• Nie Znaleziono Wyników

Określoność symbolu 0° i ogólna kwestia przypadków brzegowych pojęć matematycznych

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Określoność symbolu 0° i ogólna kwestia przypadków brzegowych pojęć matematycznych"

Copied!
34
0
0

Pełen tekst

(1)

SE R IA V : D Y D A K T Y K A M A T E M A T Y K I 29 (2006)

Zbigniew Semadeni

Uniwersytet Warszawski

Określoność symbolu 0°

i ogólna kwestia przypadków brzegowych

pojęć matematycznych

1. W s t ę p . Cel tej pracy1 jest dwojaki. Jako problemem szczegółowym zajmiemy się symbolem 0° i pokażemy, że spotykane w wielu podręcznikach zaliczanie tego symbolu do niezdefiniowanych prowadzi do matematycznie nie­ akceptowanych konsekwencji. Wyjaśnimy zarazem, dlaczego należy (w ramach odpowiednio dobranej definicji lub jako dodatkową umowę) przyjąć równość

0° - 1.

Przytoczymy też (w 5.5) znany, czysto formalny dowód tej równości, wymaga­ jący rozszerzenia definicji potęgowania liczb kardynalnych na przypadek zbioru pustego.

Drugim celem tej pracy jest analiza ogólnego problemu przypadków brze­ gowych pojęć matematycznych. Wyróżnimy wśród nich przypadki określone jako skrajne i przypadki graniczne, uwypuklając rozmaitość możliwych sytua­ cji. Naświetlimy też pewne kwestie związane z kształtowaniem się idei głębo­ kich omawianych pojęć. Szczególnie ważne okazują się te przypadki, w których zawodzi zarówno formalizm jak i intuicja, bowiem niewystarczające okazują się dotychczasowe motywacje pojęć (mające najczęściej swe źródło w matematy- zacji konkretnych sytuacji), nie można też oprzeć się na zwykłych schematach Pojęciowych, a sformułowane wcześniej definicje nie dają jasnych odpowiedzi. Pojawiają się wątpliwości i trudności dydaktyczne (a czasem i merytorycz­ ne, jak w przypadku 0°), co powoduje, że rozstrzygnięcie problemu zaliczenia takich przypadków do zakresu danego pojęcia wymaga innych argumentów.

1.1. Wszelkie określenie, co rozumiemy przez przypadki brzegowe pojęcia niatematycznego X , musi być ze swojej natury określone nieostro. Chodzi o

(2)

przypadki znajdujące się jakby na „brzegu” zakresu tego pojęcia, tam gdzie przyjęta wcześniej definicja nie da się bezpośrednio zastosować lub powstają jakieś trudności. Oczywiście słowo „brzeg” należy traktować jako metaforę, nie jest bowiem zapewne możliwe sformułowanie jakiegoś ogólnego, precyzyjnego kryterium, które określałoby, jakie przypadki zalicza się do brzegowych. Trzeba tego dokonywać osobno dla poszczególnych pojęć lub klas pojęć.

Wyróżnimy trzy typy przypadków brzegowych, określone następująco2: 1) przypadki skrajne pojęcia matematycznego X — są to te przypadki brzegowe, które są z a l i c z a n e do zakresu tego pojęcia, bowiem spełniają warunki sformułowane w definicji pojęcia (nieraz odpowiednio w tym celu zmodyfikowanej, np. przez osobne wymienienie tych przypadków),

2) przypadki graniczne pojęcia matematycznego X — są to te przypadki brzegowe, które n ie są z a l i c z a n e do zakresu tego pojęcia,

3) przypadki chwiejne pojęcia matematycznego X — są to te przypadki brzegowe, które w jednych kontekstach bywają uznane za graniczne, tzn. nie są zaliczane do zakresu tego pojęcia, a w innych kontekstach (czasem przez tych samych autorów) są zaliczane do skrajnych, tzn. włączane do zakresu pojęcia, przy czym jest to wyraz świadomej decyzji autora, a nie efekt przeoczenia. Jak to pokażemy poniżej, 0° jest przypadkiem chwiejnym ogólnego pojęcia potęgi yx, a okrąg jest przypadkiem chwiejnym pojęcia elipsy.

Taka kategoryzacja rozmaitych przypadków, choć ze swej natury nieostra, rzuca nowe światło na pewne zagadnienia. W szczególności ujawniają się pew­ ne przypadki konfliktów definicyjno-terminologicznych, dotyczących ważnych pojęć matematycznych.

1.2. Przypadki brzegowe warto skontrastować z inną kategoryzacją moż­ liwych przypadków: typowe, nietypowe, specjalne, która ma jednak bardziej dydaktyczny charakter. Wprawdzie nie można podać definicji, która by jasno

(3)

określała, jakie przypadki pojęcia matematycznego X uważa się za typowe3, ale można je objaśniać na przykładach i następnie kontrastować z przypadkami nietypowymi. Przypadki typowe pojęcia wywodzą się z intuicji mających swe źródło w matematyzacji często spotykanych sytuacji. Prostokąt o wymiarach np. 3 na 5 jest typowy, a prostokąt bardzo długi (o wymiarach np. 1 na 100) i prostokąt zbyt zbliżony do kwadratu (o wymiarach np. 1 na 1,001) nie są ty­ powe. Takiemu wyjaśnieniu można postawić łatwy zarzut, że nie wyznacza się jasnej granicy między przypadkami typowymi i nietypowymi. Nie przekreśla to celowości takich rozróżnień. Jeśli matematyk objaśnia jakieś pojęcie, posłu­ gując się przy tym jakimś przykładem, to z reguły podaje przypadek typowy (a o nietypowych albo w ogóle się nie wspomina, albo ewentualnie stanowią one jakieś uzupełnienie przypadków typowych).

Brak też ogólnego, zadowalającego określenia, jakie przypadki pojęcia ma­ tematycznego X uważa się za przypadki specjalne, choć jest to kategoria zro­ zumiała i często używana. Na przykład, trójkąt równoramienny i trójkąt pro­ stokątny są przypadkami specjalnymi pojęcia trójkąta. Z kolei trójkąt równo­ boczny i trójkąt prostokątny równoramienny to przypadki specjalne trójkąta równoramiennego. Jednakże można przecież mówić też o „przypadkach typo­ wych przypadków specjalnych” , np. o przypadkach typowych trójkątów równo­ ramiennych (niezbyt wydłużonych, ale zarazem wystarczająco różniących się od trójkątów równobocznych i od trójkątów prostokątnych równoramiennych).

Na rysunkach w 6.2 poniżej pokazane są trzy przykładowe rysunki elipsy: jeden typowy i dwa nietypowe. W pierwszym z tych przykładów mimośród wynosi e = 0.059; gdyby na rysunku nie były zaznaczone ogniska, elipsa ta byłaby wzrokowo nieodróżnialna od okręgu. W trzecim zaś przykładzie kontur elipsy mógłby być wizualnie zaliczony do typowych, gdyby nie to, że są tam zaznaczone ogniska, a te można uznać za leżące nietypowo blisko brzegu.

1.3. Choć definicje zazwyczaj formułuje się tak, aby obejmowały przypadki typowe, to następnie do zakresu pojęcia automatycznie włącza się również przypadki nietypowe. Kwestia, czy dany przypadek należy zaliczyć do zakresu pojęcia, zależy jedynie od tego, czy spełnia wszystkie podane warunki, nawet jeśli ten przypadek jest niezgodny z naszymi intuicjami.

3 „Typowość” rozumiemy tu nieco inaczej niż Hejny (1997, s. 24), bowiem dostosowujemy interpretację jej do typowości ujawniającej się u starszych uczniów. Pojęcie przykładu typo­ wego jest bliskie pojęciu prototypu, o którym mowa w (Semadeni, 2004b, s. 195—196).

(4)

Jeśli niezgodność z intuicją jest zbyt rażąca lub wątpliwości merytoryczne są poważne, można ewentualnie rozważyć modyfikację definicji4. Gdy jednak definicja zostaje zaakceptowana, musimy włączyć w jej zakres wszystko, co formalnie pod nią podpada.

Drobna zmiana sposobu zredagowania tekstu, która w przypadkach typo­ wych nie ma wpływu na rozumienie tekstu, w przypadku brzegowym może spowodować nieostrość, wieloznaczność; pojawiają się wątpliwości, a precy­ zyjna analiza tekstu definicji jest czasem bezradna. Przypadek może okazać się chwiejnym, drobne niuanse znaczeniowe (takie jak przesunięcie sensu słowa „dwa” , przedstawione w 3.2-3.6 i w 4.1) dorastają do rangi problemu. Koniecz­ na jest odpowiednia interpretacja definicji lub jej modyfikacja (rozwiniemy tę kwestię w 7.1).

Jednym z celów tej pracy jest próba odpowiedzi na pytania dotyczące sto­ sunku przypadków brzegowych do idei głębokiej danego pojęcia. Rozważane przykłady pozwalają rzucić nieco światła na następujące kwestie.

Jaką rolę w kształtowaniu się idei głębokich pojęć odgrywają ich przypadki brzegowe?

Czy obserwuje się jakieś ogólne prawidłowości i na czym polegają odstęp­ stwa od nich?

Jaką rolę w rozstrzyganiu wątpliwości dotyczących przypadków brzegowych odgrywają ukształtowane już idee głębokie tych pojęć i pojęć pokrewnych?

2. P r z y k ła d y p rz y p a d k ó w b rz e g o w y c h zw ią za n y ch z liczb a m i O i l . Znaczna część przypadków brzegowych w matematyce dotyczy zbioru puste­ go i zbiorów jednoelementowych oraz ich liczebności: O i l . Wiążą się z nimi pewne charakterystyczne trudności. Niektóre z nich omówimy poniżej; wiele innych przykładów sugestywnie opisuje Wiweger (1970).

