• Nie Znaleziono Wyników

• N = {1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb naturalnych;

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "• N = {1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb naturalnych;"

Copied!
16
0
0

Pełen tekst

(1)

Zbiory liczbowe, funkcje

Zbiory liczbowe Wprowadzamy nast¦puj¡ce oznaczenia zbiorów liczbowych:

• N = {1, 2, 3, . . .}- zbiór liczb naturalnych;

• Z = {. . . , 2, −1, 0, 1, 2, . . .}- zbiór liczb caªkowitych (w szkole ponadgimnazjalnej ozna- czany przez C );

• Q = {

ab

; a, b ∈ Z, gdzie b 6= 0}-zbiór liczb wymiernych;

• R-zbiór liczb rzeczywistych.

Przedziaªy Niech a, b ∈ R oraz a < b. Wówczas okre±lamy:

• [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} -przedziaª domkni¦ty;

• (a, b) := {x ∈ R : a < x < b} -przedziaª otwarty;

• [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x < b} -przedziaª prawostronnie otwarty (lub lewostronnie domkni¦ty);

• (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b} -przedziaª lewostronnie otwarty (lub prawostronnie domkni¦ty);

• (a, ∞) := {x ∈ R : a < x} -przedziaª prawostronnie niesko«czony;

• (∞, b) := {x ∈ R : a < x} -przedziaª lewostronnie niesko«czony.

Kwantykatory

Cz¦sto, zwªaszcza podczas ró»nego rodzaju denicji, u»ywa¢ b¦dziemy wyra»e«: dla ka»dego x . . . , oraz istnieje x takie, »e.... Zamiast tych wyra»e« b¦dziemy u»ywa¢ symbolicznych oznacze«

tak zwanych kwantykatorów, odpowiednio ogólnego i szczegóªowego, pozwalaj¡cych skraca¢ zapisy.

Denicja 1. Wyra»enie dla ka»dego x... nazywamy kwantykatorem ogólnym i zapisujemy go

x

. Inne mo»liwe (spotykane w literaturze) oznaczenie to V

x

.

Denicja 2. Wyra»enie istnieje x takie, »e ... nazywamy kwantykatorem szczegóªowym i zapi- sujemy go

x

. Inne mo»liwe oznaczenie to W

x

.

(2)

Zbiory ograniczone

Denicja 3. Liczb¦ m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru X ⊆ R, gdy

x∈X

x ≥ m.

Liczb¦ M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru X ⊆ R, gdy

x∈X

x ≤ M.

Zbiór jest ograniczony z doªu (z góry) gdy posiada ograniczenie dolne (górne). Zbiór ograniczony zarówno z góry jak i z doªu nazywamy zbiorem ograniczonym.

Przykªad 1. Rozwa»my zbiory:

A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} .

• Zbiór A nie jest ograniczony z doªu przez »adn¡ liczb¦ rzeczywist¡. Jest on natomiast ogra- niczony z góry np. przez liczby 100, 8, 4

201312

oraz 4.

• Zbiór B jest ograniczony z doªu np. przez liczby rzeczywiste: −3, 0, 2. Jest on równie»

ograniczony z góry np. przez liczby 100, 8, 0001 oraz 8. Zatem jest to zbiór ograniczony.

• Zbiór C jest ograniczony z doªu np. przez liczby rzeczywiste: −100, −7, −3. Jest on równie»

ograniczony z góry np. przez liczby 100, 3

12

oraz π.

Element najwi¦kszy i najmniejszy zbioru

Denicja 4. Liczba a jest najwi¦kszym elementem zbioru X ⊆ R wtedy i tylko wtedy gdy a ∈ X oraz ∀

x∈X

x ≤ a.

Zapisujemy wówczas a = max X.

Denicja 5. Liczba b jest najmniejszym elementem zbioru X ⊆ R wtedy i tylko wtedy gdy b ∈ X oraz ∀

x∈X

x ≥ b.

Zapisujemy wówczas b = min X.

Przykªad 2. Rozwa»my zbiory:

A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} .

• Zbiór A nie posiada elementu najmniejszego. Posiada natomiast element najwi¦kszy, jest nim: max A = 4.

• Zbiór B nie posiada elementu najmniejszego jak równie» i najwi¦kszego.

