Zestaw nr 7 Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegi¸ecia wykresu. Asymptoty

Zestaw nr 7

Ekstremum funkcji jednej zmiennej. Punkty przegi¸ecia wykresu.

Asymptoty

November 20, 2009

Przyk ladowe zadania z rozwi¸

azaniami

Zadanie 1. Znajd´z r´ownanie asymptot funkcji f je´sli: a) f (x) = 2x−3_x+1

Rozwi¸azanie: Funkcja f jest nieokre´slona dla x = −1. Liczymy granice jednostronne funkcji f w x = −1 : lim x→−1− 2x − 3 x + 1 = ∞ lim x→−1+ 2x − 3 x + 1 = −∞

Wniosek: funkcja f posiada asymptot¸e pionow¸a w punkcie x = −1. Badamy granice funkcji przy x → ∞ oraz x → −∞.

lim x→∞ 2x − 3 x + 1 = 2 lim x→−∞ 2x − 3 x + 1 = 2

Wniosek: funkcja posiada asymptot¸e poziom¸a (dwustronn¸a) o r´ownaniu y = 2. Sprawdzamy czy istnieje asymptota uko´sna, w tym celu liczymy granice

lim x→∞ 2x − 3 x(x + 1) = 0 lim x→−∞ 2x − 3 x(x + 1) = 0 Wniosek: brak asymptot uko´snych.

Rozwi¸azanie: Funkcja f jest nieokre´slona dla x = 0. Liczymy granice jednostronne funkcji f w x = 0 : lim x→0−x − 4 x2 = −∞ lim x→0+x − 4 x2 = −∞

Wniosek: funkcja posiada asymptot¸e pionow¸a w punkcie x = 0. Badamy granice funkcji przy x → ∞ oraz x → −∞.

lim x→∞x − 4 x2 = ∞ lim x→−∞x − 4 x2 = −∞

Wniosek: funkcja nie posiada asymptoty poziomej. Sprawdzamy czy istnieje asymptota uko´sna, w tym celu liczymy granice

lim x→∞ 2x − 3 x(x + 1) = 0 lim x→−∞ 2x − 3 x(x + 1) = 0 Wniosek: brak asymptot uko´snych.

c) f (x) = _(x+1)(x−2)x3

Rozwi¸azanie: Funkcja f jest nieokre´slona dla x = −1 oraz x = 2. Liczymy granice jednostronne funkcji f w x = −1 : lim x→−1− x3 (x + 1)(x − 2) = −∞ lim x→−1+ x3 (x + 1)(x − 2)= ∞ oraz w punkcie x = 2 lim x→2− x3 (x + 1)(x − 2) = −∞ lim x→2+ x3 (x + 1)(x − 2) = ∞

Wniosek: funkcja posiada asymptoty pionowe w punktach x = −1 oraz x = 2. Badamy granice funkcji przy x → ∞ oraz x → −∞.

lim x→∞ x3 (x + 1)(x − 2) = ∞ lim x→−∞ x3 (x + 1)(x − 2) = −∞ Wniosek: funkcja nie posiada asymptot poziomych.

Sprawdzamy czy istnieje asymptota uko´sna, w tym celu liczymy granice lim x→∞ x3 x(x + 1)(x − 2) = 1 oraz lim x→∞ x3 (x + 1)(x − 2)− 1 · x = 1

co daje asymptot¸e uko´sna y = x + 1 przy x → ∞. Podobnie sprawdzamy czy istnieje asymptota uko´sna przy x → −∞. Liczymy granice

lim x→−∞ x3 x(x + 1)(x − 2) = 1 oraz lim x→−∞ x3 (x + 1)(x − 2)− 1 · x = 1 co daje asymptot¸e uko´sn¸a y = x + 1 przy x → ∞.

