Modelowanie sieci złożonych

27  Download (0)

Pełen tekst

(1)

Dr hab. Agata Fronczak, prof. PW

Modelowanie sieci złożonych

Wykład z Sieci: 5 października 2017

Zakład Fizyki Układów Złożonych

Dwa przykłady

Modelowanie sieci złożonych

(2)

Przykład pierwszy:

Sieci dystrybucyjne

Modelowanie sieci złożonych

Przykład drugi:

Sieć handlu światowego

Modelowanie sieci złożonych

(3)

Układy złożone i fizyka

Modelowanie sieci złożonych

Społeczeństwo

Węzły:

ludzie

Połączenia:

relacje przyjaźni, pokrewieństwa, znajomości w pracy (na uczelni) etc.

Milgram (1967): paradygmat „sześciu stopni separacji”

Inny eksperyment Milgrama (1961): posłuszeństwo wobec autorytetów

(4)

Sieci małych światów

„Small-world” networks

Pierwszy eksperyment socjometryczny badający strukturę sieci społecznej wykonany w latach sześćdziesiątych w USA (Milgram & Travers).

Adresat- makler giełdowy pracujący w Bostonie;

Nadawcy- ok. 100 osób z Bostonu + ok.

100 maklerów giełdowych z Omaha (Nebraska) + ok. 100 osób z Omaha (Nebraska);

Wyniki badań- ok. 20% listów dotarło do celu; średnia droga jaką pokonał każdy z listów l ~ 6.5

[1] Travers & Milgram „

An experimental study of the small world problem”

(Sociometry, 1969)

[2] Kirby & Sahre

„Six degrees of Monica”

(New York Times, February 21, 1998) [3] Watts & Strogatz, „

Collective dynamics

of ‘small-world’ networks”

(Nature vol.393, page 440, 1998) [4] Newman et al.

„Mean-field solution for

the small-world network model”

Sieci małych światów

„Small-world” networks

(5)

Sieci rzeczywiste: sieci regularne, przypadkowe czy może coś innego ? Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych

Kryształy są przykładami sieci regularnych

Czy sieci społeczne są regularne?

Zdecydowanie NIE !

Węzły:ludzie Połączenia:

relacje przyjaźni, pokrewieństwa, znajomości w pracy, w szkole etc.

Społeczność fizyków polskich 

Przykłady sieci rzeczywistych: World-Wide-Web (WWW)

http://www.pw.edu.pl

Struktura sieci WWW w domenie www.if.pw.edu.pl Mapa Internetu http://www.caida.org/

Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych

(6)

Przykłady sieci rzeczywistych – sieć WWW

Sieć zależności pokarmowych Węzły:

gatunki Połączenia:

relacje pokarmowe

Sieć transakcji między bankami Węzły:

banki Połączenia:

pożyczki, kredyty

Sieci genetyczne: zależności między genami Węzły:

geny Połączenia:

relacje regulacyjne aktywacji / dezaktywacji Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych

(7)

http://www.caida.org/

Sieć WWW: World Wide Web metodyka badań

800 million documents (S. Lawrence, 1999)

ROBOT:

collects all URL’s found in a document and follows them recursively

Świat jest mały !

Własności sieci rzeczywistych

sieci rzeczywiste są „bezskalowe”

• sieci rzeczywiste są rzadkie

• sieci rzeczywiste są silnie „zgronowane”

• sieci rzeczywiste są „małymi światami”

N k 

1 C

Ak

k P( )

N l

Prof. Michał Kleiber Obecnie: Prezes PAN

2001-2005: Minister Nauki i Informatyzacji Prof. Janusz Hołyst

Wydział Fizyki PW

Staś Fronczak Mój synek

Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych

(8)

Własności sieci rzeczywistych:

w większości sieci rzeczywistych rozkład stopni węzłów (tzn. prawdopodobieństwo, że węzeł ma określoną liczbę najbliższych sąsiadów) jest dany prawem potęgowym

Sieć autostrad w USA

Krzywa „dzwonowata”

liczba połączeń k

liczba węzłów o kpołączeniach

Większość węzłów ma tę samą liczbę połączeń. Brak silnie usieciowionych węzłów

Sieć połączeń lotniczych w USA

Rozkład potęgowy

liczba węzłów o kpołączeniach

Ogromna liczba węzłów słabo usieciowionych.

