• Nie Znaleziono Wyników

LOTNICZEGO TEORIA CIENKIEGO PROFILU 3 W

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "LOTNICZEGO TEORIA CIENKIEGO PROFILU 3 W"

Copied!
31
0
0

Pełen tekst

(1)

W YKŁAD 3

TEORIA CIENKIEGO PROFILU

LOTNICZEGO

(2)

T

EMATYKA I CEL WYKŁADU

:

Przedstawić koncepcję modelowania dwuwymiarowego przepływu potencjalnego płynu nieściśliwego bazującego na wykorzystaniu rozłożonych nośników cyrkulacji

Zastosować to podejście do przepływu w otoczeniu cienkiego profilu lotniczego

Wyprowadzić i przedyskutować znaczenie formuł opisujących siłę i moment aerodynamiczny oraz współczynniki aerodynamiczne

Określić położenie środka parcia i środka aerodynamicznego

Zademonstrować wykorzystanie teorii cienkiego profilu do profilu w klapą

(3)

1. Pole prędkości indukowane przez linię wirową na płaszczyźnie

Wyprowadziliśmy wcześniej prawo indukcji pola prędkości dla punktowego wiru potencjalnego.

W zapisie zespolonym prawo to ma postać (środek wiru położony jest w punkcie

z

0

  x

0

iy

0)

0 0 0

2 2 2

0 0 0 0

0 0

2 2 2 2

0 0 0 0

( )

( ) 1

2 2 2 ( ) ( )

2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )

z z x x i y y

V z i i i

z z z z x x y y

y y x x

i u i

x x y y x x y y

  

  

  

 

   

      

    

 

    

     

Zatem, składowe kartezjańskie indukowanego pola prędkości wyrażają się następująco

0 0

2 2 2 2

0 0 0 0

2 ( ) ( )

,

2 ( ) ( )

y y x x

u

x x y y

x x y y

 

       

(4)

Rozważmy teraz pole prędkości indukowane przez cyrkulację rozłożoną w sposób ciągły na linii opisanej równaniami

xX s y ( ),  Y s ( )

.

Liniowa gęstość cyrkulacji na tej linii opisana jest funkcją

 

( )

s .

Pole prędkości indukowane przez linię wirową zadane jest wzorami

2 2 2 2

0 0

1 ( )[ ( )] , 1 ( )[ ( )]

2 [ ( )] [ ( )] 2 [ ( )] [ ( )]

S S

s y Y s s x X s

u ds ds

x X s y Y s x X s y Y s

 

         

(5)

Jeżeli prędkość indukowana przez linię wirową w pewnym punkcie leżącym na tej linii jest skończona to:

 Prędkość normalna obliczona wzdłuż dowolnego odcinka przecinającego linię wirową w tym punkcie zmienia się w sposób ciągły.

 Prędkość styczna obliczona wzdłuż dowolnego odcinka przecinającego linię wirową w tym punkcie zmienia się skokowo, przy czym wielkość skoku składowej stycznej jest równa wartości funkcji

w tym punkcie linii.

Uzasadnienie ostatniego stwierdzenia polega na wykorzystaniu Twierdzenia Stokesa zastosowanego do zacieniowanego obszaru na rysunku

2

1

( )

s

ABCD ABCD s

ddxdys ds

  

υ s  

oraz ciągłości prędkości normalnej.

Ćwiczenie: przeprowadź rozumowanie prowadzące do wniosku, że w punkcie na LW mamy

X

lim

P X

lim

P

P

(

P

)

  s

υ

υ  

(6)

Model profilu o niewielkiej grubości

Wariant 1

Opływ profilu modelowany jest przez linię wirową o kształcie takim jak linia szkieletowa (LS) profilu. Rozkład cyrkulacji wzdłuż tej linii przyjmujemy tak, aby była ona linią prądu.

