Analiza matematyczna 1
Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki
3 Przestrzenie metryczne
Jedn¡ z najwa»niejszych funkcji rzeczywistych jest warto±¢ bezwzgl¦dna:
|a| =
(a je±li a ≥ 0,
−a je±li a < 0.
Warto±¢ bezwzgl¦dna liczby x to odlegªo±¢ punktu x od 0 na osi liczbowej. Ta interpretacja przydaje si¦ do szybkiego rozwi¡zywania prostych nierówno±ci.
Przykªad 1. Rozwi¡za¢ nierówno±¢ |x − 2| < |x|.
Rozwi¡zanie. Rozwi¡zaniem jest zbiór tych x, które bli»sze s¡ 2 ni» 0. S¡ to oczywi±cie wszyst- kie liczby wi¦ksze od 1.
Korzystaj¡c z de nicji warto±ci bezwzgl¦dnej, musieliby±my rozwa»y¢ trzy przypadki: x < 0, 0 ≤ x < 2 oraz 2 ≤ x. Byªoby to mo»e rozwi¡zanie bardziej formalne, ale dªu»sze i mniej intuicyjne.
Uogólnieniem odlegªo±ci na osi liczbowej, uwzgl¦dniaj¡cym tak»e odlegªo±¢ na pªaszczy¹nie, w przestrzeni i wiele innych przykªadów, jest poj¦cie metryki.
De nicja. Niech X b¦dzie niepustym zbiorem. Metryk¡ na zbiorze X nazywamy dowoln¡
funkcj¦ d : X × X → [0, ∞), speªniaj¡c¡ nast¦puj¡ce warunki:
d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y (x, y ∈ X) (warunek to»samo±ci); (1)
d(x, y) = d(y, x) (x, y ∈ X) (warunek symetrii); (2)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (x, y, z ∈ X) (warunek trójk¡ta). (3) Zbiór X wraz z metryk¡ d tworzy przestrze« metryczn¡.
Metryki najcz¦±ciej oznacza si¦ literami d, %, δ.
Przykªad 2. Metryka moduª ró»nicy: Niech d : R × R → [0, ∞), d(x, y) = |x − y|. Spraw- dzenie warunków metryki jest prostym ¢wiczeniem.
Przez Rn oznaczamy zbiór wszystkich n-elementowych ci¡gów liczb rzeczywistych. Ele- menty tego zbioru oznaczamy (a1, a2, ..., an) itp.
Przykªad 3. Metryka euklidesowa w przestrzeni n-wymiarowej: d : Rn× Rn→ [0, ∞), d((a1, a2, ..., an), (b1, b2, ..., bn)) =p
(a1− b1)2+ (a2 − b2)2+ ... + (an− bn)2. Sprawdzamy warunki metryki. Warunek to»samo±ci:
d((a1, a2, ..., an), (b1, b2, ..., bn)) = 0 ⇐⇒ (a1− b1)2+ (a2− b2)2+ ... + (an− bn)2 = 0
⇐⇒ a1− b1 = a2− b2 = ... = an− bn = 0
⇐⇒ (a1, a2, ..., an) = (b1, b2, ..., bn);
skorzystali±my tu z faktu, »e suma liczb nieujemnych jest równa zero wtedy i tylko wtedy, gdy ka»da z tych liczb jest równa zero. Warunek symetrii:
d((a1, a2, ..., an), (b1, b2, ..., bn)) = d((b1, b2, ..., bn), (a1, a2, ..., an))
wynika z równo±ci (aj − bj)2 = (bj − aj)2. Warunek trójk¡ta:
d((a1, a2, ..., an), (c1, c2, ..., cn)) ≤ d((a1, a2, ..., an), (b1, b2, ..., bn)) + d((b1, b2, ..., bn), (c1, c2, ..., cn) zapiszmy, podstawiaj¡c aj − bj = pj, bj − cj = qj, aj− cj = pj+ qj:
p(p1+ q1)2+ (p2+ q2)2+ ... + (pn+ qn)2 ≤ q
p21+ p22+ ... + p2n+ q
q21+ q22+ ... + qn2. Jest to tzw. nierówno±¢ Minkowskiego, któr¡ udowodnimy, korzystaj¡c z nierówno±ci Cauchy'ego-Buniakowskiego-Schwarza. Obie strony nierówno±ci Minkowskiego s¡ nieujemne, wi¦c jest ona równowa»na nierówno±ci:
(p1+ q1)2+ (p2+ q2)2+ ... + (pn+ qn)2 ≤ p21+ p22+ ... + p2n + q21+ q22 + ... + qn2 + 2
q
p21+ p22+ ... + p2n· q
q21+ q22 + ... + qn2. Po redukcji, otrzymujemy równowa»nie:
p1q1+ p2q2+ ... + pnqn≤ q
p21+ p22 + ... + p2n· q
q12+ q22+ ... + qn2. Jest to nierówno±¢ Cauchy'ego-Schwarza-Buniakowskiego.
