Ci¡gi. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji

Ci¡gi. Granica i ci¡gªo±¢ funkcji

Informacje pomocnicze

Twierdzenie(o arytmetyce granic ci¡gów)

Dla ci¡gów (an), (bn)zbie»nych lub rozbie»nych do ∞ lub −∞ zachodz¡:

a) lim

n→∞(a_n± b_n) = lim

n→∞a_n± lim

n→∞b_n; b) lim

n→∞(a_n· b_n) = lim

n→∞a_n· lim

n→∞b_n; c) lim

n→∞

an

bn = ^n→∞lim_lim ^an

n→∞bn, je±li lim

n→∞b_n 6= 0;

d) lim

n→∞(a_n)^p =

n→∞lim a_np

, p ∈ Z \ {0};

f ) lim

n→∞

√k

an= q^k

n→∞lim an, k ∈ N \ {1};

o ile powy»sze dziaªania s¡ wykonywalne w zbiorze liczb rzeczywistych.

Twierdzenie (o ci¡gu monotonicznym i ograniczonym):

Ka»dy ci¡g monotoniczny i ograniczony jest zbie»ny, przy czym:

- ci¡g niemalej¡cy i ograniczony z góry jest zbie»ny do granicy, która jest kresem górnym zbioru jego warto±ci,

- ci¡g nierosn¡cy i ograniczony z doªu jest zbie»ny do granicy, która jest kresem dolnym zbioru jego warto±ci.

Granice niektórych ci¡gów:

a) lim

n→∞

a

n = 0, b) lim

n→∞

1

n^α = 0, α > 0 c) lim

n→∞n^α = +∞, α > 0 d) lim

n→∞xⁿ = 0, |x| < 1 e) lim

n→∞xⁿ = ∞, x > 1 f ) lim

n→∞

√n

a = 1, a > 0 g) lim

n→∞

√n

n = 1 h) lim

n→∞

n^α

aⁿ = 0 α > 0, a > 1 i) lim

n→∞

log_an

n = 0, n > 1 j) lim

n→∞

nⁿ

n! = ∞ k) lim

n→∞aⁿ= ∞, a > 1 l) lim

n→∞aⁿ= 0, |a| < 1 m) lim

n→∞(1 + _n¹)ⁿ= e n) lim

n→∞(1 −_n¹)ⁿ = e⁻¹ o) lim

n→∞(1 + _n^a)ⁿ= e^a p) lim

n→∞(1 + _a¹

n)^an = e o ile (an) to ci¡g o wyrazach dodatnich zbie»ny do granicy niewªa±ciwej (∞).

Tabelka odczytywania monotoniczno±ci ci¡gu:

an+1− an an+1

an monotoniczno±¢

> 0 > 1 rosn¡cy

= 0 = 1 staªy

< 0 < 1 malej¡cy

≥ 0 ≥ 1 niemalej¡cy

≤ 0 ≤ 1 nierosn¡cy

Symbole nieoznaczone: ^∞_∞, ⁰₀, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰. Tabelka odczytywania warto±ci pewnych wyra»e«:

a + ∞ = ∞, −∞ < a ≤ ∞ a · ∞ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

∞ = 0, −∞ < a < ∞ ₀^a+ = ∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁺ = −∞, −∞ ≤ a < 0 ₀^a− = −∞, 0 < a ≤ ∞

a

0⁻ = ∞, −∞ ≤ a < 0

a^∞ = 0, 0⁺≤ a < 1 a^∞= ∞, 1 < a ≤ ∞

∞^a = 0, −∞ ≤ a < 0 ∞^a= ∞, 0 < a ≤ ∞ Granice podstawowych wyra»e« nieoznaczonych:

a) lim

x→0 sin x

x = 1, α > 0 b) lim

x→0 tan x

x = 1, α > 0 c) lim

x→0 a^x−1

x = ln a, a > 0 d) lim

x→0

log_a(1+x)