2.1. Mostowski (1948, s. 83) utożsamiał pojęcie zbioru z pojęciem własności; używane bywają też synonimy: atrybut i cecha. Rozróżnienie zbiór-cecha odpo­ wiada rozróżnieniu oznaczania od znaczenia (dyskutowanemu m. in. w Quine, 2000, s. 50, Bocheński, 1992, s. 61-62, przypomnianemu w Semadeni, 2002b, s. 165-167). Oznaczanie odpowiada zakresowi ( extensio) danego pojęcia, zna­ czenie zaś jego treści (intensio). Pokrewne, choć stosowane w innych kontek­ stach, są rozróżnienia: referencja-znaczenie oraz denotacja-konotacja.

Zbiór pusty i zbiory jednostkowe nie sprawiają trudności pojęciowych, gdy są ujmowane ekstensjonalnie. Trudności pojawiają się wtedy, gdy chcemy nadać im interpretację, jakiś sens, geometryczny lub inny; dlatego właśnie

(5)

specyficzne trudności obserwuje się u dzieci, a także wszędzie tam, gdzie prze­ chodzimy od abstrakcyjnych pojęć do sytuacji z życia. Na nieskuteczność geo­ metrycznego interpretowania zbiorów o liczebnościach 0 i 1 zwrócił uwagę Mostowski.

Zbiory punktów prostej lub płaszczyzny można też oczywiście ilustro­ wać geometrycznie. Takie geometryczne ilustracje są bardzo pożyteczne, w dwu jednak przypadkach zawodzą: mianowicie w przypadku zbioru pustego i zbiorów jednostkowych. Zbiór pusty odpowiada własności nie przysługującej żadnemu przedmiotowi (...) Oczywiście, interpretacja geo­ metryczna zbioru pustego jest niemożliwa.

Zbiór jednostkowy zawiera tylko jeden element; inaczej mówiąc jest to własność przysługująca tylko jednemu przedmiotowi. Np. własność: być liczbą parzystą i pierwszą jest jednostkowa, gdyż przysługuje jednej tylko liczbie 2. (...) Interpretacja geometryczna własności jednostkowej jest wprawdzie możliwa, ale prowadzi intuicję na fałszywe tory (Mostow­ ski, 1948, s. 84).

To ostatnie zdanie wyjaśnia trudności związane z wyborem dwóch możli­ wych formalizacji P i { P } pewnych sytuacji geometrycznych (wierzchołków brył wypukłych), wspomnianych w (Semadeni, 2002a, s. 67).

2.2. W X X wieku akcentowano związki między rozważaniem tego samego zagadnienia w języku teorii mnogości i w języku logiki, a pomijano różnice. Jedna z nich polega na tym, że w logice zakłada się na ogół (choć nie zawsze jest to wyraźnie wyartykułowane), że rozpatrywane zmienne mają dziedziny niepuste. Na przykład, tautologia VxQ>(x) =4> 3x$(a:) wymaga założenia, że zmienna x przebiega zbiór zawierający choćby jeden przedmiot; samo używanie zmiennych wolnych w rachunku kwantyfikatorów zakłada implicite istnienie przedmiotów należących do zakresu zmienności tych zmiennych (Mostowski, 1948, s. 59). Dokładną analizę tej kwestii daje (Grzegorczyk, 1975, s. 152). Natomiast w teorii mnogości dopuszcza się rozumowania z użyciem zbioru pustego. Efektem tej rozbieżności ujęć jest m. in. chwiejność ujęć rozważanych w 5.4 i 5.5 (w kontekście symbolu 0°).

2.3. Przypadkiem skrajnym dodawania liczb naturalnych jest d o d a w a ­ nie zera. Przy wprowadzaniu tego w nauczaniu początkowym konieczne jest odwołanie się do konkretnych sytuacji i n a d a n i e z n a c z e n i a działaniom takim, jak 4 + 0 = 4. Dodawanie liczb naturalnych ma dwa fundamentalne aspekty, na których opiera się nauczanie szkolne: aspekt kardynalny i aspekt miarowy (np. dodawanie długości).

(6)

156

jednym z „dojść” do pojęcia liczby ( access to number concept, Freudenthal, 1973, s. 170). Jednakże doliczanie, będące podstawową czynnością wykony­ waną przy dodawaniu opartym na procesie liczenia, traci sens dla dziecka w przypadku, gdy jeden ze składników jest zerem. Nie da się też intuicyj­ nie rozszerzyć przyporządkowania wzajemnie jednoznacznego na przypadek zbioru pustego. Również dodawanie przedmiotu o długości 0 nie ma sensu praktycznego. Wprawdzie do pojęcia odcinka zalicza się też odcinki zerowe (por. 4.1), a więc dodawanie ich jest formalnie możliwe, nie nadaje się to jed­ nak do kształtowania pojęcia sum takich jak 4 + 0 = 4. Liczba 0 pojawia się w sposób naturalny przy mierzeniu, ale np. liczba 0 na linijce ma charakter statycznego stanu (por. Semadeni, 2004a, s. 173), a stanów na ogół nie dodaje się do innych.

Dodawanie małych liczb naturalnych można przedstawiać dzieciom statycz­ nie lub dynamicznie. Przykładem ujęcia statycznego jest zada­

nie: „W lewym koszyku są 4 jabłka, a w prawym są 3 jabłka. Ile jabłek jest razem?” Analogiczne zadanie dotyczące liczby kropek przedstawione jest obok na rysunku.

Gdy ten typ zadań jest już zrozumiały dla uczniów, możemy sformułować zadanie typu: „W lewym koszyku są 4 jabłka, a prawy koszyk jest pusty. Ile jabłek jest razem?” . Otrzymawszy odpowiedź liczbową: 4 jabłka,

stawiamy kolejne pytanie: Jakie dodawanie można tu zapisać? Prowadzi to w naturalny sposób do równości 4 + 0 = 4.

W podobny sposób, mając lewe pole puste, dostajemy równość 0 + 4 = 4. Później, po odpowiedniej serii zadań, przy obu polach pustych dostajemy rów­ ność 0 + 0 = 0 (w grze w domino pole puste nosi nazwę „m ydło” , ale tu mó­ wimy „zero” ).

Aby powyżej opisane podejście dydaktyczne było skuteczne, niezbędne jest poprzedzenie tego odpowiednio długim (wielomiesięcznym) okresem kształto­ wania się pojęcia sumy u dziecka w przypadkach typowych.

Ogólnie biorąc, zadania dynamiczne (np. „Jaś miał 4 jabłka. Dostał jeszcze od cioci 3 jabłka. Ile jabłek ma razem?” ) uważa się za łatwiejsze dla dzieci (w początkowym okresie nauki) od zadań statycznych. Nie dotyczy to jednak dodawania zera, bowiem zadania typu np. „Jaś miał 4 jabłka. Nie dostał żad­ nego jabłka. Ile ma razem?” są dla dziecka sztuczne, czy nawet bezsensowne. Po co mamy zapisywać dodawanie, skoro Jaś nic nie dostał?

Paradoksalnie, właśnie w sytuacji statycznej można w naturalny sposób przedłużyć intuicje ucznia związane z dodawaniem tak, aby objąć tym przy­ padek skrajny 4 + 0 = 4, natomiast w sytuacji dynamicznej proste oparcie się na intuicji okazuje się niewystarczające. Można jednak spróbować innego podejścia, które teraz opiszemy na przykładzie odejmowania.

(7)

2.4. O d e jm o w a n ie (ubywanie, zabieranie itp.) z konieczności przedsta­ wiane musi być od początku w postaci dynamicznej. Zero może pojawić się przy odejmowaniu w dwóch postaciach. Stosunkowo łatwe jest odejmowanie typu 4 — 4 = 0, oparte jest na naturalnym schemacie zadania: „Mama miała 4 jajka. Na śniadanie zjedzono 4 jajka. Ile jajek zostało?” . Tak właśnie wpro­ wadzano dawniej pojęcie zera w klasie I.

Specjalne trudności napotkamy, gdy chcemy nadać sens wyrażeniom typu 3 — 0 = 3. Pomocne może być danie uczniom odpowiedniej serii zadań. Oto przykładowy schemat takiej serii: Marysia, Basia, Adaś i Patryk dostali po 3 wiśnie. Patryk zjadł 3 wiśnie. Ile wiśni mu zostało? Zapiszmy odejmowanie. Potem kolejno: Adaś zjadł 2 wiśnie (...) zapiszmy odejmowanie. Basia zjadła 1 wiśnię (...) zapiszmy odejmowanie. Marysia nie zjadła żadnej wiśni. Ile wiśni jej zostało? Tu też zapiszemy odejmowanie.

Rozpoczynamy tu od ciągu różnorodnych sytuacji dotyczących dodawania liczb kardynalnych przy ustalonym, ogólnym schemacie lub nawet ustalonym typie konkretyzacji, w przypadkach typowych. W pewnym momencie, zacho­ wując schemat i rodzaj rozpatrywanego konkretu, dochodzimy do przypadku skrajnego. W omawianym przykładzie znaczy to, że jeden ze składników ma być zerem, a więc jeden ze zbiorów ma być pusty. Proponowane tu podejś­ cie dydaktyczne jest szczególnym przypadkiem zasady zachowania schematu konkretyzacji5, sformułowanej w (Semadeni, 1984).

2.5. Rozpatrzymy teraz m n o że n ie liczb naturalnych. Do przypadków skrajnych należy zaliczyć więc nie tylko mnożenie przez 0, ale również mnoże­ nie przez 1. Liczba 1 jest tu elementem neutralnym (pełni więc rolę analogiczną do roli zera przy dodawaniu), a ponadto sens mnożenia przez 1 w konkretnych sytuacjach może nie być intuicyjnie jasny dla dziecka. Jeżeli jest jedno pudełko,

(8)

158

a w nim są 4 pisaki, to po co pytać, ile jest tam razem pisaków, a tym bardziej po co mamy pisać 1-4 zamiast po prostu 4 ? Aby działanie było sensowne, jego cel musi być zrozumiały.

