W YKŁAD 3
TEORIA CIENKIEGO PROFILU
LOTNICZEGO
T
EMATYKA I CEL WYKŁADU:
Przedstawić koncepcję modelowania dwuwymiarowego przepływu potencjalnego płynu nieściśliwego bazującego na wykorzystaniu rozłożonych nośników cyrkulacji
Zastosować to podejście do przepływu w otoczeniu cienkiego profilu lotniczego
Wyprowadzić i przedyskutować znaczenie formuł opisujących siłę i moment aerodynamiczny oraz współczynniki aerodynamiczne
Określić położenie środka parcia i środka aerodynamicznego
Zademonstrować wykorzystanie teorii cienkiego profilu do profilu w klapą
1. Pole prędkości indukowane przez linię wirową na płaszczyźnie
Wyprowadziliśmy wcześniej prawo indukcji pola prędkości dla punktowego wiru potencjalnego.
W zapisie zespolonym prawo to ma postać (środek wiru położony jest w punkcie
z
0 x
0iy
0)
0 0 0
2 2 2
0 0 0 0
0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
( )
( ) 1
2 2 2 ( ) ( )
2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
z z x x i y y
V z i i i
z z z z x x y y
y y x x
i u i
x x y y x x y y
Zatem, składowe kartezjańskie indukowanego pola prędkości wyrażają się następująco
0 0
2 2 2 2
0 0 0 0
2 ( ) ( )
,2 ( ) ( )
y y x x
u
x x y y
x x y y
Rozważmy teraz pole prędkości indukowane przez cyrkulację rozłożoną w sposób ciągły na linii opisanej równaniami
x X s y ( ), Y s ( )
.
Liniowa gęstość cyrkulacji na tej linii opisana jest funkcją
( )
s .Pole prędkości indukowane przez linię wirową zadane jest wzorami
2 2 2 2
0 0
1 ( )[ ( )] , 1 ( )[ ( )]
2 [ ( )] [ ( )] 2 [ ( )] [ ( )]
S S
s y Y s s x X s
u ds ds
x X s y Y s x X s y Y s
Jeżeli prędkość indukowana przez linię wirową w pewnym punkcie leżącym na tej linii jest skończona to:
Prędkość normalna obliczona wzdłuż dowolnego odcinka przecinającego linię wirową w tym punkcie zmienia się w sposób ciągły.
Prędkość styczna obliczona wzdłuż dowolnego odcinka przecinającego linię wirową w tym punkcie zmienia się skokowo, przy czym wielkość skoku składowej stycznej jest równa wartości funkcji
w tym punkcie linii.Uzasadnienie ostatniego stwierdzenia polega na wykorzystaniu Twierdzenia Stokesa zastosowanego do zacieniowanego obszaru na rysunku
2
1
( )
s
ABCD ABCD s
d dxdy s ds
υ s
oraz ciągłości prędkości normalnej.
Ćwiczenie: przeprowadź rozumowanie prowadzące do wniosku, że w punkcie na LW mamy
Xlim
P Xlim
P
P(
P)
s
υ
υ
Model profilu o niewielkiej grubości
Wariant 1
Opływ profilu modelowany jest przez linię wirową o kształcie takim jak linia szkieletowa (LS) profilu. Rozkład cyrkulacji wzdłuż tej linii przyjmujemy tak, aby była ona linią prądu.