W sieci są obecne tzw. huby”.

liczba połączeń k

Ak

k P ( )

Przykłady i własności rzeczywistych sieci złożonych

Bezskalowy rozkład stopni wierzchołków

Własności sieci rzeczywistych

(9)

Internet

(Faloutsos, Faloutsos and Faloutsos, 1999) Węzły: komputery / rutery/

systemy autonomiczne

Połączenia: fizyczne połączenia

Sieć aktorów filmowych

Węzły: aktorzy

Połączenia: jeśli aktorzy byli w obsadzie tego samego filmu

N = 212 250

k = 28.78

P(k) ~k

-

Days of Thunder (1990) Far and Away (1992) Eyes Wide Shut (1999)

=2.3

(10)

Science Citation Index

( = 3)

(S. Redner, 1998)

P(k) ~k -

1736 PRL papers (1988)

2212 25

Witten-Sander PRL 1981 Węzły: artykuły

Połączenia: cytowania

Mapa Współpracy Naukowej:

naukowcy zajmujący się sieciami złożonymi

(11)

Sieci zależności pokarmowych (food webs)

R.J. Williams, N.D. Martinez Nature (2000) Węzły: gatunki

Połączenia: relacje drapieżnik - ofiara

Rys. Rozkład liczby partnerów seksualnych dla kobiet i mężczyzn w Szwecji (18-74)

a) w ciągu ostatnich 12 miesięcy α(k)=2.54, α(m)=2.31 b) w ciągu całego życia α(k)=2.1, α(m)=1.6.

(12)

Rozkład stopni wierzchołkówP(k)

Rozkład wielkości kredytów międzybankowych

Rynek transakcji międzybankowych w Austrii

Co to wszystko ma wspólnego z fizyką ? Co to jest fizyka ?

Fizyka ... filozofia natury, opis i przewidywanie zjawisk

(13)

Dlaczego potęgowe rozkłady stopni wierzchołków są ważne ? Dlaczego o takich rozkładach mówi się, że są

bezskalowe, samopodobne?

Sieć autostrad Sieć połączeń lotniczych

W pobliżu punktu krytycznego układy stają się samopodobne:

w przestrzeni rzeczywistej –tzn. są fraktalami

w funkcji odległości od punktu krytycznego są opisane prawami potęgowymi

Zjawiska krytyczne

- hipoteza skalowania, metoda grupy renormalizacji

(14)

Metoda grupy renormalizacyjnej w zastosowaniu do modelu Isingana sieci kwadratowej

Rysunek przedstawia metodę renormalizacji przestrzeni wykorzystaną na następnych rysunkach:

1) sieć kwadratową obrazującą pierwotną konfigurację spinów a dzieli się na komórki renormalizacyjne zawierające x2=9 spinów sia

2) konfigurację b otrzymuje się w ten sposób, że każdą komórkę renormalizacyjną zastępuje się jednym zrenormalizowanym spinem.

3) postępując według powyższych wskazówek można wykonywać kolejne renormalizacje.

Samopodobieństwoukładu spinów Isinga na sieci kwadratowej

W punkcie krytycznym układ jest SAMOPODOBNY

we wszystkich skalach obserwacji.

Nie zmienia swoich własności podczas renormalizacji

(15)

Większość sieci rzeczywistych jest samopodobna (rozkład stopni wierzchołków jest niezmienniczy z uwagi na procedurę renormalizacyjną)

Sieci posiadają dobrze określony wymiar fraktalny !

Wymiar pudełkowy sieci rzeczywistych

(16)

Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złożonych Dlaczego ważna jest struktura sieci złożonych ?

Przykłady:

1. Szum 1/f

2. Lawiny śniegu, trzęsienia ziemi 3. Pożary lasów

4. Plamy na słońcu

5. Masowe wymieranie gatunków 6. Gra „life”

Dynamika układu spontanicznie prowadzi układ do stanu krytycznego.

Samoorganizująca się krytyczność SOC

(17)

Dynamika układu spontanicznie prowadzi układ do stanu krytycznego.

b a

t t P

s s P

~ ) (

~ ) (

Sandpile model:

model sterty piachu

Ryzyko systemowe, system rezerw -

systemic risk

Zakażenie systemu finansowego –

contagion

Kryzysy finansowe –

financial crises

Utrata płynności ( bankructwo) jednego (kilku ) banków

Kryzys systemu finansowego Wielka Depresja 1931-32;

Kryzys Azjatycki 1999;

Efekt domino

Rynek transakcji międzybankowych

(18)

ryzyko systemowe wielkie wymierania

? Meteoryt ? Wielkie zlodowacenie ? Katastrofa ekologiczna (metan) ? SOC ?

Sieci zależności pokarmowych

Aplikacyjne aspekty nauki o sieciach złożonych Dlaczego ważna jest struktura sieci złożonych ?

2. Netwars

 Jak walczyć z grupami przestępczymi ?

(gangi młodzieżowe, dealerzy narkotyków, organizacje terrorystyczne) 1. Zagadnienie odporności sieci

 Czy Internet jest odporny na przypadkowe błędy węzłów / połączeń i celowe ataki hakerów ?

