Liczba pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce. Określenie liczba bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy

(1)

Historia liczby

(2)

• Liczba – pojęcie abstrakcyjne, jedno z najczęściej używanych w matematyce.

Określenie „liczba” bez żadnego przymiotnika jest nieścisłe, gdyż matematycy nie definiują

„liczb”, lecz „liczby naturalne”, „liczby całkowite”, itp. Poszczególne rodzaje liczb są definiowane za pomocą aksjomatów lub konstruowane z

bardziej podstawowych pojęć, takich jak zbiór, czy typy liczb prostsze od konstruowanego.

(3)

Liczby naturalne : całkowite nieujemne Własności (porównywanie liczb,

nierówności)

1. Jeżeli k<m i m<n to k<n

2. Dla dowolnych liczb naturalnych n i m zachodzi dokładnie jedna z możliwości : n<m albo m<n albo n=m

3. 0 to najmniejsza liczba naturalna

4. Nie ma największej liczby naturalnej

(4)

Zapisywanie liczb

• Symbole : najstarsze kreski, nacięcia na patyku, węzełki na sznurku

• Systemy addytywne : każdy pojedynczy znak ma swoją wartość, wartość układu jest równa sumie wartości poszczególnych znaków

• Systemy pozycyjne : wartość znaku jest zależna od miejsca, w którym jest zapisany

• System mieszany

(5)

Historia liczb

• Dawniej określano liczbą

nie tylko ilość czegoś, co można było zobaczyć,

ale też myśli,

znaczenie ludzi,

magiczne, święte siły

(6)

Liczba 0

• Odkryta w Indiach

• Człowiek bezwartościowy – „zupełne zero”

• Zabytki klasy zerowej – cenne

• Do Europy hinduski system zapisu liczb dotarł w XI wieku za pośrednictwem hiszpańskich

Maurów, stąd jego cyfry zostały nazwane cyframi arabskimi. Fibonacci używał w XIII

wieku zera ale tylko jako cyfry. Dopiero w XVII wieku zero było powszechnie rozpoznawane jako liczba w Europie.

(7)

Liczba 1

• Uważana za liczbę najdoskonalszą

• Wszystkie liczby od niej pochodzą

• Pierwsza liczba nieparzysta

• Chcemy być pierwszymi?

(8)

Liczba 2

• Pierwsza liczba parzysta

• Liczba złowieszcza

• Oznaczenie szpiegów, policjantów, wysłanników

• Ważna – człowiek ma po 2 …

(9)

Liczba 3

• Liczba przynosząca szczęście

• Pisarze, bajarze, wróżki chętnie posługiwali się

• Trzej muszkieterowie, trzy wróżki, trzy zadania

• Do trzech razy sztuka

• Przysłowie łacińskie : wszystko, co złożone z trzech jest doskonałe

• Pleść „trzy po trzy”

(10)

Grecja

• Starożytni Grecy uważali liczby parzyste i nieparzyste za przeciwieństwa

(11)

Liczba 4

• Liczba święta

• Cztery strony świata

• Czterolistna koniczyna

• Kuty na cztery łapy

• Spadać na cztery łapy

(12)

Liczba 5

• Liczba szczęśliwa

• Symbol potęgi Boga i człowieka

(rozstawione nogi i ręce oraz głowa)

• Pięć palców u każdej ręki

• Pięć zmysłów

• „ni w pięć, ni w dziewięć”

• Piąte koło u wozu

(13)

Liczba 6

• Symbol pokoju i szczęścia

• W chrześcijaństwie 6 dni Bóg tworzył świat

• W Polsce bito monetę srebrną, która miała wartość 6 groszy

(14)

Liczba 7

• Liczba szczęśliwa, magiczna

• Siódmy dzień = świąteczny

• „ocet siedmiu złodziei” – ktoś niezadowolony

• „od siedmiu boleści” – o czymś bez wartości

• 7 krasnoludków, braci śpiących, cudów świata

(15)

Liczba 8

• Symbol doskonałości, nieskończoności (cyfra 8 w pozycji leżącej)

• Dwa splecione węże kaduceusza (laska herolda, na której wiją się dwa węże patrząc sobie w

oczy)

