KarolKołodziej Obrazy

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

gdzie

H= p~²

2m+ V (~r, t),

Karol Kołodziej Obrazy 2/37

Rozważmy równanie Schr¨odingera z czasem i ~∂ψ(~r, t)

∂t = Hψ(~r, t), gdzie

H= p~²

2m+ V (~r, t),

a operator pędu w reprezentacji położeniowej ma postać

~

p = −i~~∇.

gdzie

H= p~²

2m+ V (~r, t),

a operator pędu w reprezentacji położeniowej ma postać

~

p = −i~~∇.

Przyjmijmy, że funkcje falowe ψ(~r, t) są numerowane liczbami kwantowymi α i wprowadźmy notację Diraca

ψ_α(~r, t) → |α_S(t)i .

Karol Kołodziej Obrazy 2/37

Rozważmy równanie Schr¨odingera z czasem i ~∂ψ(~r, t)

∂t = Hψ(~r, t), gdzie

H= p~²

2m+ V (~r, t),

a operator pędu w reprezentacji położeniowej ma postać

~

p = −i~~∇.

Przyjmijmy, że funkcje falowe ψ(~r, t) są numerowane liczbami kwantowymi α i wprowadźmy notację Diraca

ψ_α(~r, t) → |α_S(t)i .

Indeks S oznacza, że pracujemy w obrazie Schr¨odingera.

Ponieważ stan kwantowy układu możemy wyrazić nie tylko w reprezentacji położeniowej, ale w dowolnej innej reprezentacji,

Karol Kołodziej Obrazy 3/37

Indeks S oznacza, że pracujemy w obrazie Schr¨odingera.

Ponieważ stan kwantowy układu możemy wyrazić nie tylko w reprezentacji położeniowej, ale w dowolnej innej reprezentacji,to pominęliśmy ~r w stanie ket.

Indeks S oznacza, że pracujemy w obrazie Schr¨odingera.

Ponieważ stan kwantowy układu możemy wyrazić nie tylko w reprezentacji położeniowej, ale w dowolnej innej reprezentacji, to pominęliśmy ~r w stanie ket.

Karol Kołodziej Obrazy 3/37

Równanie Schr¨odingera w notacji Diraca ma postać i ~ d

dt |αS(t)i = H |αS(t)i,

gdzie zamieniliśmy pochodną cząstkową po czasie na pochodną zupełną.

i ~dt |αS(t)i = H |αS(t)i,

gdzie zamieniliśmy pochodną cząstkową po czasie na pochodną zupełną.

Równanie sprzężone hermitowsko do równania Schr¨odingera ma postać

−i~d

dthαS(t)| = hαS(t)| H^†

Karol Kołodziej Obrazy 4/37

Równanie Schr¨odingera w notacji Diraca ma postać i ~ d

dt |αS(t)i = H |αS(t)i,

gdzie zamieniliśmy pochodną cząstkową po czasie na pochodną zupełną.

Równanie sprzężone hermitowsko do równania Schr¨odingera ma postać

−i~d

dthαS(t)| = hαS(t)| H^†=hαS(t)| H,

i ~dt |αS(t)i = H |αS(t)i,

gdzie zamieniliśmy pochodną cząstkową po czasie na pochodną zupełną.

Równanie sprzężone hermitowsko do równania Schr¨odingera ma postać

−i~d

dthαS(t)| = hαS(t)| H^†=hαS(t)| H, gdzie skorzystaliśmy z faktu, że operator Hamiltona jest hermitowski.

Karol Kołodziej Obrazy 4/37

Równanie Schr¨odingera w notacji Diraca ma postać i ~ d

dt |αS(t)i = H |αS(t)i,

gdzie zamieniliśmy pochodną cząstkową po czasie na pochodną zupełną.

Równanie sprzężone hermitowsko do równania Schr¨odingera ma postać

−i~d

dthαS(t)| = hαS(t)| H^†=hαS(t)| H, gdzie skorzystaliśmy z faktu, że operator Hamiltona jest hermitowski.

sprzężonego mają postać

|α_S(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|α_S(t0)i , hα_S(t)| = hα_S(t0)| e^~iH(t−t0).

