RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE Maciej Burnecki zadania z odpowiedziami

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE

Maciej Burnecki zadania z odpowiedziami

Spis treści

1 Równania pierwszego rzędu 2

o rozdzielonych zmiennych . . . 2

jednorodne . . . 2

liniowe . . . 2

Bernoulliego . . . 2

równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego . . . 3

zastosowania . . . 3

2 Równania liniowe wyższych rzędów 3 drugiego rzędu . . . 3

zastosowania . . . 4

3 Układy równań liniowych 4 jednorodnych . . . 4

niejednorodnych . . . 4

zastosowania . . . 4

4 Przekształcenie Laplace’a 5 5 Stabilność punktów równowagi 5 6 Przykładowe egzaminy 5 Zestaw A . . . 5

Zestaw B . . . 6

Zestaw C . . . 6

Zestaw D . . . 6

7 Odpowiedzi, wskazówki 7 Równania pierwszego rzędu . . . 7

o rozdzielonych zmiennych . . . 7

jednorodne . . . 7

liniowe . . . 7

Bernoulliego . . . 7

równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego . . . 7

zastosowania . . . 7

Równania liniowe wyższych rzędów . . . 8

drugiego rzędu . . . 8

zastosowania . . . 8

Układy równań liniowych . . . 8

jednorodnych . . . 8

niejednorodnych . . . 8

zastosowania . . . 8

Przekształcenie Laplace’a . . . 8

Stabilność punktów równowagi . . . 9

Przykładowe egzaminy . . . 9

Zestaw A . . . 9

Zestaw B . . . 9

Zestaw C . . . 9

Zestaw D . . . 9 Uwaga: poniżej stosowane są pełne oznaczenia, na przykład na wartości funkcji: y(t), x(t), jednak przy rozwiązy- waniu zadań, ze względu na długość obliczeń, lepiej pisać mniej formalnie: x, y, a także wprowadzać inne, skrótowe oznaczenia.

1 Równania pierwszego rzędu

o rozdzielonych zmiennych

1. Rozwiąż równanie (a) y⁰(t) − cos(t)

sin(y(t))e^t= 0, jeśli y(t) ∈ (π, 2π),

(b) y⁰(t) − y²(t) − 2y(t) − α = 0, gdzie α ∈ R jest pewną stałą.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰(t) + y²(t) ctg(t) = 0, yπ 2



= 1, (b) (1 + t)y⁰(t) − 1 − y²(t) = 0, y (0) = 0, (c) e^ty⁰(t) = (y(t) + 1)², y(0) = 0, (d) y⁰(t) − cos(t)

sin(y(t)) = 0, y (0) = π 2, (e)p

1 − t²dy − 1 + y²(t)
dt = 0, y 1 2



=

√3

3 , (f) 3y²(t)2^−tdy − tdt = 0, y(0) = 0, (g) y⁰(t) − (y(t) + 1)²cos(t) = 0, y (0) = 0, (h) y⁰(t) − 3t²

cos(y(t))= 0, y (0) = 0.

jednorodne

1. Rozwiąż równanie

(a) t²dy + −y²(t) + y(t)t − t²
dt = 0, (b) t dy −

y(t) + te^y(t)t  dt = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t)t²− y²(t) − y(t)t − t²= 0, y(1) = 1.

liniowe

1. Dwoma sposobami, za pomocą czynnika całkującego oraz przez uzmiennianie stałej, rozwiąż równanie (a) y⁰(t) + 5y(t) = t, (b) y⁰(t) − 7y(t) = −5e^2t,

(c) y⁰(t) + 2y(t) = cos(t), (d) y⁰(t) − 3y(t) = −3 sin(t) + cos(t).

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe

(a) t dy + (y(t) − te^t) dt = 0, y(1) = 1, (b) tg t dy +

 y(t)

cos²(t) + 1 t²− 1



dt = 0, yπ 4



= lnr 4 + π 4 − π .