Pomocna może być tu wspomniana powyżej zasada zachowania schematu konkretyzacji. Izolowany przykład 4 pisaków w jednym pudełku zastępujemy przez historyjkę, w której jest ciąg zadań. Oto przykładowy schemat takiego ciągu: Ciocia Gosi kupiła 3 pudełka po 4 pisaki, potem wujek Pawła kupił 2 pu­ dełka po 4 pisaki, z kolei Kasia kupiła 1 pudełko z 4 pisakami, a Michał nie kupił żadnego pudełka. Stawiamy kolejne pytania: Ile pisaków kupiła ciocia? Zapiszmy mnożenie. Ile pisaków kupił wujek? Zapiszmy mnożenie. Ile pisaków kupiła Kasia? Ponownie zapiszemy mnożenie, w taki sam sposób jak uprzednio. Ile pisaków kupił Michał? Tu też zapiszemy mnożenie.

Dostajemy w ten sposób ciąg działań: 3-4 = 12, 2-4 = 8, 1-4 = 4, 0-4 = 0. Można to uważać za przykład uzmiennienia stałej w sensie Krygowskiej (1984). Tego typu ciąg zadań stwarza s z a n s ę nadania pewnego s e n s u iloczynom skrajnym: przy rozwiązywaniu podanych zadań staramy się z a c h o w a ć dzia­ łania i kontynuować sposób zapisu przyjęty we wcześniejszych obliczeniach (czyli w przypadkach typowych), a zmieniają się jedynie liczby.

Uzmiennianie stałej zastosowaliśmy tutaj do pierwszego czynnika. Można je też zastosować do drugiego czynnika, opowiadając uczniom jakąś inną histo­ ryjkę i otrzymując ciąg iloczynów 4-3 = 12, 4-2 = 8, 4-1 = 4, 4-0 = 0, mając za każdym razem np. 4 takie same „pojemniki” zawierające kolejno po 3 ele­ menty, po 2, po 1 elemencie i na koniec 4 puste pojemniki. Ten drugi ciąg jest łatwiejszy do przedstawienia w postaci schematu r y s u n k o w e g o . Po­ jemnik (którym może być nie tylko np. talerz z jabłkami, ale też np. samo­ chodzik, a w nim ludziki) może być przedstawiony w postaci pętli; rysujemy więc przy każdym razem 4 pętle, zmieniając odpowiednio liczbę elementów w pętlach. Cztery puste pętle mogą być statycznym reprezentantem sytuacji 4-0 = 0. Natomiast iloczynu 0-4 = 0 nie da się przedstawić za pom ocą takiego rysunku; jedynie dynamiczny ciąg sytuacji może nadać sens temu ostatniemu iloczynowi (do kwestii 0-4 = 0 nawiążemy ponownie w notce 12).

2.6. Znane są poważne trudności uczniów z pojęciem potęgi zerowej i z rów­ nością 2° = 1. Zazwyczaj wydaje im się, że powinno być 2° = 0. Rozumowanie prowadzące do wniosku, że 2° = 1, tradycyjnie opierało się na jakiejś wersji zasady permanencji praw działań6.

W (Semadeni i Sierocka, 1988, s. 126) opisana jest lekcja, w której wyko­ rzystano pom oce dydaktyczne w postaci specjalnego zestawu klocków.

(9)

mniejszy klocek (sześcian o boku lcm ) służył jako klocek jednostkowy i za­ razem jako jednostka objętości. Każdy następny prostopadłościan był jakby utworzony z dwóch jednakowych, sklejonych bokami, mniejszych prostopa­ dłościanów. Ich objętości wynosiły więc 1,2 ,4 ,8 ,16 ,3 2,6 4, przy czym klocki

1,8 i 64 były sześcianami. Pokazując, jak wyglądałyby dwa klocki 64, dwojąc w myśli ich objętości i dokonując myślowego przedłużenia procesu składania klocków, uczniowie dopowiedzieli jeszcze liczby 128, 256. Następnie uczniowie przedstawiali te liczby, poczynając od 4, jako iloczyny

2-2 = 4, 2-2-2 = 8, 2-2-2-2 = 16, 2- 2- 2- 2- 2 = 3 2, .. . Duża liczba jednakowych czynników była naturalną motywacją do wprowadze­ nia krótszego zapisu 256 = 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2 = 28. Potem, naśladując ten przy­ kład, uczniowie zapisali 128 = 2- 2- 2- 2- 2- 2- 2 = 27, 64 = 2- 2- 2- 2- 2- 2 = 26 itd. Doszli w ten sposób do 8 = 2-2-2 = 23 i 4 = 2-2 = 22. Zapisali więc w postaci potęg (w odwrotnej niż normalnie kolejności) liczby: 256,128,64,32,16,8,4. Pozostały im jeszcze liczby 2,1, które były napisane wcześniej. W tym mo­ mencie nauczycielka zrezygnowała z pisania iloczynów. Poprosiła, by ucznio­ wie przyjrzeli się wszystkim liczbom i pomyśleli, jakie potęgi należy dopisać, aby pasowało to do ostatnich dwóch liczb: 2 i 1. Niektórzy uczniowie zauważyli ogólną prawidłowość i zaproponowali napisanie: 2 = 21, a potem 1 = 2°.

Zamiast owych klocków można było rozpocząć od innego konkretu, od in­ nej motywacji7. Bardzo istotne okazało się jednak to, że pytanie nie brzmiało: „Ile wynosi 2° ? ” . Uczniowie wiedzieli z góry, że wynikiem ma być liczba 1, od której cała kwestia się zaczęła, a ich zadaniem było dopasowanie wykładnika. Miało to oczywiście charakter heurystyki, ale istotnym jej punktem było to, że liczby 16, 8, 4, 2, 1 pojawiły się już wcześniej na tablicy, w zrozumiałym dla uczniów kontekście.

2.7. Innego typu kłopoty związane z liczbą 0 wynikają z tego, że możliwe są dwa nierównoważne podejścia do definicji prostopadłości wektorów a, b. Jedno z nich odwołuje się do kąta między wektorami, co wymaga założenia, że te wektory są niezerowe. Drugie podejście opiera się na iloczynie skalarnym (Białynicki-Birula, 1976, s. 290): a ± b, gdy a • 6 = 0. Obejmuje to wektor ze­ rowy, który jest uznany za prostopadły do każdego wektora. W podręcznikach dla początkujących unika się tej kwestii, nie podaje się definicji prostopadło­ ści wektorów. Natomiast w podręcznikach algebry liniowej dominuje drugie Podejście, ale tam część autorów używa określenia wektory ortogonalne, co zmniejsza rozdźwięk z elementarną intuicją.

(10)

3. Przykłady przypadków brzegowych związanych z liczbami 1 i 2.

Przeanalizujemy tu kilka charakterystycznych sytuacji, w których trzeba roz­ strzygnąć, czy chodzi o jeden element, czy o dwa różne elementy, czy o je­ den element „podw ójny” . Szczególnie interesować nas będzie kwestia, w jakim stopniu mamy tu do czynienia z trudnościami pojęciowymi, a w jakim z trud­ nościami natury językowej. Między jednymi a drugimi nie ma ścisłej granicy8.

3.1. Rozważmy następujące wyrażenia językowe:

(a) „Niech A ,B będą dowolnymi punktami spełniającymi <f>” ;

(a') „Niech A będzie dowolnym punktem spełniającym $ i niech B będzie dowolnym punktem spełniającym <f>” ;

{a") „Załóżmy, że punkty A , B spełniają <ł>” ;

{ a” ') „Załóżmy, że punkt A spełniać i punkt B spełnia 3>” ;

{(3) „Niech A , B będą dowolnymi dwoma punktami spełniającymi <$” ; (7) „Niech A , B będą dwoma różnymi punktami spełniającymi 3>” . Zastanówmy się, czy wypowiedzi te znaczą to samo. Rozróżnienie między wersjami „niech” i „załóżmy” jest w tej dyskusji drugorzędne; kwestia do­ tyczy rozróżnienia między „punkty A , B V, „dwa punkty A, 2?” i „dwa różne punkty A , B ” . Wyrażenie (a) można uznać9 za skróconą formą wyrażenia (a ') i wówczas warunek (a) nie wyklucza tego, że A = B. Podobnie (a " ) to skró­ cona postać wyrażenia (ot'"), które również nie wyklucza przypadku A = B. Jeżeli o punktach A, B nie było wcześniej mowy, wyrażenie ( a N) znaczy to samo co (a), wtedy też automatycznie takie wyrażenie jest wprowadzeniem oznaczeń A , B . Innymi słowy, warunek (a) to koniunkcja założenia „ A , B są dowolnymi punktami” i warunku <ł>. Jeśli natomiast o punktach A, B była już mowa, to (a") jest założeniem, że owe A, B spełniają warunek $ .

W sytuacji (/?) wielu autorów przyjmuje, że z faktu użycia słowa „dwoma” wynika to, że zbiór { A, B } ma mieć dwa elementy, a więc A ^ B ; przy tym podejściu słowo „różne” w (7) jest zbędne. Symbolem (/?7) oznaczymy zda­ nie ((3) z taką właśnie interpretacją, zatem (/?7) jest równoważne zdaniu (7).

8 Skemp napisał, że ten sam symbol może być rozumiany na różne sposoby, w zależności od tego, z jakim schematem myślowym zostanie zasymilowany (cyt. za Drewniak i Swoboda, 2004, s. 6). Zamiast „sym bol” można tu też napisać „wyrażenie językowe” ; sposób interpreta­ cji danego wyrażenia zależy od kontekstu i od systemu pojęciowego danej osoby. Wynika stąd niemożność ścisłego rozróżnienia między nieostrością sformułowania a trudnościami pojęcio­ wymi z nim związanymi.

