Zbiory liczbowe, funkcje
Zbiory liczbowe Wprowadzamy nast¦puj¡ce oznaczenia zbiorów liczbowych:
• N = {1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb naturalnych;
• Z = {. . . , 2, −1, 0, 1, 2, . . .}- zbiór liczb caªkowitych (w szkole ponadgimnazjalnej ozna- czany przez C );
• Q = {
ab; a, b ∈ Z, gdzie b 6= 0}-zbiór liczb wymiernych;
• R-zbiór liczb rzeczywistych.
Przedziaªy Niech a, b ∈ R oraz a < b. Wówczas okre±lamy:
• [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} -przedziaª domkni¦ty;
• (a, b) := {x ∈ R : a < x < b} -przedziaª otwarty;
• [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b} -przedziaª prawostronnie otwarty (lub lewostronnie domkni¦ty);
• (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b} -przedziaª lewostronnie otwarty (lub prawostronnie domkni¦ty);
• (a, ∞) := {x ∈ R : a < x} -przedziaª prawostronnie niesko«czony;
• (∞, b) := {x ∈ R : a < x} -przedziaª lewostronnie niesko«czony.
Kwantykatory
Cz¦sto, zwªaszcza podczas ró»nego rodzaju denicji, u»ywa¢ b¦dziemy wyra»e«: dla ka»dego x . . . , oraz istnieje x takie, »e.... Zamiast tych wyra»e« b¦dziemy u»ywa¢ symbolicznych oznacze«
tak zwanych kwantykatorów, odpowiednio ogólnego i szczegóªowego, pozwalaj¡cych skraca¢ zapisy.
Denicja 1. Wyra»enie dla ka»dego x... nazywamy kwantykatorem ogólnym i zapisujemy go
∀
x. Inne mo»liwe (spotykane w literaturze) oznaczenie to V
x
.
Denicja 2. Wyra»enie istnieje x takie, »e ... nazywamy kwantykatorem szczegóªowym i zapi- sujemy go
∃
x. Inne mo»liwe oznaczenie to W
x
.
Zbiory ograniczone
Denicja 3. Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X ⊆ R, gdy
∀
x∈Xx ≥ m.
Liczb¦ M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru X ⊆ R, gdy
∀
x∈Xx ≤ M.
Zbiór jest ograniczony z doªu (z góry) gdy posiada ograniczenie dolne (górne). Zbiór ograniczony zarówno z góry jak i z doªu nazywamy zbiorem ograniczonym.
Przykªad 1. Rozwa»my zbiory:
A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} .
• Zbiór A nie jest ograniczony z doªu przez »adn¡ liczb¦ rzeczywist¡. Jest on natomiast ogra- niczony z góry np. przez liczby 100, 8, 4
201312oraz 4.
• Zbiór B jest ograniczony z doªu np. przez liczby rzeczywiste: −3, 0, 2. Jest on równie»
ograniczony z góry np. przez liczby 100, 8, 0001 oraz 8. Zatem jest to zbiór ograniczony.
• Zbiór C jest ograniczony z doªu np. przez liczby rzeczywiste: −100, −7, −3. Jest on równie»
ograniczony z góry np. przez liczby 100, 3
12oraz π.
Element najwi¦kszy i najmniejszy zbioru
Denicja 4. Liczba a jest najwi¦kszym elementem zbioru X ⊆ R wtedy i tylko wtedy gdy a ∈ X oraz ∀
x∈Xx ≤ a.
Zapisujemy wówczas a = max X.
Denicja 5. Liczba b jest najmniejszym elementem zbioru X ⊆ R wtedy i tylko wtedy gdy b ∈ X oraz ∀
x∈Xx ≥ b.
Zapisujemy wówczas b = min X.
Przykªad 2. Rozwa»my zbiory:
A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} .
• Zbiór A nie posiada elementu najmniejszego. Posiada natomiast element najwi¦kszy, jest nim: max A = 4.
• Zbiór B nie posiada elementu najmniejszego jak równie» i najwi¦kszego.