Operator e^{−~iH(t−t0)} należy rozumieć jako rozwinięcie w szereg potęgowy

Karol Kołodziej Obrazy 5/37

Załóżmy, żeoperator H nie zależy jawnie od czasu,wtedy rozwiązania równania Schródingera i równania do niego sprzężonego mają postać

|α_S(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|α_S(t0)i , hα_S(t)| = hα_S(t0)| e^~iH(t−t0).

Operator e^{−~iH(t−t0)} należy rozumieć jako rozwinięcie w szereg potęgowy

e^{−~iH(t−t0)} = X∞

n=0

1 n!



−i

~H(t − t0)

n

sprzężonego mają postać

|α_S(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|α_S(t0)i , hα_S(t)| = hα_S(t0)| e^~iH(t−t0).

Operator e^{−~iH(t−t0)} należy rozumieć jako rozwinięcie w szereg potęgowy

e^{−~iH(t−t0)} = X∞

n=0

1 n!



−i

~H(t − t0)

n

= X∞

n=0

1 n!



−i

~(t − t0)

n

Hⁿ,

Karol Kołodziej Obrazy 5/37

Załóżmy, żeoperator H nie zależy jawnie od czasu,wtedy rozwiązania równania Schródingera i równania do niego sprzężonego mają postać

|α_S(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|α_S(t0)i , hα_S(t)| = hα_S(t0)| e^~iH(t−t0).

Operator e^{−~iH(t−t0)} należy rozumieć jako rozwinięcie w szereg potęgowy

e^{−~iH(t−t0)} = X∞

n=0

1 n!



−i

~H(t − t0)

n

= X∞

n=0

1 n!



−i

~(t − t0)

n

Hⁿ,

gdzie

Hⁿ≡ H ◦ H ◦ ... ◦ H

| {z }

n razy

jest n-krotnym złożeniem operatora H.

Zadanie. Pokazać, że podane wyżej wzory na |αS(t)i i hαS(t)| są rozwiązaniami równania Schr¨odingera i równania do niego

sprzężonego.

Karol Kołodziej Obrazy 6/37

gdzie

Hⁿ≡ H ◦ H ◦ ... ◦ H

| {z }

n razy

jest n-krotnym złożeniem operatora H.

Zadanie. Pokazać, że podane wyżej wzory na |αS(t)i i hαS(t)| są rozwiązaniami równania Schr¨odingera i równania do niego

sprzężonego.

Rozważmy szybkość zmiany w czasie elementu macierzowego hα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i operatora ΩS reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w obrazie Schr¨odingera.

d

dthα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i=

Karol Kołodziej Obrazy 7/37

Rozważmy szybkość zmiany w czasie elementu macierzowego hα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i operatora ΩS reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w obrazie Schr¨odingera.

d

dthα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i=

d

dt hα_S(t)|



Ω_S|β_S(t)i

Rozważmy szybkość zmiany w czasie elementu macierzowego hα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i operatora ΩS reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w obrazie Schr¨odingera.

d

dthα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i=

d

dt hα_S(t)|



Ω_S|β_S(t)i + hα_S(t)| ∂Ω_S

∂t |β_S(t)i

Karol Kołodziej Obrazy 7/37

Rozważmy szybkość zmiany w czasie elementu macierzowego hα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i operatora ΩS reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w obrazie Schr¨odingera.

d

dthα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i=

d

dt hα_S(t)|



Ω_S|β_S(t)i + hα_S(t)| ∂Ω_S

∂t |β_S(t)i +

Rozważmy szybkość zmiany w czasie elementu macierzowego hα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i operatora ΩS reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w obrazie Schr¨odingera.

d

dthα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i=

d

dt hα_S(t)|



Ω_S|β_S(t)i + hα_S(t)| ∂Ω_S

∂t |β_S(t)i + hα_S(t)| Ω_S

d

dt| β_S(t)i



Karol Kołodziej Obrazy 7/37

Rozważmy szybkość zmiany w czasie elementu macierzowego hα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i operatora ΩS reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w obrazie Schr¨odingera.

