ a₁= 8 x₁, x₂, s₁, s₂, a₁≥ 0

Obecność na wykładach będzie sprawdzana! Obecność na ćwiczeniach jest obowiązkowa!

Optymalizacja Optymalizacja

w procesach biznesowych w procesach biznesowych

dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof.PP dr hab. inż. Joanna Józefowska, prof.PP

Instytut Informatyki Instytut Informatyki

Organizacja zajęć Organizacja zajęć

16 godzin wykładów 16 godzin wykładów

16 godzin ćwiczeń 16 godzin ćwiczeń

Ok. 16 godzin pracy poza zajęciami Ok. 16 godzin pracy poza zajęciami

Zaliczenie Zaliczenie

Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem Zaliczenie ćwiczeń jest warunkiem dopuszczenia do egzaminu

dopuszczenia do egzaminu

Egzamin odbędzie się zgodnie z Egzamin odbędzie się zgodnie z harmonogramem sesji

harmonogramem sesji harmonogramem sesji harmonogramem sesji

Nie przewidujemy zwolnienia z egzaminu Nie przewidujemy zwolnienia z egzaminu

Na egzamin pisemny proszę przynieść Na egzamin pisemny proszę przynieść indeks!

indeks!

Program zajęć Program zajęć

Programowanie liniowe Programowanie liniowe

Z d i i t t

Z d i i t t

Zagadnienie transportowe Zagadnienie transportowe

Programowanie dynamiczne Programowanie dynamiczne

Optymalizacja w zarządzaniu projektami Optymalizacja w zarządzaniu projektami

Literatura Literatura

Literatura Literatura

Programowanie liniowe Programowanie liniowe gg

Optymalizacja w procesach biznesowych Optymalizacja w procesach biznesowych

Wykład 1 Wykład 1

Plan wykładu Plan wykładu

Problem programowania liniowego Problem programowania liniowego

Metoda graficzna Metoda graficzna gg

Algorytm Algorytm simplex simplex

Metoda sztucznej bazy Metoda sztucznej bazy

Przykład zastosowania PL Przykład zastosowania PL

Element Element

EE

EE

EE

zysk zysk [$/szt]

[$/szt]

Przykład zastosowania PL Przykład zastosowania PL

BB

33 --22 --44 --1 1

BB

--11 44 33 33

BB

22 00 88 --22

Zapas [szt.]

Zapas [szt.] 77 12 12 10 10

Sformułowanie problemu Sformułowanie problemu

Sformułowanie problemu Sformułowanie problemu

Model liniowy Model liniowy

zmaksymalizować

c x

∑

funkcja celu (kryterium)

przy ograniczeniach

, 1

a x b i , ,m

≥ =

∑ K

0, 1

x ≥ j = K , ,n

ograniczenia

Model liniowy Model liniowy

zmaksymalizować

c x

∑

zmienna decyzyjna

przy ograniczeniach , 1

a x b i , ,m

≤ =

∑ K

0, 1

x ≥ j = K , ,n

parametry parametry parametry

Model liniowy

Model liniowy –– postać kanoniczna postać kanoniczna

zmaksymalizować

∑ ^K

∑ ^K

∑ ^K

∑ ^K