Bernoulliego

1. Rozwiąż równanie

(a) dy − 2y(t) + e^ty⁴(t)
dt = 0, (b) y⁰(t)y(t) + ty²(t) + 4t = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰(t) + y(t) = −2e^−3t

y²(t), y(0) = 1.

równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego

1. Rozwiąż równanie

(a) ty⁰⁰(t) + 2y⁰(t) = 0, (b) ty⁰⁰(t) + 4y⁰(t) = 0, (c) y⁰⁰(t) sin(t) − y⁰(t) cos(t) = 0, (d) y⁰⁰(t)y(t) + (y⁰(t))²= y⁰(t), (e) 7y(t) [y⁰(t)]⁵y⁰⁰(t) − [y⁰(t)]⁷− 1 = 0.

2. Rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰⁰(t) sin(t) − 2y⁰(t) cos(t) = 0, yπ

2



= 2π, y⁰π 2



= 4, (b) y(t)y⁰⁰(t) + [y⁰(t)]²− y⁰(t)[2y(t) + 1] = 0, y(0) = 1, y⁰(0) = 2.

zastosowania

1. Napełniony, stulitrowy zbiornik zawiera wodny roztwór soli o stężeniu 0, 1%. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 5 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmia- stowy.

2. Napełniony, czterystulitrowy zbiornik zawiera wodny roztwór soli o stężeniu 0, 5%. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z prędkością 20 litrów na minutę. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

3. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 1). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy podwojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.

4. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś odciętych w punkcie (1, 0). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy rzędnej punktu styczności, pomniejszonej o 4. Wyznacz równanie tej krzywej.

5. Studzimy kawę o temperaturze początkowej T0 = 90^◦C na zewnątrz budynku, z temperaturą powietrza Tp = 10^◦C. Przez pierwsze pięć minut napój ochłodził się o 20^◦C. Po jakim czasie temperatura kawy spadnie do 40^◦C?

Wskazówka: prawo Newtona orzeka, że prędkość schładzania jest wprost proporcjonalna do różnicy temperatur T (t) ciała i T_e otoczenia, to znaczy T⁰(t) = −k(T (t) − T_e), gdzie k > 0 jest stałą zależną od materiału.

6. Zamykamy w chwili początkowej t₀ = 0 obwód, składający się z szeregowo połączonych opornika o oporności R = 10 Ω, rozładowanego kondensatora o pojemności C = 5 F i dwunastowoltowej baterii. Wyznacz ilość Q(t) ładunku (w kulombach) na ścianie kondensatora oraz natężenie I(t) prądu (w amperach), w zależności od czasu.

Wskazówka: spadek napięcia na oporniku to I(t)R (prawo Ohma), a na kondensatorze Q(t)

C . Zgodnie z prawem Kirchhoffa, suma tych napięć jest równa sile elektromotorycznej źródła prądu.

7. (a) Zaobserwowano, że po roku z jednego grama substancji promieniotwórczej ubyła 0,1g. Wyznacz czas poło- wicznego rozkładu tej substancji.

(b) Czas połowicznego rozkładu pewnej substancji promieniotwórczej wynosi 5 lat. Po jakim czasie zostanie 10% masy tej substancji?

Wskazówka: prędkość rozpadu substancji promieniotwórczej jest wprost proporcjonalna do ilości tej substancji.

2 Równania liniowe wyższych rzędów

drugiego rzędu

1. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż równanie

(a) y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = e^−t, (b) y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 8y(t) = 16t².

2. Metodą uzmienniania stałych rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 3e^2t, y(0) = 3

4, y⁰(0) = 9

2, (b) y⁰⁰(t) + 5y⁰(t) + 6y(t) = −e^−t, y(0) = 7

2, y⁰(0) = −17 2 . 3. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż równanie

(a) y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) + 2y(t) = e^t, (b) y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = e^−3t, (c) y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) + 4y(t) = 2e^2t, (d) y⁰⁰(t) − 4y⁰(t) − 5y(t) = t − sin t, (e) y⁰⁰(t) + 6y⁰(t) + 5y(t) = 5t − 12e^t.