d

dthα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i=

d

dt hα_S(t)|



Ω_S|β_S(t)i + hα_S(t)| ∂Ω_S

∂t |β_S(t)i + hα_S(t)| Ω_S

d

dt| β_S(t)i



operatora ΩS reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w obrazie Schr¨odingera, hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i

d

dthαS(t)|ΩS|βS(t)i=

d

dthαS(t)|



ΩS|βS(t)i + hαS(t)| ∂ΩS

∂t |βS(t)i + hαS(t)| ΩS

d

dt| βS(t)i



= −1

i ~hαS(t)|HΩS|βS(t)i + hα_S(t)| ∂Ω_S

∂t |β_S(t)i + 1

i ~hα_S(t)|Ω_SH|β_S(t)i

Karol Kołodziej Obrazy 8/37

Rozważmy szybkość zmiany w czasie elementu macierzowego operatora ΩS reprezentującego pewną zmienną dynamiczną w obrazie Schr¨odingera, hαS(t)|ΩS|βS(t)i

d

dthαS(t)|ΩS|βS(t)i=

d

dthαS(t)|



ΩS|βS(t)i + hαS(t)| ∂ΩS

∂t |βS(t)i + hα_S(t)| Ω_S

d

dt| β_S(t)i



= −1

i ~hα_S(t)|HΩ_S|β_S(t)i + hα_S(t)| ∂Ω_S

∂t |β_S(t)i + 1

i ~hα_S(t)|Ω_SH|β_S(t)i

= hαS(t)| ∂ΩS

∂t |βS(t)i + 1

i ~hαS(t)| (ΩSH− HΩS) |βS(t)i

d

dthα_S(t)|Ω_S|β_S(t)i=

d

dthα_S(t)|



Ω_S|β_S(t)i + hα_S(t)| ∂ΩS

∂t |β_S(t)i + hα_S(t)| Ω_S

d

dt| β_S(t)i



= −1

i ~hα_S(t)|HΩ_S|β_S(t)i + hαS(t)| ∂Ω_S

∂t |βS(t)i + 1

i ~hαS(t)|ΩSH|βS(t)i

= hα_S(t)| ∂Ω_S

∂t |β_S(t)i + 1

i ~hα_S(t)| (Ω_SH− HΩ_S) |β_S(t)i

= hαS(t)| ∂ΩS

∂t |βS(t)i + 1

i ~hαS(t)| [ΩS, H] |βS(t)i .

Karol Kołodziej Obrazy 10/37

Zauważmy, że jeśli operator ΩS nie zależy jawnie od czasu i komutuje z operatorem Hamiltona,tzn.

∂ΩS

∂t = 0 i [ΩS, H] = 0,

komutuje z operatorem Hamiltona, tzn.

∂ΩS

∂t = 0 i [ΩS, H] = 0,

to elementy macierzowe operatora ΩS pomiędzy dowolnymi dwoma stanami kwantowymi |αS(t)i i |βS(t)i nie zależą od czasu.

Karol Kołodziej Obrazy 11/37

Zauważmy, że jeśli operator ΩS nie zależy jawnie od czasu i komutuje z operatorem Hamiltona, tzn.

∂ΩS

∂t = 0 i [ΩS, H] = 0,

to elementy macierzowe operatora ΩS pomiędzy dowolnymi dwoma stanami kwantowymi |αS(t)i i |βS(t)i nie zależą od czasu.

Wtedy mówimy, żezmienna dynamiczna reprezentowana przez ΩS

jest stałą ruchu.

komutuje z operatorem Hamiltona, tzn.

∂ΩS

∂t = 0 i [ΩS, H] = 0,

to elementy macierzowe operatora ΩS pomiędzy dowolnymi dwoma stanami kwantowymi |αS(t)i i |βS(t)i nie zależą od czasu.

Wtedy mówimy, żezmienna dynamiczna reprezentowana przez ΩS

jest stałą ruchu.