(11)

Natomiast symbolem ((3a) oznaczymy zdanie (/3) z inną (również spotykaną) interpretacją, zgodnie z którą zdanie (/?) jest równoważne zdaniu (a), czyli słowo „dwoma” dotyczy nie punktów, lecz s y m b o l i l i t e r o w y c h użytych do oznaczania punktów10. Ponadto w sformułowaniu (a) zwrot „niech A ,B będą” może być zastąpiony przez „niech A i B będą” , co zasadniczo nie zmienia sensu zdania, jakkolwiek przesuwa go trochę w kierunku (/?).

Jeśli w jakimś tekście znajdujemy sformułowanie typu (7), to albo autor przyjmuje (być może w sposób niezbyt uświadomiony), że zdanie (j3) ma sens (j3a) albo wprawdzie autor uważa {(3) za równoważne (7), ale woli użyć słowa „różne” w celu wyraźnego wykluczenia możliwości A = B.

Inną możliwością jest (a 7), a mianowicie dość rzadko spotykana interpreta­ cja wyrażenia napisanego w formie (a) jako wyrażenia znaczącego (7). Innymi słowy — mówiąc o A , B — milcząco wtedy zakłada się, że A ^ B (por. 4.1).

Kwestie tego typu mogą sprawić wrażenie drobnych, nieistotnych detali redakcyjnych. Czasem jednak okazują się istotne. Na przykład, od tego, jak interpretujemy słowo „dwóch” w zwrocie „suma odległości od dwóch stałych punktów F\, F2” , zależy to, czy okrąg uznamy za szczególny przypadek elipsy, zależy więc prawdziwość bądź fałszywość pewnych twierdzeń (rozwijamy ten wątek w 6.3 poniżej).

Opisane tu dwuznaczności uchodzą nieraz uwadze kompetentnych mate­ matyków. Bierze się to stąd, że jeśli u czytelnika ukształtowane są już odpo­ wiednie idee głębokie, to jest on uodporniony na drobne zakłócenia. O odbiorze tekstu decyduje rozumienie ogólnego sensu wywodu, niepotrzebne zaś staje się staranne śledzenie budowy zdania i szczegółów wysłowienia.

3.2. Słynną hipotezę Goldbacha formułuje się zazwyczaj następująco: każ­ da liczba parzysta większa od 2 jest sumą dwóch liczb pierwszych (Sierpiński, 1950, s. 22). Przykładami są rozkłady:

4 = 2 + 2; 6 = 3 + 3; 8 = 5 + 3; 10 = 5 + 5 = 7 + 3 ; . . .

W przypadku liczb 4 i 6 wyrażenie „suma dwóch liczb pierwszych” musi być interpretowane w sensie ((3a)- Zwróćmy uwagę na drobne przesunięcie zna­ czenia między wyrażeniami „suma dwóch składników” i „suma dwóch liczb” . W tym pierwszym przypadku słowo „dwa” odnosi się jakby do liczby miejsc w wyrażeniu □ + □, podczas gdy w przypadku sumy dwóch liczb x + y słowo „dwa” może też oznaczać liczebność zbioru { x , y } . * 2

(12)

(da)-Oto inny przykład: wyrażenie arytmetyczne nazywa się złożone, gdy wystę­ pują w nim co najmniej dwa działania. Czy wyrażenie 17—5—4 jest złożone?

3.3. W (Grzegorczyk, 1975, s. 36) czytamy: Pary nieuporządkowane są to po prostu zbiory dwuelementowe. Ewentualne wątpliwości czytelnika, czy w parze { x , y } musi być x ^ y , rozstrzyga na tej samej stronie równoważność charakteryzująca takie pary: z E { x , y } O (z — x lub z — y ). Przypadek spe­ cjalny {x, x ] jest więc zaliczony do par nieuporządkowanych. Jest to standar­ dowa praktyka w aksjornatycznej teorii mnogości (por. Kuratowski i Mostow­ ski, 1978, s. 71). Jednakże { x , x } = { x } , zbiór { x , x } jest więc jednoelemen- towy, wbrew cytowanemu powyżej określeniu pary nieuporządkowanej.

W kombinatoryce dowodzi się, że Q ) = n(n+ l) j est iiczbą wszystkich pod­ zbiorów 2-elementowych zbioru n-elementowego (Mostowski, 1948, s. 88). Jest to prawdziwe pod warunkiem, że zbiór {x, x } nie jest zaliczony do 2-ele­ mentowych. Cytowane powyżej użycie określenia „zbiory dwuelementowe” w kontekście pary { x , y } wskazują więc na wyraźną interpretację (/3a ). Parado­ ksalnie „dwuelementowy” okazuje się nie tym samym co „2-elementowy” .

3.4. Na maturze 2005 pojawiło się zadanie, w którym była mowa o sumie i iloczynie pierwiatków równania kwadratowego w sytuacji A > 0 . Sprawiło to kłopoty i zdającym, i oceniającym. Jeśli A = 0 i mamy podwójny pierwiastek x\ = £2, to czym jest „suma pierwiastków” ? Czy to „suma jednej liczby” , tzn. x\, czy „suma X1+ X2, tzn. 2x\ ? W kontekście owego zadania maturalnego dla wielu osób niepokojące było pytanie, czy w ogóle mówienie o sumie w przypadku jednego składnika jest sensowne11.

Owo zadanie maturalne analizował Trzeciak (2005), pokazując, że pozornie nieistotne zmiany w sposobie zredagowania implikacji powodują, że z praw­ dziwej staje się fałszywa lub jej prawdziwość zależy od interpretacji sensu słów „suma” i „iloczyn” . W szczególności rozważał on następujący przykład: Jeśli oraz liczby x\,X2 6 t są pierwiastkami równania kwadratowego a x2 + bx + c = 0, to x i + X2 = —^ i x i X2 = Argumentował on, że implikacja ta okazuje się fałszywa, jeśli weźmie się np. równanie x 2 — hx + 6 = 0 i podstawi się x\ — 2 i X2 = 2. Innymi słowy, w owej implikacji pojawia się m i l c z ą c e z a ł o ż e n i e , że X\,X2 to pierwiastki trójmianu określone szkolnymi wzorami

(13)

(zwyczajowo we wzorze na x\ jest -y/ K , a dla x 2 jest +>/ A) . Formalnie bio­ rąc, jeśli w powyższym zdaniu zastąpimy zwrot typu (a") przez zwrot typu (aw), tzn. zwrot „liczby x i , x 2 są pierwiastkami” przez równoważny w zasa­ dzie zwrot „liczba x\ jest pierwiastkiem i liczba x 2 jest pierwiastkiem” , nie możemy wykluczyć, że x \ = x 2, pomimo, że tu akurat A > 0 . Po prostu x 2 można traktować jako symbol dowolnej liczby spełniającej podany warunek, a niekoniecznie jako symbol drugiego z pary pierwiastków. Jedyne poważne wątpliwości, podważające adekwatność tego przykładu, nasuwa użycie w nim gramatycznej liczby mnogiej przy słowach „liczby” , „pierwiastkami” i „są” .

3.5. Tego typu kłopoty formalno-językowe sprawiają poważne trudności osobom, które chcą (lub muszą) wszelkie tego typu wątpliwości rozstrzygać na podstawie jasno sformułowanych reguł. Niestety, ustalenie reguł do każdej okoliczności jest w praktyce niewykonalne. Nie stanowi to problemu w ma­ tematyce uniwersyteckiej; ujawniające się trudności bywają bagatelizowane, ponieważ wiadomo z praktyki, jakie odstępstwa od ścisłości mogą prowadzić do poważnych błędów, a jakie są jedynie kwestią elegancji tekstu. Osoby, u któ­ rych ukształtowały się już odpowiednie idee głębokie, rozstrzygają dylematy definicyjno-notacyjne w konkretnych sytuacjach tak, aby zachować oczekiwany s e ns występujących tam pojęć i zależności. Jedynie gdy pojawiają się wąt­ pliwości lub odstępstwa od zwyczajowych reguł, przechodzi się do precyzyjnej analizy językowej tekstu i do interpretowania użytych tam wyrażeń i zwrotów.

Nie dziwi więc, że najostrzej tego typu kłopoty ujawniają się w sytuacji e g z a m i n ó w . Nauczyciel i maturzysta chcą być pewni, czy dobrze zrozumieli tekst zadania, czy dobrze zostało rozwiązane, czy egzaminatorzy uznają np., że okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy. Szczególne niepokoje wywołują więc te zadania, których z jednej strony rozwiązanie wymaga precyzyjnego odwołania się do definicji, a z drugiej strony zdarza się, że sprawdzanie w autorytatywnych źródłach prowadzi do konfliktów pojęciowych. Matematyk w swych pracach badawczych i w swym podręczniku akademickim może za­ wsze wyjaśnić, jaką przyjmuje terminologię. Nie może tego na ogół zrobić maturzysta.

Z uwagi na wielość możliwych przypadków trudno byłoby sformułować jed­ noznaczne zalecenia, jak należy postępować w takich sytuacjach. Z pewnością warto być świadomym potencjalnych trudności i kierować się zdrowym roz­ sądkiem. W razie wątpliwości, zwłaszcza w tekstach egzaminacyjnych lub w definicji nowego pojęcia, lepiej dopisać „dwa” czy „różne” , dołączyć komentarz lub dać trafny przykład nawet wtedy, gdy formalnie tekst jest jednoznaczny.

(14)

lineum we Lwowie, wznowionym w roku 2000-2001, w opracowaniu J. Norwy, przez Fundację Rozwoju Matematyki Polskiej), przyjmowano, że

(fil) dwie proste, które są zawarte w jednej płaszczyźnie i nie mają punk­ tów wspólnych, nazywa się równoległymi;

(fi2) dwie proste równolegle do tej samej trzeciej są równolegle.

Otóż mógłby ktoś uznać, że zestawienie (fii) i (fi2) prowadzi do sprzecz­ ności. Z definicji (fii) wynika bowiem, że żadna prosta nie jest równoległa do samej siebie. Przechodniość relacji równoległości, którą wyraża własność (fi2), może być zapisana tak:

(1) ( h II h ) a ( i 3 || £2) => ( £ 1 II £2) .

