Weerkaatsing van een Lopende Watersprong tegen een Verticale Oever: Deelstudie voor een Pomp Accumulatie Centrale in het IJsselmeer

1985

T

H

Delft

Technische Hogeschool Delft

watersprong

tegen een verticale

oever

Deelstudie voor een Pomp Accumulatie Centrale in het l.lsselrneer

C. Kranenburg

Afdeling derCiviele Techniek laboratorium voor Vloeistofmechanica

C. Kranenburg

Rapport nr. 13-85

Laboratorium voor Vloeistofmechanica

Afdeling der Civiele Techniek

Technische Hogeschool Delft

Inhoud Samenvatting 1. Inleiding 2. Reguliere weerkaatsing 3. Mach-weerkaatsing 4. Slotopmerkingen Literatuur Notatie Figuren

•

Samenvatting

Gebruik makend van de behoudsvergelijkingen voor massa en

momentum wordt de weerkaatsing van een als een discontinuïteit

opgevatte lopende watersprong tegen een verticale, rechte, oever

berekend. Onderscheid wordt gemaakt tussen twee vormen van

weerkaatsing: de reguliere weerkaatsing en de z.g.

Mach-weerkaatsing, die kan optreden als de sprong de oever onder een

relatief grote hoek nadert. De berekeningsresultaten geven aan,

dat in bepaalde gevallen de weerkaatste golf bij scheve inval

hoger is dan bij loodrechte inval.

1. Inleiding

In dit rapport worden resultaten gepresenteerd van een

deelstudie voor een Pomp Accumulatie Centrale in het IJsselmeer.

Een mogelijke breuk van de dijk om het spaarbekken~ dat een

onderdeel vormt van de centrale, zal een vloedgolf op het

IJsselmeer veroorzaken (Fontijn en Kranenburg, 1985). Het front

van deze golf heeft het karakter van een lopende watersprong en

zal na zekere tijd de oevers van het IJsselmeer bereiken. In het

algemeen zal het front de oever scheef naderen.

Ten einde een indruk te krijgen van de te verwachten

waterstanden bij scheef invallende fronten, worden hier

sprongrelaties opgesteld en uitgewerkt. De oever wordt

geschematiseerd tot een verticale, rechte wand. Golfoploop blijft

zo buiten beschouwing, zie voor dit deel van het onderzoek

Fontijn (1985). Invallende en weerkaatste fronten worden opgevat

als discontinue niet-gekromde sprongen. Het eventuele golvende

karakter van de sprongen blijft buiten beschouwing. Fig. 1

illustreert de onderzochte situatie. Bij het opstellen van

sprong- en aanvullende relaties is onder meer gebruik gemaakt van

de analogie met de weerkaatsing van schokgolven in gassen, zie

b.v. Ben-Dor en Glass (1979), Henderson en Lozzi (1979), Ben-Dor

en Glass (1980), Hornung en Robinson (1982), en Dewey en McMillin

(1985).

Het blijkt dat afhankelijk van de hoogte en hoek van inval

van het front verschillende weerkaatsingspatronen kunnen

ontstaan. Dit rapport gee~t berekeningen voor twee gevallen, n.l.

de reguliere weerkaatsing en de z.g. Mach-weerkaatsing, die beide

ook bij watergolven kunnen optreden (Miles, 1977; Berger, 1976).

De gegeven oplossingen gelden slechts nabij het punt van

weerkaatsing, zodat b.v. bOdemwrijving buiten beschouwing gelaten

kan worden. De bodem is horizontaal verondersteld.

Dit onderzoek is uitgevoerd in opdracht van de N.E.O.M. b.v.

2. Reguliere weerkaatsing

Het weerkaatsingspatroon voor het reguliere geval is

weergegeven in fig. 2a. Invallende sprong

(i>

en weerkaatste sprong (r) komen samen in een punt A op de oever; de sprongen

lopen met snelheden

ei

resp. cr. De hoek van inval

~i

zal in het algemeen verschillen van de hoek van weerkaatsing ~r' Het

speciale geval van loodrechte inval doet zich voor voor a.=O •_~

Voor het opstellen van vergelijkingen die de weerkaatsing

beschrijven bestaan twee, gelij~waardige, methoden. Bij de

eerste methode is het assenstelsel waaraan gerefereerd wordt in

rust ten opzichte van de ongestoorde vloeistof, terwijl het bij

de tweede methode meebeweegt met het weerkaatsingspunt A. Hoewel

de tweede methode direct een eenvoudiger vorm van het stelsel

vergelijkingen oplevert, is de eerste gekozen vanwege de

toepassing bij de later te behandelen Mach-weerkaatsing.