Jeśli wygięcie LS jest małe to można przyjąć dalsze uproszczenia ułatwiające rachunki …
Wariant 2 (docelowy)
Cyrkulacja rozłożona jest wzdłuż cięciwy profilu tj. na odcinku
[0, ]
c położonym na osiOx
Z uwagi na małe wygięcie linii szkieletowej uznajemy że prędkość indukowana przez wirowość rozłożoną wzdłuż cięciwy w punkcie
[ , ( )]
x Y x jest równa z przybliżeniu prędkości indukowanej w punkcie[ ,0]
x .W konsekwencji przyjętych założeń upraszczających, prędkość indukowana normalna do linii szkieletowej w punkcie
[ , ( )]
x Y x jest w przybliżeniu równa,n
[ , ( )] [ ,0] [ , ( )]
x[ ,0] [ , ( )]
yw
x Y x u x
n x Y x
x n x Y x
Jednostkowy wektor normalny w punkcie
[ , ( )]
x Y x linii szkieletowej jest równy2 2
( ) 1
( ) , 1
1 [ ( )] 1 [ ( )]
x y
n Y x Y x n
Y x Y x
Zatem
,
0
[ , ( )] [ ,0] [ , ( )] [ ,0] [ , ( )]
1 ( ) [ ,0] ( ) [ ,0] [ ,0]
2
n x y
c
w x Y x u x n x Y x x n x Y x
u x Y x x x d
x
Warunek nieprzenikalności profilu - całkowity wektor prędkości jest styczny do linii szkieletowej, czyli
,n ,n
0
V
w
Z rysunku wynika, że
,n
sin( ) ( ) { [ ( )]} [ ( )]
V V
V
V
arctg Y x V
Y xWarunek nie przenikalności przyjmuje postać (r-nie podstawowe teorii cienkiego profilu)
0
1 ( )
[ ( )] 0
2
c d
V Y x
x
Wprowadzimy sprytną zmianę współrzędnych …
1 1
0 2
c (1 cos ) , x
2c (1 cos )
Wówczas
d
12c sin
oraz0 1 cos 0 0 .
1 cos 2 .
pkt natarc c
ia pkt splywu
Rozważmy przypadek cienkiego profilu symetrycznego (w tej teorii jest nieodróżnialny od płaskiej płytki) tj. przyjmijmy, że
Y x ( ) 0
.Podstawowe równanie teorii przyjmuje postać
0 0
1 ( )sin
2 cos cos
d V
Z rozważań nt. prędkości indukowanej przez LW wynika, że musimy postawić warunek
( ) 0
W przeciwnym razie prędkość styczna w punkcie wpływu ma skok czyli nie spełnia warunku Kutty-Żukowskiego!
Poszukiwanie rozwiązanie zaczniemy od wprowadzenia tzw. całek Glauerta …
0
0 0
0
0 0 0
sin
cos , 0,1, 2,...
cos cos sin
sin sin
cos , 0,1, 2,...
cos cos
n
n d n
n d n n
W szczególności …
0 0
cos
cos cos d
Rozważmy funkcję
1( ) K cos / sin
Mamy 1
0 0
0 0
1 ( )sin cos
2 cos cos 2 cos cos 2
d K d K
Jeśli dobrać stałą
K
tak, aby 12K V
K 2 V
to funkcja1
( ) 2 V cos / sin 2 V cot
spełnia równanie!
Niestety, funkcja
1( )
nie spełnia warunku K-Ż !!!!Ze względu na liniowość problemu, otrzymany rozkład można zmodyfikować o dowolną funkcję
2( )
, byle spełniała ona równość2 0 0
( )sin cos cos 0
d
Pierwszy typ całki Glauerta dla
n 0
daje0 0
1 0
cos cos d
Wobec tego, poszukiwana funkcja to 2
( )
sin
K
. Pełny rozkład cyrkulacji ma postać( ) 2 cos
sin sin
V
K
Spełnienie warunku Kutty-Żukowskiego zapewnia wybór
K 2 V
.Ostatecznie, rozkład gęstości cyrkulacji zadany jest wzorem
2 12 1
1 1 2
2 2
2cos ( ) cos 1
( ) 2 2 2 cot( )
sin 2sin( )cos( )
V V V
Zauważmy, że na krawędzi natarcia gęstość cyrkulacji staje się nieograniczona!!!