Uwaga. Dla n = 1 metryka euklidesowa jest równa metryce moduª ró»nicy. Dla n = 2 oraz n = 3 jest to zwykªa odlegªo±¢ odpowiednio na pªaszczy¹nie i w przestrzeni trójwymiarowej.
Przykªad 4. Dla punktów x, y na sferze (tj. na powierzchni kuli) niech d(x, y) oznacza dªugo±¢
najkrótszego ªuku ª¡cz¡cego x i y w caªo±ci zawartego w sferze, a %(x, y) dªugo±¢ odcinka ª¡cz¡cego x i y. Mo»na dowie±¢, »e d i % s¡ metrykami oraz »e %(x, y) ≤ d(x, y) ≤ π %(x, y).
Przykªad 5. Niech d b¦dzie metryk¡ moduª ró»nicy na R i niech % b¦dzie tzw. metryk¡
dyskretn¡: %(x, y) = 0 je±li x = y oraz %(x, y) = 1 w przeciwnym przypadku. Wówczas nie istniej¡ liczby dodatnie m i M takie, »e m %(x, y) ≤ d(x, y) dla wszystkich x, y ∈ R lub d(x, y) ≤ M %(x, y).
Poj¦cie metryki ma odpowiada¢ odlegªo±ci. Warunek to»samo±ci mówi, »e odlegªo±¢ mi¦- dzy ró»nymi punktami jest zawsze dodatnia. Warunek symetrii mo»na rozumie¢ nast¦puj¡co:
mierzona jest odlegªo±¢ mi¦dzy dwoma punktami, a nie odlegªo±¢ z jednego punktu do drugiego.
W wielu przypadkach z »ycia ten warunek nie jest speªniony, np. odlegªo±ci podawane na szla- kach górskich cz¦sto zale»¡ od kierunku, w którym szlak jest przemierzany. Warunek trójk¡ta oznacza, »e (najkrótsza) droga z punktu x do punktu z nie mo»e by¢ dªu»sza od najkrótszej drogi z x do z przechodz¡cej dodatkowo przez y.
Z warunków (1)(3) wynika wiele innych wªasno±ci.
Wniosek. Je±li d jest metryk¡ na zbiorze X, to dla wszystkich x, y, z zachodzi d(x, y) ≥ |d(x, z) − d(y, z)| .
Dowód. Wobec warunku trójk¡ta (i symetrii),
d(x, y) ≥ d(x, z) − d(y, z) oraz d(x, y) ≥ d(y, z) − d(x, z).
St¡d i z de nicji warto±ci bezwzgl¦dnej wynika teza.
Teoria przestrzeni metrycznych jest cz¦±ci¡ topologii, dziedziny matematyki zajmuj¡cej si¦
przeksztaªceniami ci¡gªymi. Obszerniejsze wprowadzenie do tej dziedziny wymagaªoby zbyt du»o czasu. Przestrzenie metryczne b¦d¡ dla nas kontekstem do rozwa»a« o granicy, ci¡gªo±ci funkcji rzeczywistych itp.