x = log_ae, 0 < a 6= 1 e) lim

x→±∞ 1 + ^a_x
x

= e^a, a ∈ R f ) lim

x→0(1 + x)^x1 = e g) lim

x→0

(1+x)^a−1

x = a, a ∈ R h) lim

x→0 arcsin x

x = 1 i) lim

x→0 arctan x

x = 1

Zadania

1. Zbada¢, czy podane ci¡gi s¡ ograniczone z doªu, z góry, s¡ ograniczone:

(a) a_n = _2n+1ⁿ⁺⁵ (b) b_n = ₃n³+2ⁿ (c) c_n= √ⁿ

3ⁿ+ 4ⁿ (d) d_n = _{3−2 sin n}^{2+cos n} (e) e_n =√⁴ n⁴+ 4 (f ) f_n= (−2)ⁿ (g) g_n= 3 − 5n (h) h_n= 1 − n² (i) p_n= 3ⁿ

2. Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gów o nast¦puj¡cych wyrazach ogólnych:

(a) an= _2n+1ⁿ (b) bn= ⁿ²_n!⁺¹ (c) cn= ⁿ⁺⁴_n+1 (d) dn= n²+ 3n (e) en=

n

P

i=1 1 2i−1 −

n

P

i=1 1 2i

(f ) f_n= ₁₀^n!n (g) g_n = cos_2n^π (h) h_n= ⁿ₂n² (i) i_n = ²₃ⁿn⁺¹+1 (j) j_n=

n

P

k=1 1 4^k+k

3. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic ci¡gów, oblicz granice podanych ci¡gów (o ile istniej¡):

(a) a_n= n²+ 5n − 6 (b) b_n = −n²− 3n + 5 (c) c_n = 1 + _2n+3¹ (d) d_n= ⁵ⁿ_n²2⁺³ⁿ−2 (e) e_n= ⁿ_n²3⁻³ⁿ+4 (f ) f_n = ²ⁿ⁴_n⁺³ⁿ3−4²⁻¹

(g) g_n= (2n+3)(1−7n)^{(1−2n)3 2} (h) h_n= ⁵⁻³ⁿ_1−2n
2

(i) i_n = (2n+1)(2n−1) (3n+6)(2n+2)

(j) j_n= ^{2n√2−3n+4}

n⁴+4 (k) k_n =

q4n³+n²

n³+2 (l) l_n=√

n + 5 −√ n (m) m_n=√

n²− 2n − n (n) n_n=√³

n³+ 3n² − n (o) o_n=√

n²+ n + 1 −√

n² − n + 1 (p) pn= ⁶₅ⁿn⁻⁴+3ⁿⁿ (q) qn= ^3·2_8·4²ⁿn+5⁻⁵ (r) rn = ³₉ⁿ⁺²n+5^{−2·7n−1n}

(s) sn=√

3²ⁿ− 2 · 7ⁿ (t) tn = ^(n+1)!+n!_(n+1)!−n! (u) un = ^1+2+···+n_6n2+3

(v) v_n= n1+2+7+...+(3n−2)

n³+1 (w) w_n =

1

6+₃₆¹+...+_6n¹

3

5+₂₅⁹+...+(³₅)ⁿ (x) x_n = 1−2+3−4+...−2n√ n²+1

(y) y_n = log₇ ⁴⁹ⁿ_n2²+4⁻¹ (z) z_n= ¹₂
ⁿ²⁻²₂ 4. Korzystaj¡c z denicji liczby e obliczy¢ granice:

(a) lim

n→∞ 1 + _n²
n

(b) lim

n→∞

n−4 n

2n

(c) lim

n→∞

2n+3 2n+1

n+1

(d) lim

n→∞

n²+2 n²+1

n²

(e) lim

n→∞

2n 2n−3

3n

(f ) lim

n→∞

3n²+3 3n²+1

3n−1

(g) lim

n→∞

n²−3 n²+1

5n²

(h) lim

n→∞

n³+5 n³−2

6n²+3n

.

5. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ podane granice:

(a) lim

n→∞

√n

4ⁿ+ 5ⁿ (b) lim

n→∞

√n

3ⁿ+ 5ⁿ+ 7ⁿ (c) lim

n→∞

cos n² n

(d) lim

n→∞

n sin 2n

(3n−1)² (e) lim

n→∞

√ 1

n²+1 +^{√ 1}

n²+2 + · · · + ^{√ 1}

n²+n (f ) lim

n→∞

√n

n + 3.

