Vraagstukken elektriciteit en magnestisme: Verzameld door ir. W. Buijze en drs. R. Roest, 2e druk

Vraagstukken Elektriciteit en Magnetisme

verzameld door ir. W

.

Buijze

en drs. R. Roest

Bibliotheek TU Delft

1111111111111111111111111111111111 C 1003101&&5

DELFTSE UITGEVERS MAATSCHAPPIJ

2441

668

8

CIP-gegevens Koninklijke Bibliotheek, Den Haag Buijze, w.

~raagstukken elektriciteit en magnestisme / verz. door W. Buijze: - Delft: Delftse U.M. Oorspr. titel: Vraagstukken elektriciteit. - Delft: Delftse U.M., 1989

ISBN 90-6562-124-5

Trefw.: elektriciteit / magnetisme.

©VSSD Eerste druk 1992 Tweede druk 1994

Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.

P.O. Box 2851, 2601 CW Delft, The Netherlands Telefoon/telefax 015-123725

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.

All rights reserved. No part ofthis publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo-copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher.

3

Voorwoord

De hier bijeen gebrachte vraagstukken werden - vaak al vele jaren - gebruikt bij de werkcolleges Elektriciteit voor de eerste twee studiejaren van diverse faculteiten van de

TU-Delft. .

Zij zijn in de loop der tijd bedacht en geformuleerd door velen; collega's en oud-' collega's. Slechts enkele vraagstukken zijn van mijn hand. De vraagstukken zijn zodanig gegroepeerd, dat het gemakkelijk is daaruit die keuze te maken, die voor een bepaald college gewenst wordt. De indeling in hoofdstukken is dezelfde als die van het theórieboek "Inleiding Elektriciteit en Magnetisme" van mijn hand; een boek dat ook is uitgegeven onder auspiciën van de VSSD bij de Delftse Uitgeversmaatschappij. In deze druk zijn vraagstukken die betrekking hebben op paragrafen die in het theorie-boek voorzien zijn van 0 respectievelijk _, op 'dezelfde wijze gemarkeerd. Achterin de bundel zijn de antwoorden op alle.vraagstukken opgenomen.

Dat dit vraagstukkenboek gedrukt is op kringlooppapier was de uitdrukkelijke wens van de VSSD. Ik heb mij daarbij neergelegd.

Den Haag, mei 1992 W. Buijze

Voorwoord bij de tweede druk

Ten opzichte van devorige druk zijn de vráagstukken anders gerangschikt. Dit geldt in het bijzonder voor hoofdstuk 1. Ook zijn enkele vraagstukken vervangen, terwijl er ook vraagstukken zijn toegevoegd. Om de vorige druk te kunnen gebruiken naast de nieuwe, zijn na de nieuwe nummers - waar nodig - nog de oude nummers van de be-trokken vraagstukken vermeld. De nauwe samenwerking, die ik steeds heb gehad met drs. R. Roest, wordt met deze druk geformaliseerd ..

Inhoud

Algemene gegevens

1. Elektrostatische velden in vacuüm 2. Elektrostatische velden in diëlektrica 3. Elektrische stromen

4. Het magnetische veld van stationaire stromen

5. Stationaire magnetische velden in magnetiseerbare materie 6. Magnetische inductie

7. De vergelijkingen van Maxwell 8. Netwerken en wisselstromen Antwoorden 5 6 7 18 33 38 48 57 73

78

94

Algemene gegevens

Eo

=

8,85.10-12 _N:-IC2_m-2

1 .

-

=

9.109 _Nm2C-2 41tEo

Ilo

=

41t·1O-7 NA-2 c

=

_1_

=

3.108 _ms-I

"

Elektrostatische velden

'

in vacuüm

1.1. Gegeven:

a::;

(3,4,-5) en

b

= (-1,2,6). Bereken: a. a en b. b.

a·b.

c. De hoek q> tussen

a

en

b.

d.

a+b.

iJ.

a-

b.

f.

axb.

1.2. Gegeven:

a

+

b

=

(11,-1,5) en

a - b

=

(-5,11,9). Bereken: a.

a

en

b

.

b. De hoek q> tussen

a

en

a

+

b.

1.3. Gegeven: een scalaire grootheid V(x,y,z)

=

xy2 + yx2 + 3z2 en

a. Bereken de gradiënt van V; grad(V) = VVo

b. Bereken de divergentie van VV; div(VV)

=

V·(VV)

=

div grad(V). C. Bereken de rotatie vari VV; rot(VV)

=

V x (VV)

=

rotgrad(V).

7

1.4. Een waterstofatoom is opgebouwd uit een positi~f geladen kern (proton) en een elektron dat in een cirkelvormige baan om de kern beweegt. In de grondtoestand is de straal van de cirkelvormige baan a = 0,53 x 10-10 m. De ladingen van proton en elektron bedragen respectievelijk +e en -e; e

=

1,6x 10-19 C.

a. Bereken de kracht ten gevolge van de elektrostatische wisselwerking waarmee kern en elektron elkaar aantrekken.

VergèIijk hiermee de kracht waarmee ze elkaar aantrekken ten gevolge van de gravitationele wisselwerking.

De gravitatieconstante is 6,7 x 10-11 _{Nm21kg2; Ille}

=

_{9,1 x 10-}31 _{kg; mp}

=

_{1836 Ille.} b. Bereken de potentiële energie van het elektron in zijn baan. Stel hierbij de potentiële

energie nul als het elektron zich op zeer grote afstand van het proton bevindt. C. Hoe groot is de totale energie van het elektron in zijn baan ten opzichte van de

toestand waarbij het elektron zich in rust op zeer grote afstand van het proton bevindt?

d. Hoe groot is de ionisatie-energie van een waterstöfatoom (uitgedrukt in J en in elektronvolt)?

1.5. (nieuw) Tussen twee concentrische metalen boloppervlakken A en B (stralen a en b) bevindt zich positieve ruimtelading waarvan de dichtheid P als volgt atbangt van de afstand r tot het middelpunt:

P

= po(aJr)2/3.

. a. Wat stelt Po voor?

b. Bereken de totale ruimtelading tussen de boloppervlakken.

1.6. (nieuw) Een dunne cirkelvormige schijf (straal R) is aan één zijde bedekt met elektrische lading. De oppervlakteladingsdichtheid

0'

hangt af van de afstand r tot het middelpunt:

0"

=

O"o(r~), r ~ R.

a. Wat stelt 0"0 voor?

b. Bereken de totale lading van de schijf.

c. Bereken de gemiddelde ladingsdichth~id

(0')

van de oppervlaktelading.

1.7. (nieuw) tussen twee zeer lange coaxiale metalen cilindermantels A en B (straal van de cirkelvormige doorsnede resp. a en b) bevindt zich ruimtelading; de ladings-.

dichtheid p hangt als volgt samen met de afstand r tot de as:

P =

po(aJr)2/3

a. Wat stelt Po voor?

b. Bereken de ruimtelading per lengte I tussen de beide cilindermantels.

1.8. Een dunne staaf (lengte I) is unif.5!rm geladen. De ladingsdichtheid is À (> 0).

a. Bereken de elektrische veldsterkte E in een punt P dat in het verlengde van de staaf ligt op een afstand a van één van de uiteinden van de staaf.

b. Bereken de potentiaal in P (stel de potentiaal in het oneindige nul).

1.9. Een rechte draad is overal even dicht met elektrische lading bedekt, waarvan de grootte per lengte-eenheid À is. De lengte van de draad is.e.

a. Bereken de elektrische veldsterkte in een punt P in het middenloodvlak van de

draad op de afstand a er vandaan.

b. Vereenvoudig de verkregen uitkomst voor het geval dat.e

»

a is. c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu voor het geval dat a

»

.e.

1.10. Een cirkelvormige schijf is overal even dicht met elektrische lading bedekt met de dichtheid 0". De straal van de schijf is R.

a. Bereken met behulp van de wet van Coulomb de elektrische veldsterkte EI (x) in een punt op de as van de schijf, op de afstand x er vandaan. De schijf is opgesteld in vacuüm.

Elektrostatische velden in vacuüm 9

I

b. Als R » x, wat is dan de veldsterkte?

c. Leid uit het resultaat van b af de grootte van de veldsterkte E binnen een vlakke condensator (in vacuüm) waarvan de oppervlakte van de platen S is, terwijl de.

afstand van de platen klein is ten opzichte van de afmetingen van de platen, als de ladingen van de plat~n

+Q

en

-Q

zijn.

d. Leid ook uit het resultaat af dat de platen van een vlakke condensator elkaar in vacuüm aantrekken met de kracht =

î

QE =

î

EoSE2.

e. Bereken de potentiële energie van de geladen condensator als functie van de onderlinge afstand

x.

Doe dit door de potentiële energie van de ene geladen plaat te beschouwen in het veld van de andere. Kies de potentiële energie nul in de toestand waarin de platen samenvallen.