Zadanie 2. Wyznacz przedzia ly monotoniczno´sci nast¸epuj¸acych funkcji a) f (x) = x3+ 5x − 9

Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn¸a f0(x) = 3x2+ 5 oraz zauwa˙zamy, ˙ze nier´owno´s´c 3x2+ 5 > 0

jest spe lniona dla dowolnego x ∈ R. Czyli f (x) = x3+ 5x − 9 lest rosn¸aca w ca lej swojej dziedzinie. b) f (x) = 2x3+ −9x2+ 12x

Rozwiazanie: Liczymy najpierw pochodn¸a f0(x) = 6x2+ 18x + 12 oraz rozwi¸azujemy nier´owno´s´c 6x2+ 18x + 12 > 0

lub r´ownowa˙zn¸a jej

x2+ 3x + 2 > 0. W tym celu obliczamy pierwiastki r´ownania

x2+ 3x + 2 = 0

∆ = 9 − 4 · 2 = 1 co daje x1 = −2 lub x2 = −1. Zatem dla x ∈ (−∞, −2) ∪ (−1, ∞) funkcja jest

rosn¸aca, natomiast dla x ∈ (−2, −1) jest funkcj¸a malej¸ac¸a. c) f (x) = x_x22−3₊₃

Rozwi¸azanie: Liczymy najpierw pochodn¸a f0(x) = 2x(x2+3)−2x(x_(x2₊₃₎2 2−3) = _(x212x₊₃₎2 oraz rozwi¸azujemy

nier´owno´s´c f0(x) > 0. Mamy wi¸ec f0(x) > 0 wtedy i tylko wtedy gdy 6x > 0. Zatem dla x > 0 funkcja jest rosn¸aca natomiast dla x < 0 funkcja jest malej¸aca.

a) f (x) = x2− 3x + 8

Rozwi¸azanie: Liczymy pochodn¸a f0(x) = 2x − 3 i rozwi¸azujemy r´ownanie f0(x) = 0 co w naszym przypadku daje 2x − 3 = 0 oraz x0 = 1.5 Z postaci pochodnej otrzymujemy, ˙ze dla x < 1.5 zachodzi

f0(x) < 0 oraz dla x > 1.5 zachodzi f0(x) > 0, co daje, ze w punkcie x0 = 1.5 funkcja f osiaga

minimum lokalne. b) f (x) = x4− 4x2_{+ 4}

Rozwi¸azanie: Liczymy pochodn¸a f0(x) = 4x3_{− 8x i rozwi¸azujemy r´ownanie f}0_{(x) = 0. Mamy}

4x3 − 8x = 4x(x2 _{− 2), co daje nast¸epuj¸ace rozwi¸azania x}

1 = 0 lub x2 = −

√

2 lub x3 =

√ 2. Analizujemy teraz zachowanie pochodnej w otoczeniach tych trzech punkt´ow korzystaj¸ac z wykresu funkcji y = 4x(x2_{− 2).}

W lewostronnym otoczeniu punktu x1 = 0 pochodna f0 jest dodatnia a w prawostronnym ujemna,

zatem w x1= 0 funkcja f przyjmuje lokalne maksimum.

W lewostronnym otoczeniu punktu x2 = −

√

2 pochodna f0 jest ujemna a w prawostronnym do-datnia, zatem w x2 = −

√

2 funkcja f przyjmuje lokalne minimum. W lewostronnym otoczeniu punktu x3 =

√

2 pochodna f0jest ujemna a w prawostronnym dodatnia, zatem w x2=

√

2 funkcja f przyjmuje lokalne minimum. c) f (x) = _xx+12₊₄

Rozwi¸azanie: Obliczamy pochodn¸a f0(x) = 1(x2+4)−2x(x+1)_(x2₊₄₎2 =

−x2_−2x+4

(x2₊₄₎2 oraz rozwi¸azujemy

r´ownanie f0(x) = 0. Wiadomo, ˙ze f0(x) = 0 wtedy i tylko wtedy gdy −x2− 2x + 4 = 0. Rozwi¸azuj¸ac to r´ownanie otrzymujemy: ∆ = 20 oraz x1 = −1 −

√

5, x2 = −1 +

√

5. Pochodna w lewostronnym otoczeniu punktu x1 jest ujemna a w prawostronnym otoczeniu dodatnia, zatem w x1 funkcja f

osi¸aga minimum lokalne. Podobnie, pochodna w lewostronnym otoczeniu punktu x2 jest dodatnia

a w prawostronnym otoczeniu ujemna, zatem w x2 funkcja osi¸aga maksimum lokalne.