• Zbiór C posiada elementu najmniejszy, jest nim min C = −3. Posiada równie» element naj-
Kresy zbiorów
Denicja 6. Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊆ R je±li jest jego najwi¦kszym ogra- niczeniem dolnym, tzn.
∀
x∈Xa ≤ x oraz ∀
ε>0∃
x0∈Xx
0< a + ε.
Denicja 7. Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊆ R je±li jest jego najmniejszym ogra- niczeniem górnym, tzn.
∀
x∈Xx ≤ b oraz ∀
ε>0∃
x0∈Xx
0> b − ε.
Kres dolny zbioru X oznaczamy jako inf X (czyt. inmum zbioru X), a kres górny jako sup X (czyt. supremum zbioru X). W przypadku gdy zbiór nie jest ograniczony z doªu (z góry) piszemy,
»e inf X = −∞ (sup X = ∞).
Uwaga 1. (aksjomat ci¡gªo±ci)
Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny, a ograniczony z góry ma kres górny.
Przykªad 3. Rozwa»my zbiory:
A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} . Wówczas:
• inf A = −∞, sup A = 4;
• inf B = 2, sup B = 8;
• inf C = −3, sup C = π.
Funkcja
Denicja 8. Niech X, Y ⊆ R b¦d¡ dowolnymi zbiorami liczbowymi, a f to reguªa (relacja), która ka»demu elementowi x ∈ X przyporz¡dkowuje dokªadnie jeden element y ∈ Y. Wówczas trójk¦
(X, Y, f ) nazywamy funkcj¡ i zapisujemy f : X → Y.
Zbiór X nazywamy dziedzin¡ funkcji f i oznaczamy przez D
f. Elementy dziedziny nazywamy argumentami funkcji.
Zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedzin¡. Ponadto zbiór elementów z Y przyporz¡dkowanych argumentom tzn.
{f (x) ∈ Y : x ∈ D
f} nazywamy zbiorem warto±ci funkcji f i oznaczamy przez W
f.
Je»eli dany jest tylko wzór okre±laj¡cy funkcj¦, to maksymalny zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzin¡ naturaln¡ funkcji.
Denicja 9. Miejscem zerowe funkcji f : X → Y nazywamy taki argument ze zbioru X, dla którego warto±¢ funkcji jest 0.
W celu znalezienia miejsc zerowych funkcji f danej wzorem y = f(x) wystarczy wyznaczy¢
rozwi¡zania równania f(x) = 0, które nale»¡ do dziedziny D
f.
Denicja 10. Niech dana b¦dzie funkcja f : X → Y, X, Y ∈ R. Wykresem funkcji f nazywamy zbiór
{(x, y) : x ∈ X, y = f (x)}.
Przykªad 4. Rozwa»my funkcje:
a) f(x) = x
2+ 1 z X = R i Y = [1, ∞);
b) g(x) = x
2+ 1 z X = [−1, 1] i Y = [1, 2].
Funkcje te pomimo tej samej reguªy (wzoru) s¡ ró»ne ze wzgl¦du na ró»ne zbiory X, Y.
Rysunek 1: y = x
2+ 1 Przykªad 5. Rozwa»my funkcje:
a) f(x) =
xx−22−4z X = R \ {2} i Y = R;
b) g(x) = x + 2 z X = R i Y = R.
Funkcje te pomimo tej samej reguªy (wzoru) s¡ ró»ne ze wzgl¦du na ró»ne dziedziny X
a) b)
Rysunek 2: a) f(x) =
xx−22−4b) f (x) = x + 2
Krzywa przedstawiona na poni»szym rysunku nie jest wykresem funkcji, gdy» prosta x = 2 przecina ta krzyw¡ w trzech punktach. Zatem mamy przyporz¡dkowanie argumentowi x = 2 trzech warto±ci
Rysunek 3: Przykªad krzywej nieb¦d¡cej funkcj¡
Denicja 11. (to»samo±ciowa równo±¢ funkcji)
Mówimy, »e dwie funkcje f i g s¡ równe, gdy ich dziedziny s¡ równe (D
f= D
g) oraz dla wszystkich elementów wspólnej dziedziny przybieraj¡ równe warto±ci.