1.11. (1.14) Zie figuur 1.1. Tussen de platen A en B bestaat een uniform veld en een potentiaalverschil V I (V A > V B). De afstand tussen de platen is a. Bij P komt een elektron binnen met snelheid Vo verkregen doordat het elektron met beginsnelheid nul een potentiaalverschil V

_o

heeft doorlopen.

a. Toon aan dat als het elektron plaat B juist niet bereikt geldt: VIN 0

=

sin2( <p). b. Toon aan dat in dat geval voor de plaats waar de baan van het elektron plaat Braakt

geldt: x = 2a cotg(<p).

B

---~---y a

A __________________

~============~~x~ p

Figuur 1.1. Figuur bij vraagstuk J.J 1.

1.12. (l.16).Een bepaalde bol symmetrische ladingsverdeling leidt tot een (bolsym-metrisch) veld rondom een centrum 0, zodanig dat de veldsterkte in een puntP gegeven is door

....

.... 1 r E

= -

(ar3 - br) -EO r ' met a

=

1 Cm-5 _{en b}

=

_{1 Cm-3.}

a. Bereken de potentiaal V(r) op een afsta!ld r van het centrum

°

als de potentiaal in het centrum nul is.

b. Bereken de waarde re van r waarvoor Veen extreme waarde heeft.

c. Beredeneer hoe groot de lading is die omvat wordt door een bol met straal re. d. Bereken de lading Q binnen een bol met een willekeurige straal r.

1.13. (1.24) Zie figuur 1.2. In en buiten de getekende (denkbeeldige) kubus hangt de elektrische potentiaal van de plaats af volgens V

=

Voe-x/a

+

by. De ribbe van de kubus is c. Hoekpunt 0 van de kubus valt samen met de oorsprong. Het grondvlak valt samen met het vlak z

=

O.

z

y

o

~--~~----~~---x

Figuur 1.2. Figuur bij vraagstuk 1.13 .

...

a. Bereken E.

b. Bereken de door de kubus omvatte lading.

1.14. (1.25) Rondom een elektrisch geladen metalen bol (straal R), die zich in vacuüm bevindt, is ruimtelading aanwezig, die bolsymmetrisch is verdeeld ten opzichte van het middelpunt 0 van de bol. Voor de ruimteladingsdichtheid geldt:

p

= -

r~ , waarin a en n positieve constanten zijn (n > 3); r is de afstand tot 0; r> R. .

Voor de elektrische veldsterkte geldt: ... a

r

E = - - voorr~R.

Eor3 r

a. Bereken de totale lading omvat door een (denkbeeldige) bol met straal r> R.

b. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid van de metalen bol.

c. Bereken de ruimtelading binnen eén denkbeeld\ge bol met straal r > R met behulp van het antwoord op de vragen bij a en b. Bereken de ruimtelading ook met behulp van Q

=

.rrft

p d't, en bepaal zo de waarde van n.

d. Bereken de potentiaal van de metalen bol (stel V

=

0 voor r -t 00) ..

1.15. (1.26) Een bolvormige elektronenwolk met een straal R heeft het middelpunt M in de oorsprong. De ruimteladingsdichtheid -p is overal binnen de wolk even groot. Men schiet met een snelheid Vo van zeer grote afstand buiten de wolk, een elektron (lading ~, massa m) in de richting van M. De potentiaal in het oneindige stelt men nul.

Elektrostatische velden in vacuüm 11 b. Bereken de elektrische veldsterkte voor 0 < r < R; r is de afstand tot M. Bereken

vervolgens het potentiaalverschil tussen het middelpunt M en de rand van de elektronen wolk.

c. Hoe groot moet de snelheid Vo tenminste zijn, opdat het elektron door de wolk heen kan worden geschoten?

1.16. (1.27) Een bolvormig deel van de luchtledige ruimte is uniform gevuld met lading, met een dichtheid p. De straal van de bol is R.

a. Bereken de veldsterkte E als functie van r (de afstand tot het middelpunt) in de het ,geval dat r

<

R en in het geval dat r ~ R.

b. Bereken de potentiaal op het oppervlak van de bol. Stel V( 00) =

o.

c. Beantwoord nogmaals de vraag bij b, maar nu voor het geval dat de lading binnen de bol niet meer uniform is verdeeld, maar gelijkmatig zou zijn uitgesmeerd over het oppervlak van de bol.

1.17. (1.21) Tussen twee coaxiaal opgestelde cilinders bevindt zich ruimtelading. De buitenstraai van de dunne cilinder is R, de binnenstraai van de wijde cilinder is 2R. Hun lengten zijn I. met I.

»

R. Tussen de cilinders is-de veldsterkte overal even groot en radiaal naar buiten gericht. De grootte is

Eo.

De buitenste cilinder is geaard.

a. Bereken de totale ruimtelading.

b. Bereken grootte en teken van de totale lading op de buitenste cilinder. c. Bereken grootte en teken van de totale lading op de binnenste cilinder. 'd. Hoe groot is de potentiaal van de binnenste cilinder ten opzichte van de aarde?

e. Bereken met behulp van de stelling van Gauss de -ruimteladingsdichtheid pais functie van de afstand r tot de as.

1.18. (1.12) In een beperkt deel van de ruimte rond de oorsprong is een elektrisch veld gegeven: Ë

=

(2ax,2ay,0).

a. Toon aan dat dit veld een potentiaal veld is.

b. Stel in het punt (0,0,0) de potentiaal nul. Bereken de potentiaal in een willekeurig punt (x,y,z).

c. Bereken de ladingsdichtheid in een punt (x,y,z).

d. Waarom wordt alleen in een beperkt deel van de ruimte het veld beschouwd?

1.19. (1.13) In een beperkt gebied is een elektrisch veld, waarvan de componenten ten opzichte van een rechthoekig assenstelsel gegeven zijn door:

(a, b en c zijn positieve constanten).

a. Is het veid in dat gebied een potentiaalveld? Verklaar uw antwoord! b. Bevindt zich in dat gebied lading? Verklaar uw antwoord!

1.20. (1.20) Tussen twee evenwijdige vlakke metalen platen A en B bevindt zich po-sitieve ruimtelading. De dichtheid van deze lading op een afstand x van A is p

=

cx2. De potentialen van A en B zijn beide Vo; de afstand van de platen is a.

a. Bereken de potentiaal in de ruimte tus~en A en B als functie van x.

b. Bereken de dichtheid van de oppervlakteladingen die zich aan de binnenkanten van de platen A en B bevinden.

1.21. (1.17) Twee even grote vlakke metalen platen A en B zijn op afstand van 6a tegenover elkaar gezet. Zij zijn verbonden met een spanningsbron met sterkte Uo. A heeft de hoge potentiaal. De oppervlakte van elk van de ~laten is S. Men verbreekt de verbindingen met de bron en schuift een ongeladen even grote vlakke metalen plaat C

tussen A en B. De dikte van C is 2a; de plaat komt op een afstand a van B te staan. De platen hebben elkaar niet geraakt. a « {S.

a. Bereken VA - Veen Ve- Vs.

b. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven. Men gaat weer uit van de begintoestand, maar laat de verbindingen met de bron nu bestaan en schuift dan plaat

C

op dezelfde plaats tussen

A

en

B.

c. Hoe groot is nu VA - Ve?

d. Bereken de verhouding van de ladingen vaD. plaat A vóór en ná het inschuiven van plaat C.

e. Bereken de energie die de spanningsbron aan het stelsel platen heeft toegevoerd.

f.

Bereken de verandering van de veldenergie.

g. Bereken de arbeid die men op plaat C heeft verricht bij het naar binnen schuiven. 1.22. (1.18) Zie figuur 1.3. Twee zeer lange, rechte en evenwijdige hoogspannings-kabels hangen op een afstand a van elkaar. De straal van de ronde doorsnede van de koperen kabels is r; r «a. De kabels bevinden zich in lucht (vacuüm). Neem aan dat de ene kabel per meter lengte uniform bezet is met +À. en de andere met -À..'

a. Bereken de elektrische veldsterkte

Ë

in het punt P gelegen tussen beide kabels.

b. Bereken de capaciteit per meter lengte van het stelsel gevormd door beide kabels.

I~

a

.1

+~

4)'

:~---·-è~

I I I I I I I I I I ,~

..

,

2r

Figuur 1.3. Figuur bij vraagstuk 1.22.

Elektrostatische velden in vacuüm 13

1.23. (1.20) Zie figuur 1.4. Een lange coaxiale kabel (lengte R) bestaat uit een koperen kern (straal a) omgeven door een koperen mantel (inwendige straal b). Tussen kern en mantel bevindt zich lucht die wij als vacuüm kunnen beschouwen voor wat betreft Er.

Figuur 1.4. Figuur bij vraagstuk 1.23.

a. Bereken de capaciteit per eenheid van lengte voor deze coaxiale kabel.