4. Metodą współczynników nieoznaczonych rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰⁰(t) + 5y⁰(t) + 6y(t) = 6t²+ 16t + 13, jeśli y(0) = 4, y⁰(0) = −7, (b) y⁰⁰(t) − y⁰(t) − 2y(t) = 2 cos(t) + 4 sin(t), jeśli y(0) = 3, y⁰(0) = 3,

(c) y⁰⁰(t) − 7y⁰(t) + 10y(t) = e^2t+ t, jeśli y(0) = 7

100, y⁰(0) = 1 10. 5. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = 3t.

zastosowania

1. Zamykamy w chwili początkowej t0 = 0 obwód, składający się z szeregowo połączonych opornika o oporności R = 3Ω, rozładowanego kondensatora o pojemności C = 0, 5F, cewki indukcyjnej o indukcyjności L = 1H i źródła zmiennego napięcia E(t) = −10 sin(t) V. Wyznacz ilość Q(t) ładunku (w kulombach) na ścianie kondensatora oraz natężenie I(t) prądu (w amperach), w zależności od czasu.

Wskazówka: spadek napięcia na oporniku to I(t)R (prawo Ohma), na kondensatorze Q(t)

C , a na cewce indukcyjnej I⁰(t)L. Zgodnie z prawem Kirchhoffa, suma tych napięć jest równa sile elektromotorycznej źródła prądu.

3 Układy równań liniowych

jednorodnych

1. Metodami Eulera i eliminacji rozwiąż układ (a)

 x⁰(t) = 2x(t) + y(t)

y⁰(t) = 3x(t) + 4y(t), (b)

 x⁰(t) = −x(t) +¹₂y(t) y⁰(t) = 4x(t), (c)

 x⁰(t) = x(t) + y(t) y⁰(t) = −2x(t) + 4y(t), (d)

 x⁰(t) = 7x(t) + 2y(t)

y⁰(t) = −17x(t) − 3y(t), (e)

 x⁰(t) = 2x(t) + 2y(t) y⁰(t) = ³₂x(t) + 4y(t),

niejednorodnych

1. Metodami: Eulera z następującym uzmiennianiem stałych oraz eliminacji rozwiąż układ (a)

 x⁰(t) = −y(t) − e^−t

y⁰(t) = 6x(t) − 5y(t) − 6e^−t, (b)

 x⁰(t) = x(t) − y(t) + sin(t) + cos(t) y⁰(t) = 2x(t) − y(t) + 2 sin(t), (c)

 x⁰(t) = −x(t) + y(t) y⁰(t) = 2x(t) + 4, (d)

 x⁰(t) = x(t) + y(t) + 3 y⁰(t) = 2x(t) − 2t − 1, (e)

 x⁰(t) = 2x(t) + y(t) + 1

y⁰(t) = 4x(t) + 2y(t), (f)^∗

( x⁰(t) = 80y(t) +_cosh(t)¹

y⁰(t) = ₄₀¹x(t) + y(t) −₄₀¹ arc tg(sinh(t)), gdzie sinh(t) =e^t− e^−t

2 , cosh(t) = e^t+ e^−t

2 oznaczają odpowiednio sinus i cosinus hiperboliczny.

zastosowania

1. Dwa napełnione roztworami soli stulitrowe zbiorniki, o stężeniach odpowiednio 0, 4% i 0, 2%, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 10 litrów na minutę. Innymi dwiema rurkami, do pierwszego zbiornika z prędkością 5 litrów na minutę wpływają czysta woda i roztwór soli o stężeniu