• Osiem osób arki Noego

• Ósmy cud świata

• 8 na monetach hiszpańskich (peso=8 reali = 1 dolar amerykański)

• Znak oznaczający dolara= cyfra 8

(16)

Liczba 9

• Odtwarzająca się : 9x2= 18 (1+8=9)

9x3= 27 (2+7=9) 9x4=36 (3+6=9)

9x5=45 (4+5=9)………. 9x9=81 (8+1=9)

• W bajkach i magii często się nią posługiwano

(17)

Liczba 10

• Suma pierwszych czterech liczb : 1+2+3+4=10

• Liczba święta

• Suma placów u rąk, nóg

• Liczymy do dziesięciu – gdy chcemy się uspokoić

• 10 przykazań

• 10 zasad

(18)

Liczba 11

• Symbol nadmiaru, przesady, nieporządku, grzechu

• Przekroczenie 10 przykazań

(19)

Liczba 12

• Liczba szczęśliwa, święta

• Rok ma 12 miesięcy

• 12 apostołów

• 12 znaków zodiaku

• Rzymski kodeks praw = 12 tablic z brązu

(20)

Liczba 13

• Symbol katastrofy

• Liczba pechowa, złowróżbna

• W magii 13 demonów, w sabatach 12 czarownic + 1 diabeł = 13

• W hotelach unika się oznaczenia pokoju nr 13

• Marynarze niechętnie wypływają w rejs 13

(21)

Magiczny kwadrat

• Chronił od złych mocy i chorób

• Dziewięć pól z wpisanymi liczbami, które

dodawane we wszystkich kierunkach dają taką samą liczbę (najprostszy kwadrat=15)

4 9 2

3 5 7

8 1 6

(22)

Liczby pierwsze

Liczbę naturalną, która ma dokładnie dwa dzielniki, nazywamy liczbą pierwsza. Liczb pierwszych

jest nieskończenie wiele. Znajdowanie ich nie jest jednak łatwe. Od pewnego czasu używa się do tego komputerów. Największa znana dziś

liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2004 roku (Findley, Woltman, Kurowski) ma postać

224036583-1. Ma ona aż 7 milionów 235 tysiące 733 cyfr.

(23)

Liczby bliźniacze

Dwie liczby pierwsze różniące się o 2 to liczby bliźniacze. Przykładami par liczb bliźniaczych są: 3 i 5 ; 5 i 7; 11 i 13 ; 17 i 19. Nie wiadomo do chwili obecnej, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb

bliźniaczych.

(24)

Liczby doskonałe

Liczbę naturalną nazywamy doskonałą, gdy jest sumą wszystkich swoich dzielników właściwych.

Przykładem takich liczb są 6, 28, 496, ponieważ dzielniki właściwe tych liczb (dzielnik właściwy

liczby to każdy dzielnik mniejszy od tej liczby) to:

• Dotychczas znaleziono tylko 39 liczb

doskonałych. Starożytni Grecy przypisywali liczbie 6 szczególne znaczenie. Wcześni

komentatorzy Biblii upatrywali doskonałości liczb 6 i 28 specjalnego sensu.

(25)

Liczby palindromiczne

• Liczbę naturalną, którą czyta się tak samo od początku i od końca nazywamy

palindromem. Przykłady liczb

palindromicznych: 55, 494, 30703, 414, 5115...

(26)

Liczby lustrzane

Liczby lustrzane to takie dwie liczby, które są lustrzanym odbiciem, np.: 125 i 521, 68 i 86, 3245 i 5423, 17 i 71. Jeżeli

napiszemy dowolną liczbę i jej lustrzane odbicie , np.1221, to tak otrzymana liczba jest podzielna przez 11. 1221:11=192.

(27)

Nazwy „wielkich liczb”

• liczba N USA (polski) 10 = dziesięć

100 = sto

1000 = tysiąc 10^6 = milion

10^9 = bilion (miliard) 10^12 = trylion (bilion)

10^15 = kwintylion (trylion) 10^21 kwadrylion (biliard)

10^18 = = sekstylion (tryliard) 10^24 = septylion (kwadrylion)

(1) Taki system obowiązuje w Polsce

(2)W nawiasach są podane polskie odpowiedniki, gdy różnią się od nazw systemu amerykańskiego