Je±li nie jest powiedziane inaczej, w zbiorze liczb rzeczywistych zawsze mówimy o metryce
4 Ci¡gi i zbie»no±¢
De nicja. Ci¡giem elementów zbioru X nazywamy dowoln¡ funkcj¦ a : N → X. Czasem przez ci¡g b¦dziemy rozumieli funkcj¦ a : {k, k + 1, k + 2, k + 3, ...} → X, gdzie k jest dowoln¡
liczb¡ caªkowit¡. Wielko±¢ a(n) nazywamy n-tym wyrazem ci¡gu a i oznaczamy an. Cz¦sto zamiast ci¡g a mówimy ci¡g (an), ci¡g (an : n ∈ N) lub po prostu ci¡g an. Zbiór wszystkich ci¡gów elementów X oznaczamy przez XN.
Ci¡gi mog¡ by¢ zadane jawnym wzorem (np. an= 2n−1), rekurencyjnie (np. an+1 = 2an+1 dla n ≥ 1, a1 = 1) lub w dowolny inny sposób (np. anto minimalna liczba ruchów, by przenie±¢
wie»¦ wysoko±ci n w ªamigªówce wie»e z Hanoi).
De nicja. Ci¡g liczb rzeczywistych nazywamy ci¡giem liczbowym. Mówimy, »e (an)to:
• ci¡g arytmetyczny, je±li ró»nica an+1− an nie zale»y od n;
• ci¡g geometryczny: je±li an6= 0 oraz iloraz an+1an nie zale»y od n;
• ci¡g staªy, je±li warto±¢ an nie zale»y od n;
• ci¡g rosn¡cy lub ci¡g ±ci±le rosn¡cy, je±li an+1 > an dla ka»dego n;
• ci¡g malej¡cy lub ci¡g ±ci±le malej¡cy, je±li an+1 < an dla ka»dego n;
• ci¡g niemalej¡cy lub ci¡g rosn¡cy w szerszym sensie, je±li an+1≥ an dla ka»dego n;
• ci¡g nierosn¡cy lub ci¡g malej¡cy w szerszym sensie, je±li an+1≤ an dla ka»dego n;
• ci¡g monotoniczny, je±li jest ci¡giem niemalej¡cym lub ci¡giem nierosn¡cym;
• ci¡g ±ci±le monotoniczny, je±li jest ci¡giem rosn¡cym lub ci¡giem malej¡cym;
• ci¡g ograniczony (ogr. z góry, ogr. z doªu), je±li zbiór wyrazów {an : n ∈ N} jest ograniczony (ogr. z góry, ogr. z doªu).
Przykªad 6. • Ci¡g (an)dany wzorem an = 2n+3jest ci¡giem arytmetycznym, rosn¡cym, ograniczonym z doªu.
• Ci¡g (an)dany wzorem an= 3 · 2−n jest ci¡giem geometrycznym, malej¡cym, ograniczo- nym.
• Ci¡g (an) dany wzorem an = (−10)n jest ci¡giem geometrycznym, niemonotonicznym, nieograniczonym.
• Ka»dy ci¡g arytmetyczny jest ci¡giem staªym, rosn¡cym lub malej¡cym.
Przykªad 7 (ci¡g Fibonacciego). Leonardo Fibonacci rozwa»aª w opublikowanym w 1202 roku dziele Liber abaci nast¦puj¡cy uproszczony model rozmna»ania si¦ królików. W pierwszym miesi¡cu jest jedna mªoda para królików i nie ma dojrzaªych królików. Mªode króliki dojrzewaj¡
w ci¡gu jednego miesi¡ca, dorosªe umieraj¡ po kolejnym miesi¡cu, a ka»da para co miesi¡c wydaje na ±wiat par¦ mªodych.