0, 1%. Ponadto, z drugiego zbiornika wypływa roztwór z prędkością 10 litrów na minutę. W zależności od czasu, określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Dwa napełnione, dwustustulitrowe zbiorniki, z których pierwszy zawiera wodny roztwór soli o stężeniu 0, 1%, a drugi czystą wodę, połączono rurką, którą roztwór przepływa ze zbiornika pierwszego do drugiego z prędkością 20 litrów na minutę. Innymi rurkami, do pierwszego zbiornika wpływa czysta woda z prędkością 20 litrów na minutę, a z drugiego wypływa roztwór z tą samą prędkością. W zależności od czasu określ ilości soli w obu zbiornikach. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

4 Przekształcenie Laplace’a

1. Niech a > 0. Wyznacz wzór na transformatę Laplace’a funkcji

(a) f (t) =

 1 dla 0 ¬ t < a

0 dla a ¬ t, (b) f (t) =

 t dla 0 ¬ t < a

0 dla a ¬ t, (c) f (t) =







t dla 0 ¬ t < a

−t + 2a dla a ¬ t < 2a 0 dla 2a ¬ t.

2. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe (a) y⁰(t) + 7y(t) = −14t, y(0) = 2

7, (b) y⁰(t) + 5y(t) = 6 + 5t, y(0) = 2,

(c) y⁰⁰(t) − 8y⁰(t) + 7y(t) = −5e^2t, y(0) = 3, y⁰(0) = 10, (d) y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 2e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) =1 2, (e)

 x⁰(t) = 4x(t) + y(t) y⁰(t) = −x(t) + 6y(t),

 x(0) = 0 y(0) = 1, (f)

 x⁰(t) = 3x(t) −¹₂y(t) y⁰(t) = 2x(t) + y(t),

 x(0) = 0 y(0) = −1.

5 Stabilność punktów równowagi

1. Zbadaj stabilność punktu s0równowagi układu autonomicznego (a)

 x⁰(t) = −x²(t) + sin(y(t))

y⁰(t) = −x(t) + 2 tg(y(t)), jeśli s₀= (0, 0), (b)

 x⁰(t) = −2 sin(x(t)) − ln(y(t))

y⁰(t) = 2x(t) + y(t) − e^y(t)−1, s₀= (0, 1), (c)

 x⁰(t) =px³(t) + 2e^y(t)− 2 cos(y(t))

y⁰(t) = −x(t) + 2 sin(y(t)), s₀= (0, 0), (d)

 x⁰(t) = −2e^x(t)−2+ 2 − y(t)

y⁰(t) = x(t) − 2 + y²(t), s₀= (2, 0).

6 Przykładowe egzaminy

Uwaga: pytania na kolokwiach i egzaminach mogą dotyczyć innych części obowiązującego materiału.

Zestaw A

1. Pewna krzywa na płaszczyźnie OT Y przecina oś rzędnych w punkcie (0, 7). W każdym punkcie tej krzywej tangens kąta pomiędzy osią OT a styczną jest równy potrojonej rzędnej punktu styczności. Wyznacz równanie tej krzywej.

2. Metodą Eulera rozwiąż układ

( x⁰(t) = ₂₅²y(t) y⁰(t) = 25x(t) − y(t).

3. Rozwiąż układ

( x⁰(t) = 80y(t) − 8t − 12 y⁰(t) =₄₀¹x(t) + y(t).

4. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 10y⁰(t) − 11y(t) = −22 sin(t) − 2 cos(t).

5. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 6y(t) = −15 sin(t) − 5 cos(t), y(0) = 1, y⁰(0) = 2.

Uwaga: transformata Laplace’a [L (sin(αt))] (s) = α

s²+ α², [L (cos(αt))] (s) = s

s²+ α² dla α ∈ R.

Zestaw B

1. Napełniony, pięćsetlitrowy zbiornik zawiera wodny roztwór soli o 0, 2%. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 100 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z tą samą prędkością. Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż układ

 x⁰(t) = −x(t) + 4y(t) y⁰(t) =¹₂x(t).

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 3y⁰(t) − 10y(t) = 3e^t.

4. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 1

2e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 1

8. Uwaga: L tⁿe^αt
 (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tym L e^αt
 (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) =1 s.

5. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 0) równowagi układu autonomicznego

( x⁰(t) = cos(x(t)) + tg(y(t)) y⁰(t) = −e^x(t)+ (y(t) + 1)².

Zestaw C

1. Napełniony, dwustupięćdziesięciolitrowy zbiornik zawiera wodny roztwór soli o stężeniu 0, 2%. Do zbiornika jedną rurką wpływa czysta woda z prędkością 10 litrów na minutę, a drugą wypływa mieszanina z ta samą prędkością.

Wyznacz ilość soli w zbiorniku w zależności od czasu. Przyjmij, że proces mieszania cieczy i rozpuszczania soli jest natychmiastowy.

2. Rozwiąż układ

( x⁰(t) = 2x(t) +¹₂y(t) y⁰(t) = 6x(t) + 4y(t).

3. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 7y⁰(t) − 8y(t) = −14e^−t.

4. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe ( x⁰(t) = 3x(t) −¹₄y(t)

y⁰(t) = 4x(t) + y(t),

( x(0) = 0 y(0) = −4.

Uwaga:L tⁿe^αt
 (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt
 (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

5. Zbadaj stabilność punktu P = (0, 1) równowagi układu autonomicznego

( x⁰(t) = − arc tg(2x(t)) −¹₂y²(t)), y⁰(t) = arc sin(2x(t)) + ey(t) − e^y(t).

Zestaw D

1. Rozwiąż równanie y⁰(t) + 5y(t) = 56t.

2. Rozwiąż układ

( x⁰(t) = −x(t) +⁵₂y(t) y⁰(t) =⁴₅x(t).

3. Rozwiąż układ

( x⁰(t) = x(t) + ₂₀¹y(t) y⁰(t) = 40x(t) − 4t − 6.

4. Rozwiąż równanie y⁰⁰(t) + 9y⁰(t) + 8y(t) = 48t + 54.

5. Za pomocą transformacji Laplace’a rozwiąż zagadnienie początkowe y⁰⁰(t) + y⁰(t) − 2y(t) = 8

5e^2t, y(0) = 0, y⁰(0) = 2

5. Uwaga: transformata Laplace’aL tⁿe^αt
 (s) = n!

(s − α)ⁿ⁺¹, w tymL e^αt
 (s) = 1

s − α, [L (tⁿ)] (s) = n!

sⁿ⁺¹, [L(1)] (s) = 1 s.

7 Odpowiedzi, wskazówki

Równania pierwszego rzędu

o rozdzielonych zmiennych 1. (a) y(t) = 2π − arc cos



C −sin(t) + cos(t)

2 e^t

 , (b) dla α = 1: y(t) = −1, y(t) = −1 +_C−t¹ ,

dla α > 1: y(t) = −1 +√

α − 1 tg(t√

α − 1 + C), dla α < 1: y(t) = −1 −√

1 − α, y(t) = ⁻¹⁺

√1−α+C(1+√ 1−α)e^2t

√

1−α

1−Ce^2t

√

1−α ,

gdzie stała C ∈ R.

2. (a) y(t) = 1

1 + ln sin(t) (b) y(t) = tg (ln(t + 1)) , (c) y(t) = −1 + e^t, (d) y(t) = π 2 + t, (e) y(t) = t

√1 − t², (f) y(t) = ³ rt2^t

ln 2− 2^t ln²2+ 1

ln²2, (g) y(t) = sin(t)

1 − sin(t), (h) y(t) = arc sin t³
. jednorodne

1. (a) y(t) = t lub y(t) = t − t

ln |t| + C, (b) y(t) = −t ln(C − ln |t|). 2. y(t) = t tgπ 4 + ln t

.

liniowe

1.