Voorts wordt nu gegeven: de doorslagveldsterkte van lucht is 2,5 x 106 Vlm. Het

potentiaalverschil tussen de kern en de mantel is 10 kV. Voor de afmetingen geldt: a

=

10-2 _{m en b}

=

_{5 x 10-}2 _m.

b. Bereken of er doorslag optreedt of niet.

. 1.24. (1.22) Zie figuur 1.5. Twee zeer grote vlakke evenwijdige metalen platen

staan op afstand a van elkaar. Er bevindt zich ruimtelading tussen. Gegeven is dat de potentiaal op afstand x van de linkerplaat (0 ~ x ~ a) wordt gegeven door:

U(x) = Uo (~f'3, met Uo > O. x

A

a a

..

..

a. Bereken de veldsterkte Ë ter plaatse x. b. Bereken de ruimteladingsdichtheid p(x).

c. Berekende oppervlakteladingsdichtheden op de linker- en rechterplaat (let op de tekens!).

1.25. (1.23) Zie figuur 1.6. Een vacuüm-diode heeft tussen de vlakke geaarde kathode K en de vlakke anode A een ruimtelading p(x) als. gevolg van de aariwezig-heid van elektronen. De potentiaal in de ruimte tussen K en A voldoet op een bepaald tijdstip aan:

Uo{3x -a)x

V(x)

=

_2a2 ,met Uo > O.

Uit de kathode komen enkele elektronen vrij met een beginsnelheid Vo in de x-richting. De massa van een elektron is m, de grootte van de lading is e.

a. Schets het verloop van de potentiaal tussen de platen op dat tijdstip.

b. Aan welke voorwaarde moetvo voldoen opdat de door K geëmitteerde elektronen de anode bereiken?

c. De onder b bedoelde elektronen bereiken de anode A met een snelheid vA. Wat is de kleinst mogelijke waarde van VA?

d. Bereken p(x).

1.26. (1.26) In een gebied om de oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel is de potentiaal van een elektrisch veld gegeven door:

V(x,y,z) = -

t

ax2y2.

Hierin is a een positieve constante. De_ruimte is vacuüm. a.Bereken de elektrische veldsterkte E in dat gebied. b. Is dit Ë-veld conserverend? Licht uw antwoord toe. c. Bereken de ruimteladingsdichtheid p(x,y,z).

d. Bereken de totale lading

Q

die zich bevindt binnen een cilinder, (waarvan de as samenvalt met de z-as) die een straal R heeft en een lengte l.

e. Bepaal de vergelijking van de veldlijnen in het vlak z

=

O.

o

1.27. (1.28) Zie figuur 1.7. In een punt A op afstand z van een zeer grote vlakke, geaarde metalen plaat bevindt zich een positieve puntlading Q.

a. Hoe groot is de oppervlakteladingsdichtheid cr op een afstand x vanaf P? b. Bereken de totale oppervlaktelading binnen een straal x

=

a.

c. Hoe groot is de totale lading op de plaat als deze plaat oneindig groot is?

o

1.28. (1.29) Op een afstand a van het middelpunt van een geaarde en geleidende bol (straal R) bevindt zich een puntlading

Q

(a> R).

Elektrostatische velden in vacuüm 15

A

_z

e - - - -

1

p

Figuur 1.7. Figuur bij vraagstuk 1.27.

a. Als de potentiaal V van de bol nul is (dat wil zeggen gelijk aan die in het oneindige) dan is het veld van de influentielading gelijk aan het veld van een puntlading Q'. Leidt af waar Q' zich bevindt en hoe groot deze is.

b. Men verbreekt nu de verbinding met de aarde en brengt zoveel lading op de bol dat de bol ongeladen is. Bereken de potentiaal VI van de bol als in het oneindige V

=

0 gesteld wordt.

D 1.29. (1.30) Een hoogspanningskabel met 1 cm diameter bevindt zich op een con-stante potentiaal van +50.000 V ten opzichte van de aarde en op een concon-stante hoogte van 50 m boven de aarde. Beschouw de aarde als een oneindig goed geleidend plat vlak en veronderstel bij de berekeningen dat de lading de kabel uniform bezet. Bereken:

a. De lading van de kabel per meter lengte.

b. De veldsterkte op aarde recht onder de kabel.

c. De kracht die op de kabel per meter lengte wordt uitgeoefend.

1.30. (1.31) Zie figuur 1.8. Twee puntladingen +Q en

-Q

zijn op afstand a van elkaar geplaatst. Beide ladingen bevinden zich op afstand ~ van een zeer grote geaarde vlakke plaat.

A

a

B

..

~~.---~~

..

y _{+Q -0} . b x

a. Bereken de x- en y-componenten van de kracht die de lading

-Q

ondervindt.

b. Bereken de potentiële energie van de lading B. De potentiaal is in het oneindige gelijk aan nul.

o

1.31. (1.32) Zie figuur 1.9. Men heeft een geaarde, holle metalen bol met straal R en middelpunt M. Een lading q op afstand a van M gebracht ondervindt een aantrekkende kracht.

a. Hoe groot is deze aantrekkende kracht?

b. Hoe groot zou de kracht op q zijn, indien de lading binnen de bol op afstand b van M geplaatst was?

Aanwijzing: Zoek de beeldlading q' van q buiten de bol die samen met de binnen de bol geplaatste lading q ter plaatse van de bol een equipotentiaalvlak geeft.

a

....

---q

(al

(bI

Figuur 1.9. Figuur bij vraagstuk 1.31.

o

1.32. (1.33) In de ruimte is een x-as gedefinieerd, waarop zich twee puntladingen bevinden: +Q ter plaatse x

=

-a en -2Q ter plaatse x

=

+a. We stellen de potentiaal

V

=

0 voor x ~ 00.

a. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking V(x) =

o.

b. Bepaal de oplossingsverzameling van de vergelijking E(x)

=

O.

c. Bereken welke arbeid men moet verrichten om een lading van -3Q te verplaatsen van x

=

+2a naar x ;:: -2a.

1.33. (1.34) Zie figuur 1.10. Vier puntladingen Q, -2Q, +3Q en -4Q bevinden zich aanvankelijk op zeer grote afstanden van elkaar. Men brengt deze puntladingen in de hoekpunten van een vierkant met zijden a. Bereken de arbeid die men daartoe moet verrichten.

1.34. (1.35) Als men aanneemt dat de totale lading Ze van de atoomkern uniform verdeeld is binnen een bol met straal a, bereken dan:

a. De potentiaal op afstand ro ~ a van de kern. Stel V = 0 voor r ~ 00.

Elektrostatische velden in vacuüm 17

-40 r - - - , +30

+0 -20

Figuur 1.10. Figu,ur bij vraagstuk 1.33.

1.35. (nieuw) Zie figuur 1.11. Van twee identieke bolcondensatoren 1 en 2 is de

straal van de binnenbol a en van de buitenbol b. Beide buitenbollen zijn geaard (V

=

0). De binnenbollen hebben elk een even grote lading Qo en potentiaal Voo De afstand tussen beide condensatoren is zeer groot in vergelijking tot hun afmetingen. In het

oneindige is V = O.

Figuur 1.11. Figuur bij vraagstuk 1.35.

Men verbreekt nu de aardverbinding van condensator 2 en daarna vervbindt men de binnenbol van 1 met de buitenbol van 2 (zie figuur 1.12). Van Qo op de binnenbol van 1 vloeit daardoor een deel Q, naar de buitenbol van 2. De openingtjes in de buiten-bollen zijn verwaarloosbaar klein. De nieuwe potentiaal van de binnenbol van 1 en van de buitenbol van 2 is V'. De capaciteit van de verbindingsdraad wordt verwaarloosd ..

Q,

Figuur 1.12. Figuur bij vraagstuk 1.35.

a. Is het potentiaalverschil tussen de binnen- en buitenbol van 2 nog steeds Vo?

Beredeneer uw antwoord!

I

b. Hoe is de lading op de buitenbol van 2 verdeeld? c. Bereken V' uitgedrukt in Vo. a en b!

2

Elektrostatische velden

'

in

diëlektrica

2.1. Zie figuur 2.1. Een polair molecuul met dipoolmoment

P

ter grootte van 4,8 x 10-30 _{coulombmeter bevindt zich op een afstand van 10-}8 _{m van een positief} geladen ion met lading +2e (e = 1,6x 10-19 C). De plaatsvector

r

is van het molecuul naar het ion gericht. De h~k tussen

P

en

r

is 90°.

Figuur 2.1. Figuur bij vraagstuk 2.1.

a. Bepaal de grootte en de richting van het moment van het koppel dat het molecuul in het veld van het ion ondervindt.

b. Bereken de elektrostatische krachten (richting en grootte) die het molecuul en het ion op elkaar uitoefenen.

c. Bereken de elektrOstatische potentiaal die de dipool ter plaatse van het positieve ion opwekt.

d. Het polaire molecuul bestaat nader beschouwd uit twee ladingen -e en +e die zich op een afstand van 3 x 10-11 _{m van elkaar bevinden. Tot op welke afstand van het} midden van dit molecuul is op de verbindingslijn van -e naar +e van de dipool de potentiaal binnen 1 % correct gegeven door de formule: V

=

- 4 P 2?