Jeśli wygięcie LS jest małe to można przyjąć dalsze uproszczenia ułatwiające rachunki …

(7)

Wariant 2 (docelowy)

 Cyrkulacja rozłożona jest wzdłuż cięciwy profilu tj. na odcinku

[0, ]

c położonym na osi

Ox

 Z uwagi na małe wygięcie linii szkieletowej uznajemy że prędkość indukowana przez wirowość rozłożoną wzdłuż cięciwy w punkcie

[ , ( )]

x Y x jest równa z przybliżeniu prędkości indukowanej w punkcie

[ ,0]

x .

(8)

W konsekwencji przyjętych założeń upraszczających, prędkość indukowana normalna do linii szkieletowej w punkcie

[ , ( )]

x Y x jest w przybliżeniu równa

,n

[ , ( )] [ ,0] [ , ( )]

x

[ ,0] [ , ( )]

y

w

x Y xu x

n x Y x  

x n x Y x

Jednostkowy wektor normalny w punkcie

[ , ( )]

x Y x linii szkieletowej jest równy

2 2

( ) 1

( ) , 1

1 [ ( )] 1 [ ( )]

x y

n Y x Y x n

Y x Y x

  

    

 

 

Zatem

,

0

[ , ( )] [ ,0] [ , ( )] [ ,0] [ , ( )]

1 ( ) [ ,0] ( ) [ ,0] [ ,0]

2

n x y

c

w x Y x u x n x Y x x n x Y x

u x Y x x x d

x

  

 

 

   

    

 

Warunek nieprzenikalności profilu - całkowity wektor prędkości jest styczny do linii szkieletowej, czyli

,n ,n

0

V

w

(9)

Z rysunku wynika, że

,n

sin( ) ( ) { [ ( )]} [ ( )]

VV

 

 V

 

 V

arctg Y xV

Y x

Warunek nie przenikalności przyjmuje postać (r-nie podstawowe teorii cienkiego profilu)

0

1 ( )

[ ( )] 0

2

c d

V Y x

x

  

  

   

(10)

Wprowadzimy sprytną zmianę współrzędnych …

1 1

0 2

c (1 cos ) , x

2

c (1 cos )

      

Wówczas

d  

12

c sin 

oraz

0 1 cos 0 0 .

1 cos 2 .

pkt natarc c

ia pkt splywu

  

   

     

       

Rozważmy przypadek cienkiego profilu symetrycznego (w tej teorii jest nieodróżnialny od płaskiej płytki) tj. przyjmijmy, że

Y x  ( )  0

.

Podstawowe równanie teorii przyjmuje postać

0 0

1 ( )sin

2 cos cos

d V

    

      

Z rozważań nt. prędkości indukowanej przez LW wynika, że musimy postawić warunek

( ) 0

  

W przeciwnym razie prędkość styczna w punkcie wpływu ma skok czyli nie spełnia warunku Kutty-Żukowskiego!

(11)

Poszukiwanie rozwiązanie zaczniemy od wprowadzenia tzw. całek Glauerta …

0

0 0

0

0 0 0

sin

cos , 0,1, 2,...

cos cos sin

sin sin

cos , 0,1, 2,...

cos cos

n

n d n

n d n n

  

  

    

 

 

  

W szczególności …

0 0

cos

cos cos d

  

  

Rozważmy funkcję

 

1

( )  K cos / sin  

Mamy 1

0 0

0 0

1 ( )sin cos

2 cos cos 2 cos cos 2

d K d K

   

 

         

Jeśli dobrać stałą

K

tak, aby 12

K   V

  K   2 V

to funkcja

1

( ) 2 V cos / sin 2 V cot

   

    

 

spełnia równanie!

(12)

Niestety, funkcja

 

1

( )

nie spełnia warunku K-Ż !!!!