Karol Kołodziej Obrazy 11/37

Wstawmy wzory

|αS(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|αS(t⁰)i , hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)iwówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i

hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~H(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i wówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= d

dt hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)} |βS(t⁰)i

Karol Kołodziej Obrazy 12/37

Wstawmy wzory

|αS(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|αS(t⁰)i , hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i wówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= d

dt hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)} |βS(t⁰)i

=

hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~H(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i wówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= d

dt hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)} |βS(t⁰)i

= hα_S(t0)|

∂

∂te^~iH(t−t0)



Ω_Se^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

Karol Kołodziej Obrazy 12/37

Wstawmy wzory

|αS(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|αS(t⁰)i , hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i wówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= d

dt hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)} |βS(t⁰)i

= hα_S(t0)|

∂

∂te^~iH(t−t0)



Ω_Se^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i +

hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~H(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i wówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= d

dt hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)} |βS(t⁰)i

= hα_S(t0)|

∂

∂te^~iH(t−t0)



Ω_Se^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i + hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i

Karol Kołodziej Obrazy 12/37

Wstawmy wzory

|αS(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|αS(t⁰)i , hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i wówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= d

dt hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)} |βS(t⁰)i

= hα_S(t0)|

∂

∂te^~iH(t−t0)



Ω_Se^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i + hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i +

hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~H(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i wówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= d

dt hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)} |βS(t⁰)i

= hα_S(t0)|

∂

∂te^~iH(t−t0)



Ω_Se^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i + hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i + hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)Ω_S

∂

∂te^{−~iH(t−t0)}



|β_S(t0)i

Karol Kołodziej Obrazy 12/37

Wstawmy wzory

|αS(t)i = e^{−~iH(t−t0)}|αS(t⁰)i , hαS(t)| = hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)

do elementu macierzowego hαS(t)|Ω_S|β_S(t)i wówczas otrzymamy d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= d

dt hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)} |βS(t⁰)i

= hα_S(t0)|

∂

∂te^~iH(t−t0)



Ω_Se^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i + hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i + hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)Ω_S

∂

∂te^{−~iH(t−t0)}



|β_S(t0)i

Karol Kołodziej Obrazy 13/37

Wykonajmy różniczkowanie eksponent d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= i

~hαS(t⁰)| He^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i +

+ hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

Karol Kołodziej Obrazy 13/37

Wykonajmy różniczkowanie eksponent d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= i

~hαS(t⁰)| He^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i + hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

−

+ hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

− i

~hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}H|βS(t⁰)i

Karol Kołodziej Obrazy 13/37

Wykonajmy różniczkowanie eksponent d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= i

~hαS(t⁰)| He^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i + hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

− i

~hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}H|βS(t⁰)i

=

+ hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

− i

~hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}H|βS(t⁰)i

= hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

Karol Kołodziej Obrazy 13/37

Wykonajmy różniczkowanie eksponent d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= i

~hαS(t⁰)| He^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i + hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

− i

~hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}H|βS(t⁰)i

= hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i +

+ hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

− i

~hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}H|βS(t⁰)i

= hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

+ 1

i ~hα_S(t0)|^he^~iH(t−t0)Ω_Se^{−~iH(t−t0)}, Hⁱ|β_S(t0)i ,

Karol Kołodziej Obrazy 13/37

Wykonajmy różniczkowanie eksponent d

dt hαS(t)|ΩS|βS(t)i= i

~hαS(t⁰)| He^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βS(t⁰)i + hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

− i

~hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}H|βS(t⁰)i

= hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

+ 1

i ~hα_S(t0)|^he^~iH(t−t0)Ω_Se^{−~iH(t−t0)}, Hⁱ|β_S(t0)i , gdzie skorzystaliśmy z faktu, że

He^{±~iH(t−t0)}= e^{±~iH(t−t0)}H.

+ hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

− i

~hαS(t⁰)| e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}H|βS(t⁰)i

= hα_S(t0)| e^~iH(t−t0)∂Ω_S

∂t e^{−~iH(t−t0)}|β_S(t0)i

+ 1

i ~hα_S(t0)|^he^~iH(t−t0)Ω_Se^{−~iH(t−t0)}, Hⁱ|β_S(t0)i , gdzie skorzystaliśmy z faktu, że

He^{±~iH(t−t0)}= e^{±~iH(t−t0)}H.