Zadanie 4. Znajd´z najwi¸eksze i najmniejsze warto´sci funkcji na wskazanych przedzia lach a) f (x) = x2+ 2x − 4, dla x ∈ [0, 2]

Rozwi¸azanie: Liczymy pochodn¸a f0(x) = 2x+2, otrzymujemy miejsce zerowe pochodnej x0= −1.

W punkt x0= −1 nie nale˙zy do przedzia lu [0, 2]. Funkcja f nie ma lokalnych ekstrem´ow w przedziale

[0, 2]. Liczymy warto´sci funkcji w punktach brzegowych. Otrzymujemy f (0) = −4 f (2) = 4 czyli najwi¸eksza warto´s´c funkcji f, w przedziale [0, 2], wynosi 4 a najmniejsza -4.

b) f (x) = x2+ 2x − 4, dla x ∈ [−2, 2]

Rozwi¸azanie: Liczymy pochodn¸a f0(x) = 2x+2, otrzymujemy miejsce zerowe pochodnej x0= −1.

W punkcie x0 = −1 ∈ [−2, 2] funkcja f ma minimum lokalne. Liczymy warto´sci funkcji w punktach

brzegowych oraz w x0, otrzymujemy f (−2) = −4, f (2) = 4 oraz f (−1) = −5. W przedziale [−2, 2]

funkcja osiaga najwi¸eksz¸a warto´s´c 4 dla x1 = 2 oraz najmniejsz¸a warto´s´c -5 w punkcie x0= −1.

c) f (x) = 2x+5_x+1 dla x ∈ [−3, −1) ∪ (−1, 3]

Rozwi¸azanie: W punkcie x = −1 funkcja jest nieokre´slona. lim x→−1− 2x + 5 x + 1 = −∞ lim x→−1+ 2x + 5 x + 1 = ∞

czyli w x = −1 istnieje asymptota pionowa funkcji f. Zatem funkcja f nie osi¸aga w tym zbiorze ani sko´nczonej warto´sci maksymalnej ani sko´nczonej minimalnej.

Zadanie 5. Wyznaczy´c punkty przegi¸ecia, przedzia ly wypuk lo´sci oraz wkl¸es lo´sci funkcji a) f (x) = 3x4+ 7x + 1 dla x ∈ (0, ∞)

Rozwi¸azanie: Liczymy pierwsz¸a pochodn¸a f0(x) = 12x3 + 7 oraz drug¸a f00(x) = 36x2. Dla dowolnego x ∈ (0, ∞) zachodzi f00(x) > 0 czyli funkcja jest wypuk la w ca lej swojej dziedzinie. b) f (x) = ex−1+ 2

Rozwi¸azanie: Liczymy pierwsz¸a pochodn¸a f0(x) = ex−1 oraz drug¸a f00(x) = ex−1. Dla dowolnego x ∈ (−∞, ∞) zachodzi f00(x) > 0 czyli funkcja jest wypuk la w ca lej swojej dziedzinie.

c) f (x) = x4− x3_{− x}2

Rozwi¸azanie: Liczymy pierwsz¸a pochodn¸a f0(x) = 4x3−3x2_{−2x oraz drug¸a f}00_{(x) = 12x}2_−6x−2.

Szukamy pierwiastk´ow r´ownania 12x2 − 6x − 2 = 0. Po obliczeniach otrzymujemy pierwiastki x1 = 6− √ 132 24 oraz x2 = 6+√132 24 .

Dla x ∈ (−∞, x1) mamy f00(x) > 0 czyli funkcja f jest wypuk la w tym przedziale. Dla x ∈ (x2, ∞)

mamy f00(x) > 0 czyli funkcja f jest wypuk la w tym przedziale. Natomiast dla x ∈ (x1, x2) mamy

f00(x) < 0 czyli funkcja f jest wkl¸es la w tym przedziale. Punkty x1 oraz x2 s¸a punktami przegi¸ecia.