Ze względu na liniowość problemu, otrzymany rozkład można zmodyfikować o dowolną funkcję

 

2

( )

, byle spełniała ona równość

2 0 0

( )sin cos cos 0

    d

  

Pierwszy typ całki Glauerta dla

n  0

daje

0 0

1 0

cos cos d

  

Wobec tego, poszukiwana funkcja to 2

( )

sin

 

K

. Pełny rozkład cyrkulacji ma postać

( ) 2 cos

sin sin

V

K

  

 

 

Spełnienie warunku Kutty-Żukowskiego zapewnia wybór

K   2 V

.

(13)

Ostatecznie, rozkład gęstości cyrkulacji zadany jest wzorem

2 12 1

1 1 2

2 2

2cos ( ) cos 1

( ) 2 2 2 cot( )

sin 2sin( )cos( )

VVV

     

  

     

Zauważmy, że na krawędzi natarcia gęstość cyrkulacji staje się nieograniczona!!!

Obliczmy całkowity ładunek cyrkulacji. Mimo osobliwości, ładunek ten jest skończony

0

1 cos

( ) 2

sin

c

d V

    

 

   

0

2 sin

c

 

0

(1 cos )

d V c d V c

  

      

(14)

Siła i moment aerodynamiczny w teorii cienkiego profilu

Ze wzoru Kutty-Żukowskiego wynika, że siła nośna równa jest

( sin

x

cos

y

)

L

V

  

  

L e e

czyli wartość tej siły to 2 L 12 2 L

q

L  V c CV c C q c

  

Współczynnik siły nośnej równy jest

C

L

 2 

Nachylenie (liniowej) charakterystyki

C

L

C

L

( ) 

dC

L

2 d

UWAGA: w tradycji polskiej współczynnik siły nośnej oznaczany jest zazwyczaj symbolem

C

z (a współczynnik oporu -

C

x).

(15)

Obliczymy moment aerodynamiczny względem krawędzi natarcia.

Dla małych kątów natarcia mamy

0

0 0 0 0

2 2 2

1 1 1

2 2 2

0 0

1 1 2 2 1 1

2 2 4 4

2

( ) ( ) ( ) ( )

1 cos

(1 cos )( 2 ) sin sin

sin

c c c c

M x dL x x L x dx V x x dx V x x dx

V c V c d V c d

V c L

V c c c

   

        

   

 

      

      

  

   

 

Z przeprowadzonego rachunku wynika, że dla małych kątów natarcia punkt przyłożenia siły aerodynamicznej (tzw. środek parcia) na cienkim profilu symetrycznym jest położony w odległości ¼ cięciwy od noska profilu.

(16)

UWAGA:

W aerodynamice lotniczej przyjęła się umowa odnośnie znaku momentu – moment obracający profil odwrotnie zegarowo (czyli opuszczający nosek, a więc zmniejszający kąt natarcia) uznaje się za ujemny. Wg tej umowy moment działający na profil symetryczny pod dodatnim kątem natarcia jest ujemny.

Dostosowanie otrzymanej wcześniej formuły do w/w umowy sprowadza się do zmiany znaku

0 14

M   c L

Współczynnik momentu aerodynamicznego definiujemy następująco

0 14

,0 2 2

1 1

4 4

L

m

M c L L

C C

q c

q c

q c

      

Moment względem innego punktu P o współrzędnej

xx

P

obliczamy następująco

0

14

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

c c

P P P P

M

M    x x dL x     x dL xx L   c x L

(17)

W terminach współczynników aerodynamicznych …

14

, 2 ,0

( ) 1

( )

4

P

m P P L m P L

c x L

C x C C x C

q c

       

W szczególności, dla

x

P

14 , mamy oczywiście Cm c, /4

0

Widzimy, że współczynnik momentu aerodynamicznego względem

x

P

14 (czyli środka parcia) nie zależy (w zakresie małych kątów natarcia) od kąta natarcia czyli

, /4

0 dC

m c

d

Wynika z tego, że środek parcia jest – dla cienkiego profilu symetrycznego – jednocześnie środkiem aerodynamicznym (SA), tj. takim punktem, że moment aerodynamiczny (względem SA) nie zależy od kąta natarcia.

