1. Oblicz pochodne podanych funkcji:

dr Krzysztof ›yjewski MiBM; S-I ⁰ .in». 20 kwietnia 2015

Zadania przygotowuj¡ce (przykªadowe) do kolokwium IV

1. Oblicz pochodne podanych funkcji:

a) f(x) = x ³ sin x + e ^x tg x, b) f(x) = √

3x ³ + 2x + 4, c) f(x) = ln(arctg e ^2x ), d) f(x) = ln _2x+3 ^x

, e) f(x) = _{1+2 sin x} ^{x cos x} , f) f(x) = ln ^{1+ √} _x ^1+x

, g) f(x) = (x ² + 4x) ^{2 tg x} , h) f(x) = x ² log _x

4x, i) f(x) = ctg ² pln(cos x ² ), 2. Korzystaj¡c z reguªy de L'Hospitala oblicz poni»sze granice funkcji:

a) lim

x→0

arctg x

x

, b) lim

x→0

x ² ln x, c) lim

x→+∞

ln

x

x

, d) lim

x→0 sin

x x(e

−1) , e) lim

x→0 1

x − _e

¹ −1
, f) lim

x→0

x ^{sin x} g) lim

x→

(tg x) ^2x−π 3. Zbadaj przebieg zmiennosci funkcji i narysuj wykres:

a) f(x) = _1−x ^x

, b) f(x) = _4(1−x) ^x

.

4. Znale¹¢ najwi¦ksz¡ i najmniejsza warto±¢ funkcji f(x) = x ² ln x na przedziale [1, e].

5. Napisz wzór Taylora z reszt¡ Lagrange'a dla f(x) = cos x, x 0 = ^π ₃ , n = 4.

6.Oblicz pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du podanych funkcji:

a) f (x, y) = ln px ² + y − x

px ² + y ² + x ; b) f (x, y, z) = (sin x)

+ y ^2x+3 ; c)f (x, y) = x ln y 5 + 2xy ln x . 7. Skorzystaj z ró»niczki funkcji i oblicz przybli»on¡ warto±¢ wyra»enia :

a) sin 0, 51 · cos 61 ^o zakªadaj¡c, »e π = 3, 142;

b) p1, 04 ² + 1, 98 ³ .

8. Oblicz pochodn¡ kierunkow¡ podanej funkcji w punkcie (x 0 , y ₀ ) i okre±lonym kierunku:

a) f(x, y) = 3x ⁴ + xy + y ³ , (x 0 , y 0 ) = (−2, 1) α = 120 ⁰ , gdzie α to k¡t mi¦dzy wektorem a dodatnim kierunkiem osi Ox;

b) f(x, y) = x ² e ^3y + y ln 2x, (x ₀ , y ₀ ) = (0, 1), ~ v = [2, −1].

9.Znajd¹ wszystkie ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych (równie» ich warto±ci):

a) f (x, y) = e ^x−y (x ² − 2y ² ), b)f (x, y) = x ³ + 3xy ² − 6xy + 1.

10. Znajd¹ najmniejsz¡ i najwi¦ksz¡ waro±¢ funkcji f(x, y) = 4x ³ − 2x ² y + y ² w obszarze ograniczo- nym parabol¡ y = x ² oraz prost¡ y = 16.

11. Dla pola F (x, y, z) = arctg(x ² + y − z) wyznacz najwi¦ksza pr¦dko±¢ zmiany warto±ci w punkcie P ₀ = (1, 0, 2).

12. Sprawd¹ czy pole wektorowe ~ W = h

1 − ¹ _y + ^y _z , ^x _z + _y ^x

, − ^xy _z

i jest potencjalne.

13. Sprawd¹ czy pole wektorowe ~ W = ln x, e ^xyz , arctg _x ^z 

jest bez¹ródªowe.

14. Oblicz Laplasjan funkcji: F (x, y, z) = y ² x − ln _z−1 ^x .

1