Niech an oznacza liczb¦ mªodych par w n-tym roku, a bn liczb¦ par dorosªych. Wówczas
a1 = 1, an+1= an+ bn,
b1 = 0, bn+1= an.
Dla n ≥ 3 mamy wi¦c:
an= an−1+ bn−1= an−1+ an−2
i ponadto a1 = 1, a2 = 1. Rosn¡cy ci¡g liczb caªkowitych (an) nazywany jest ci¡giem Fibo- nacciego (byª on jednak badany du»o wcze±niej przez matematyków hinduskich).
De nicja. Ci¡g (bn) nazywamy podci¡giem ci¡gu (an), je±li istnieje rosn¡cy ci¡g liczb natu- ralnych (kn) taki, »e bn = akn dla wszystkich n.
Przykªad 8. Je±li an = 2n, bn = 4n, to bn = a2n, wi¦c (bn) jest podci¡giem (an). Podci¡g ci¡gu rosn¡cego jest rosn¡cy, analogiczn¡ wªasno±¢ maj¡ ci¡gi niemalej¡ce, malej¡ce, nierosn¡ce, monotoniczne, ograniczone. Podci¡g (cn) podci¡gu (bn) ci¡gu (an) sam jest podci¡giem ci¡gu (an); je±li bowiem cn= bln, bn= akn, to cn= akln.
De nicja. Mówimy, »e twierdzenie zachodzi dla prawie wszystkich liczb naturalnych, je±li jest ono nieprawdziwe dla sko«czenie wielu liczb naturalnych. Równowa»nie: twierdzenie zachodzi dla prawie wszystkich liczb naturalnych, je±li istnieje N ∈ N takie, »e twierdzenie zachodzi dla wszystkich n ≥ N.
Przykªad 9. Dla wszystkich liczb naturalnych n zachodzi 2n ≥ n, za± dla prawie wszystkich 2n≥ n2 (wyj¡tkiem jest n = 3). Równie» dla prawie wszystkich n mamy 2n> n3 nierówno±¢
ta jest faªszywa tylko dla n ∈ {2, 3, ..., 9}. Ogólniej mo»na udowodni¢, »e dla ka»dego k, dla prawie wszystkich n ∈ N zachodzi 2n≥ nk.
Warto podkre±li¢, »e kwanty katora dla ka»dego nie mo»na zamieni¢ miejscami z kwanty ka- torem dla prawie wszystkich, bowiem zdanie
dla prawie wszystkich n ∈ N, dla ka»dego k zachodzi 2n ≥ nk
jest faªszywe dla dowolnego n > 1 znajdziemy k (np. k = n + 1) takie, »e 2n < nk.
De nicja. Niech (an) b¦dzie ci¡giem elementów przestrzeni metrycznej X z metryk¡ d. Mó- wimy, »e ci¡g (an)jest zbie»ny do granicy g ∈ X, co zapisujemy w postaci
n→∞lim an= g lub an→ g gdy n → ∞,
je±li speªniony jest nast¦puj¡cy warunek:
dla ka»dego ε > 0, warunek d(an, g) < ε zachodzi dla prawie wszystkich n. (4) Równowa»nie,
dla ka»dego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, »e dla n ≥ N zachodzi d(an, g) < ε, (5) lub symbolicznie:
^
ε>0
_
N ∈N
^
n≥N
d(an, g) < ε.
Je±li ci¡g nie jest zbie»ny, mówimy, »e jest rozbie»ny.
Uwaga. Cz¦sto wygodnie jest wprost podkre±li¢ zale»no±¢ N od ε, tj. zapisa¢ de nicj¦ zbie»no±ci ci¡gu (an) do g w postaci:
n→∞lim an= g ⇐⇒ istnieje funkcja N taka, »e ^ ^
d(an, g) < ε. (6)
Twierdzenie. Ka»dy ci¡g ma co najwy»ej jedn¡ granic¦.