1tEor

2.2. In een punt bevindt zich een elektrische dipool waarvan het moment pis. a. Bewijs dat de potentiaal in een punt P op grote afstand r van de dipool gegeven

wordt door

V _ P cos(9) _

p.;

p - .41tEor2 - 41tEor3 .

b. Leid uit de formule van de potentiaal af de componenten

Er

en

Be

van

Ê.

c. Zie figuur 2.2. Men heeft nu twee dipolen I en 11, in één vlak op grote afstand van

elkaar gelegen. Hierbij is r de verbindingslijn van de middens der dipolen. De dipoolmomenten zijn

PI

en

P2.

Dipool I maakt een hoek ~ met de verbindingslijn r, . dipool 11 maakt een hoek q> hiermee. Bereken de grootte en de richting van de

Elektrostatische velden in diëlektrica 19

p,

f+q,

7

P2

i

+q2

f - - -

----.r7---

·

e-q, e-q2

I II

Figuur 2.2. Figuur bij vraagstuk 2.2.

d. Bereken de potentiële energie van dipool 11 in het veld van dipool I, als

P2

onder een hoek cp staat met

r.

2.3.

In een begrensd gebied in de buurt van de oorsprong is een elektrisch veld in een cartesisch coördinatenstelsel gegeven door:

Ex

=

ax + by + c; Ey

=

bx - ay + c; Ez

=

c; a, b en c zijn positieve constanten.

Q. Is het veld een potentiaal veld?

b. Bevindt zich in dit gebied lading?

In de oorsprong brengt men een elektrische dipool

p,

gericht langs de positieve x-as. e. Bereken de componenten van de kracht op deze dipool.

d. Bereken de componenten van het krachtmoment op deze dipool. e. Waarom is het beschouwde gebied begrensd?

D 2.4. Zie figuur 2.3. Q. Toon aan dat het middelloodvlak van een elektrische dipool een equipotentiaalvlakis. Daaniit vol~t dat de formule voor de potentiaal ten opzichte van het oneindige: V

=

P cos(9 ,ook mag worden gebruikt met dit vlak

als nulniveau. 41tEor2

b. In een oorspronkelijk uniform elektrisch veld~ ~ordt een elektrische dipool

p

geplaatst waarvan de richting gelijk ~s aan die van Eo. Bewijs dat het resulterende veld een potentiaal heeft die op een bepaalde afstand

Ra

van de dipool constant is. Bereken de straal

Ra

van dit bolvormig equipotentiaaloppervlak.

. ( c. Dezelfde dipoOl wordt nu geplaatst in h~t middelpunt van een bolvormige holte met straal R. De holte bevindt zich i.n een geleider. Bereken de ladingsdichtheid aan het geleideroppervlak in A en in B, uitgedrukt in p en R.

o

2.5. Een elektrische quadrupooi wordt gevormd door een lading -2e in de oorsprong en de ladingen +e in de punten (±a,O,O). Toon aan dat de potentiaal op een afstand r (r » a) bij benadering is:

v =

ea2(3 cos2ij - 1) ; 41tEof3

ij is de hoek tussen r en de verbindingslijn door de ladingen. Wij nemen daarbij aan: limV =0.

r-+oo

2.6. Zie figuur 2.4. Twee evenwijdige koperen platen zijn in vacuüm geplaatst op een afstand 2a; zij zijn uniform bezet met lading met een oppervlakte-Iadingsdichtheid +<J op de bovenste plaat en -cr op de onderste plaat. In de x-richting zijn de platen vanaf CPa naar links oneindig lang. In de y-richting zijn de afmetingen van y ---t - 0 0 tot Y ---t +00. Een punt 0 bevindt zich in het vlak midden tussen de twee platen.

/ A - - _X_-

- - + - - - /

2a

r---r---l~

a

.

_i

Figuur 2.4. Figuur bij vraagstuk 2.6. Het elektrische veld in 0 is:

Ê

= -

..JL arctan (~ ) .

k

1tEo x

a. Toon dit aan door in 0 het elektrische veld te bekijken van oneindig lange smalle

. strookjes dx vàn beide platen en dit over alle strookjes te sommeren. Men plaatst nu in 0 een elektrische dipool

15

=

p

1.

b. Bereken de kracht die in dit veld op die dipool wordt uitgoefend. Gegeven is dat:

dcp 1

Elektrostatische velden in diëlektrica 21

2.7. Een dunne schijf van elektrisch isolerende stof is permanent elektrisch gepolari-seerd (elektreet) in een richting loodrecht op de schijf. De polarisatie

P

is uniform en is gericht van zijvlak

a

naar zijvlak ~. De dikte van de plaat is a. De schijf heeft geen vrije oppervlaktelading en er zijn geen ladingen of elektrisch gepolariseerde lichamen in de omgeving.

a. Bereken het potentiaalverschil VA - Vstussen twee punten A en B, gelegen in de zijvlakken a en

13,

niet te dicht bij de randen.

b. Hoe groot is de veldsterkte in een willekeurig punt buiten de schijf, relatief dicht bij.

het midden van de schijf gelegen?

2.8.

Een dunne, planparallelle schijf is loodrecht op de schijf gepolariseerd. De grootte van de polarisatie is Po en de richting is van zijvlak A naar zijvlak B. De schijf is ongeladen. Op de zijvlakken wordt een dunne laag van eenzelfde metaal aange-bracht. De dikte van de schijf is a.

a. Men brengt tussen de metalen lagen een geleidende verbinding aan. Hoe groot is dan de dichtheid van de oppervlaktelading aan de binnenzijde van de metalen laag op A, en welk teken heeft deze lading? Verondersteld wordt dat de polarisatie door het aanbrengen van de platen niet verandert.

b. Men verbreekt de geleidende verbinding. Daarna neemt door een of andere oorzaak de polarisatie af tot

î

Po (de richting blijft ongewijzigd). Hoe groot is nu het potentiaalverschil V A - V B?

2.9. Zie figuur

2.5.

Een massieve cilinder van niet-geleidend materiaal is uniform gepolariseerd. De polarisatie

P

is gericht evenwijdig aan de cilinderas. De lengte van de cilinder is I, de diameter is 2R.

Figuur 2.5. Figuur bij vraagstuk 2.9.

a. Bereken Ê in een punt op de as van de cilinder, gelegen op grote afstand r van het midden van de cilinder (r

»

e).

b. Bewijs dat in een punt A, gelegen in het materiaal, op de as van de cilinder zeer

.dicht bij een eindvlak, geldt:

....

c. Bereken Ê in punt A', gelegen buiten het materiaal, op de as van de cilinder dicht bij een eindvlak.

Voor dit vraagstuk is het nuttig te weten dat op afstand x van een gelijkmatig met elektrische lading bedekte, cirkelvormige (straal R), dunne schijf in vacuüm voor de veldsterkte Ê op de as van de schijf geldt:

E=-.JL(I- x )

2Eo YR2 + x2 .

(Dit hoe~ u niet te bewijzen!) Zie vraagstuk 1.10.

2.10. Een cilindrisch lichaam C (lengte l

=

1,0 cm; doorsnede S

=

0,40 cm2) is permanent gepolariseerd, evenwijdig aan zijn lengte-as. De grootte van de polarisatie

P

heeft overal in C de waarde 3,Ox 10-8 C/m2•

a. Bereken de waarde van de grootte van

Ë

en

ï5

in een punt op het verlengde van de as, op L = 120.cm van het midden van C.

b. Bereken E en D in het midden van C. Zie opmerking bij vraagstuk 2.9.c.

2.11. Een dunne vierkante plaat van een diëlektrisch materiaal is· permanent gepolariseerd. De polarisatievector

P

is evenwijdig aan één van de lange zijden. De dikte b van de plaat is zeer veel kleiner dan de lengten a van de acht zijden.

Bereken

Ë

en

ï5

in het centrum van de plaat. Bjj de berekening mag gebruik gemaakt worden van het resultaat van vraagstuk 1.9a.

2.12. Zie figuur 2.6. Een massief stuk van een isolerende stof heeft de vorm van een

langgerekte omwentelingsellipsoïde. De lengte van de lange as is l; de oppervlakte van

-de cirkelvormige dwarse doorsnede door het midden isB. Het lichaam is geplaatst in een oorspronkelijk veldvrije, ledige ruimte. Het materiaal is uniform elektrisch gepola-riseerd in de richting van de lange as. Het heeft geen vrije lading. De polarisatie is

P.

In de stof is de veldsterkte overal -D,1

P/eo.