De volgende vergelijkingen staan ter beschikking:

uitdrukkingen voor

ci

en

cr'

op elementaire wijze af te leiden

uit het behoud van massa en momentum voor een lopende

water-sprong,

per sprong een relatie tussen de twee normale

snelheids-componenten voor en achter de sprong (uit het behoud van

massa),

per sprong de voorwaarde dat de snelheidscomponent evenwijdig

aan de sprong niet 'van grootte verand.ert als de sprong passeert (uit het behoud van momentum),

een kinematische voorwaarde, die aangeeft dat de stroomsnel-heid u achter (r) evenwijdig aan de oever is, en

r

een kinematische voorwaarde, die aangeeft dat het snijpunt van de twee sprongen op de oever blijft liggen (het punt A).

Achtereenvolgens vindt men:

a.+a

~ 0

c.

₌

~ 2

a +a.

r

~

_{cos(a.+a )}

c

=

-

u.

r

2 ~

~

r

(1) (2)

u

i

a .

=

c.(a.-a )

~ ~ ~ ~ 0 (3)

u a

sin a

+ u.a. cos(a.+a )

=

c (a -a.)

r r

r

~ ~

~

r

r

r

~

(4)

U

r cos ar

=

u. sin(a.+a )

~ ~ r

(5)

en de kinematische voorwaarde, zie fig. 2b,

c c.

__,._r_

= __,.__.;;;~_

sin ar

sin ai

(6)

zwaartekracht, a waterdiepte, u stroomsnelheid, a hoek met de

oever, index 0: ongestoord, index i: invall end en index r:

weerkaatst.

Onbekenden zijn ci ,cr' ui' ur' ar en ar. De grootheden ci en ui

volgen direct uit (1) en (3). Door elimineren van c~ cr' ui en ur

uit (1) t/m (5) vindt men

cos a r = cos a.1

a -a.

r 1 a.-a 1 0 ar a.+a1 0 ao a +a. r 1 (7)

Elimineren van cr' ui en ci uit (1), (2), (3) en (6) geeft

a a a +a. r 0 r 1 sin ar (8) a. a. a.+a 1 110 S1n a. 1

De vergelijkingen (7) en (8) leveren de onbekenden ar en ar.

Fig. 3 toont berekende waarden van a la._r als functie van a./a

1 1 0

voor een aantal hoeken van inval ai. In het beschouwde interval van a./a (1 < a./a < ca. 2,4) blijkt dat voor a.

<

300 de

1 0 1 0 1

waterstand achter de weerkaatste sprong nauwelijks afhangt (bij gegeven a./a ). Voor a.

1 0 1

van betekenis, vooral voor grotere waarden van ai/ao • De waarden van a la. zijn dan groter dan bij loodrechte inval. Dai (1984)

r 1

van a.

1

>

300 bestaan echter wel afwijkingen

vindt iets dergelijks voor eenlinggolven.

Ook blijkt dat voor een gegeven hoek van inval die groter is dan 300, er een waarde van a./a is waarboven geen reêle

1 0

oplossing meer bestaat, b.v. voor a./a

>

1,27 als a.

=

450• Het

1 0 1

is aannemelijk dat voor waarden van

a./a

groter dan deze

1 0

bovengrens z.g. Mach-weerkaatsing optreedt, zie par. 3.

Voor vaste a.

>

300 en vaste a./a kleiner dan genoemde

1 1 0

bovengrens bestaan twee oplossingen voor ar/ai. Alleen de kleinste wortel is weergegeven in fig. 3, omdat deze fysisch relevant is zolang nog geen andere vorm van weerkaatsing is opgetreden.

3. Mach-weerkaatsing

De configuratie van sprongen behorend bij de

Mach-weerkaatsing is in haar eenvoudigste vorm geschetst in fig. 4a. Behalve de weerkaatste sprong (r) treedt nu loodrecht op de oever een derde sprong (IIÜ op, die de verbi ndi ng vormt tussen het

snijpunt B van (i)en (r), en de oever. Dit snijpunt verplaatst

Iengte van (111) neemt dus gel ei del ijk toe, zie ook f ig. 4b. Een

aanpak waarbij het assenstelsel meebeweegt met punt

A

op de oever

biedt daardoor nu geen voordelen. De waterstand achter (m)en (r)

is weer

ar.

Om overbepaaldheid van het stelsel vergelijkingen

(zie hieronder) te vermijden, moet worden aangenomen dat een

contactvlak (C) ontstaat. Een dergelijk vlak is ook waargenomen

bij Mach-weerkaatsing in supersone gasstroming (b.v. Henderson

en Lozzi, 1979). Het contactvlak scheidt vloeistof die (m)

passeert van vloeistof die (r) passeert. Het vormt daardoor een

discontinufteit in de stroomsnelheid u •

r ' de waterdiepte ar

varieert daarentegen niet.