Dowód. Je±li g i h s¡ granicami ci¡gu (an), to dowolnego ε > 0, dla prawie wszystkich n:
d(g, h) ≤ d(g, an) + d(an, h) < ε + ε = 2ε.
St¡d d(g, h) = 0, czyli g = h.
Twierdzenie. Podci¡g ci¡gu zbie»nego jest zbie»ny do tej samej granicy.
Przypomnijmy, »e je±li nie jest zaznaczone inaczej, dla ci¡gów liczbowych u»ywamy metryki
moduª ró»nicy. Zatem w tym przypadku:
n→∞lim an= g ⇐⇒ ^
ε>0
_
N ∈N
^
n≥N
|an− g| < ε.
Przykªad 10. Ci¡g staªy (an), gdzie an = c dla wszystkich n, jest zbie»ny do c w dowolnej metryce.
Przykªad 11. Ci¡g (n1), a wi¦c równie» ka»dy jego podci¡g, jest zbie»ny do zera.
Przykªad 12. Ci¡g (an) dany wzorem an = n+1n jest zbie»ny do 1. W istocie, niech ε > 0.
Zauwa»my, »e
d(an, 1) =
n+1n − 1
= n+11 .
Aby zachodziªo d(an, 1) < ε, wystarcza n + 1 > 1ε, zatem w de nicji (6) wystaczy wzi¡¢ np.
N (ε) =1
ε − 1
(przez dxe oznaczamy najmniejsz¡ liczb¦ caªkowit¡ nie mniejsz¡ od x, czasem nazywan¡ su tem liczby x).
Uwaga. W metryce dyskretnej ρ powy»szy ci¡g (an)nie jest zbie»ny do 1, bowiem ρ(an, 1) = 1. Przykªad 13. Ci¡g (an), gdzie an = √n
3, jest zbie»ny do 1. W istocie, an ≥ 1, za± na mocy nierówno±ci Bernoulliego,
an= √n 3 = n
r
1 + n · 2 n ≤ n
s
1 + 2
n
n
= 1 + 2 n. St¡d |an− 1| ≤ n2, wi¦c aby |an− 1| < εwystarcza, »e n > 2ε.
Przykªad 14. Ci¡g (pn) punktów pªaszczyzny R2, pn = (xn, yn), jest zbie»ny w metryce euklidesowej do granicy g = (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy limn→∞xn= aoraz limn→∞yn = b. Dowód. Niech ε > 0. Je±li d(pn, g) < ε, to równie» |xn− a| < ε oraz |yn− b| < ε. To dowodzi implikacji w jedn¡ stron¦. Podobnie, je±li |xn− a| < ε oraz |yn− b| < ε, to d(pn, g) <√
2 ε. Z tego powodu zbie»no±¢ (xn) do a oraz (yn) do b poci¡ga zbie»no±¢ pn do g w metryce d.
Twierdzenie. Je±li an= bn dla prawie wszystkich n, to (an)jest zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy (bn) jest zbie»ny, i w tym przypadku oba ci¡gi maj¡ t¦ sam¡ granic¦.
Twierdzenie. Ci¡g (an)jest zbie»ny do g w metryce d wtedy i tylko wtedy, gdy ci¡g liczbowy (d(an, g)) jest zbie»ny do zera.
De nicja. Ci¡g (an) nazywa si¦ ci¡giem podstawowym (lub ci¡giem Cauchy'ego b¡d¹ ci¡giem fundamentalnym), je±li
dla ka»dego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, »e dla wszystkich k, l ≥ N zachodzi d(ak, al) < ε.
Symbolicznie:
^
ε>0
_
N ∈N
^
k≥N
^
l≥N
d(ak, al) < ε.
Twierdzenie. Ka»dy ci¡g zbie»ny jest ci¡giem podstawowym. Podci¡g ci¡gu podstawowego jest ci¡giem podstawowym. Je±li ci¡g jest podstawowy i zawiera podci¡g zbie»ny do pewnej granicy g, to caªy ci¡g jest zbie»ny do g.
