Pierwsze kolokwium z Analizy I R 4 listopada 2019

Uwagi organizacyjne: Kaøde zadanie rozwiπzujemy na osobnej kartce. Kaødπ kartkÍ naleøy podpisaÊ imieniem i nazwiskiem w≥asnym oraz prowadzπcego Êwiczenia. Prosimy o sprawdzenie, czy telefon komórkowy jest wy≥πczony a niedozwolone pomoce naukowe (np.

tablice matematyczne) schowane. W razie wπtpliwoúci prosimy o kontakt z asystentem.

Zadanie 1.Niech

A_n:=^Ó(x, y) œ R²| (x ≠ 2)²+ n(3 ≠ y) ˛ 0}, n œ N+

ZnaleüÊ i opisaÊ zbiory ^tŒ_n=1A_n i^uŒ_n=1A_n.

Uwaga: rysunek moøe byÊ pomocny, jednak nie jest wystarczajπcπ formπ odpowiedzi.

Zadanie 2. Niech X := [≠1, 1] oraz R :=

;

(x, y) œ X ◊ X | x ≠ y œ Z lub x + y +1 2 œ Z

<

.

SprawdziÊ, øe R jest relacjπ równowaønoúci w zbiorze X, znaleüÊ klasy^Ë1₂^È,^Ë1₃^È,^Ë1₄^È oraz narysowaÊ zbiór R.

Zadanie 3. ObliczyÊ granice (lub wykazaÊ rozbieønoúÊ) ciπgów:

(a) an:= 1 n

Òn

nⁿ+ (n + 1)ⁿ+ · · · + (n + n)ⁿ, (c) cn:= n· 3ⁿ+ n²· 2ⁿ n!≠ 5 · 7ⁿ , (b) b_n:=

AÔ_n a + p 1 + p

Bn

, a > 0, 1 + p > 0, (d) d_n:=

Ÿn k=1

3

1 ≠ k 2n + 1

4 .

Zadanie 4. UdowodniÊ, øe dla n œ N, n ˇ 7 zachodzi nierównoúÊ (n!)²ˇ nⁿ⁺¹. Powodzenia !!!

Katarzyna Grabowska Pawe≥ Kasprzak Marcin Koúcielecki Jacek Krajczok

ZADANIE

1

^.

^

rt

r in

(

^x-

2)

^{' t 3h -}

my

^{fo r}

is

'

M

÷ : :* : ^: :

f

Tnoaewazmy

^{, Ze}

^An

^a

^Anti

^.

Istotuie

,

jes.li

^{(x,y ) E Au ,}

+2h

In (

^{× -}

25+3

^S

_Y

Y

to take (^x,

g)

^E

^Anti golyz

^#2

¥ ⁽

^{x -}

²⁾

^'f

Luc

^{x-2)' f}

_y

w

tei sytuacji few ^An

⁼

^{Ase {}

^Cx,y

⁾

^{: Cx-}

^{2) 43kg }}

^{tan obsrow}

mad

paoabolq

^{o ntwuauiu}

y=3tCx ^-212

^{coma a}

^buegiem

^.

2

defiuicji seeing

^abioro'd

wyuikee

^{, Ze}

few ^An

⁼

^{{ (}

^X,

^{y )}

^:

^Fire

^{IN :}

⁽

^x-

²⁾

^'th

⁽

^3-y

⁾

^fo

^}

^{= *}

T

Avualiseejeeuy

^{waereuek : Cx-2) 'f n}

⁽ _y

^-3

⁾

^.

Jes

^'ll

y

^{-3 so olla}

2-

aolueego

^{n nie}

^{auctioning A. y)} spetueioyigcycu

uienowuos'd^. Lewa shroud

jest

^bowieue

reicujeueuee

^.

Gay ^y

^{=3 , tan prance shroud}

jest

^0,

olostoyieeeey

^soccer

'p20me

^x-2

_y

^{=3 olla}

aowoluego

^n.

yay y

^{> 3}

^mrozeeeey poouielii

^obie

_snowy

reieoowuosii _pnez (

y

^-3

)

(^X-2)2

on Dwi

ustalouych

^{G.y) sawhe}

auoioleieeeey

^{me IN}

^speiuia

^-

joie ^te

^{reieoowuos'd .}

*

=

{ Cay ⁾

^:

y

^{> 3}

}

^u

{ ⁽

2,3)

}

x

C , - \ ^-

:* : ^: .tn?:.:.:e:...x...

Eh .IT?EYissisaT:cmgpr17negiuaieonk.waowYL _:\ /

Y^{-- X} y= ^{x th} y ^{= x-I} y= ^{xtz y = x-z}

- - - . .

y= ^-

xttz _y=

^-

xt3z _y=

^-x-

tz _y=

^-x-

Z

Relay

^'d

jest

^{oswrotue ,}

^golyz

^{x- x -OEZ,}

syeuehyaeet

^,

guy

^'t

jeili

^x-

YE

^{21 to take}

^y

^{- XEZ oraz}

jeilixtyttz

^{EZ to take}

ytxttz

^E?