6. Okre±li¢ dziedziny naturalne i zbiory warto±ci funkcji:

(a) f(x) = ln(x + 3), (b) f(x) = arcsin^2x+4₃ (c) f(x) = ^x_x−1³⁻¹ (d) f(x) =√

cos x (e) f(x) = ln(2x − 3) − 4 (f) f(x) = ^27x

27−3^x−12

(g) f(x) = parcsin log(1 − x) (h) f(x) = _{1−sin x}⁴ (i) f(x) =q

log₃ ^4x+x₅ ² (j) f(x) =q

log¹

3

x−5

x²−4 (k) f(x) = arccos√

x² + 6x + 10 7. Zbada¢, czy podane funkcj¦ s¡ ograniczone z doªu, z góry, ograniczone:

(a) f(x) = 3x + 4 + 2x², (b) f(x) = −2 + 4^x+1, (c) f(x) = −2 tan(x + 1) − 3, (d) f(x) = log3(2x), (e) f(x) = _x−1^x2 , (e) f(x) = −3 cos(5x − 2) + 2 sin x, 8. Zbada¢, na podstawie denicji monotoniczno±¢ funkcji:

(a) f(x) = 2x + 3, (b) f(x) = ³_x, (c) f(x) = ⁻²_x2, (d) f(x) = _4x+1⁻³ , 9. Okre±l zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ f, g ◦ g, f ◦ g, g ◦ f dla:

(a) f(x) = 2 + x, g(x) = x²+ 1 (b) f(x) =√

x + 1 g(x) = x − 3 (c) f(x) = 3^x, g(x) = ln 2x (d) f(x) =√

1 − 2x, g(x) = x²

10. Dane s¡ funkcje f(x) = log2x, g(x) = x² + 2 oraz h(x) = √

x. Dokonaj zªo»e« f ◦ g ◦ h, g ◦ f ◦ h, h ◦ g ◦ f (o ile to mo»liwe).

11. Znale¹¢ funkcje f1 i f2 (ewentualnie f3) takie, »e g = f1◦ f₂, (ewentualnie g = f1 ◦ f₂◦ · · ·) je±li:

(a) g(x) = tan²x, (b) g(x) = tan x², (c) g(x) = e^{cos x}, (d) g(x) = ln tan e^x, (e) g(x) = (arcsin 4x)^{cos x}, (f) g(x) = arccos√⁵

4^x− 1, (g) g(x) = e^{arctan√4+ex}, (h) g(x) =p(arcsin x)^{3 4}.

12. Zbadaj parzysto±¢, nieparzysto±¢ funkcji:

(a) f(x) = x⁴cos x (b) f(x) = x⁴sin x (c) f(x) = x²cos x − 5x⁴ (d) f(x) = −3x³+ 2x⁴tan x, (e) f(x) = 7x² − 4x³, (f) f(x) = sin x − x²cos x, (g) f(x) = −3^x+ 3^−x, (h) f(x) = ^2x−1_x−2 (i) f(x) = 5 log4(3^−x) (j) f(x) = x arctan x.

13. Wyznacz funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji:

(a) f(x) = 5x − 2 (b) f(x) = _3x−6² (c) f(x) = ^2x+1_x−3 (d) f(x) =√

x + 3, x ≥ −3, (e) f(x) =√³

x²+ 4, x ≥ 0, (f) f(x) = 2e^4x−3− 1, (g) f(x) = tan(^x₂) + 5, (h) f(x) = ln cos_x+1³

(i) f(x) = 5 log3(2x + 3) (j) f(x) = 2 arcsin(5x).

14. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci funkcji:

(a) f(x) =√

3 + x² (b) f(x) = log(√

sin x) (c) f(x) = log¹

3(√ sin x) (d) f(x) = arctan√

x²+ 6x + 9, (e) f(x) = arccos log(1 − x),

15. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice w punkcie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granica ta nie istnieje:

a) b) c)

d) e) f)

16. Dla funkcji, których wykresy przedstawiono na rysunkach, podaj granice jednostronne w punkcie x0 = 1 lub uzasadnij, »e granice te nie istniej¡:

a) b) c)

d) e) f)

17. Korzystaj¡c z twierdze« o arytmetyce granic, obliczy¢ podane granice funkcji (o ile istniej¡):

(a) lim

x→∞

2x−5

3x−4 (b) lim

x→−∞

4x+1

x²−x+1 (c) lim

x→∞

x³−8x x²−4

(g) lim

x→∞

x√ x+3 5x√

x+x (e) lim

x→∞

√x−1 1−6√³

x (f ) lim

x→1 x³−1 x⁴−1

(g) lim

x→2 x³−8

x²−4 (h) lim

x→5

x²−4x−5

x²−5x (i) lim

x→1

x⁴−3x+2 x⁵−4x+3

(j) lim

x→2

x³−3x−2

x−2 (k) lim

x→−1

(x²+3x+2)²

x³+2x²−x−2 (l) lim

x→1

x²−2x+1 2x²−x−1

(m) lim

x→4

√x−2

x−4 (n) lim

x→3

x³+x²−12x

(x−3)² (o) lim

x→∞

√4x²+ x −√

4x²+ 1 (p) lim

x→−∞x +√

x²+ 4x + 3 (q) lim

x→0

√3

1+x−√³ 1−x

x (r) lim

x→4

√x−2

√x−3−1

(s) lim

x→0 sin 6x

3x (t) lim

x→0 sin 5x

sin 2x (u) lim

x→0 sin²x 1−cos x

(v) lim

x→0 sin²2x

1−cos 4x (w) lim

x→^π₄

cos x−sin x

cos 2x (x) lim

x→^π₄

sin(^2x−π2)

π−4x

(y) lim

x→^π₂ cos x

2x−π (a) lim

x→0

sin 4x−sin 5x

sin x (b) lim

x→∞ 1 + _x³
x

(c) lim

x→∞ 1 −_x²
x

(d) lim

x→∞

2x+3 2x+5

x

(e) lim

x→−∞ 1 −_5x²
x

(f ) lim

x→−∞log₇

3x²−4 x−7



(g) lim

x→−∞sin

−3x² x³+1



(h) lim

x→0 2^x−1

x

(i) lim

x→0 arctan x

tan x (j) lim

x→0 ln(1+x)

e^x−1 (k) lim

x→0

arcsin 2x arcsin 3x

(l) lim

x→0 3^x−2^x

x (m) lim

x→0 e^x−1

sin 5x (n) lim

x→0 2x²−1

sin 4x

(o) lim

x→0

1−cos x

(e^2x−1)² (p) lim

x→0 2x−3

ln(1+3x) (q) lim

x→0

3 arctan 4x 5 ln(1+3x)

18. Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech granicach wykaza¢:

(a) lim

x→∞

x²+sin x

x²−cos x = 1 (b) lim

x→∞

2+sin x

x² = 0 (c) lim

x→∞

3[x]

2x−5 = ³₂. 19. Zbada¢, obliczaj¡c granice jednostronne, czy istniej¡ podane granice:

(a) lim

x→1 x+1

x−1 (b) lim

x→0 sin x

|x| (c) lim

x→1

|x−1|³

x³−x² (d) lim

x→3[x]

(e) lim

x→3

|x−3|

x−3 (f ) lim

x→1arctan_1−x¹ (e) lim

x→45^4−x1

20. Wyznaczy¢ wszystkie mo»liwe asymptoty podanych funkcji (pozioma, pionowa, uko±na):

(a) f (x) = ^{sin x}_x (b) g(x) = _1−x¹ 2 (c) h(x) = x − _x¹2 (d) m(x) = ^x_x³2⁺⁸−4 (e) n(x) = ^x_2x−3²⁻⁴. Asymptota pozioma:

Prosta y = y0 jest asymptot¡ poziom¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li

x→−∞lim f (x) = y₀ ( lim

x→+∞f (x) = y₀), gdzie y0 ∈ R.