1

Zadania do samodzielnego rozwi¸

azania

Zadanie 1.1. Znajd´z r´ownanie asymptot funkcji f je´sli: a) f (x) = 2x−3_x+1

Odp. Asymptota pionowa w x = −1, asymptota pozioma y = 2, brak asymptot uko´snych. b) f (x) = 7x+3_x−10

Odp. Asymptota pionowa w x = 10, asymptota pozioma y = 7, brak asymptot uko´snych. c) f (x) = _x21₊₁

Odp. asymptota pozioma y = 0. d) f (x) = _1−x1 2

Odp. Asymptota pionowa w x = 1 lub x = −1, asymptota pozioma y = 0, brak asymptot uko´snych. Zadanie 2.1. Wyznacz przedzia ly monotoniczno´sci nast¸epuj¸acych funkcji

a) f (x) = −x3_{+ 3x}2_{+ 2x + 2}

Odp. Rosn¸aca w (1 −p10/6, 1 + p10/6), malej¸aca w (−∞, 1 − p10/6) oraz w (1 + p10/6, ∞). b) f (x) = _1−x5

Odp. Malej¸aca w (−∞, 1), rosn¸aca w (1, ∞.) c) f (x) = 7x+3_x−10

Odp. Malej¸aca w (−∞, 10) oraz w (10, ∞). d) f (x) = _x2x₊₄

Odp. Malej¸aca w (−∞, −2) oraz w (2, ∞), rosn¸aca w (−2, 2). Zadanie 3.1. Wyznacz ekstrema funkcji f je´sli:

a) f (x) = −x3+ 3x2+ 9x + 2

Odp. Min w x1 = −1, max w x2= 3.

b) f (x) = 3x+2_x2₊₁ Odp. Min w x1 = − √ 13 3 , max w x2 = √ 13 3 . c) f (x) = 9−x_x+52

Odp. Min w x1 = −9, max w x2= −1.

d) f (x) = x₂2 +_x1 Odp. Min w x1 = 1.

Zadanie 4.1. Znajd´z najwi¸eksze i najmniejsze warto´sci funkcji na wskazanych przedzia lach a) f (x) = x2+ 2x − 4, dla x ∈ [0, 2]

Odp. Warto´s´c min f (0) = −4, warto´s´c max f (2) = 4 b) f (x) = 3x−1 dla x ∈ [0, 2]

Odp. Warto´s´c min f (0) = 1/3, warto´s´c max f (2) = 1 c) f (x) = −3x2+ 6x + 9 dla x ∈ [−4, 2]

Odp. Warto´s´c min f (−4) = −63, warto´s´c max f (1) = 13. d) f (x) = x+1_x−2 dla x ∈ [3, 5]

Odp. Warto´s´c min f (5) = 2, max f (3) = 4.

Zadanie 5.1. Wyznaczy´c punkty przegi¸ecia, przedzia ly wypuk lo´sci oraz wkl¸es lo´sci funkcji a) f (x) = x2_x−2+x−2

Odp. f wypuk la dla x > 2, wkl¸es la dla x < 2. Brak punktu przegi¸ecia. b) f (x) = log(1 + x2)

Odp. f wypuk la dla x < −1 oraz x > 1, wkl¸es la dla x ∈ (−1, 1). Punkty przegi¸ecia dla x = 1 lub x = −1.

c) f (x) = x4+ 2x3− 12x2_{− 2x + 1}

Odp. Wypuk la w (−∞, −2) oraz (1, ∞). Wkl¸es la (−2, 1), punkty przegi¸ecia x = −2 lub x = 1. d) f (x) = _x2x₊₁

Odp. Wypuk la w (−√3, 0) ∪ (√3, ∞). Wkl¸es la w (−∞, −√3) ∪ (0,√3). Punkty przegi¸ecia : −√3, 0,√3.