.

c

Figuur 2.6. Figuur bij vraagstuk 2.12.

A, B en C zijn op het oppervlak gelegen punten; A en B liggen op de as en C ligt in het middenvlak.

a. Bereken VA - VB.

b. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van C? c. Hoe groot is de veldsterkte buiten het lichaam in de onmiddellijke omgeving van A?

Elektrostatische·velden in diëlektrica 23

d. Bereken de grootte en het teken van de totale polarisatielading (poissonlading) op

de rechterhelft van de ellipsoïde. '

2.13. Het gemeenschappelijke grensvlak van twee lineaire en isotrope media I en 11 is plat. Op het grensvlak bevindt zich overal even dichte oppervlaktelading. In het diëlektricum I is een uniform elektrisch vèld, waarvan de sterkte

Ë

1 is. De veldlijnen zijn naar het grensvlak gericht en maken een hoek van 30° met de normaal op dit vlak. In het diëlektricum 11 maken de veldlijnen een hoek van 60° met de normaal op het grensvlak. In I is Er

=

3; in 11 is Er

=

12.

a. Bereken de dichtheid van de vrije lading op het grensvlak van de media.

b. Bereken de grootte en de richting van de polarisatie in elk van de media.

c. Bereken de totale oppervlakteladingsdichtheid van de polarisatie)adingen in het grensvlak.

o

2.14. Wij onderzoeken het elektrische veld dat wo!:?t veroorzaakt door een

perma-nent uniform gepolariseerde bol (straal R, polarisatie P). Deze bol is dus een elektreet.

De oorsprong van het coördinatenste~el valt samen met het middelpunt van de bol; de

z-as loopt in dezelfde richting als P . We gebruiken voor onze berekeningen het

continuüm-model voor.de gepolariseerde materie. De ongepolariseerde bol wordt

beschouwd als homogeen gevuld met een continu verdeelde positieve lading Q en een

continu verdeelde negatieve lading -Q. De gepolariseerde toestand denkt men zich nu

ontstaan door een zeer geringe verschuiving /1 f. van de centra S en T van de negatieve

respectievelijk de· positieve ladingscentra ten opzichte van elkaar. Zie figuur 2.7

(waarin /1f. voor de duidelijkheid véél te groot getekend is!). Daardoor ontstaat aan de ene kant (links in figuur 2.7) een uiterst dunne laag "oppervlakte"-lading (negatief) en aan de andere kant een net zo dunne laag positieve lading. De dichtheid van die lading

is op verschillende afstanden van de z-as uiteraard verschillend. On·s model moet aan

de bol een even groot dipoolmomen~ toekennen als deze in werkelijkheid bezit.

Daarom kiest men Q en /11 zodanig dat: Q./1:ë =

P

~1tR3 (= p). x

z

y

De veldst~rkte overal in de ruimte kan men nu op twee verschillende manieren berekenen:

I. Door na te gaan welke veldsterkten door de beide oppervlakteladingen worden veroorzaakt.

2. Door uit te rekenen welke veldsterkten door de ladingscontinua, die in dit geval bolvormig zijn, worden veroorzaakt.

Methode 1 is in dit vraagstuk alleen bruikbaar voor de berekening van de elektrische veldsterkte in de oorsprong. Methode 2 is in dit vraagstuk te gebruiken voor elk willekeurig punt.

a. Ga na dat het veld buiten de bol kan worden beschreven als dat van een dipooltje met een dipoolmoment

15,

dat zich bevindt in de oorsprong.

b. Het veld in de bol is uniform. Om dit te bewijzen, berekenen we in een willekeurig punt A in de bol de veldsterkten

Ë.-

en

IL.,

veroorzaakt door de negatieve, respectievelijk de positieve ladingscontinua. Zie figuur 2.8. Bewijs dat:

c. Ga na dat de totale veldsterkte in een willekeurig punt A binnen de bol is:

-

-E

=

-P/3E(j.

d. Bereken de potentiaal als functie van de plaats (gebruik hiertoe de bolcoördinaten r en 9), zowel binnen als buiten de bol (stel V = 0 in het x-y vlak).

e. Ga na dat dit (met behulp van het continuüm-model gevonden) veld inderdaad voldoet aan de voorwaarde dat V continu is aan het grensvlak.

f.

Ga na dat dit veld ook voldoet aan de voorwaarde dat Dn continu is aan het grens-vlak.

g. Bereken de ladingsdichtheid crb van de oppervlaktelading als functie van 9. h. Bereken de totale positieve oppervlaktelading Q,. Er zijn twee methoden:

1. Integreren over het rechterdeel van het bol-oppervlak. 2.1f. (-P).dS berekenen over een geschikt gekozen oppervlak.

s .

l. Ga na, welke relatie r = r(9) de veldlijnen buiten de bol beschijft.

o

2.15. Zie figuur 2.9. Een oneindig lange cilinder is uniform gepolaris~erd in een richting loodrecht op de cilinder-as.

Bewijs, door ~t co~tinuüm-model van vraagstuk 2.14 te gebruiken, dat overal in de cilinder geldt: E = -P/2Eo.

Elektrostatische velden in diëlektrica 25

Figuur 2.9. Figuur bij vraagstuk 2.15.

2.16. (2.17) Zie figuur 2.10. a. Wat is het verband tussen de elektrische

veldsterkten aan weerszijden van het grensvlak van een lineair isotroop diëlektrisch materiaal en vacuüm? Op het grensvlak is geen vrije. lading aanwezig.

b. Op een afstand a van een puntlading +Q bevindt zich het platte oppervlak van een zeer groot stuk niet-geleidend materiaal (lineair en isotroop) waarvan de relatieve . permittiviteit Er is. Bereken de veldsterkte bij B (het voetpunt van de loodlijn uit

Q

. op het oppervlak) onmiddellijk buiten het materiaal.

+Q a B

. . .

-Figuur 2.10. -Figuur bij vraagstuk 2.16.

2.17. (2.18) Van twee concentrische metalen boloppervlakken A en B zijn de stralen

respectievelijk 1 en 1,5 meter. De ruimte tussen de bollen denke men zich eerst opgevuld met een isotroop, lineair polariseerbaar medium waarvan de relatieve permittiviteit Er gelijk is aan 3. Men zet op deze condensator een spanning zodanig dàt VA - VB

=

1000 volt.

a. Bereken de lading van A.

b. Bereken het elektrisch dipool moment per volumé-eenheid in een punt van het medium dat op een afstand r van het middelpunt ligt.

c. Hoe groot is de dichtheid van de vrije lading op de binnenzijde van B, en welk teken heeft deze lading?

De ruimte tussen de bollen denke men zich vervolgens geheel' opgevuld met een permanent gepolariseerd medium (elektreet). Men verbindt A en B geleidend. Van het medium is gegeven dat de polarisatie de richting heeft van 1, terwijl P

=

aJr2.

d. Bereken de vrije lading aan de.binnenzijde van B, en geef ook het teken. (De functie P is hier,zodanig dat de "poissonladingen" alléén op het oppervlak van het medium optreden).

2.18. (2.19) Zie figuur 2.11. Een vlakke plaatcondensator bestaat uit twee vierkante platen met zijden a op onderlinge afstand b (b « a). De condensator is en blijft aangesloten op een spanningsbron met constante spanning Vo. Door een plaat met dikte b kan de ruimte tussen de platen geheel of gedeeltelijk worden opgevuld ·met een diëlektricum waarvan Er = 4. a + F

U

o

..

x

Figuur 2.11. Figuur bij vraagstuk 2.18,

a. Druk de waarde van de elektrische veldenergie Vel van de condensator uit in de

. gegevens als het diëlektricum er voor een lengte x insteekt. Teken Vel(X)!

'b. Druk de lading Q op de geleidende platen van de condensator uit in de gegevens in de onder a beschreven situatie.

c. Bereken de grootte van de kracht

F

waarmee het diëlektricum het veld wordt inge-trokken.

2.19. (2.20) Van twee concentrische dunne metalen boloppervlakken heeft het

bin-nenste een straal Rl en het buitenste een straal R2. De buitenste bol is geaard (poten-tiaal nul); de binnenste heeft een lading Ql. In de ruimte tussen de bollen bevindt zich een ruimtelading met een overal even, grote dichtheid p. Men mag voor de tussen-ruimte Er

=

1 stellen.

a. Bereken de veldsterkte in de tussenruimte als functie van

r.

b. Bereken de lading Q2 van de buitenste bol. c. De in a berekende veldsterkte is te schrijven als:

Elektrostatische velden in diëlektrica 27 Bereken de potentiaal van de binnenste bol, uitgedrukt in A, B, Rl en R2.

d. Bereken de totale veldenergie (wederom uitgedrukt in A, B, Rl en R2).