Jeśli w (1) przyjmiemy = to otrzymamy l\ ||ty, wbrew definicji (fii). Nasuwa się jednak pytanie, czy warunki (fi2) i (1) są rzeczywiście równo­ ważne. Odpowiedź zależy od tego, jak rozumiemy słowo „dwie” w wyrażeniu „dwie proste” . Z interpretacji typu (/3a) wyrażenia „dwie proste £ ^ £ 2 wynika możliwość £\ || ty, natomiast przy interpretacji typu (/ty) takiego wniosku wyciągnąć nie można. Wątpliwości budzi też słowo „trzeciej” w (fi2), z któ­ rego można by wnosić, że zbiór {ty, £2, £3} ma trzy elementy; wówczas również

możliwość £\ || ty nie wynikałaby z (1).

Definicja (fii) była przyjmowana w dedukcyjnych ujęciach geometrii do połowy X X wieku, kiedy to uzupełniono zakres pojęcia równoległości przy­ padkiem skrajnym: każda prosta jest równoległa do samej siebie, tzn. £ || £. Dzięki temu o relacji || można orzec, że jest relacją równoważności, można też rozważać kierunek określony jako rodzina wszystkich prostych równole­ głych do danej prostej i stwierdzić, że proste równoległe wyznaczają ten sam kierunek. Ponadto w rozumowaniach wykorzystujących przechodniość można wnioskować o równoległości bez konieczności sprawdzania, że t y ^ t y ; proste 0 równaniach y = ax + b\ i y = ax-\-b2 są zawsze równoległe, nie trzeba za­ kładać, że b\ 7^62- W Polsce kwestię £ || £ wyraźnie zaakcentował podręcznik (Krygowska i Maroszkowa, 1974). Wcześniej w podręcznikach akademickich geometrii analitycznej omijano delikatnie tę kwestię, definiując równoległość 1 kierunki z pomocą wektorów, a nie poprzez warunek typu (fii).

(15)

4.1. Po tych wstępnych uwagach przeanalizujemy przypadek brzegowy pojęcia odcinka A B , w którym A = B. Z którą z trzech możliwości mamy tu do czynienia: czy uważamy przypadek A = B za skrajny (tzn. uznajemy, iż AA jest odcinkiem), czy za przypadek graniczny (tzn. nie uważamy zbioru A A za odcinek), czy jest to przypadek chwiejny? Prześledźmy, jak to jest ujęte w kilku autorytatywnych publikacjach (dla ułatwienia porównywań staramy się ujednolić tu system oznaczeń).

Borsuk (1964, s. 87) przyjął definicję następującą: jeśli A , B są punktami (w przestrzeni n-wymiarowej), to odcinek A B jest zbiorem wszystkich punk­ tów P tej przestrzeni takich, że q( A , P) + g(P, B) = q( A, B); ewentualne na­ sze wątpliwości rozwiewa wzmianka, że jeśli A = B , to odcinek redukuje się do punktu. W definicji tej mamy więc sformułowanie typu (cc). W podręczniku (Białynicki-Birula, 1976, s. 126 i 131) odcinek jest zdefiniowany w języku alge­ bry liniowej, również w sformułowaniu typu (a), a zbiory jednoelementowe są zaliczane do odcinków; gdy potrzebny jest odcinek niezdegenerowany, jest to wyraźnie zaznaczone (np. gdy mówi się, że „każdy odcinek o różnych końcach jest sympleksem jednowymiarowym” ).

W podręczniku (Krygowska i Maroszkowa, 1974) znajdujemy definicję po­ dzieloną na dwie explicite wyróżnione części: (a) Odcinkiem A B nazywamy figurę utworzoną z punktów A , B oraz z wszystkich punktów leżących między punktami A i B. (b) Jeżeli A — B , to odcinek A B nazywamy odcinkiem ze­ rowym. Część (b) powoduje, że sformułowanie części (a) jest jakby typu (cc7). W (Bryński et al., 1997) znajdujemy określenie: odcinek to część prostej za­ warta między dwoma jej punktami razem z tym punktami. Uzupełnione jest to uwagami: 1) jeśli P ^ Q, to odcinek P Q jest sympleksem jednowymiarowym;

2) również zbiór jednopunktowy nazywa się odcinkiem i jest to odcinek zerowy. Mamy tu wyraźnie zadeklarowaną interpretację typu (/3a), bowiem pomimo użycia w definicji odcinka słowa „dwoma” dopuszcza się odcinek zerowy.

Podsumowując ten krótki przegląd, stwierdzamy, że cytowani autorzy za­ liczają przypadek A = B do zakresu pojęcia odcinka. Odcinek jednopunktowy traktowany jest więc przez nich jako przypadek skrajny pojęcia odcinka. Auto­ rzy ci użyli sformułowań typów: (cc), ((3a) i (cc7). W (Bryński et al., 1997) można też znaleźć sformułowanie typu (/?7) w kontekście dwóch ognisk elipsy oraz typu (7) w kontekście prostej przechodzącej przez dwa punkty. W książce (Borsuk, 1964, s. 9) w definicji przestrzeni metrycznej jest mowa o tym, że dla każdych dwóch punktów P, Q określona jest liczba nieujemna g ( P , Q ), zwana ich odległością; mamy więc tu typ (/?<*)•

(16)

cie odcinka było już ukształtowane jako idea głęboka i którzy nie potrzebowali zwracać uwagę na budowę zdania. Jedyną istotną kwestią było to, że odcinek o długości zero nie jest wykluczony z zakresu pojęcia i o tym owi autorzy wy­ raźnie informowali czytelnika. Stark (1970, s. 7) zaczął od określenia „odcinek łączący punkty A i B ” , ale później uzupełnił to zdaniem: „Punkt będziemy uważać za odcinek o identycznym początku i końcu” ; większość czytelników zrozumiała sens tej uwagi, nie zauważywszy zapewne, że jest ona tak wysło­ wiona, iż jest to formalnie równoważne zdaniu A = A A = { A } .

4.2. Dwuwymiarowy sympleks to trójkąt. Wiele informacji podanych w (Bryński et al., 1997) (m. in. to, że długość dowolnego boku trójkąta jest mniej­ sza od sumy długości pozostałych boków) wyklucza zaliczenie trójkąta zdege- nerowanego do trójkątów. Jednakże wzór na pole trójkąta A (p,q,r) o wierz­ chołkach p , q , r w przestrzeni trójwymiarowej, w którym pojawia się symbol ± z komentarzem, że należy wziąć znak taki, aby pole było nieujemne (Borsuk, 1964, s. 70) wskazuje wyraźnie, że trójkąt zdegenerowany jest przypadkiem chwiejnym: zależnie od kontekstu bywa zaliczany do zakresu pojęcia trójkąta lub nie. Podobnie rzecz ma się z pojęciem czworościanu.

Stwierdziliśmy więc, że przypadki brzegowe bywają t r a k t o w a n e niejed­ nolicie. Odcinek zdegenerowany jest przypadkiem skrajnym, trójkąt zdegene­ rowany i czworościan zdegenerowany są przypadkami chwiejnymi. Natomiast sympleks jest zawsze definiowany w sposób wykluczający przypadki graniczne z zakresu tego pojęcia.

(17)

167

5. Kwestia definicji symbolu 0°. Kwestię tę można sformułować dwo­ jako: (a) w ramach arytmetyki liczb kardynalnych skończonych (stanowiącej najważniejszą interpretację arytmetyki liczb naturalnych) oraz (b) w ramach arytmetyki liczb rzeczywistych. W tym drugim przypadku nie wystarcza ogra­ niczenie się do problemu d e f i n i o w a l n o ś c i symbolu 0°, narzuca się też bo­ wiem problem i s t n i e n i a g r a n i c y funkcji f ( x , y ) = y x przy >0, y —> 0.

5.1. Zaczniemy od praktyki przedstawienia kwestii 0° w standardowych podręcznikach. Na przykład w (Leja, 1969, s. 17) definicja ax jest podana je­ dynie dla a >0, a symbol 0° wymieniony jest wśród symboli nieoznaczonych w kontekście obliczania granic. Później jednak w tej samej książce (s. 206) znajdziemy definicję: Szereg postaci

oo (2) a0 -|- a\x + a2X2 + . . . + anx n + .. . = ^ anx n,

n= 0

gdzie ao,a\,. . . są dowolnymi liczbami, nazywamy szeregiem potęgowym. Dla x = 0 szereg ten jest zawsze zbieżny.

Otóż podstawiając £ — 0 do lewego szeregu (z wielokropkami), otrzymuje­ my szereg ao + 0 + 0 + . . . , z którym nie ma żadnego kłopotu. Szereg ten jest zbieżny i jego suma wynosi ao. Jednakże podstawiając a: = 0 do prawego sze­ regu (ze znakiem ^ )), stwierdzamy, że pierwszym wyrazem jest aoO°. Zatem jeśli przyjmiemy, że symbol 0° jest niezdejiniowany, to paradoksalnie szereg Y ^ = o anXn nie ma wartości dla x = 0.

Analogiczną sytuację mamy z wzorem dwumiennym Newtona (Leja, 1969, s. 18). Zapisując (a + b)n = an + (” ) an_16 + (5)fln~2 62 + . . . + 6n w postaci

(3) (a. + b)n = i t O n~k bk’

k~ 0

stwierdzamy, że prawa suma traci sens, gdy a — 0 lub 6 = 0. Podobny brak konsekwencji można stwierdzić w wielu innych publikacjach; m.in. w staran­ nie na ogół zredagowanej Encyklopedii szkolnej (Bryński et al., 1997) podany jest wzór (3), choć wcześniej napisane zostało: „Przyjmuje się ponadto a° = 1

(a* 0) n.