Obliczmy całkowity ładunek cyrkulacji. Mimo osobliwości, ładunek ten jest skończony
0
1 cos
( ) 2
sin
c
d V
0
2 sin
c
0
(1 cos )
d V c d V c
Siła i moment aerodynamiczny w teorii cienkiego profilu
Ze wzoru Kutty-Żukowskiego wynika, że siła nośna równa jest
( sin
xcos
y)
L
V
L e e
czyli wartość tej siły to 2 L 12 2 L
q
L V c C V c C q c
Współczynnik siły nośnej równy jest
C
L 2
Nachylenie (liniowej) charakterystyki
C
L C
L( )
dC
L2 d
UWAGA: w tradycji polskiej współczynnik siły nośnej oznaczany jest zazwyczaj symbolem
C
z (a współczynnik oporu -C
x).Obliczymy moment aerodynamiczny względem krawędzi natarcia.
Dla małych kątów natarcia mamy
0
0 0 0 0
2 2 2
1 1 1
2 2 2
0 0
1 1 2 2 1 1
2 2 4 4
2
( ) ( ) ( ) ( )
1 cos
(1 cos )( 2 ) sin sin
sin
c c c c
M x dL x x L x dx V x x dx V x x dx
V c V c d V c d
V c L
V c c c
Z przeprowadzonego rachunku wynika, że dla małych kątów natarcia punkt przyłożenia siły aerodynamicznej (tzw. środek parcia) na cienkim profilu symetrycznym jest położony w odległości ¼ cięciwy od noska profilu.
UWAGA:
W aerodynamice lotniczej przyjęła się umowa odnośnie znaku momentu – moment obracający profil odwrotnie zegarowo (czyli opuszczający nosek, a więc zmniejszający kąt natarcia) uznaje się za ujemny. Wg tej umowy moment działający na profil symetryczny pod dodatnim kątem natarcia jest ujemny.
Dostosowanie otrzymanej wcześniej formuły do w/w umowy sprowadza się do zmiany znaku
0 14
M c L
Współczynnik momentu aerodynamicznego definiujemy następująco
0 14
,0 2 2
1 1
4 4
Lm
M c L L
C C
q c
q c
q c
Moment względem innego punktu P o współrzędnej
x x
Pobliczamy następująco
0
14
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
c c
P P P P
M
M x x dL x x dL x x L c x L
W terminach współczynników aerodynamicznych …
14
, 2 ,0
( ) 1
( )
4
P
m P P L m P L
c x L
C x C C x C
q c
W szczególności, dla
x
P
14 , mamy oczywiście Cm c, /4 0
Widzimy, że współczynnik momentu aerodynamicznego względem
x
P
14 (czyli środka parcia) nie zależy (w zakresie małych kątów natarcia) od kąta natarcia czyli, /4
0 dC
m cd
Wynika z tego, że środek parcia jest – dla cienkiego profilu symetrycznego – jednocześnie środkiem aerodynamicznym (SA), tj. takim punktem, że moment aerodynamiczny (względem SA) nie zależy od kąta natarcia.
Rozszerzmy rozważania – rozważmy teraz opływ cienkiego profilu niesymetrycznego.
Podstawowe równanie teorii ma teraz postać
0
1 ( )
[ ( )] 0
2
c
d
V Y x
x
a – po zastosowaniu tej samej co poprzednio zamiany zmiennych
0 0 0
1 ( )sin
[ ( )]
2 cos cos
d V V Y x
Rozwiązanie tego przypadku jest bardziej złożone. Poszukujemy rozkładu cyrkulacji w postaci szeregu
0 1
cos 1
( ) 2 sin
sin
n nV A A n
Po podstawieniu do równania podstawowego otrzymujemy
0
0
0 1 0
0 0
cos 1 1 sin sin
[ ( )]
cos cos
n ncos cos
A n
d A d Y x
Wykorzystując wprowadzone wcześniej całki Glauerta, otrzymujemy
0 0 0
sin sin cos cos cos
n d n
0 0 0
0 0 0
1
0
cos 1 1 cos
cos cos cos cos cos cos
pierwsza calka Glauerta dla n
d d d
Równanie teorii cienkiego profilu sprowadza się do
0 0 0
1
cos [ ( )]
n n
A
A n Y x
Równoważnie
0 0 0
1
[ ( )] ( )
ncos
n
Y x A
A n
Pomysł na wyznaczenie współczynników
A
j, j 0,1, 2,...
jest prosty i sprowadza się do: wyrażenia funkcji
Y Y x ( )
jako zależności od współrzędnej
w przedziale[0, ]
, obliczenia współczynników cosinusowego szeregu Fouriera tak otrzymanej funkcji.