Bij verwaarlozing van mogelijke instationaire bijdragen

verloopt de afleiding van vergelijkingen voor Mach-weerkaatsing

op de zelfde wijze als voor reguliere weerkaatsing. De

vergelijkingen (I) tlm (5) gelden ook hier, zij het dat

ur

moet

worden vervangen door url • Zie fig. 4a. Voor de sprong (m) gelden

de relaties c_m

=

a +a r 0 2 (9) en

u

a

=

c (a -a )

r2 r m r 0 ( 10)

waarin cm de voortplanting~snelheid van (m) is, en ur2 de

stroomsnelheid achter (m).

De kinematische voorwaarde is nu dat de drie sprongen op elk

tijdstip in één punt (B) tezamen komen. Dit levert na enig

rekenwerk, zie fig. 4b,

c. cos a + c cos a.

=

c sin(a.+a)

~

r

r

~

m

~r

( 11>

De hoek X vol gt uit

c sin a.-c. sin a

r 1. 1. r

tan

X

= ~---~~----~---

_{c sin(a.+a)}

m ~ r

( 12)

Het geval X=O geldt voor reguliere weerkaatsing. Vergelijking 12

geeft dan weer (6).

Vergelijking 7, die een verband geeft tussen

ar

en

ar'

geldt

(1) , (2) , (3) en (9) , a a a +a. a a +a r 0 r ~ r r 0 _{sin(a.+a ) +}

--

cos a.

-a. -a. a.+a ~ a. a.+a ~ r ~ ~ ~ 0 ~ ~ 0 a.-a ~ 0 _{Cos(Cl.+a )} = 0 ( 13) + cos a cos Cl. r a. ~ ~ r ~

Bovenstaande vergelijkingen, en dus de oplossingen, gelden slechts in een zekere omgeving van het in fig. 4 weergegeven golfpatroon.

Voor de beschouwde waarden van

a./a

~ 0 levert

Mach-weerkaatsing in een aantal gevallen een hogere waterstand ar op dan reguliere weerkaatsing. De oorzaak hiervan is, dat nu de sprong (m) het snijpunt

B

moet "bijhouden".

Fig. 3 voor reguliere weerkaatsing kan nu met de verkregen vergelijkingen worden aangevuld. Het.resultaat is weergegeven in fig. 5. Een (discontinue) overgang van reguliere naar

Mach-weerkaatsing voor gegeven ai/ao en toenemende ai blijkt op te kunnen treden voor 35,60

<

ai

<

900• Hierbij neemt ar/ai in de meeste gevallen aanzienlijk toe. Een dergelijke discontinue

overgang is bij schokgolfvoortplanting in een gas ook waargenomen (Henderson en Lozzi, 1979). De hoek X die ontstaat na overgang neemt toe van 00 voor ai

=

35,60tot 37,80voor ai+900• In het

interval 300

<

Cl.

<

~

ander type Mach-weerkaatsing optreden

35,6~ kan mogelijk een overgang naar een (Ben-Dor en Glass, 1979, 1980); dit is echter niet onderzocht.

Fig. 5 geeft verder aan, dat als Cli verder,toeneemt constant blijft), ar/ai weer gaat afnemen en gelijk

(en a./a ~ 0 aan één weer wordt voor Cl.

=

900• ~

Als Mach-weerkaatsing optreedt en ai afneemt terwijl ai/ao constant blijft, kan overgang naar reguliere weerkaatsing

optreden bij een kleinere waarde van a. dan die geldend voor

~

overgang in tegengestelde richting. Ook de eerder genoemde tweede wortel bij reguliere weerkaatsing kan hierbij wellicht een rol spelen. Deze wortel is daarom ook weergegeven in fig. 5. Voor het bestaan van deze hystereseêffecten zijn aanwijzingen gevonden in de gasdynamica (Henderson en Lozzi, 1979).

4. Slotopmerking

Bovenstaande berekeningsresultaten worden onder enig

voorbehoud gepresenteerd, omdat experimentele gegevens waarmee verificatie zou kunnen plaatsvinden lijken te ontbreken. De meetresultaten voor lage eenling- en harmonische golven (b.v. Berger, 1976) zijn hier niet bruikbaar, vanwege het essentieel niet-lineaire karakter van de sprongrelaties voor

Literatuur

Ben-Dor, G. en l.I. Glass, 1979, Domains and boundaries of

non-stationary oblique shock-wave reflexions. 1. Diatomic gas.