Można jednakże znaleźć publikacje, w których autor zauważa tę formalną trudność i ostrzega o niej czytelnika. Kuratowski (1948, s. 11) napisał: Gdy a = 0 lub 6 = 0, wzór można stosować z tym jednak zastrzeżeniem, że sym­ bol nieoznaczony 0° zastąpić należy przez 1. Podobną uwagę znajdujemy w (Kuratowski, 1948, s. 91) przy wprowadzaniu szeregów potęgowych.

(18)

168

nej liczby rzeczywistej a), uzupełniona jest określeniem: a° = 1. Stąd autor wyciąga wniosek: 0° = 1, gdzie 1 oznacza jedynkę ciała12.

5.2. Przejdźmy do dyskusji problemu 0° w kontekście przejść granicznych. Rozważmy funkcję f ( x , y ) = yx . Jest ona określona w półpłaszczyźnie y > 0 (x dowolne) i ponadto13 na półprostej y = 0, x > 0. Wiadomo, że nie istnieje granica

(4)

lim yx,

(®,y)-Ko,o)

bowiem gdy ( x, y) —> (0,0) po półprostej pionowej (x = 0 i y \ 0), to y° = 1 i granica wynosi 1, jeśli zaś ( x , y ) —> (0,0) po półprostej poziomej (t/ ^ 0 i x \ 0 ) , to 0X = 0 i granica wynosi 0. Jeśli rozpatrzymy ciąg par zn — (xn, yn) leżących naprzemiennie na obu półprostych i dążących do (0,0), np. ciąg

zi = (0, 5), Z2 = ( s ,0), z3 = (0, 4), z4 = ( | ,0) , . . . ,

to odpowiadający ciąg potęg (yn)Xn, czyli ciąg (1,0,1,0, . . . ) , jest rozbieżny. W klasycznej terminologii rachunku różniczkowego punkt (0,0) uważany był za punkt nieciągłości funkcji y x . Zgodnie z nowszą terminologią14, nie uwa­ ża się punktu (0,0) za punkt nieciągłości funkcji y x, jeśli jej wartość 0° nie jest zdefiniowana. Niezależnie jednak od przyjętej terminologii, powyższe nie­

zgodności granic po półprostych są powodem, dla których — jeśli podajemy studentom reguły obliczania granic — przypadek g r a n i c y t y p u O0 musimy zaliczyć do nieoznaczonych.

12 Lang (1984, s. 14) przyjmuje jeszcze ogólniejszą regułę: iloczyn pusty (tj. iloczyn IItg 0 at) równa się jedynce. Addytywnym odpowiednikiem tego jest reguła: suma pustego zbioru ele­ mentów (w zbiorze liczb rzeczywistych lub np. w przestrzeni liniowej) jest równa 0. Takie — pozornie pozbawione sensu — pojęcie sumy £ t e 0 at po pustym zbiorze elementów jest n i e ­ z b ę d n e w algebrze liniowej, jeśli ma być prawdziwe twierdzenie, że liczba elementów bazy to wymiar przestrzeni. Przestrzeń 0-wymiarowa, składająca się z jednego elementu 0, ma bazę pustą (Białynicki-Birula, 1976, s. 67); gdyby zaś zrezygnować z przestrzeni 0-wymiaro­ wych, fałszywe stałoby się twierdzenie, że część wspólna podprzestrzeni liniowych jest pod- przestrzenią liniową. Z faktu tego nie wynika wprawdzie, że pojęcie sumy pustej należałoby wprowadzać formalnie studentom, ale warto uświadomić sobie lukę w tych rozumowaniach, na którą na ogół nie zwraca się uwagi. Można też — zamiast mówić o bazie pustej — przyjąć, że przestrzeń zerowa nie ma bazy i przypisać jej wymiar 0 na mocy dodatkowej konwencji (por. Sierpińska, 1994, s. 51), wtedy jednak fałszywe stałoby się podstawowe twierdzenie, że każda skończenie wymiarowa przestrzeń liniowa ma bazę (Białynicki-Birula, 1976, s. 64).

Dodajmy, że pojęcie sumy pustego zbioru składników leży implicite u podłoża równości 0-4 = 0, gdy rozważa się sterotypowo iloczyn jako „sumę jednakowych składników” .

(19)

5.3. Wszelka dyskusja kwestii definiowalności pojęcia takiego jak 0° musi uwzględnić również przypadek liczb zespolonych. Czy w definicji potęgi z w dla z, w zespolonych może pojawić się z — 0 lub w = 0 ? Otóż potęgę z w definiuje się wzorem z w = ewlogz (Leja, 1967, s. 59), gdzie log oznacza logarytm natu­ ralny. Wynika stąd, że podstawa z musi być różna od 0 dla wszystkich w, bo logO nie istnieje. Definicja ta wyklucza więc przypadek 0™; natomiast 0° = 1 jest potrzebne ze względu na (1).

5.4. Zajmijmy się teraz kwestią wartości potęgi nm w przypadku, gdy n, m są liczbami naturalnymi, traktowanymi jako liczby kardynalne zbiorów skończonych. Jeśli n ,m są dowolnymi liczbami kardynalnymi (niekoniecznie skończonymi), to nm definiuje się jako liczbę kardynalną zbioru N M wszyst­ kich funkcji f : M —> N , gdzie N, M są dowolnymi zbiorami takimi, że n = N i m = M (Kuratowski i Mostowski, 1978, s. 186). Autorzy ci wyprowadzają z tej definicji kilka równości, takich jak n1 = n i l n = 1 dla dowolnej liczby kardynalnej n, pomijają jednak milczeniem przypadki: n = 0 i m = 0, choć podaną definicję liczby kardynalnej nm można rozpatrywać również w przy­ padku, gdy N lub M jest zbiorem pustym (zajmiemy się tym w 5.5).

Potęgowanie nm liczb kardynalnych rozważają też Birkhoff i Mac Lane, zastrzegając się, że liczby n, m są różne od zera.

T rudność w rozw ażaniu zbiorów pustych jak o m ających liczbę kardy­ nalną 0 wynika z w ieloznaczności w opisaniu ilości 0° funkcji ze zbioru pustego d o zbioru pustego. C zy 0° ma być 0 czy 1 ? Dla wszystkich a / 0 m am y 0 Q = 0 i a° = 1 (B irkh off i M ac Lane, 1963, s. 392).

Są to charakterystyczne, poważne trudności pojęciowe, ujawniające się, gdy intuicyjną definicję funkcji chce się zastosować w przypadku zbioru pustego. Jedyna droga — to oderwanie się od intuicji i przejście do modelu formalnego. Co więcej, odwołanie się do logiki matematycznej może okazać się niewystar­ czające z powodów wspomnianych w 2.2. Rozważmy zatem tę kwestię bardziej szczegółowo.

5.5. W podręczniku (Rasiowa, 1968) określenie pojęcia funkcji f : X - * Y pojawia się dwukrotnie. Pierwszy raz (s. 40) funkcję określa się jako przypo­ rządkowanie i wtedy zakłada się, że zbiory X , Y są niepuste. Drugi raz (s. 67) funkcja f : X ^ Y jest zdefiniowana jako relacja dwuargumentowa specjalne­ go typu, przy czym X i Y są dowolnymi zbiorami (nie wyklucza się więc przypadku zbioru pustego, ale też nie ma o tym wzmianki).

(20)

(5) Vxex^yeY x g y , VxeXVy€yVzeY ( ( x g y A xgz) => {y = z)).

Jeśli x G X , to jedyny element y G Y taki, że xgy, oznaczamy symbolem f ( x ) . Zajmiemy się więc kwestią funkcji f : X —>• Y w przypadku, gdy X lub Y jest zbiorem pustym. W grę wchodzą trzy przypadki:

(i)

X

^

0, Y =

0,

(ii) X

= 0,

Y ć

0,

(iii) X

=

0, Y

= 0.

W każdym z tych trzech przypadków X x Y = 0. Jeśli g C X x Y , to g = %. Jedyną relacją jest więc relacja pusta. Powstaje pytanie, czy ta relacja jest funkcją, tzn. czy spełnia warunki (5). Pamiętajmy, że nie wolno nam teraz opierać się na intuicji, gdy chcemy posłużyć się kwantyfikatorami Va.e0 i 3xe$. Musimy precyzyjnie stosować formalne reguły rachunku zdań i rachunku kwan- tyfikatorów, uogólnione tak, aby objęły przypadek dziedziny pustej.

Wykorzystamy następujące reguły zamiany kwantyfikatorów o ograniczo­ nym zakresie VxeA, 3xeA (Rasiowa, 1968, s. 215). Jeśli (p(x) oznacza dowolny warunek, jaki ma spełnić element x, to VxeA <p(x) można zapisać jako im p li- k a c j ę (x G A) =>■ (f(x), natomiast warunek 3xEA if ( x ) można zapisać jako k o n i u n k c j ę 3x (x £ A) A <p(x). Podstawiając ^4 = 0, stwierdzamy, że waru­ nek Vxe0(^(a:) znaczy, że Vx (x G 0) =4> <p(x), a warunek 3xe^(p(x) znaczy, że 3X (x G

0)

A <p(x). Warunek x G

0

jest oczywiście fałszywy, toteż implikacja (x £ 0) (p(x) jest prawdziwa niezależnie od warunku (fi(x), a koniunkcja (x G

0)

A (p(x) jest fałszywa.

W przypadku (i) istnieje element x 6 X . Temu x nie odpowiada żaden element w Y , warunek 3y e Y xgy nie może być więc spełniony, gdy Y =

0.

W tym przypadku relacja

0

nie jest funkcją.

Przypadki (ii) i (iii) są odmienne. Rozpatrzymy je łącznie. Zakładamy,

że X = 0. Pytamy, czy spełniony jest pierwszy z warunków (5), a mianowicie

warunek

\/xe^3yeY x g y.