(18)

Rozszerzmy rozważania – rozważmy teraz opływ cienkiego profilu niesymetrycznego.

Podstawowe równanie teorii ma teraz postać

0

1 ( )

[ ( )] 0

2

c

d

V Y x

x

  

  

   

 

a – po zastosowaniu tej samej co poprzednio zamiany zmiennych

0 0 0

1 ( )sin

[ ( )]

2 cos cos

d V V Y x

     

      

Rozwiązanie tego przypadku jest bardziej złożone. Poszukujemy rozkładu cyrkulacji w postaci szeregu

0 1

cos 1

( ) 2 sin

sin

n n

V AA n

   

 

 

 

 

    

(19)

Po podstawieniu do równania podstawowego otrzymujemy

0

0

0 1 0

0 0

cos 1 1 sin sin

[ ( )]

cos cos

n n

cos cos

A n

d A d Y x

 

    

     

    

  

 

Wykorzystując wprowadzone wcześniej całki Glauerta, otrzymujemy

0 0 0

sin sin cos cos cos

n d n

    

    

0 0 0

0 0 0

1

0

cos 1 1 cos

cos cos cos cos cos cos

pierwsza calka Glauerta dla n

d d d

     

     

   

  

  

Równanie teorii cienkiego profilu sprowadza się do

0 0 0

1

cos [ ( )]

n n

A

A n   Y x

    

(20)

Równoważnie

0 0 0

1

[ ( )] ( )

n

cos

n

Y x   A

A n

  

 

Pomysł na wyznaczenie współczynników

A

j

, j  0,1, 2,...

jest prosty i sprowadza się do:

 wyrażenia funkcji

Y   Y x  ( )

jako zależności od współrzędnej

w przedziale

[0, ] 

,

 obliczenia współczynników cosinusowego szeregu Fouriera tak otrzymanej funkcji.

Oznaczmy zatem

P ( ) 

0

Y x [ ( )] 

0 . Rozwijamy funkcję

P ( ) 

0 w szereg

0 0 0

1

( )

n

cos

n

PB

B n

  

Z teorii szeregów Fouriera wynika, że

0

0 0

1

( ) ,

n 2

( ) cos

B P d B P n d

 

  

   

(21)

Otrzymujemy zatem związki

0 0 0

0 0

1

( )

1

( )

A B P d A P d

             

0

2

( ) cos

n n

A B P n d

  

  

W ten sposób wyznaczyliśmy rozkład cyrkulacji (warunek Kutty-Żukowskiego

  ( )

0

jest automatycznie spełniony!)

0

1

cos 1

( ) 2 sin

sin

n n

V AA n

  

 

 

 

    

Całkowita cyrkulacja związana z profilem to

0

0 0 0 1 0

( )

2

( )sin (1 cos ) sin sin

c

n n

d

c

d cV A d A n d

       

 

  

 

 

 

 

          

(22)

Ponieważ

0

(1 cos )d

     

,

0

2 1

sin sin

0 1

gdy n

n d

gdy n

    

 

to całkowita cyrkulacja zadana jest wzorem

0 12 1

( )

cV A A

   

Stąd, siła nośna

L

i jej współczynnik

C

L są równe

1 1 2 1

0 2 1 2 0 2 1

2 ( ) 2 ( )

L    V

  AAV c

  AA q c

0 12 1

2 ( )

C

L

  AA

Konkretnie …

1 0

2 ( )(cos 1)

C

L

P d

 

  

 

 

   

(23)

Jak widać, nachylenie charakterystyki

dC

L

2

d

, czyli nie zależy od wygięcia linii szkieletowej.

Komentarz: w Wykładzie 2 pojawiło się zadanie polegające na wykazaniu, że nachylenie charakterystyki wsp. siły nośnej dla wygiętego profilu Żukowskiego o zerowej grubości (łuk okręgu) jest równe dCL

2 (1 2

2

)

d

f

. Zauważmy, że poprawka jest proporcjonalna do kwadratu względnego wygięcia profilu, czyli dla małych wartości tego wygięcia jest bardzo mała. Zaprezentowana teoria cienkiego profilu „nie widzi” tej poprawki (dlaczego?!)