J. Fluid Mech. 92, 3, pp.459-496.

Ben-Dor, G. en l.I. Glass, 1980, Domains and boundaries of

non-stationary oblique shock-wave reflexions. 2. Monatomic gas.

J. Fluid Mech. 96, 4, pp.735-756.

Berger, U., 1976, Mach-Reflexion als Diffraktions-problem. Mitt.

des Franzius-Instituts, Techn. Uno Hannover, Heft 43,

pp.356-439.

Dai, S.-Q., 1984, The generalized Boussinesq equations and

obliquely interacting solitary waves in a stratified fluid.

Appl. Math. Mech. ~, 4, pp.1469-1478 .

.Dewey, J.M. en D.J. McMillin, 1985, Observation and analysis of the Mach reflection of weak uniform plane shock waves. J. Fluid Mech. 152; part I, Observations, pp.49-66; part

11, Analysis, pp •67-81..

Fontijn, H.L., 1985, Golfoploop en -reflectie van een lopende watersprang tegen een talud deelstudie voor een Pomp Accumulatie Centrale in het IJsselmeer. Rapport nr. 15-85, Laboratorium voor Vloeistofmechanica, Afd. der Civiele Techniek, Techn. Hogeschool Delft.

Fontijn, H.L. en~. Kranenburg, 1985, Golfvoortplanting na dijkbreuk - deelstudie voor een Pomp Accumulatie Centrale

in het IJsselmeer. Rapport nr. 14-85, Laboratorium voor Vloeistofmechanica, Afd. der Civiele Techniek, Techn. Hogeschool Delft.

Henderson, L.F. en A. Lozzi, 1979, Further experiments on

transition to Mach reflexion. J. Fluid Mech. 94, 3, pp.541-559.

Hornung, H.G. en M.L. Robinson, 1982, Transition from regular to Mach reflection of shock waves. Part 2. The steady-flow criterion. J. Fluid Mech. 123, pp.155-164.

Miles, J.W., 1977, Respnantly interacting solitary waves. J. Fluid Mech. 79, 1, 171-179.

Notatie

a waterdiepte

c voortplantingssnelheid lopende watersprong

g versnelling van de zwaartekracht

u stroomsnelheid

a hoek tussen front en oever

X hoek tussen de door het snijpunt van drie fronten (bij

Mach-weerkaatsing) afgelegde weg en de oever

indices

l. invallende sprong

m Mach-sprong

0 ongestoorde toestand

c

·

_I

ongestoord

gebied

7777777777777777777

ver ticole

oever

Fig. 1. Bovenaanzicht van de beschouwde situatie.

o :

00

ar

ai

I

/'

-:

-:

-:

3~O/

/1

/

//

/

/

/

/

45

0./ ///

/J

/

. /

//

/

/

~ .

.

/~

/

~~

/»

60

h

?

-:

/

/

/

2

a.

=0

I

e-:

~-:::?

15

0 ~~o

~

30

ai

=0

ai

>0

grens reguliere

weerkaatsing

r ..Qi_

ao

0

\

C0

O=Oj _/

(i)

\

\

t

+

6t \ ~j/

\

\

/

/

\

/

~

/

0= Or

_\

_/

")l -: \ Cr 6t

_~

_'

_\

I ',. cj6t/

_/

I

\

<, JI I ~ .,urj \

/

\s-//

~~

ai

(c) -- - --

=ï:___

0=00

~

.

-1

I

_

~r.1~"

_

.s.,~

____

.

B

I

cm

I

I

Fig. 4. Mach-weerkaatsing.~. Definitieschets, (i) invallende sprong, (r) weerkaatste sprong, (m) Mach-sprong, (c) contactvlak, (s) door het snijpunt B afgelegde weg. ~. Bij kinematische voorwaarden (11) en (12).

"

0/

35,6.

__

,

-'.:---_ -. --.

-...::.-._

--.

-

- -'

.-

" -~

:_/'%

.

---

.

/

---

----

....

,

,

.

37°

1

_.

"

-;r;r-/

/

/

/ /' / ~

a

·

_I

i

"

_~

37

u,

=

0°

~~o

#~o

----

.

.

60°

/

-

__

--

-

_45°

/'

....

_....

-.

-<,

-'"./..

,

,

/

/'

.

/

'/

/

45°.1

.:

/1

/

/

-'

/

1 / 1 / 1 /,

.

/ ~ / I~

,/~

/f}

...

overgang reg

.

-Mach-weerkaatsing

Mach-weerkaatsilltg

2e oplossing reg.weerkaatsing

7'

---90°

2

---

....

~

ao