Karol Kołodziej Obrazy 13/37

Zdefiniujmy wektor stanu i operator w obrazie Heisenberga

|α_Hi ≡ |α_S(t0)i = e^~iH(t−t0)|α_S(t)i , Ω_H ≡ e^~iH(t−t0)Ω_Se^{−~iH(t−t0)}.

Zauważmy, że

hαS(t)|ΩS|βS(t)i

= hαS(t)| e^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

ΩSe^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

|βS(t)i

|α_Hi ≡ |α_S(t0)i = e |α_S(t)i , Ω_H ≡ e^~iH(t−t0)Ω_Se^{−~iH(t−t0)}.

Zauważmy, że

hαS(t)|ΩS|βS(t)i

= hαS(t)| e^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

ΩSe^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

|βS(t)i

=

Karol Kołodziej Obrazy 14/37

Zdefiniujmy wektor stanu i operator w obrazie Heisenberga

|α_Hi ≡ |α_S(t0)i = e^~iH(t−t0)|α_S(t)i , Ω_H ≡ e^~iH(t−t0)Ω_Se^{−~iH(t−t0)}.

Zauważmy, że

hαS(t)|ΩS|βS(t)i

= hαS(t)| e^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

ΩSe^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

|βS(t)i

= hαH|ΩH|βHi ,

|α_Hi ≡ |α_S(t0)i = e |α_S(t)i , Ω_H ≡ e^~iH(t−t0)Ω_Se^{−~iH(t−t0)}.

Zauważmy, że

hαS(t)|ΩS|βS(t)i

= hαS(t)| e^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

ΩSe^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

|βS(t)i

= hαH|ΩH|βHi ,

a więc element macierzowy operatora jest taki sam w obu orazach.

Karol Kołodziej Obrazy 14/37

Zdefiniujmy wektor stanu i operator w obrazie Heisenberga

|α_Hi ≡ |α_S(t0)i = e^~iH(t−t0)|α_S(t)i , Ω_H ≡ e^~iH(t−t0)Ω_Se^{−~iH(t−t0)}.

Zauważmy, że

hαS(t)|ΩS|βS(t)i

= hαS(t)| e^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

ΩSe^{−~iH(t−t0)}e^~iH(t−t0)

| {z }

I

|βS(t)i

= hαH|ΩH|βHi ,

a więc element macierzowy operatora jest taki sam w obu orazach.

d

dt hαH|ΩH|βHi =

Karol Kołodziej Obrazy 15/37

Obliczmy szybkość zmiany elementu macierzowego operatora w obrazie Heisenberga.

d

dt hαH|ΩH|βHi = hαH|dΩH

dt |βHi

d

dt hαH|ΩH|βHi = hαH|dΩH

dt |βHi

=

Karol Kołodziej Obrazy 15/37

Obliczmy szybkość zmiany elementu macierzowego operatora w obrazie Heisenberga.

d

dt hαH|ΩH|βHi = hαH|dΩH

dt |βHi

= hαH| d dt

e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βHi

d

dt hαH|ΩH|βHi = hαH|dΩH

dt |βHi

= hαH| d dt

e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βHi

=

Karol Kołodziej Obrazy 15/37

Obliczmy szybkość zmiany elementu macierzowego operatora w obrazie Heisenberga.

d

dt hαH|ΩH|βHi = hαH|dΩH

dt |βHi

= hαH| d dt

e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βHi

= hα_H| e^~iH(t−t0)∂ΩS

∂t e^{−~iH(t−t0)}

| {z }

∂ΩH

∂t

|β_Hi

d

dt hαH|ΩH|βHi = hαH|dΩH

dt |βHi

= hαH| d dt

e^~iH(t−t0)ΩSe^{−~iH(t−t0)}|βHi

= hα_H| e^~iH(t−t0)∂ΩS

∂t e^{−~iH(t−t0)}

| {z }

∂ΩH

∂t

|β_Hi

+

Karol Kołodziej Obrazy 15/37