2.20. (2.21) Zie figuur 2.12. Een metalen bol (straal R) is omgeven door een bolschil bestaande uit een homogeen, isotroop en lineair polariseerbaar diëlektricum met relatieve permittiviteit Er. Die bolschil heeft een buiten straal 2R. Op de metalen bol bevindt zich een vrije lading +Q.

Figuur 2.12. Figuur bij vraagstuk 2.20.

a.· Bereken de totale elektrische veldenergie in de gehele ruimte van 0 ~ r ~ 00.

b. Bereken de totale polarisatie-oppervlaktelading die zich bevindt aan de binnenzijde van de bolschil.

c. Dezelfde vraag als bij b, maar nu voor de buitenzijde van de bolschil.

o

2.21. (2.22) Een diëlektricum is homogeen en isotroop, maar niet lineair. In het diëlektricum zijn

Ê

en

î5

dus gelijk gericht. De relatie tussen hun grootten is:

l-e-AE

D

=

eo(E

+ AE'

Eo).

1

+e-Hierin zijn A en

Eo

positieve constanten.

a. Tot welke verzadigingswaarde nadert de elektrische polarisatie P als de veldsterkte in het medium sterk toeneemt?

B

Figuur 2.13. Figuur bij vraagstuk 2.21.

b. Zie figuur 2.13. Binnen het diëlektricum, nabij een punt B van het oppervlak is de grootte van de veldsterkte E

=

1/ A. De richting maakt met de naar binnen gerichte normaal in B een hoek ex, tan( ex)

=

~. Bereken de normale en tangentiële compo-nent van de veldsterkte buiten het diëlektricum in de onmiddellijke nabijheid van B.

• 2.22. (2.23) Los het probleem van vraagstuk 2.14 nu op, door gebruik te maken van het gegeven dat vanwege de axiale symmetrie zowel buiten als binnen de bol (buiten echter met andere constanten dan binnen) geldt:

waarin

V(r,S) = LAncnPn{ cos(S)} + LBnr<n+I)Pn{ cos(S)},

n=O n=O

1 dn

Pneu)

=

-20 'd n (u2 _1)n, met u

=

cos(S), zodat:

n. u

. 1 2

Pol cos(S)}

=

1, PI {cos(S)}

=

cos(S) en P2{ cos(S)}

=

~3cos (S) - 1).

• 2.23. (2.24) Los het probleem van vraagstuk 2.15 nu op, door gebruik te maken

van het gegeven dat vanwege de cilindersymmetrie zowel buiten als binnen de cilinder (buiten echter met andere constanten dan binnen) geldt:

V(p,<p) = Ao

+

Boln(p)

+

L

pO{ Ancos(n<p)

+

Bnsin(n<p)}

+

n=1

00

+ ~>-n{ Cncos(n<p) + Gnsin(n<p)}. n=1

• 2.24. (2.25) In een oneindig uitgebreid, oorspronkelijk unifomi, elektrisch veld

(veldsterkt~~) in vacuüm plaatst men een ongeladen massieve rechte cirkelcilinder (lengte i, straal R

«

i) van lineair isotr~p homogeen diëlektrisch materiaal (relatieve permittiviteit Er), met de as loodrecht op

Eo.

Om het veld buiten de cilinder te kunnen beschrijven, maken we gebruik van cilinder-coördinaten, waarbij de z-as samenvalt met de cilinderas. De oorsprong ligt in het midden van de cilinder. De x-as, loopt in de richting.van ~. Zie figuur 2.14.

Elektrostatische velden in diëlektrica 29

Als men zich beperkt tot punten waarvoor p « l en Izl « l (zodat men de ffmdeffec-ten mag verwaarlozen) blijkt de poffmdeffec-tentiaal aldus van de plaats af te hangen:

v

=

Apcos(cp) voor p ~ R en

v

=

-Eopcos( cp) +

~

cos( cp) voor p

~

R.

a. Bewijs dat deze potentiaal een oplossing is van de vergelijking van Laplace. b. Druk A en C uit in Eo ef\ R.

c. Bereken de oppervlakteladingsdichtheid crb van de poissonlading op het cilinder-oppervlak als functie van cp ..

N.B.

In cilindercoördinaten is:

2 l d df Id2f d2f V f

=

P

dp (p dp ) + p2 dcp2 + dz2 .

• . 2.25. (2.26) Zie figuur 2.15. In een zeer groot stuk van een lineair isotroop homogeen diëlektricum heerst een, op het eerste gezicht uniform, elektrisch veld, waarvan de veldsterkte

Êo is. De relatieve permittiviteit is Er.

Bij nadere beschouwing blijkt dat zich ergens midden in het materiaal een kleine bolvormige holte bevindt met straal R en waarbinnen geldt: Er = 1.1n de buurt van deze holte is het veld anders dan op grote afstand waar de veldsterkte

Eo

is).

Om het veld nabij en in de holte te beschrijven, maken we gebruik van de bolcoär-din aten ren

e

(zie figuur 2.15). De z-as is zodanig gekozen dat yoor Êo kan worden geschreven: Êo

=

Eok.

a. Aan welke voorwaarde voldoet het veld op het grensvlak holte-materie?

b. Voor de potentiaal in de holte is de algemene oplossing (van de differentiaalver-gelijking V2V

=

0):

--"z

• Vi=LCnr"Pn{cos9}.

o

Voor de potentiaal Vu buiten de holte:

Vu = -Eor cos 9 + LBnr<n+I)Pn{ cos 9}.

o

De functies Pn(cos 9)'zijn de polynomen van Legendre; zie hiervoor vraagstuk 2.22!

In de hoop dat de oplossing niet zo gecompliceerd is als het lijkt, stellen we eerst de coëfficiënten Bn en Cn alle nul voor n ~ 2. (Mocht de volgende beschouwing een oplossing geven die aan alle randvoorwaarden voldoet, dan stelt de eenduidigheids-stelling ons achteraf hierbij in het gelijk!). Voorts kiezen we.het vlak x =

°

als nulvlak voor de potentiaal. Bereken nu (met behulp van de in vraag a genoemde voorwaarden)

.de coëfficiënten Co, Ch Bo en BI'

c. Druk de veldsterkte in de holte (Êï) uit in

Eo

en Er.

d. Schets het verloop van de Ê-lijnen in de omgeving van de holte en daarbinnen.

e. Idem voor de D-lijnen. .

/

• 2.26. (2.27) Zie figuur 2.16. Gegeven zijn de legendre-polynomen:

Po { cos(9)} = 1; PIt cos(8)} = cos(8); P2 { cos(9)} =

t

(3cos2(9) - 1).

y

Figuur 2.16. Figuur bij vraagstuk 2.26.

Als 9 = 0 is Pn{ cos(9)} = 1, vQOr alle n. In het xy-vlak van een cartesisch coördina-tenste.lsel bevindt zich een dunne ring met een daarover uniform verdeelde lading Q. De straal van de ring is a. Het middelpunt valt samen met de oorsprong van het coördinatenstelsel.

a. Bereken de potentiaal in een punt (O,O,z) op de z-as door uit te gaan van de uitdrukking voor de potentiaal van een puntlading.

Elektrostatische velden in diëlektrica 31

b. Geef drie termen van de reeksontwikkelingnaar (aJz)2 voor de onder a berekende

potentiaal als z > a; dat wil zeggen als aJz zeer klein is.

c

.

Aan welke vergelijking moet de potentiaal in het gebied buiten de ring voldoen?

d. Hoe gedraagt zich de potentiaalfunctie voor r ~ oo?

Op grond vim axiale symmetrie van het probleem is de algemene oplossing van de

onder c bedoelde vergelijking:

V(r,a)= L(Anrn + Bnr-<n+l))Pn{cos(a)}.

n=O

e. Geef de oplossing V(r,a) die voor r ~ 00 het onder d bedoelde gedrag vertoont.

Beperk u tot de eerste drie termen van die reeks.

• 2.27. (2.28) Een homogene bol van lineair en isotroop materiaal heeft een straal R. De relatieve permittiviteit is Er- Er is in het materiaal ook een vrije lading Qy, die zodanig over. het volume van de bol verdeeld is dat de polarisatie-vector gegeven wordt door:

Hierin is C een constante en

r

de plaatsvector vanuit het middelpunt van de bol getekend naar een willekeurig punt binnen die bol.

a. Welke betrekking bestaat er tussen

Ë

en P?

b. Bereken de dichtheid pvCr) van de vrije ruimtelading binnen de bol. c. Bereken de lading Qy.

d. Bereken de polarisatie-(geboI)den)-ruimteladingsdichtheid Pp binnen de bol.

e. Hoe groot is de polarisatie-oppervlakte ladingsdichtheid O'p op het oppervlak van de

bOl?

N.B. Bij de beantwoording van b en d mag u eventueel gebruik maken van:

- 1 d

V·{f(r) L} =2" -d (r2 f(r»).

r r r

2.28. (2.29) Zie figuur 2.17. Wij bekijken in vacuüm een holle rechte cirkelcili~er

van diëlektrisch materiaal dat permanenent gepolariseerd is. De polarisatievector P is

overal in het materiaal dezelfde; Pis evenwijdig aan de cilinderas naar rechts gericht. .