Otrzymana formuła dla współczynnika siły nośnej może być zapisana w postaci

0

)

L

2 (

C     

gdzie 0 1

0

( )(cos 1)

P d

  

    

jest (ujemnym) kątem natarcia, przy którym wygięty profil nie wytwarza siły nośnej.

(24)

Obliczmy dalej moment aerodynamiczny względem punktu (krawędzi) natarcia

1 2

0 4

0 0 0

1 2 2

0 2

0 1

2 2 2

1

0 2

0 1 0

( ) ( ) ( )sin

cos 1

sin sin sin

(1 cos ) (1 cos )sin sin

(1 cos ) (1 cos )

c c

n n

n n

M V x x dx V x x dx V c d

V c A A n d

V c A d A n d

        

    

      

 

 

 

 

 

 

 

      

   

   

  

 

  

Pojawiły się następujące całki

2 2

0 0

12

(1 cos ) d sin d

    

  

 

0 0 0

1 2

2 1

(1 cos )sin sin sin sin sin sin 2 4 2

0 {1, 2}

gdy n

n d n d n d gdy n

gdy n

          

 

     

 

  

(25)

Otrzymujemy wzór

1 2 2 1

0 4

(

0 1 2 2

)

M   V c A

  A A

Ponownie, dostosowując konwencje znaków do „zwyczajów aerodynamicznych” mamy

2 2 2

1 1 1 1

0 4

(

0 1 2 2

)

2

(

0 1 2 2

)

M    V c A

  A A    A   A A q c

Współczynnik momentu aerodynamicznego jest zatem równy

1 1 1

,0 2

(

0 1 2 2

)

4

[

L

(

1 2

)]

C

m

   A   A A   C   AA

Z wcześniejszych rozważań wynika, że

,0 1 1 2 2 1

, /4 m 4 L 4

( )

4

( )

C

m c

CC  

AA

AA

Otrzymana wartość momentu nie zależy od kąta natarcia. Wnioskujemy, że punkt

x

14

c

nie jest tym razem środkiem parcia (bo moment aerodynamiczny względem tego punktu nie jest na ogół równy zeru), ale jest środkiem aerodynamicznym.

(26)

Współrzędna środka parcia to taka wartość

x

P, że

1 2 1 1 1 1

0 1 2 0 1 1 2

2 2 2 2 2

1 1

0 2 1 0 2 1

1 2 1 2

( ) [ ( )]

2 ( ) 2 ( )

( ) 1 ( )

4 4 4

P

L L

CL

q c A A A c A A A A

x A A q c A A

c c c

A A A A

C C

 

 

 

 

 

 

    

  

 

     

(27)

Cienki profil symetryczny z klapą

Na koniec omówimy krótko prosty model cienkiego profilu symetrycznego z klapą (zakładamy, że wychylenie klapy jest niewielkie)

Linia szkieletowa i jej pochodna

0 [0, ]

( ) ( ) ( , ]

f

f f

gdy x x Y x tgx x gdy x x c

 

    

,

x

f

  (1 f c )

0 [0, )

( ) [ , ]

f f

gdy x x Y x tggdy x x c

 

    

(28)

Stosujemy - jak poprzednio - zmianę współrzędnych

x  

.