Asymptota pionowa:

Prosta x = x0 jest asymptot¡ pionow¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li lim

x→x⁻₀

f (x) = ∞lub lim

x→x⁻₀

f (x) = −∞ ( lim

x→x⁺₀

f (x) = ∞lub lim

x→x⁺₀

f (x) = −∞).

Asymptota uko±na:

Prosta y = ax + b gdzie (a, b ∈ R, a 6= 0) jest asymptot¡ uko±n¡ lewostronn¡ (prawostronn¡) wykresu funkcji f(x), je±li lim

x→−∞[f (x) − (ax + b)] = 0 ( lim

x→∞[f (x) − (ax + b)] = 0), gdzie a = lim

x→−∞

f (x)

x i b = lim

x→−∞[f (x) − ax]

lub

a = lim

x→+∞

f (x)

x i b = lim

x→+∞[f (x) − ax].

21. Wska» punkty, w których funkcje o podanych wykresach nie s¡ ci¡gªe:

a) b) c)

d) e) f)

22. Okre±l rodzaje nieci¡gªo±ci funkcji o podanych wykresach w punkcie x0 = 1 :

a) b) c)

d) e) f)

23. W oparciu o denicj¦ Cauchy'ego ci¡gªo±ci funkcji uzasadnij ci¡gªo±¢ funkcji we wskazanych punktach:

a) f(x) = 2x − 3; x0 = 3, b) f(x) = x²+ 1; x₀ = 2,

c) f(x) = ax + b; a, b ∈ R, x0 ∈ R, d) f(x) = sin x; x0 ∈ R.

24. Zbadaj ci¡gªo±¢ funkcji w jej dziedzinie. W przypadku, gdy funkcja nie jest ci¡gªa okre±l rodzaj nieci¡gªo±ci w punktach nieci¡gªo±ci. Sporz¡d¹ szkic funkcji:

(a) f (x) = x²− 2x + 1 dla x > 0

3^x dla x ≤ 0 (b) f (x) =







2^x dla −1 ≤ x ≤ 0 1 − x dla 0 < x ≤ 1 log x dla 1 < x < 2

(c) f (x) =

( x²−3x

|x−3| dla x 6= 3

3 dla x = 3 (d) f (x) =

 ^√_1+x−1

x dla x 6= 0

0 dla x = 0

(e) f(x) =

 _{sin x}

x ; dla x 6= 0

1; dla x = 0 (f) f(x) =

 _x³₋₁

x²−1; dla x ∈ R − {−1, 1}

1; dla x ∈ {−1, 1}

(g) f(x) =







1

5(2x²+ 3); dla x ≤ 1 6 − 5x; dla 1 < x < 3

x − 3; dla x ≥ 3 h) f(x) = sin_x¹; dla x 6= 0 1; dla x = 0 25. Dobra¢ parametry a, b tak, aby podane funkcje byªy ci¡gªe na caªej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =

 _x²_−4x+3

x−3 dla x 6= 3

a dla x = 3 (b) f (x) = ax + 3 dla x < 1 2x²+ x + 2 dla x ≥ 1

(c) f (x) = ax + 1 dla x ≤ ^π₂

sin x + b dla x > ^π₂ (d) f (x) =







2^x dla x ∈ [0; 2)

ax − 2 dla x ∈ [2; 10) (x − 8)²+ x + b dla x ∈ [10; 20) (e) f(x) =

 ^√_1+x−1

x ; dla x 6= 0 a; dla x = 0

26. Wykaza¢, »e dla dowolnych licz rzeczywistych a > b > c funkcja f (x) = 1

x − a + 1

x − b + 1 x − c ma co najmniej dwa pierwiastki.

27. Uzasadni¢, »e funkcja f(x) = 2^x− x² przyjmuje warto±¢ w = ₁₀¹ na przedziale D = [1, 3].

28. Pokaza¢, »e równanie 3 sin²x − 2 cos³x = 0 posiada przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale D = [^π₆;^π₃].

Wskazówka: W zad. 28-30 skorzysta¢ z twierdzenia Darboux.