De straal van de holte is R, de buitenstraai is 2R en de lengte is 6R.

~

a. Bereken de elektrische veldsterkte Eç in de holte op de as in het midden C van de holle cilinder.

NeeII\ vervolgens aan dat deze veldsterkte Eç overal binnen in de holte bestaat.

b. Bereken dan de totale elektrische veldenergie in de holte. c. Bereken

D

binnen het materiaal. .

d. Wat is het teken van de elektrische veldenergie in het diëlektricum? Antwoord toelichten!

2.29.

Zie figuur 2.18. Een rechte cirke1cilinder (straal R en lengte eveneens R) is permanent gepolariseerd. De polarisatievector is: P(x)

=

Po - (xIR)Po; 0 < x < R. De vector P wijst in de richting van de positieve x-as en is alleen een functie van x.

_J:

..

R

..

Figuur 2.18. Figuur bij vraagstuk 2.29.

De coördinaat x wijst vanuit het midden 0 van het linker zijvlak in positieve richting naar rechts.

a. Wat is de grootte en het teken van polarisatieladingsdichteden (poissonlading) op

het linker, respectievelijk het rechter zijvlak?

b. Hoe groot is de elektrische veldsterkte Ep in het materiaal op de as, in het punt 0';

als gevolg van de poissonlading als onder a berekend?

HOe is deze

Ep

gericht? 0' ligt een fractie rechts van O. c. B6reken pp. Wat is het teken van pp?

Wij onderzoeken nu de bijdrage

Er

die deze ruimtelading geeft tot het totale veld in het punt 0'.

d. Hoe is

Er

in 0' gericht?

e. Bereken de bijdrage

dEr

in 0' als gevolg van een cilindrisch plakje (straal R, dikte dx) met de ruimteladingsdichtheid Pp' Het plakje bevindt zich op x van O.

33

3

Elektrische stromen

3.1. Door een cilindrische draad met straal R gaat een stroom evenwijdig aan de as; de stroomdichtheid J is een functie van de afstand r tot de hartlijn van de draad: J = !i·r . waarbij r ~ R. Bereken de stroomsterkte I.

3.2. Uit een verwarmde metalen plaat A ontsnappen elektronen (beginsnelheid:::: 0) naar een recht tegenover A (op korte afstand l), evenwijdig aan A opgestelde metalen plaat B. De snelheid

v

van de elektronen blijkt als volgt af te hangen van hun afstand x

. tot plaat A:

v

=

ax213

T,

waarin a een positieve constante is en x ~ l; T wijst van A naar B. Per seconde en per m2 ontsnappen n elektronen uit plaat A; de lading van een elektron is ~. De toestand is stationair.

a. Bereken de stroomdichtheid.

b. Bereken de ruimteladingsdichtheid

P

als functie van x.

3.3. Tussen twee concentrische metalen boÏlen A en B (RA < RB) vloeit een stationaire elektrische stroom. Bol A zendt namelijk N elektronen per tijdseenheid uit die radiaal van A naar B bewegen (de lading van een elektron is ~).

a. Bereken de stroomsterkte.

b. Bereken de stroomdichtheid als functie van de afstand r tot het middelpunt van de bollen.

3.4. Zie figuur 3.1. Een lange cilindrische metalen draad (straal RI) is omgeven door een (even lange) coaxiale metalen cilindermantel (inwendige straal R2); de ruimte tussen draad en cilindermantel is materievrij. Door verhitting van de draad komen er per tijdseenheid en per lengte-eenheid N elektronen (elk lading~) vrij, die zich langs de kortste weg naar de cilindermantel begeven. De toestand is stationair.

Figuur 3.1. Figuur bij vraagstuk 3.4.

a. Bereken de grootte van de stroomdichtheid in de onmiddellijke nabijheid van het oppervlak van de draad.

b. De ruimteladingsdichtheid nabij de draad noemen we PI; de snelheid waarmee de elektronen uit de draad komen is VI; nabij de omhullende cilindermantel is de

ruimteladingsdichtheidp2 en de snelheid der elektronen V2. Welke relatie bestaat er tussen PI, P2, VJ, V2, RI en R2?

3.5. In vacuüm bevinden zich, gelijkmatig over de ruimte verdeeld, per

volume-een-heid N elektronen (lading -e, gemiddelde snelvolume-een-heid (v I» en N protonen (lading +e, ge-middelde snelheid \v2». Bereken de stroomdichtheid voor het geval dat (VI)

=

-<V2).

3.6. In vacuüm bevinden zich, gelijkmatig over de ruimte verdeeld, per

volume-een-heid N I elektronen (lading -e) en N2 positieve ionen (lading q). De gemiddelde snelheid van de elektronen is \vI) en van de ionen \v2).

'a. Bereken de ruimteladingsdichtheid p.

b. Bereken de over alle deeltjes gemiddelde snelheid (V). c. Is de stroomdicht~eid j

=

p(V)?

3.7. a. Iemand beweert, voor de stroomdichtheid in eén deel van een geleidend

medium, waarin een stationaire elektrische stroom loopt, ten opzichte van een cartesisch assenstelsel te hebben gevonden: j

=

(3x2,-6xy,z2). Ga na, waarom dit niet juist kan zijn.

b. Wel mogelijk is

j

=

(3x2,-6xy,O). Ga na aan welke vergelijking çle stroomlÎjnen in dit geval voldoen ..

3.8. Tussen twee vlakke, evenwijdige platen A en B wordt een stroom van elektronen onderhouden. Voor de snelheid van de elektronen geldt:

v

=

vi waarbij de x-as loodrecht op A en B staat; x

=

0 voor 'plaat A en x

=

d voor plaat B. Per tijd- en per oppervlakte-eenheid verlaten n elektronen plaat A; de lading van een elektron is -e. Stel dat op zeker tijdstip geldt: j

=

-<ax2 + b)i waarin a en b positieve constanten zijn. a. Hoe groot is n op dat ogenblik?

b. Men beschouwt de totale ruimtelading, die zich bevindt in een cilindrische ruimte, die begrensd wordt door de platen en een doorsnee ~S heeft, terwijl de as loodrecht op de platen staat. Hoe groot is de toename van de lading per tijdseenheid?

c. Bereken de toename per tijd van de ruimteladingsdichtheid op/at als functie van x voor het bedoelde tijdstip.

3.9. Een gelijkmatig met elektrische lading bedekte, cirkelvormige platte schijf

(opperv~akteladingsdichtheid cr, straal van de schijfR) draait met hoeksnelheid 00 om

een as door het middelpunt. De as staat loodrecht op de schijf.

a. Hoe hangt de grootte van de oppervlaktestrooindichtheid

Ä

in een punt van de schijf af van de afstand r tot het middelpunt? [A]

=

[1][

.er

l.

b. Bereken de totale stroomsterkte door een niet meedraaiende straal.

3.10. Zie figuur 3.2. Een platte ronde doos is van zeer dun metaal gemaakt.· De

. straal van deksel en bodem is a, de hoogte van de doos is h, de dikte van het materiaal is d; d

«

a en d

«

h. De soortelijke weerstand is Tl. Twee rechte staven, waarvan de

Elektrische stromen 35

doorsneden cirkelvormig zijn met straal b, zijn coaxiaal met de doos op deksel en. bodem gelast. De doos is hol.

A

B

a Figuur 3.2. Figuur bij vraagstuk 3. JO.

Een elektrische stroom I gaat door de ene staaf naar de doos toe en door de andere' staaf van de doos af, van A naar B.

a. Bereken de gemiddelde stroomdichtheid in d: staven. .

b. Bereken de grootte van de stroomdichtheid J in een punt van het deksel, dat een afstand r tot de as heeft.

e. Bereken het potentiaalverschil VA - VB ..

3.11. a. Bereken de substitutiegeleiding in de gevallen van figuur 3.3a.

Figuur 3.3. a. Figuur bij vraagstuk 3.lla.

b. Bereken de substitutieweerstand in de gevallen van figuur 3.3b.

R3

Figuur 3.3. b. Figuur bij vraagstuk 3.11 b.

3.12. Zie figuur 3.4. Bereken de stroorIiverdeling en bereken de vervangingsweer-stand van het netwerk gezien aan de klemmen a en b.

99V

a

+

b

Hl

Figuur 3.4. Figuur bij vraagstuk 3.12.

Figuur 3.5. Figuur bij vraagstuk 3.13.

1A

+ _Hl

1V

Figuur 3.6. Figuur bij vraagstuk 3.14. +

1V

3.14. Ziéfiguur 3.6. Bereken de spanning over en de stroom door elk element in de schakeling van figuur 3.6. Welk vermogen levert elk der respectieve bronnen?