Oznaczmy zatem
P ( )
0 Y x [ ( )]
0 . Rozwijamy funkcjęP ( )
0 w szereg0 0 0
1
( )
ncos
n
P B
B n
Z teorii szeregów Fouriera wynika, że
0
0 0
1
( ) ,
n 2( ) cos
B P d B P n d
Otrzymujemy zatem związki
0 0 0
0 0
1
( )
1( )
A B P d A P d
0
2
( ) cos
n n
A B P n d
W ten sposób wyznaczyliśmy rozkład cyrkulacji (warunek Kutty-Żukowskiego
( )
0
jest automatycznie spełniony!)0
1
cos 1
( ) 2 sin
sin
n nV A A n
Całkowita cyrkulacja związana z profilem to
0
0 0 0 1 0
( )
2( )sin (1 cos ) sin sin
c
n n
d
cd cV A d A n d
Ponieważ
0
(1 cos )d
,0
2 1
sin sin
0 1
gdy n
n d
gdy n
to całkowita cyrkulacja zadana jest wzorem
0 12 1
( )
cV A A
Stąd, siła nośna
L
i jej współczynnikC
L są równe1 1 2 1
0 2 1 2 0 2 1
2 ( ) 2 ( )
L V
A A V c
A A q c
0 12 1
2 ( )
C
L A A
Konkretnie …
1 0
2 ( )(cos 1)
C
LP d
Jak widać, nachylenie charakterystyki
dC
L2
d
, czyli nie zależy od wygięcia linii szkieletowej.Komentarz: w Wykładzie 2 pojawiło się zadanie polegające na wykazaniu, że nachylenie charakterystyki wsp. siły nośnej dla wygiętego profilu Żukowskiego o zerowej grubości (łuk okręgu) jest równe dCL
2 (1 2
2)
d
f
. Zauważmy, że poprawka jest proporcjonalna do kwadratu względnego wygięcia profilu, czyli dla małych wartości tego wygięcia jest bardzo mała. Zaprezentowana teoria cienkiego profilu „nie widzi” tej poprawki (dlaczego?!)Otrzymana formuła dla współczynnika siły nośnej może być zapisana w postaci
0
)
L
2 (
C
gdzie 0 1
0
( )(cos 1)
P d
jest (ujemnym) kątem natarcia, przy którym wygięty profil nie wytwarza siły nośnej.
Obliczmy dalej moment aerodynamiczny względem punktu (krawędzi) natarcia
1 2
0 4
0 0 0
1 2 2
0 2
0 1
2 2 2
1
0 2
0 1 0
( ) ( ) ( )sin
cos 1
sin sin sin
(1 cos ) (1 cos )sin sin
(1 cos ) (1 cos )
c c
n n
n n
M V x x dx V x x dx V c d
V c A A n d
V c A d A n d
Pojawiły się następujące całki
2 2
0 0
12
(1 cos ) d sin d
0 0 0
1 2
2 1
(1 cos )sin sin sin sin sin sin 2 4 2
0 {1, 2}
gdy n
n d n d n d gdy n
gdy n
Otrzymujemy wzór
1 2 2 1
0 4
(
0 1 2 2)
M V c A
A A
Ponownie, dostosowując konwencje znaków do „zwyczajów aerodynamicznych” mamy
2 2 2
1 1 1 1
0 4
(
0 1 2 2)
2(
0 1 2 2)
M V c A
A A A A A q c
Współczynnik momentu aerodynamicznego jest zatem równy
1 1 1
,0 2
(
0 1 2 2)
4[
L(
1 2)]
C
m A A A C A A
Z wcześniejszych rozważań wynika, że
,0 1 1 2 2 1
, /4 m 4 L 4
( )
4( )
C
m c C C
A A
A A
Otrzymana wartość momentu nie zależy od kąta natarcia. Wnioskujemy, że punkt
x
14c
nie jest tym razem środkiem parcia (bo moment aerodynamiczny względem tego punktu nie jest na ogół równy zeru), ale jest środkiem aerodynamicznym.