Przykªad 6. Funkcje przedstawione poprzednio f(x) =
xx−22−4oraz g(x) = x + 2 nie s¡ równe poniewa» ich dziedziny naturalne D
f= R \ {2}, D
g= R nie sa równe.
Denicja 12. (funkcja na: suriekcja)
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy f : X → Y
na, wtedy i tylko wtedy, gdy W
f= Y ; tzn.
∀
y∈Y∃
x∈Xf (x) = y.
Funkcj¦ f odwzorowuj¡c¡ zbiór X na zbiór Y nazywamy suriekcj¡.
Przykªad 7. Rozwa»my dwie funkcje:
a) f(x) = x
2+ 1, X = R, Y = R;
b) f(x) = x
2+ 1, X = R, Y = [1, +∞).
W obu przypadkach reguªy f oraz zbiory X s¡ takie same, zatem równie» zbiory W
fs¡ takie same i wynosz¡:
W
f= [1, +∞).
Zatem funkcja z podpunktu a) nie jest typu na, jest w. Natomiast funkcja z podpunktu b) jest
na.
Denicja 13. (funkcja ró»nowarto±ciowa: iniekcja)
Funkcja f : X → Y nazywamy ró»nowarto±ciow¡ na zbiorze A ⊂ D
f, je»eli
∀
x1,x2∈Xx
16= x
2=⇒ f (x
1) 6= f (x
2).
Funkcj¦ ró»nowarto±ciow¡ nazywamy iniekcj¡.
Denicja 14. (bijekcja)
Funkcj¦ f : X → Y b¦d¡c¡ na oraz ró»nowarto±ciow¡ nazywamy funkcj¡ wzajemnie jednoznaczn¡
ze zbioru X na zbiór Y , inaczej bijekcj¡.
Denicja 15. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:
• rosn¡c¡, gdy
∀
x1,x2∈Dfx
1< x
2=⇒ f (x
1) < f (x
2);
• niemalej¡c¡, gdy
∀
x1,x2∈Dfx
1< x
2=⇒ f (x
1) ≤ f (x
2);
• malej¡c¡, gdy
∀
x1,x2∈Dfx
1< x
2=⇒ f (x
1) > f (x
2);
• nierosn¡c¡, gdy
∀
x1,x2∈Dfx
1< x
2=⇒ f (x
1) ≥ f (x
2);
• staª¡, gdy
∀
x1,x2∈Dff (x
1) = f (x
2).
Funkcj¦ nazywamy przedziaªami monotoniczn¡, gdy mo»emy jej dziedzin¦ przedstawi¢ w postaci sumy przedziaªów, na których jest monotoniczna.
Denicja 16. (okresowo±¢)
Funkcj¦ f : X → Y nazywamy okresow¡ je±li istnieje T > 0 takie, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi x ± T ∈ X, oraz f (x + T ) = f (x).
Ka»d¡ liczb¦ T o wªasno±ciach podanych w powy»szej denicji nazywamy okresem tej funkcji.
Najmniejszy okres dodatni funkcji nazywamy jej okresem podstawowym. Na wykresie funkcja okresowa jest powtarzalna.
Denicja 17. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:
• parzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X
−x ∈ X oraz f (−x) = f (x);
• nieparzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X
−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x);
Na wykresie osi¡ symetrii funkcji parzystej jest o± Oy, a ±rodkiem symetrii funkcji nieparzystej jest pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych.
Uwaga 2. Je»eli funkcja nie jest parzysta, nie oznacza tego »e jest nieparzysta. Wyró»-
niamy funkcje parzyste, nieparzyste oraz takie które s¡ ani parzyste ani nieparzyste.