(a) y(t) =1 5t − 1

25+ Ce^−5t, (b) y(t) = e^2t+ Ce^7t, (c) y(t) = 2 cos(t)

5 +sin(t)

5 + Ce^−2t, (d) y(t) = sin(t) + Ce^3t. 2. (a) y(t) = e^t−e^t

t +1

t. (b) y(t) = ctg(t) lnr 1 + t 1 − t . Bernoulliego

1. (a) y(t) = e^2t

3

q

C −³₇e^7t

, (b) y(t) = ±p

−4 + Ce^−t2.

2. y(t) = e^−t·√³ 1 − 6t.

równania sprowadzalne do równań rzędu pierwszego 1. (a) y(t) =C

t + D, (b) y(t) = C

t³ + D, (c) y(t) = C cos(t) + D,

(d) y(t) = C (funkcje stałe) lub y(t) − C ln |y(t) + C| − t − D = 0 (rozwiązanie w postaci uwikłanej),

(e) y(t) = −t lub y(t) = 1 + ⁶₇Dt + C
⁷₆

D , gdzie stałe C ∈ R, D ∈ R \ {0}.

2. (a) y(t) = 2t − sin(2t) + π, (b) y(t) = 2e^t− 1.

zastosowania

1. 1. y(t) = 0, 1e^−0,05t kg. 2. y(t) = (t − 40)²

800 kg. 3. y(t) = e^2t. 4. y(t) = 4 − 4e^t−1. 5. t40= 53 ln(2) − ln(3)

2 ln(2) − ln(3) ≈ 17 min. 6. Q(t) = 60 − 60e^−0,02tC, I(t) = 1, 2e^−0,02tA.

7. (a) t0,5= ln(2)

ln(10) − 2 ln(3) ≈ 6, 6 roku. (b) t0,1= 5 ln(10)

ln(2) ≈ 16, 6 roku.

Równania liniowe wyższych rzędów

drugiego rzędu

1. (a) y(t) = te^−t+ Ce^−t+ De^−2t, (b) y(t) = 2t²− 3t +7

4 + Ce^−2t+ De^−4t. 2. (a) y(t) = 0, 75e^2t+ e^t− e^−2t, (b) y(t) = −0, 5e^−t+ 3e^−2t+ e^−3t . 3. (a) y(t) =1

6e^t+ Ce^−t+ De^−2t, (b) y(t) = −1

2te^−3t+ Ce^−t+ De^−3t, (c) y(t) = t²e^2t+ Ce^2t+ Dte^2t, (d) y(t) = −t

5 + 4 25− 1

13cos(t) + 3

26sin(t) + C₁e^−t+ C₂e^5t, (e) y(t) = t − 6

5− e^t+ Ce^−5t+ De^−t. 4. (a) y(t) = t²+ t + 1 + e^−2t+ 2e^−3t, (b) y(t) = −1

5cos(t) −7

5sin(t) +38 15e^2t+2

3e^−t, (c) y(t) = 1

10t + 7 100+1

9e^5t−3t + 1 9 e^2t. 5. y(t) = t −4

3 + Ce^−3t+ De^−t. zastosowania

1. Q(t) = −5e^−t+ 2e^−2t+ 3 cos(t) − sin(t), I(t) = 5e^−t− 4e^−2t− cos(t) − 3 sin(t).

Układy równań liniowych

jednorodnych

1. (a) Wartościami własnymi są 1, 5, odpowiadają im przykłady wektorów własnych

 1

−1

 , 1

3

 ,

co daje rozwiązanie

 x(t) = Ce^t+ De^5t

y(t) = −Ce^t+ 3De^5t, (b)

 x(t) = Ce^−2t+ De^t

y(t) = −2Ce^−2t+ 4De^t, (c)

 x(t) = Ce^2t+ De^3t, y(t) = Ce^2t+ 2De^3t, (d)

 x(t) = e^2t[C cos(3t) + D sin(3t)] , y(t) = e^2t

−⁵₂C +³₂D
cos(3t) + −³₂C −⁵₂D
sin(3t) , (e)