Wyznaczamy wartość współrzędnej kątowej odpowiadającej punktowi obrotu (zawiasowi) klapy

1

(1 )

2

(1 cos ) (1 )

f f

x   f cc     f c

Stąd

cos 

f

 2 f  1

Np. dla f

0.15

mamy

f

 arccos( 0.7) 134.43  

0. Funkcja P

( ) 

opisana jest następująco

1 2

0 [0, )

( ) [ (1 cos )]

[ , ]

f f

P Y c gdy

tg gdy

 

 

   

 



 

  

 

(29)

Obliczymy współczynniki Fouriera występujące we wzorach na siłę nośną i moment aerodynamiczny. Mamy

0

1

( )

1

( ) 1

f

P d tg d

f

tg

 

    

 

 

 

 

    

 

Zatem

A

0

    (1   

f

) tg

I dalej …

1

0

2

( )cos

2

( ) cos

2

( )( sin )

2

sin

f

f f

A P d tg d tg tg

  

 

 

 

        

2

0

2

( )cos 2

2

( ) cos 2

1

( )( sin 2 )

1

sin 2

f

f f

A P d tg d tg tg

  

 

 

 

        

(30)

Współczynnik siły nośnej symetrycznego cienkiego profilu z klapą jest zadany wzorem

1 1

0 2 1

2 ( ) 2 2 (1 sin )

2 2( sin )

L f f

f f

CA A    

tg

    

      

   

Współczynnik momentu aerodynamicznego jest równy

1 1

,0 2

(

0 1 2 2

)

C

m

   A   A A

Po podstawieniu otrzymujemy

1

,0 2 2

[ (2 cos )sin ]

m f f f

C  

         

Obliczmy wartości współczynników przy kącie wychylenia klapy dla profilu w klapą 15%

(czyli f

0.15

). Wiemy, że

f

 134.4

0.

2(   

f

 sin 

f

) 3.02 

1

2

[   

f

  (2 cos 

f

)sin 

f

] 1.36 

(31)

Otrzymaliśmy następujące zależności

2 3.02

C

L

   

, ,0

2

1.36 C

m

 

  

Współczynnik momentu

C

m c, /4

1 2

2 1

, /4 4 4

14

( ) ( sin 2 sin )

(sin 2 sin )

m c f f

f f

C

A A

  tg

  tg

  

    

 

Dla klapy 15%

C

m c, /4

  0.395 

Zadanie: Przeprowadź analogiczna analizę dla cienkiego profilu symetrycznego z klapą przednią (slotem). Przyjmij, że zawias klapy znajduje się w odległości f c od noska profilu.

Wyznacz wartość liczbową współczynników stojących w wyrażeniach na

C

L i Cm c, /4 przy kącie wychylenia slotu

(zakładamy, że jest on niewielki, zatem tg

 

 ). Porównaj wpływ slotu i klapy tylnej na charakterystyki aerodynamiczne.

Cytaty

Powiązane dokumenty

Dominacja ciemnej materii sprawia, że wpływ nachylenia profilu na krzywą rotacji jest w przypadku galaktyk karłowatych silniejszy, a wykrycie rozbieżności między teorią a

Różnice we wspomnieniach dotyczących „Solidarności” lat 1980-1981 są jednak często znacznie głębsze od podziałów powstałych już w czasach III Rze­

W przepły- wach, w których występują duże odchylenia wektora prędkości u od głównego kierunku ruchu (a więc przy wirach pojawiających się dla dużych kątów natarcia,

Stare programy 16-bitowe nadal korzystają z plików konfiguracyjnych INI, programy MS-DOS mają zazwyczaj własne

Modelowanie dwuwymiarowe pokrywy osadowej i podloza krystalicznego platformy wschodnioeuropejskiej przeprowadzono na profilu refrakcyjnym 1-VI-66 na podstawie

Najliczniejsze w zespole pierwszym s~ obustronne kontakty facji PP i IH (tabl. 20) oraz WL i IW, przy czym w obu przypadkach przewazaj~ przejscia ku gorze facji IW w

powinna si~ zawierac w przedziale 2,5 - 4 km. Badania podatnosci magnetycznej skal podloza krystalicznego. Lubelszczyzny, kt6re przeprowadzono w PBG w Warszawie

Część jądrowa fałdu zbudowana jest z dolnego ogniwa warstw krośnieńskich, które odsłania się w Osławi e na szerokości I km. Wąskie strome fałdy