Zapisawszy go jako

V(x €

0)

=> 3y e Y xgy,

stwier­

dzamy, że warunek ten jest spełniony „pusto”, bo

x G

0 jest fałszywe. Gdy

drugi z warunków (5) zapiszemy w postaci

V(z e 0) => (VyeY^zeY ({xgy A xgz) => (2/ = z ) ) ) ,

widać, że też jest spełniony. Pokazaliśmy, że relacja pusta jest funkcją 0 —> Y ; funkcja ta zwana jest funkcją pustą. Wykazaliśmy zarazem, że zbiór wszystkich funkcji z 0 w 0 jest jednoelementowy, a zatem (zgodnie z ogólną definicją potęgowania liczb kardynalnych przypomnianą w 5.4) mamy 0° = 1.

W podobny sposób dowodzi się ponadto, że jedyna funkcja

0

—> Y (funkcja pusta) jest iniekcją, a jedyna funkcja 0 —>0 jest bijekcją.

(21)

Newtona i szeregów potęgowych; po drugie, symbol 0° można formalnie po­ traktować jako szczególny przypadek ogólnej definicji potęgowania liczb kardy­ nalnych, a równość 0° = 1 można przy tym formalnie udowodnić. Nie wynika stąd bynajmniej, że powyższe wywody należałoby propagować wśród nauczy­ cieli (nie mówiąc już o uczniach). Można je traktować jako drobne ćwiczenia z teorii mnogości.

Biorąc pod uwagę wszystkie przytoczone argumenty odnoszące się do kwes­ tii definiowalności symbolu 0°, możemy sformułować pewne zalecenia dydak­ tyczne. Najprościej założyć, że 0° = 1 (podobnie jak umawiamy się, że 0! = 1, z uwagi na to, że określenie 0! jako iloczynu kolejnych liczb od 1 do 0 nie miałoby sensu). Zarazem należy wyraźnie podkreślać — w odpowiednim kon­ tekście — nieistnienie granicy podwójnej (4) funkcji dwóch zmiennych y x . Wcześniej należy wyjaśnić na odpowiednich przykładach niewłaściwość stoso­ wania równości 0° = 1 przy obliczaniu granic typu lim {an)bn lub lim f ( x ) 9^x\ Właśnie liczne błędy popełniane przez osoby, które z tego, że lim an = 0

i lim&n = 0, wyciągały fałszywy wniosek, że lim (an)ftn = 1, spowodowały uznanie symbolu 0° za niezdefiniowany15. Ewentualne umieszczenie 0° na liś­ cie symboli nieoznaczonych w kontekście granic można traktować jako zabieg mnemotechniczny ułatwiający zapamiętanie błędnych przejść granicznych.

Zadeklarowanie niezdefiniowalności 0° ma jeszcze tę wadę, że nie pozwa­ la powiedzieć studentowi, że chodzi o nieciągłość funkcji y x w punkcie (0,0) (jeśli przyjmie się, że nie można mówić o nieciągłości funkcji w punkcie na brzegu obszaru określoności w sytuacji, gdy w tym punkcie funkcja jest nie­ zdefiniowana). Trzeba wówczas mówić o nieistnieniu granicy (4), a to jest mniej sugestywne.

5.7. Pokazaną tu metodę, wykorzystującą pojęcie funkcji pustej, można również stosować do przypadków skrajnych pewnych innych pojęć.

Równość n° = 1 dla n > 0 nie wynika z definicji potęgi n k jako n • n • . . . • n, ale może być formalnie udowodniona, jeśli zauważy się, że istnieje dokładnie jedna funkcja ze zbioru pustego do zbioru n-elementowego. Z drugiej strony równość 0n = 0 dla n > 0 wynika wprawdzie z określenia 0n jako iloczynu n czynników 0-0 - . . . -0, ale odzwierciedla zarazem fakt, że nie istnieje żadna funkcja ze zbioru n-elementowego w zbiór pusty ( n >0).

Symbol n! definiuje się zazwyczaj wzorami 1! = 1, n! = l -2- . . . -n dla n > 1, uzupełniając to dodatkowo równością 0! = 1. Wszystkie te przypadki wynikają jednak z tego, że n! to liczba bijekcji X —> X zbioru n-elementowe­ go X . Dla n = 0 istnieje dokładnie jedna bijekcja 0 —>0, więc 0! = 1.

(22)

6. P r z y p a d k i b rz e g o w e elip sy. Pokażemy, że za przypadki graniczne elipsy możemy uznać (zależnie od sytuacji) odcinek lub parabolę. Natomiast okrąg należy do przypadków chwiejnych, okazuje się bowiem, że to, czy okrąg uznany jest za szczególny przypadek elipsy, zależy od kontekstu.

6.1. Pojęcie elipsy może być zdefiniowane na wiele równoważnych sposo­ bów (Borsuk, 1964, s. 165-169 i 188-195; Stark, 1970, s. 148 i 173-177; Kordos et al., 1993, s. 45-57; Bryński et al., 1997, s. 79 i 373). Wymienimy osiem najważniejszych ujęć i przeanalizujemy, jak w świetle tych definicji przedsta­ wia się kwestia przypadków brzegowych. Przypominamy tradycyjne oznacze­ nia: a i b to długości wielkiej i malej pólosi elipsy, c to odległość ogniska od środka elipsy, e to mimośród, a p to parametr elipsy. Między tymi wielkościami zachodzą następujące związki:

(6)

a2 — b2 +

c2,

e = | (0 < e < 1),

P = ^ , |

=

\/l -

e2.

(A) Historycznie najstarsze jest ujęcie Menechmosa (IV wiek p.n.e.), roz­ winięte przez Apoloniusza z Pergi (ok. 262-170 p.n.e.), określające elipsę jako przekrój płaski (część wspólną) powierzchni stożkowej obrotowej A z płasz­ czyzną n nie przechodzącą przez jej wierzchołek i taką, że kąt ostry 77 między n a osią T tej powierzchni stożkowej jest większy niż kąt 9 między T a tworzącą powierzchni A. Tak więc16 0 < 9 < 77 < | oraz

e

= cos 77/ cos 9.

(B) Zgodnie z jednym z klasycznych określeń, elipsa to zbiór punktów P płaszczyzny takich, że stosunek odległości \PF\ punktu P od stałego punk­ tu F , zwanego ogniskiem, do odległości punktu P od stałej prostej, zwanej kierownicą, jest stała i mniejsza od 1. Ta stała e to mimośród elipsy. Jeśli przez l oznaczymy odległość kierownicy od ogniska, to £ = ^ i p = e£.

(C) Menechmos i Apoloniusz wykazali podstawową własność elipsy, która może również być przyjęta za jej definicję. Opiszemy ją w języku dzisiejszej algebry. Przyjmując jeden z dwóch wierzchołków elipsy za początek układu współrzędnych na płaszczyźnie, a za oś a: — prostą przechodzącą przez ogniska (skierowaną od wierzchołka w stronę ognisk), wyprowadza się następującą za­ leżność, zwaną równaniem wierzchołkowym elipsy: y 2 = 2 px — (1— e2) x 2.

(D) Najczęściej współcześnie podawana definicja określa elipsę jako zbiór punktów płaszczyzny, których suma odległości od dwóch stałych punktów Fi,F 2, zwanych ogniskami, jest równa danej liczbie dodatniej 2a, większej od odległości \F\F2\.

(23)

(E) Elipsę o półosiach a, 6 (a > b) można określić jako zbiór punktów (x , y ) płaszczyzny spełniających, w odpowiednio dobranym układzie współrzędnych, równanie fy + jjr = 1.

(F) Poglądowo najlepiej określić elipsę jako rzut prostopadły okręgu o pro­ mieniu r leżącego w płaszczyźnie III na płaszczyznę II2, przy założeniu, że III i nie są ani równoległe, ani prostopadłe. Jeżeli ty oznacza kąt między III a III, to 0 < ^ < ^ , a = r i b = r cos ty, a z równania parametrycznego okręgu x = r c o s t , y = rs int otrzymujemy równanie parametryczne elipsy: x = acost, 7/ = 6 sint. Ponadto e ^ s in -ć .

(G) Elipsę można określić jako zbiór punktów, które we współrzędnych biegunowych (r, <p) spełniają warunek r = i +epCOS(p (0 < r < 00, 0 < cp < 2tt).

(H) Elipsa to obraz okręgu przy przekształceniu afinicznym odwracalnym. 6.2. Po przeglądzie możliwych definicji elipsy rozważymy przypadki brze­ gowe tego pojęcia. Elipsa jest wyznaczona jednoznacznie (z dokładnością do izometrii) przez dowolne dwie spośród pięciu wielkości a, b, c, e,p powiązanych zależnościami (6). Ponadto w (A) i (F) występują kąty ty, 77, 0 spełniające warunki e = cos 77/ cos 9 i e = sin ty.

Przy przechodzeniu do granicy będziemy zakładać, że jedna z tych ośmiu wielkości jest stała, a druga dąży do jednej z dopuszczalnych wartości granicz­ nych. To, jaką figurę w ten sposób otrzymamy, zależy od wyboru tych dwóch wielkości.

Przy definicji (A) przyjmijmy, że stożek jest dany i ustalony, a zatem kąt 9 jest stały, a 77 jest zmienne, 77 £ (9‘, |). Jeśli 77= to przekrój stożka jest okręgiem i e = 0. Jeśli rj = 6, to przekrój jest parabolą i e = l,

Jeśli przyjmiemy określenie (C) i mimośród e dąży do zera przy stałym a, to ^ dąży do 1, a zatem b dąży do a oraz p dąży do a, a równanie przybiera po­ stać równania okręgu (x — a)2 + y 2 = a2 o promieniu a. Natomiast przy mimo- środzie e dążącym do 1 i stałym p dostajemy równanie paraboli y 2 = 2px.

Przy ujęciu (E) wystarczy usunąć warunek a > b, aby móc uznać okrąg za szczególny przypadek elipsy. Odcinek przy tej definicji nie wchodzi w rachubę.