3.15. Zie figuur 3.7. Bereken UI en U2. 1V

+

u

,

2V

Figuur 3.7. Figuur bij vraagstuk 3.15. Figuur 3.8. Figuur bij vraagstuk 3.16.

Elektrische stromen 37

3.17. Zie figuur 3.9. Bereken de stroomverdeling.

+

4

Het magnetische veld van

stationa i re stromen

4.1. Bereken met behulp van de wet van Biot en Savart, de magnetische tluxdicht-heid B in een punt gelegen op een afstand R van een oneindig lange rechte en zeer dunne draad, waardoorheen een stroom I vloeit.

4.2. Zie figuur 4.1. Door een in de vorm van een cirkel met straal R gebogen metalen draad gaat een stroom I. Op een afstand z van het middelpunt van de cirkel ligt op de as een punt P. tan(ep)

=

Rlz.

Figuur 4.1. Figuur bij vraagstuk 4.2.

Bewijs dat in P geldt: Ep

=

Ilo

2k

sin3(y)

k.

o 4.3. Op grote afstand z op de as van de stroomkring van vraagstuk 4.2 kan men schrijven: Bp = Azm• Bereken A en m. Zie vraagstuk 4.23.

o 4.4. Leid door het toepassen ~an de stelling:4f. E·dS

=

0 af dat in het geval van de

s

situatie geschetst in vraagstuk 4.2 in het punt Q, op afstand p van de as (z

»

R, p

«

z) de component Bp loodrecht op de as gegeven kan worden door: 3J.1oPIR2

Bp = 4z4

Zie ook vraagstuk 4.23.

4.5. Zie figuur 4.2. Door een spoel (lengte l, diameter 2R) die dicht bewikkeld is met n windingen gaat een stroom I.

a. 'Bereken de. magnetische tluxdichtheid Bp in een punt P ergens op de as van de spoel gelegen.

b. Doe hetzelfde als P in het midden van de as van de spoel is gelegen. e. Als we aannemen dat de spoel zeer lang en slank is,' wat is dan Bp:

Het magnetische veld van stationaire stromen 39 '

1. in het inidden van de spoel; 2. bij één van de uiteinden?

Figuur 4.2. Figuur bij vraagstuk 4.5.

4.6. Door twee evenwijdige lange rechte metalen draden lopen tegengesteld gerichte

elektrische stromen. De stroomsterkten zijn 11 en !z; de afstand tussen de draden is a. Bereken de kracht die de ene draad op een lengte f van de andere draad uitoefent. Hoe is deze kracht gericht.

4.7. Zie figuur 4.3. Twee zeer limge draden kruisen elkaar loodrecht op een afstand

a. Door de ene draad gaat een stroom IJ, door de andere!z.

a

I, ®- - - 0 2/

Figuur 4.3. Figuur bij vraagstuk 4.7.

Bereken de kracht en het krachtmoment dat de oneindig lange draad niet stroom 11 uitoefent op een stuk 2f van de andere draad met stroom 12. Het stuk 2f is zodanig gekozen dat de eerste draad in het middelloodvlak ligt.

....

4.8. In een uniform magnetisch veld met fluxdichtheid B bevindt zich een

wille-keurige vlakke gesloten kromme, bestaande uit een metalen draad, waarin een stroom 1

vloeit.

B

is evenwijdig met.het vlak van de kromme, die een oppervlakte S heeft.

Welke kracht en welk krachtmoment wordt op de stroomkring uitgeoefend?

4.9. Zie figuur 4.4. Een rechte draad AB met lengte f en een zeer Iimge draad liggen

in één vlak en staan loodrecht op elkaar. Het uiteinde A van AB bevindt zich op een afstand a van de lange draad. Door beide draden gaat een stroom I.

a

I

A

~I ---.~----~

B

Figuur 4.4. Figuur bij vraagstuk 4.9.

a. Hoe groot is de resulterende kracht op AB?

b. Hoe groot is het resulterende krachtmoment op AB ten opzichte van A? c. Waar grijpt die kracht aan? Neem a

=t

R..

4.10. Zie figuur 4.5. Door een zeer lange, dunne horizontale metalen band (breedte

b) loopt een elektrische stroom. De oppervlaktestroomdichtheid j s is overal in de band dezelfde (

j

s is in de lengte van de band).

Voor de stroomsterkte geldt dus I

=

Jb.

• P _I I I I I C I I i" ______ L _____ _ b

Figuur 4.5. Figuur bij vraagstuk 4.10.

I~

Bereken hoe groot de magnetische fluxdichtheid

B

is in een punt P, dat zich op een afstand c recht boven het midden van de band bevindt. Geef ook een benaderde uitdrukking voor de gevallen c» b en c «b.

4.11. Men beschouwt een stationaire stroom van elektronen in vacuüm. Men denkt

zich ergens in dat deel van de ruimte, waar deze stroom loopt, de oorsprong van een cartesisch coördinatenstelsel. Voor het door de elektronen stroom opgewekte mag-netische veld blijkt - in een begrensd gebied rond de oorsprong dat geheel in de elektronenstroom ligt - te gel~en:

Het magnetische veld van stationaire stromen 41

Bx

=

-ay - by

...j

x2 + y2 ; By

=

+ax + bx

...j

x2 + y2 ; Bz =0.

Bereken de stroomdichtheid J

=

J(x,y,z) in dat gebied.

4.12. In een luchtledige ruimte bewegen elektrische ladingen. De stromen zijn stationair zodat het magnetische veld geen functie is van de tijd. .

Voor de magnetische tluxdichtheid geldt in een begrensd gebied rond de oorsprong:

B

= ~({ a(x2 + y2) + bx}

T

+ (cxY)T + fzk); a, b, c en f zijn constanten.

a. Druk c en f uit in a en b.

b. Bereken de stroomdichtheid

1.

4.13. Wij beschouwen in een driedimensionale ruimte alleen dát deel waarvoor x > O. In dat deel van de ruimte geldt - voor niet ál te kleine r - dat de magnetische tluxdichtheid voldoet aan:

-+

roT

B'Y' _{\ J )} =~_r2 ­_{r '}

C > 0 en T is de plaatsvector vanuit de oorsprong.

a. Wat is de dimensie van de constante C, uitgedrukt in de basisgrootheden massa

(M), lengte (L), tijd (T) en stroomsterkte (I)?

v

Va

x z

Figuur 4.6. Figuur bij vraagstuk 4.13.

Zie figuur 4.6. Voorts wordt nu gegeven dat wij een punt P beschouwen met coördi-naten (xo,Yo,O) met Yo > O. In het punt P bevindt zich op het tijdstip t

=

0 een elektron (massa m, lading --e). Het elektron heeft op da.t moment een snelheid

v

=

vok. Wij willen het elektron laten lopen in een cirkelvormige baan met straal Yo en met het

middelpunt op de x-as. Om het elektron in die baan te houden is naast het magnetische veld ook nog een uniform elektrisch veld ~ nodig.

b. Bepaal de richting van het elektrische veld.

c. Bereken de grootte van voo

d. Maak een schets van de situatie, met enkele magnetische veldlijnen en geef globaal (zonder berekening) aan welke baan het elektron ongeveer zal doorlopen voor t > 0, als het elektrische veld niet aanwezig is. Beredeneer waarom u de baan zo schetst.

Opmerking. In het magnetische veld van de aarde kunnen aldus geladen deeltjes, uitgestoten door de zon, bij de polen bewegen. Bij de evenaar kunnen zij ingevangen worden door het veld (van AIIengordels). Ook bij kernfusie gebruikt men magnetische velden om éen plasma op te sluiten.

4.14. Wat is de snelheid van een bundel elektronen als de gelijktijdige invloed van een elektrisch veld (E = 3,4x 105 Vlm) en een magnetisch veld (B = 2,Ox 10-2 T) (beide loodrecht op de bundel en op elkaar), geen afbuigingen van de elektronen

veroorzaakt?

4.15. Zie figuur 4.7. Een geladen deeltje (massa m, lading q) passeert op t = 0 de oorsprong van een rechthoekig coördinatenstelsel met een snelheid

v

=

(t~ vO,O'l~ vo) ..

Het deeltje beweegt in een uniform magnetisch veld met een fluxdichtheid

B

=

(O,O,-Bo), Bo > O.

y

z

Figuur 4.7. Figuur bij vraagstuk 4.15.

, /

, /

, /

a. Bereken de kracht

F

die het deeltje op t

=

0 ondervindt. .x

b. De projectie van de baan van het deeltje op het x-y-vlak is een cirkel met straal R.

Bereken R.

c. Schets de baan van het deeltje voor t > O.

4.16. Een vlakke niet geleidende cirkelvormige schijf, die aan één zijde homogeen met lading bedekt is, wentelt eenparig om een as door het middelpunt en loodrecht op het vlak van de schijf. De oppervlakteladingsdichtheid is cr. De straal van de schijf is

R. De hoeksnelheid is 0).