(sieci metaboliczne, sieci zależności pokarmowych itd.)

3. Epidemiologia

 Czy struktura sieci społecznych ma wpływ na rozprzestrzenianie się chorób zakaźnych ?

PERKOLACJA

(19)

Perkolacja w klasycznych grafach przypadkowych

ODPORNOŚĆ SIECI

R.Albert, H. Yeong, A-L.Barabasi

Error and attack tolerance of complex networks NATURE vol. 406, p378

Atak na sieć– usunięcie

(zablokowanie) najważniejszych (najlepiej usieciowionych węzłów) Przypadkowy błąd węzła / krawędzi losowy węzeł / krawędź ulega zablokowaniu (awarii itp.)

W Internecie stale jest zablokowanych ok.

5% routerów.

Duży komponent (S~N) Sieć prawiespójna.

Duży komponent (S<<N) Sieć niespójna.

(20)

NETWARS

Sieci rzeczywiste – Struktura gangu młodzieżowego

(21)

NETWARS

Sieci rzeczywiste – Sieć dealerów narkotykowych

V.E. Krebs

Mapping Networks of Terrorist Cells Connections 24(3): 43-52

Analiza sieci 19 terrorystów, którzy wzięli udział w zamach na World Trade Center we wrześniu 2001 r.

(22)

Trusted Prior Contacts Network połączenia między terrorystami zostały ustanowione na podstawie tzw. podstawowych kontaktów – np.

znajomości szkolne, wspólnie odbyty kurs pilotażu.

Charakterystyki sieci:

1) Sieć wyjątkowo rzadka;

2) Rozmiar N=19 3) Średnia droga l=4.75

4) Współczynnik gronowania C=0.4 Przemówienie Osamy bin Ladena ... Those who were trained to fly didn’t know the others. One group of people did not know the other group ...

Meeting ties - połączenia koordynacji projektem – spotkanie w Las Vegas na tydzień przed zamachem.

W spotkaniu wzięli udział

przedstawiciele wszystkich czterech komórek terrorystycznych

(23)

Najbliższe Otoczenie Terrorystów zaopatrzenie / pieniądze / informacja W tej strukturze Mahomed Attaujawnia się jako rzeczywisty lider terrorystów.

Widoczne jest także silnie sklastrowana terrorystyczna komórka pracująca w Hamburgu (Niemcy), z której wywodził się M.Atta

Wnioski

1) Ukryte / przestępcze sieci nie zachowują się jak zwykłe sieci społeczne.

2) Dążenie do minimalizacja kontaktów utrudnia identyfikację prawdziwych połączeń.

3) W sieci takiej istnieją silne powiązania, które przez długi czas mogą pozostawać w spoczynku (np. przeszłe zobowiązania, znajomości szkolne itd).

Spinowe metody detekcji modułów (gron, grup)

w sieciach

(24)

EPIDEMIOLOGIA

Sieci rzeczywiste – Internet – wirus Code Red Worm

(25)

Klasyczne grafy przypadkowe: przykład sieci statycznej (równowagowej) Podstawowe modele sieci złożonych

PaulErdös (1913-1996) Procedura konstrukcyjna

Liczba wierzchołków jest stała N,

Każda para węzłów jest połączona krawędzią z prawdopodobieństwem p Model demokratyczny -zupełnie losowy

p=0 p=0.1

p=0.5 p=1

Rozkład stopni wierzchołków

 

1 ! ) 1

( 1

k e p k

k p k N P

k k k k N

 

 

 

A.-L. Barabasi (1967) Sieci ewoluujące BA: przykład sieci rosnącej (nierównowagowej)

Podstawowe modele sieci złożonych

3

2 2

)

( k

k m P

Rozkład stopni wierzchołków Procedura konstrukcyjna

Liczba wierzchołków nie jest stała, ale zmienia się w czasie – sieć rośnie

Nowe węzły nie są przyłączane do istniejącej już sieci losowo. Prawdopodobieństwo, że nowy węzeł dołączy się do starego węzła zależy liniowo od stopnia tego węzła -reguła preferencyjnego dołączania.

„Bogaty staje się jeszcze bardziej bogatszy”

(26)

Preferencyjne dołączenie, a idea kopiowania węzłów

Sieci o zadanym Hamiltonianie – statystyczna zbiorowość sieci (ansamble sieci) Podstawowe modele sieci złożonych

Procedura konstrukcyjna jest losowa, tzn. można utworzyć różne sieci.

Są różne prawdopodobieństwa realizacji poszczególnych sieci.

(27)

Obraz

Updating...

Cytaty

Powiązane tematy :