Pnedeoaeeiosc

^'

sprawokocmeynrpatmy.ec ^{tug preypaolki}

^:

G

)

^X-_y^{-- k i}

y

^{- z= l x- 2= kte e I}

(2)

xtyt

the

^{= k}

ytzttz

^{= l =3 X -2 = K- l C-21 ok}

(3)

^x-_y ^{= k i}

ytzttz

^{- l =3 x t 2 t}

^I

^{= Kt LEZ ok.}

×

. . .

.

[ Ya ^]

^--

^{

^'

kid

^,-

^Yai

^-

^e.

⁰

}

¥.t%I=l'

^',

^\

, , ^-

^{Itu )}

^-

^{Latif biz 's}

^{. -}

^E

^{. -}

^E3

"

, ,

ZA DANIE 3

-

Qu⁼

In Fh

^{" t (htt)" t - - -t (htu)"}

Iiams

^{au s}

IFI

11

"

Mn _{E Qu} f

2T

^-

cigg

^n'est

ograeeiuouy

f Qu f

tiny

,

an =L ^no, pool^{Stewie tr. o}

" " the^{de U'}

pgo.ch

^.

2. 2.

The

2

bn

^--

( T.at?-)h-- ⁽

^{I +}

"

¥55

bowlermy ^lim

M¥1

⁼

¥4 _Cfakt

_{a cioiucei}

)

n^-so it p ht

p

bn

exp

( FEEL )

^{= a Gtp)}

n3^{" t} if

2h

Cu ^{= -}

n

!

^{- 7.5k}

II ^#

^O

⁽

^co

^{pocoiuuo Gyi}

^{wiococouee 2 ocoiueei)}

h2h h2 3h

- f cu f ^-

n! ^{I n}! _Cu - o

L u^-so

Odu

^-so

I ::÷÷

^"

_{¥0 Guy ciggi )}

ale dostateuuie OlleEyck ^M.

del Cr ⇐ _Ice

^-

3¥ ⁾

^-

⁽

^t

2¥

,

)=

= (^{Intl -} 1)(^2nA-2) (^2htn-3) ^{.. . (Intr-h)}

-

(Lute

)

^"

=

C2hH_

m ! (^Intl)^"

du

d ⁼

Cht2nzyntI

^{(2h23! ° m ! (Intl)" =}

=

(2h+2)(2h41)

)

^{" =}

=

ie

^{- n -}

_E

-

fu

^{-so I,}

• exp

fling ^{-3¥ )=E}

Skaro

dhtyu _of

^→

^Yes

^{I to owe} owstateceeie

oleezyclerr

of

^h-N

duty

^{< as 1}

^{duty Cholas 22dm}

^{, L - -- C L}

^Intl

duty ^{can date}

n^-

oof

^ust

°

live du

^-0

u^-so

ZADA NIE 4

.

David prowaolzimy ^{melody inoleekcji}

nuateeuatycsuej

^.

Sprawolaocuey

sateen prawobniwosc

^'

^waereukee

^old

a-

7

( ^{7 !} )

'

5,78

7

! 32 7% reieoocouoic

^'

^aadeoobni !

2- ₃

^-

G. 5.6.17 ^Z

^{7 -7 -}

⁷

^-

¥

*

^-

36.20=720 ^← 49.7=2801-63--343

htykonujany ^Krok ireokekgjrey

^:

2050

^' 2-

hey

^{, Ze waoureek seechoke}

'

olla pewueego

^{ME IN.}

Spmrwobnaeeey

^{wocouuek old Mtl ' -}

( (

^Mtl

^{) !} )

^'

I _cut

^nth

Cm ! ⁾

^-

Cute

^>?

^entry

^{- '}

Cutt

(

^m

! ⁾

^{' 3}?

^{Cute )}

^"

- I

[ _to

.

uieoowuosc jest ^viwuowazue dowoobnouej (

ⁿ

! ⁾

^'

^z mutt

^>

_@

ta

)

^"'

Tsnatozeeeie ^[ to

^tuba

pokazoic

iuouekcgjue

n

"'

>

Cnn )

^"

FIJI

^{, > e- ⇐}

ninny

^"

It

µ

^{- htt} _#

_et

^>

_f-

Dla owstatecseeie

deezych

^{n (e-}

Mt'

>

tg

sateen

rice

^-

¥ )

^{"" >}

I

^{> I}

Powstaje ^wise pytaeeie ^ay

^a-7

jest juzdostateczeeie

^duze.

my

u ^-

¥

^"'

-

a- I

^'

^{a. u it :}

=

a

^-

E) ^at J

^">

^H

^-

^{E) (}

^It

f =s

^-

^Etf

^=L

mziertoowueuwsigo

^aadeoobi

_gag

jest ^>-I

.cn#T=chfxTywystowceycoiscnsh.wystaoceycoigcaualez'

^I

¥H pierwne ^takin izeby

^{nth>I i}

m2

(

^{s -}

¥ )

^{htt > I}

n^-- s s

(

^{e -}

Az ⁾

^{h =}

tf

^{s I}

a-a 4

(

^{t -}

f)

^{'= 4.}

#

⁼

IF

^>I.

④ ^Leacleodzi

^{olla u > 2 , Lateen}

^Krok ircocukcgjrey ^post

wykouaeeeywseaegoleeos.ci

^{olla a > 7.}