Denicja 18. (ograniczono±¢ funkcji)
Funkcja f na zbiorze A ⊆ D
f(zbiorze b¦d¡cym podzbiorem dziedziny funkcji f) jest:
• ograniczona z doªu, je±li jej zbiór warto±ci jest ograniczony z doªu tzn. istnieje m ∈ R takie,
»e dla ka»dego x ∈ A zachodzi f(x) ≥ m co zapisujemy
∃
m∈R∀
x∈Af (x) ≥ m;
• ograniczona z góry, je±li jej zbiór warto±ci jest ograniczony z góry tzn. istnieje M ∈ R takie,
»e dla ka»dego x ∈ A zachodzi f(x) ≤ M co zapisujemy
∃
M ∈R∀
x∈Af (x) ≤ M ;
• ograniczona, je±li jest ograniczona zarówno z góry jak i z doªu.
Denicja 19. (zªo»enie funkcji)
Niech X, Y, Y
1, Z b¦d¡ podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych oraz niech f : X → Y, g : Y
1→ Z, przy czym Y ⊂ Y
1. Zªo»eniem (superpozycj¡) funkcji f i g nazywamy funkcj¦ (g ◦ f) : X → Z okre±lon¡ wzorem:
(g ◦ f )(x) = g(f (x)),
przy czym funkcj¦ f nazywamy funkcj¡ wewn¦trzn¡, a funkcj¦ g funkcja zewn¦trzn¡ powy»szego zªo»enia.
Rysunek 4: Zªo»enie funkcji
Uwaga 3. Skªadanie funkcji jest dziaªaniem ª¡cznym tzn. (f ◦g)◦h = f ◦(g ◦h). Skªadanie funkcji nie jest dziaªaniem przemiennym tzn. f ◦ g 6= g ◦ f.
Fakt 1. W wyniku skªadania dwóch funkcji monotonicznie rosn¡cych lub malej¡cych otrzymamy
funkcj¦ monotonicznie rosn¡c¡. Natomiast skªadaj¡c funkcj¦ monotonicznie rosn¡c¡ z funkcj¡ mo-
notonicznie malej¡c¡ (lub odwrotnie) dostaniemy funkcj¦ monotonicznie malej¡c¡.
Denicja 20. Niech funkcja f : X → Y b¦dzie ró»nowarto±ciowa i na (tzn. bijekcj¡) to funkcj¦
odwrotn¡ do funkcji f nazywamy funkcj¦ f
−1: Y → X okre±lon¡ warunkiem f
−1(y) = x ⇐⇒ f (x) = y.
Uwaga 4. Wykresy funkcji f i f
−1s¡ symetryczne wzgl¦dem prostej y = x.
Przykªad 8. Rozwa»my funkcj¦ f(x) = x
2okre±lon¡ na dziedzinie naturalnej czyli zbiorze liczb rzeczywistych: D
f= R. Wówczas funkcja ta nie jest ró»nowarto±ciowa, zatem nie istnieje funkcja do niej odwrotna.
Przykªad 9. Tym razem ponownie rozwa»my funkcj¦ okre±lon¡ wzorem f(x) = x
2, ale okre±lon¡
na zbiorze D
f= [0, +∞). Jest to funkcja ró»nowarto±ciowa oraz W
f= [0, +∞). Wówczas istniej funkcja do niej odwrotna,f
−1: [0, +∞) → [0, +∞) i dana jest wzorem f
−1(x) = √
x.
Rysunek 5: Ilustracja do przykªadu
Funkcja wykªadnicza i logarytmiczna
Przedstawi¦ teraz wykresy i podstawowe wªasno±ci kilku funkcji elementarnych, które dokªadniej przeanalizujemy w drugiej cz¦±ci tego przedmiotu.
Denicja 21. Funkcja wykªadnicz¡ nazywamy funkcj¦ postaci y = a
x, gdzie a > 0, a 6= 1 oraz x ∈ R.
Wªasno±ci funkcji wykªadniczej:
• D
f= R, W
f= R
+;
• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;
• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.
Rysunek 6: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a > 1
Denicja 22. Dla dowolnej liczby a > 0, a 6= 1 i liczby x > 0 logarytmem z x przy podstawie a nazywamy liczb¦ y = log
ax, tak¡ »e a
y= x. W przypadku, gdy a = 10 nazywam go logaryt- mem dziesi¦tnym i piszemy log x, natomiast w przypadku, gdy a = e nazywamy go logarytmem naturalnym i piszemy ln x.