 x(t) = Ce^t+ De^5t y(t) = −¹₂Ce^t+³₂De^5t. niejednorodnych

1. (a)

 x(t) = e^−t+ Ce^−2t+ De^−3t y(t) = 2Ce^−2t+ 3De^−3t, (b)

 x(t) = t(cos(t) + sin(t)) + C cos(t) + D sin(t) y(t) = 2t sin(t) + (C − D) cos(t) + (C + D) sin(t), (c)

 x(t) = −2 + Ce^t+ De^−2t

y(t) = −2 + 2Ce^t− De^−2t, (d)

 x(t) = t + Ce^2t+ De^−t y(t) = −2 − t + Ce^2t− 2De^−t, (e)

 x(t) = ¹₂t + C + De^4t

y(t) = −t −¹₂− 2C + 2De^4t, (f)

 x(t) = arc tg(sinh(t)) + Ce^2t+ De^−t y(t) = ₄₀¹Ce^2t−₈₀¹De^−t.

zastosowania 1.

 x(t) = 0, 05 + 0, 35e^−0,1t

y(t) = 0, 05 + 0, 035te^−0,1t+ 0, 15e^−0,1t (wyniki w kg). 2.

 x(t) = 0, 2e^−0,1t

y(t) = 0, 02te^−0,1t (wyniki w kg).

Przekształcenie Laplace’a

1. (a) F (s) = 1 − e^−as

s , (b) F (s) = 1 − e^−as

s² −ae^−as

s , (c) F (s) = 1 − 2e^−as+ e^−2as

s² .

2. (a) y(t) =2

7 − 2t, (b) y(t) = e^−5t+ t + 1, (c) y(t) = e^t+ e^7t+ e^2t, (d) y(t) =1 2e^2t−1

2e^t, (e)

 x(t) = te^5t,

y(t) = e^5t+ te^5t , (f)

 x(t) = ¹₂te^2t y(t) = −e^2t+ te^2t.

Stabilność punktów równowagi

1. (a) niestabilny, (b) asymptotycznie stabilny, (c) niestabilny, (d) asymptotycznie stabilny.

Przykładowe egzaminy

Zestaw A 1. y(t) = 7e^3t. 2.

( x(t) = Ce^−2t+ De^t

y(t) = −25Ce^−2t+²⁵₂De^t. 3.

( x(t) = −4t − 2 + Ce^2t+ De^−t y(t) =₁₀¹t +₁₀¹ +₄₀¹Ce^2t−¹₈De^−t. 4. y(t) = sin(t) + cos(t) + Ce^−11t+ De^t. 5. y(t) = 2 sin(t) + cos(t).

Zestaw B

1. y(t) = e^−0,2t kg. 2.

 x(t) = 2Ce^t− 4De^−2t

y(t) = Ce^t+ De^−2t. 3. y(t) = −1

2e^t+ Ce^2t+ De^−5t. 4. y(t) = −1

8e^t+1

8e^2t. 5. Niestabilny.

Zestaw C

1. y(t) = 0, 5e^−0,04t kg. 2.

( x(t) = Ce^t+ De^5t

y(t) = −2Ce^t+ 6De^5t. 3. y(t) = e^−t+ Ce^t+ De^−8t. 4.

( x(t) = te^2t

y(t) = 4te^2t− 4e^2t. 5. Asymptotycznie stabilny.

Zestaw D 1. y(t) = 56

5 t − 56

25+ Ce^−5t. 2.

( x(t) = Ce^−2t+ De^t

y(t) = −⁵₂Ce^−2t+⁵₄De^t. 3.

( x(t) = ₁₀¹t +₁₀¹ + Ce^2t+ De^−t y(t) = −2t + 20Ce^2t− 40De^−t. 4. y(t) = 6t + Ce^−t+ De^−8t. 5. y(t) = −2

5e^t+2 5e^2t.