Współrzędna środka parcia to taka wartość
x
P, że1 2 1 1 1 1
0 1 2 0 1 1 2
2 2 2 2 2
1 1
0 2 1 0 2 1
1 2 1 2
( ) [ ( )]
2 ( ) 2 ( )
( ) 1 ( )
4 4 4
P
L L
CL
q c A A A c A A A A
x A A q c A A
c c c
A A A A
C C
Cienki profil symetryczny z klapą
Na koniec omówimy krótko prosty model cienkiego profilu symetrycznego z klapą (zakładamy, że wychylenie klapy jest niewielkie)
Linia szkieletowa i jej pochodna
0 [0, ]
( ) ( ) ( , ]
f
f f
gdy x x Y x tg x x gdy x x c
,x
f (1 f c )
0 [0, )
( ) [ , ]
f f
gdy x x Y x tg gdy x x c
Stosujemy - jak poprzednio - zmianę współrzędnych
x
.Wyznaczamy wartość współrzędnej kątowej odpowiadającej punktowi obrotu (zawiasowi) klapy
1
(1 )
2(1 cos ) (1 )
f f
x f c c f c
Stąd
cos
f 2 f 1
Np. dla f
0.15
mamy
f arccos( 0.7) 134.43
0. Funkcja P( )
opisana jest następująco1 2
0 [0, )
( ) [ (1 cos )]
[ , ]
f f
P Y c gdy
tg gdy
Obliczymy współczynniki Fouriera występujące we wzorach na siłę nośną i moment aerodynamiczny. Mamy
0
1
( )
1( ) 1
f
P d tg d
ftg
Zatem
A
0 (1
f) tg
I dalej …
1
0
2
( )cos
2( ) cos
2( )( sin )
2sin
f
f f
A P d tg d tg tg
2
0
2
( )cos 2
2( ) cos 2
1( )( sin 2 )
1sin 2
f
f f
A P d tg d tg tg
Współczynnik siły nośnej symetrycznego cienkiego profilu z klapą jest zadany wzorem
1 1
0 2 1
2 ( ) 2 2 (1 sin )
2 2( sin )
L f f
f f
C A A
tg
Współczynnik momentu aerodynamicznego jest równy
1 1
,0 2
(
0 1 2 2)
C
m A A A
Po podstawieniu otrzymujemy
1
,0 2 2
[ (2 cos )sin ]
m f f f
C
Obliczmy wartości współczynników przy kącie wychylenia klapy dla profilu w klapą 15%
(czyli f
0.15
). Wiemy, że
f 134.4
0.2(
f sin
f) 3.02
1
2
[
f (2 cos
f)sin
f] 1.36
Otrzymaliśmy następujące zależności
2 3.02
C
L
, ,02
1.36 C
m
Współczynnik momentu
C
m c, /41 2
2 1
, /4 4 4
14
( ) ( sin 2 sin )
(sin 2 sin )
m c f f
f f
C
A A
tg
tg
Dla klapy 15%
C
m c, /4 0.395
Zadanie: Przeprowadź analogiczna analizę dla cienkiego profilu symetrycznego z klapą przednią (slotem). Przyjmij, że zawias klapy znajduje się w odległości f c od noska profilu.
Wyznacz wartość liczbową współczynników stojących w wyrażeniach na