Wªasno±ci funkcji logarytmicznej:
• D
f= R
+, W
f= R;
• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;
• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.
Rysunek 7: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a ∈ (0, 1)
Uwaga 5. Na podstawie denicji funkcji logarytmicznej wynika, »e funkcja f(x) = log
ax jest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji wykªadniczej (dla a nale»¡cych do tego samego przedziaªu) i odwrotnie.
Funkcje trygonometryczne Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :
sin α = y
r , cos α = x r , tg α = y
x , ctg α = x y ,
gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px
2+ y
2.
Wªasno±ci funkcji sinus y = sin x :
• D
f= R, W
f=< −1, 1 >;
• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;
• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;
• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.
Rysunek 8: Wykres funkcji f(x) = sin x Wªasno±ci funkcji kosinus y = cos x :
• D
f= R, W
f=< −1, 1 >;
• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;
• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;
• parzysta, cos(−x) = cos x.
Rysunek 9: Wykres funkcji f(x) = cos x
Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x :
• D
f= R \ {
π2+ kπ : k ∈ Z}, W
f= R;
• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;
• nieograniczon¡;
• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.
Rysunek 10: Wykres funkcji f(x) = tg x Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x :
• D
f= R \ πk : k ∈ Z}, W
f= R;
• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;
• nieograniczon¡;
• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.
Funkcje cyklometryczne
Funkcje cyklometryczne(koªowe) s¡ to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji sin obci¦tej do przedziaªu [−
π2,
π2] nazywamy funkcj¡ arcsin (czyt.
arkus sinus). Mamy zatem
arcsin x = y ⇔ sin y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, − π
2 ≤ y ≤ π 2 . St¡d D
arcsin x= [−1; 1], W
arcsin x= [−
π2;
π2].
Rysunek 12: Wykres funkcji f(x) = arcsin x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji cos obci¦tej do przedziaªu [0, π] nazywamy funkcj¡ arccos (czyt.
arkus kosinus). Mamy zatem
arccos x = y ⇔ cos y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.
St¡d D
arccos x= [−1; 1], W
arccos x= [0; π].
Rysunek 13: Wykres funkcji f(x) = arccos x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji tg obci¦tej do przedziaªu (−
π2,
π2) nazywamy funkcj¡ arctg (czyt.
arkus tanges). Mamy zatem
arctg x = y ⇔ tg y = x dla x ∈ R, − π
2 ≤ y ≤ π 2 . St¡d D
arctg x= R, W
arctg x= [−
π2;
π2].
Rysunek 14: Wykres funkcji f(x) = arctg x
Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji ctg obci¦tej do przedziaªu (0, π) nazywamy funkcj¡ arcctg (czyt.
arkus kotanges). Mamy zatem
arcctg x = y ⇔ ctg y = x dla x ∈ R, − π
2 ≤ y ≤ π
2 .
St¡d D
arcctg x= R, W
arcctgx= [−
π2;
π2].
Zadania
1. Zbadaj ograniczono±¢ z góry, z doªu, ograniczono±¢ podanych zbiorów. Ponadto znajd¹ kresy górne dolne oraz sprawd¹ czy wyst¦puj¡ w nich elementy najmniejsze, najwi¦ksze:
a) A = [−1, +∞); b) B =
n+12n: n ∈ N .
2. Okre±li¢ dziedziny naturalne funkcji:
a) f(x) = x
5+ 4x
3− x
2+ 7, b) f(x) =
4x−1x2−9, c) f(x) = √
4x + 5, d) f(x) =
√3x22x−x−2, e) f(x) = ln( √
x − 4), f) f(x) = arcsin
2x+43,
g) f(x) = √
x + 2 −
√4−x1.
3. Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:
a) f(x) = 2x + 1, R, b) g(x) =
3x+11, (−∞, −1), c) h(x) = 3x
2− 2x − 1, (∞,
13), d) j(x) =
−2x2, (0, +∞).