Takie same przypadki brzegowe otrzymujemy przy ujęciu (F). Rzut okręgu jest okręgiem, gdy płaszczyzny są równoległe, tzn. gdy ty = 0. Rzut ten jest odcinkiem, gdy płaszczyzny są prostopadłe, tzn. gdy ty =

\-W definicji (H), która jest uogólnieniem (F), okrąg jest explicite zaliczony do elips, a odcinek jest wykluczony (chyba, że odrzucimy założenie odwracal- Rości przekształcenia).

(24)

174

Okrąg można by więc uznać za elipsę o jednym ognisku podwójnym. Wymaga to usunięcia w sformułowaniu definicji (D) słowa „dwóch” i pozostawienia: „suma odległości \PF\\ + \ P F 2\” , nie wykluczając tego, że F\ = F2. Innymi słowy w (D) należałoby przejść od wyrażenia typu {(3) (w sensie omawianym w 3.1) do wyrażenia typu (a). Courant i Robbins (1998, s. 203) ujmują to tak: „Jeżeli oba ogniska zlewają się, to figura jest okręgiem” .

Natomiast jeśli w (D) wielkość a jest stała i c dąży do a, to b dąży do 0, mimośród e dąży do 1, elipsa degeneruje się do odcinka o długości 2a, nierów­ ność 2a>\F\F2\ staje się równością 2a = \FiF2\.

W definicji (G) można podstawić e = 0, otrzymując równanie okręgu. Gdy zaś podstawimy e = 1, otrzymamy równanie paraboli (wtedy mianownik może być równy 0; gdy ►7r, to r —>oo).

Podsumowując powyższe wywody, stwierdzamy, że wartość graniczna e = 0 odpowiada okręgowi w każdym z siedmiu rozpatrywanych dotąd przypadków (A), (C )-(H ). Natomiast wartość graniczna e = 1 odpowiada (zależnie od tego, które z pozostałych wielkości są stałe) paraboli lub odcinkowi. Wynika stąd, że przypadek e = 1 definitywnie wyklucza uznanie otrzymanej figury za elipsę. Są to więc przypadki graniczne, nie będące skrajnymi (zgodnie z 1.2).

Na powyższym rysunku środkowa elipsa jest typowa. W pozostałych dwóch elipsach mimośród został dobrany tak, aby figura odchylała się możliwie wy­ raźnie od typowej elipsy, ale zarazem tak, aby ogniska były wizualnie odsepa­ rowane od siebie i były wystarczająco oddalone od samej elipsy. Ciekawy jest więc fakt, że pomimo identycznego założenia graficznego lewa elipsa — gdyby nie zaznaczone ogniska — byłaby trudna do odróżnienia od okręgu, natomiast elipsa po prawej stronie jest wyraźnie różna od odcinka.

Aspekty wizualne uzupełniają tu analizy pojęciowe i wpływają na wyklu­ czenie odcinka jako elipsy przy jednoczesnych wahaniach w kwestii okręgu.

(25)

do odległości od kierownicy. Dla e = 1 otrzymujemy parabolę. Natomiast jeśli e dąży do 0, to odległość i kierownicy od ogniska dąży do nieskończoności. Tak więc (B) jest jedyną z wymienionych własności metrycznych elipsy, która traci sens w przypadku okręgu.

6.3. Biorąc pod uwagę rozmaite sytuację, w których mimośród e dąży do jednego z końców przedziału [0,1], stwierdzamy, że warunek e = 1 definitywnie wyklucza elipsę, natomiast warunek e = 0 odpowiada okręgowi. Nasuwa się pytanie: Czy okrąg należy uznać za szczególny przypadek elipsy?

Skoro kwadrat uważamy za szczególny przypadek prostokąta, a hiperbolę równoboczną uważamy za szczególny przypadek hiperboli, to dlaczego okręgu mielibyśmy nie uznać za szczególny przypadek elipsy? Przecież w każdym z tych trzech przypadków chodzi o dodatkowy warunek a = b ? Środek okręgu można uznać za ognisko podwójne, analogicznie do pierwiastka podwójnego trójmianu kwadratowego (por. 3.4).

Odpowiedź można sformułować, odróżniając własności ilościowe od włas­ ności jakościowych figur. Hiperbolę równoboczną wyróżniają cechy metrycz­ ne, np. to że kąt między asymptotami jest prosty. Natomiast elipsę od okrę­ gu — oprócz różnic ilościowych — odróżniają też istotne cechy jakościowe, w szczególności to, że zamiast dwóch ognisk mamy jeden środek17.

Sprawdźmy, jak odpowiedź na powyższe pytanie ujęli autorzy publikacji wymienionych powyżej. Stark (1970, s. 148 i 175) wyraźnie pisze, że podana tam definicja elipsy nie obejmuje okręgu; zbliżoną informację można znaleźć w (Kordos et al., 1993). W (Bryński et al., 1997) przyjęta jest definicja (D), zre­ dagowana w konwencji (/?7) (por. 3.1), co widać na przykładzie zdania: Elipsa nia dokładnie dwie kierownice i każda z nich odpowiada jednemu ognisku eli­ psy; jest tam zarazem informacja, że mimośród okręgu jest równy 0.

Natomiast Borsuk (1964, s. 165-167) najpierw podał tradycyjną definicję (B), ongiś najpopularniejszą (bowiem jednolicie ujmowała trzy podstawowe typy stożkowych), ale dwie strony dalej zaprzeczył temu, pisząc wręcz: okrąg uważać będziemy również za elipsę (o mimośrodzie e = 0), choć zasadniczo nie podpada on pod zakres przyjętej tu definicji elipsy. Tak więc jeden z naj­ wybitniejszych matematyków polskich „zawiesił” niejako jeden z paradygma­ tów matematyki orzekający, że pojęcie jest wyznaczone jedynie przez warunek podany w jego definicji. Uznał tym samym chwiejność zakresu pojęcia eli­ psy. Przyczyną jest to, że Borsuk — pragnąc prezentować geometrię w duchu programu erlangeńskiego F. Kleina — chciał, aby elipsa była niezmiennikiem pokrewieństw afinicznych, a więc w rozumiał ją w duchu (H).

(26)

Dodajmy, że w mechanice newtonowskiej, przy opisie zagadnienia dwóch ciał i ruchu planet, okręgi zaliczane są explicite do elips (Białkowski, 1975, s. 259; Kuhn, 2006, s. 246).

6.4. Aby wyjaśnić, dlaczego kształt elipsy wydaje się znany ludziom, któ­ rzy nigdy nie słyszeli tej nazwy, ani nawet wcześniej nie widzieli narysowanej elipsy, odwołamy się do przekroju stożka, ale innego niż w (A). Otóż gdy czło­ wiek patrzy z ukosa na okrąg H, za kształt docierający do jego oka można uznać elipsę Ho powstałą jako przecięcie Ho = A;~ DII powierzchni stożkowej nieobrotowej A= utworzonej przez rodzinę prostych łączących środek oka z punktami okręgu H i płaszczyzny II prostopadłej do prostej łączącej środek oka ze środkiem okręgu H. Do oka dociera kształt elipsy Ho, i n t e r p r e t o w a ­ n y przez umysł jako okrąg, tzn. człowiek rozpoznaje H jako okrąg. Choć więc o b i e k t y w n i e na soczewkę oka pada kontur elipsy Ho, umysł automatycznie dokonuje korekty, s u b i e k t y w n i e odbierając ten kształt jako okrąg H; jest to wynikiem wy konstruowania się (już w umyśle dziecka) odpowiednich sche­ matów poznawczych, pozwalających na rozpoznawanie kształtu koła niezależ­ nie od jego położenia. Paradoksalnie ten właśnie subiektywny (w zestawieniu z obiektywnym obrazem Ho odbieranym przez soczewkę oka) obraz powsta­ ły w u m y ś l e jest zgodny z obiektywną rzeczywistością okręgu H (podobnie umysł dokonuje korekty wzrostu osób znajdujących się w różnych odległościach od patrzącego: choć w rzeczywistości do oka docierają istotnie różne wielkoś­ ci, co łatwo można sprawdzić, rozstawiając odpowiednio palce przy oku, to umysł odbiera obraz przetworzony, zgodny z rzeczywistymi stosunkami tych wielkości). Jeśli więc punktem wyjścia definicji elipsy miałaby być idealizacja kształtu odbieranego przez oko, okrąg byłby zaliczany do elips, odpowiada bowiem sytuacji patrzenia na wprost, nie ze skosa, tzn. gdy prosta łącząca środek oka ze środkiem okręgu jest prostopadła do płaszczyzny okręgu.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Na lekcjach matematyki do twórczości dzieci w dziedzinie języka podchodzi się raczej ostrożnie, a w dziecięcych pomysłach dostrzega się częściej zagrożenie dla

Wysokość równoległoboku jest to odcinek łączący przeciwległe boki równoległoboku i prostopadły do tych

Jeżeli czujesz, że zrozumienie szybkiej, amerykańskiej mowy jest zbyt trudne, staraj się znaleźć swój własny sposób na wykorzystanie filmu2.

Publikacja dofinansowana ze środków Dziekana Wydziału Matematyki, Fizyki i Informatyki Uniwersytetu Gdańskiego.  Copyright by Uniwersytet Gdański c Wydawnictwo

„Dla każdej liczby naturalnej istnieje jej następnik, który też jest liczbą naturalną.” To jedna z uwag dotyczących definicji Fregego liczb natu- ralnych (zob. Co w tej

Analizując pojęcie aspektu, liczymy się z tym, że nie uda się — być może nigdy — podać precyzyjnej i zadowalającej definicji tego, co rozumiemy przez

Można napisać funkcję liczącą długość łamanej (w zależności od współrzędnej punktu B) i znaleźć wartość najmniejszą tej funkcji. Znacznie łatwiej jednak jest skorzystać

Pspace - klasa problemów rozwiązywalnych przez maszynę Turinga, która może korzystać tylko z wielomianowo rosnącej liczby komórek na taśmie: NP ⊆ Pspace. Automaty