4. Korzystaj¡c z denicji, zbadaj ró»nowarto±ciowo±¢ (iniekcja) funkcji na podanym zbiorze:
a) f(x) = x
2+ 4x, R, b) g(x) =
x12, (0, +∞),
c) h(x) = x
3+ 4, R, d) f(x) = √
1 − x
2, [−1, 0].
5. W wyniku jakich przeksztaªce« wykresu funkcji f(x) = x
4+ 3x mo»na otrzyma¢ wykres funk- cji g(x), gdy:
a) f(x) = (x − 2)
4+ 3(x − 2) + 4, b) f(x) = x
4− 3x, c) f(x) = |x
4+ 3x + 1|, d) f(x) = −x
4+ 3x.
6. Które z podanych funkcji f : X → Y s¡ na (suriekcja) a które s¡ typu w?
a) f(x) = x
2+ 2, X = R, Y = R, b) f(x) = x
2+ 2, X = R, Y = (0, +∞), c) f(x) = x
2+ 2, X = R, Y = [2, +∞), d) f(x) = x
2+ 2, X = [1, 2], Y = [2, +∞], e) f(x) = x
2+ 2, X = [1, 2), Y = [3, 6], f) f(x) = x
2+ 2, X = [1, 2), Y = [3, 6], g) f(x) = 2
x− 3, X = R, Y = R, h) f(x) = 2
x− 3, X = R, Y = (0, +∞), i) f(x) = 2
x− 3, X = R, Y = [−3, ∞), j) f(x) = 2
x− 3, X = [0, 2], Y = [−2, 1], k) f(x) = sin x, X = R, Y = R, l) f(x) = sin x, X = R, Y = [−1, 1], m) f(x) = sin x, X = (−
π2,
π2), Y = [1, 1], o) f(x) = sin x, X = (0, 5π), Y = [−1, 1].
7. Które z funkcji z powy»szego zadania s¡ bijekcjami?
8. Zbadaj parzysto±¢ podanych funkcji:
a) f(x) = 3x
2− 5x
6, b) g(x) = 2x
3− 3x
4, c) f(x) = x
3cos x d) f(x) = x
2tg x − x|x|
e) f(x) = | sin x| + x
3, f) f(x) = −3
x+ 3
−x. 9. Zbadaj, czy podane funkcj¦ s¡ ograniczone z doªu, z góry, ograniczone:
a) f(x) = x
2+ 1, b) f(x) = −2 + 4
x+1,
c) f(x) = −2 cos
2x21+3, d) f(x) = x
3.
10. Okre±li¢ zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g dla:
a) f(x) = x
2, g(x) = x + 1; b) f(x) = cos x, g(x) = x
2− 1;
c) f(x) = √
x, g(x) = x
4d) f(x) = 3
x, g(x) = ln 2x.
11. Dla jakich argumentów x mo»liwe jest wykonanie zªo»e« f ◦ g, g ◦ f, je»eli f(x) =
x+2x−1, g(x) = x
2− 3?
12. Znale¹¢ funkcje f
1i f
2(ewentualnie f
3) takie, »e g = f
1◦ f
2, (ewentualnie g = f
1◦ f
2◦ f
3) je±li:
a) g(x) = tg
2x, b) g(x) = tg x
2,
c) g(x) = e
cos x, d) g(x) = ln ctg e
x, e) g(x) = (arcsin 4x)
cos x, f) g(x) = arccos √
54
x− 1.
13. Wyznacz funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji:
a) f(x) = 5x − 2 c) f(x) =
2x+1x−3,
d) f(x) = √
x + 3, dla x ≥ −3, e) f(x) = x
2− 4, dla x ≤ 0, f) f(x) = 2e
4x−3− 1, g) f(x) = tg(
x2) + 5,
h) f(x) = ln cos
x+13, i) f(x) = x
2− 6x + 8 w przedziale (∞, 3].
14. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci funkcji:
a) f(x) = √
3 + x
2, b) f(x) = log( √
sin x), c) f(x) = log
13