• Zbiór C posiada elementu najmniejszy, jest nim min C = −3. Posiada równie» element naj-

(3)

Kresy zbiorów

Denicja 6. Liczb¦ a nazywamy kresem dolnym zbioru X ⊆ R je±li jest jego najwi¦kszym ogra- niczeniem dolnym, tzn.

x∈X

a ≤ x oraz ∀

ε>0

x0∈X

x

0

< a + ε.

Denicja 7. Liczb¦ b nazywamy kresem górnym zbioru X ⊆ R je±li jest jego najmniejszym ogra- niczeniem górnym, tzn.

x∈X

x ≤ b oraz ∀

ε>0

x0∈X

x

0

> b − ε.

Kres dolny zbioru X oznaczamy jako inf X (czyt. inmum zbioru X), a kres górny jako sup X (czyt. supremum zbioru X). W przypadku gdy zbiór nie jest ograniczony z doªu (z góry) piszemy,

»e inf X = −∞ (sup X = ∞).

Uwaga 1. (aksjomat ci¡gªo±ci)

Ka»dy niepusty zbiór ograniczony z doªu ma kres dolny, a ograniczony z góry ma kres górny.

Przykªad 3. Rozwa»my zbiory:

A = (−∞, 4]; B = (2, 8); C = {−3, 2, 1, π} . Wówczas:

• inf A = −∞, sup A = 4;

• inf B = 2, sup B = 8;

• inf C = −3, sup C = π.

Funkcja

Denicja 8. Niech X, Y ⊆ R b¦d¡ dowolnymi zbiorami liczbowymi, a f to reguªa (relacja), która ka»demu elementowi x ∈ X przyporz¡dkowuje dokªadnie jeden element y ∈ Y. Wówczas trójk¦

(X, Y, f ) nazywamy funkcj¡ i zapisujemy f : X → Y.

Zbiór X nazywamy dziedzin¡ funkcji f i oznaczamy przez D

f

. Elementy dziedziny nazywamy argumentami funkcji.

Zbiór Y nazywamy jej przeciwdziedzin¡. Ponadto zbiór elementów z Y przyporz¡dkowanych argumentom tzn.

{f (x) ∈ Y : x ∈ D

f

} nazywamy zbiorem warto±ci funkcji f i oznaczamy przez W

f

.

Je»eli dany jest tylko wzór okre±laj¡cy funkcj¦, to maksymalny zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzin¡ naturaln¡ funkcji.

Denicja 9. Miejscem zerowe funkcji f : X → Y nazywamy taki argument ze zbioru X, dla którego warto±¢ funkcji jest 0.

W celu znalezienia miejsc zerowych funkcji f danej wzorem y = f(x) wystarczy wyznaczy¢

rozwi¡zania równania f(x) = 0, które nale»¡ do dziedziny D

f

.

(4)

Denicja 10. Niech dana b¦dzie funkcja f : X → Y, X, Y ∈ R. Wykresem funkcji f nazywamy zbiór

{(x, y) : x ∈ X, y = f (x)}.

Przykªad 4. Rozwa»my funkcje:

a) f(x) = x

2

+ 1 z X = R i Y = [1, ∞);

b) g(x) = x

2

+ 1 z X = [−1, 1] i Y = [1, 2].

Funkcje te pomimo tej samej reguªy (wzoru) s¡ ró»ne ze wzgl¦du na ró»ne zbiory X, Y.

Rysunek 1: y = x

2

+ 1 Przykªad 5. Rozwa»my funkcje:

a) f(x) =

xx−22−4

z X = R \ {2} i Y = R;

b) g(x) = x + 2 z X = R i Y = R.

Funkcje te pomimo tej samej reguªy (wzoru) s¡ ró»ne ze wzgl¦du na ró»ne dziedziny X

a) b)

Rysunek 2: a) f(x) =

xx−22−4

b) f (x) = x + 2

(5)

Krzywa przedstawiona na poni»szym rysunku nie jest wykresem funkcji, gdy» prosta x = 2 przecina ta krzyw¡ w trzech punktach. Zatem mamy przyporz¡dkowanie argumentowi x = 2 trzech warto±ci

Rysunek 3: Przykªad krzywej nieb¦d¡cej funkcj¡

Denicja 11. (to»samo±ciowa równo±¢ funkcji)

Mówimy, »e dwie funkcje f i g s¡ równe, gdy ich dziedziny s¡ równe (D

f

= D

g

) oraz dla wszystkich elementów wspólnej dziedziny przybieraj¡ równe warto±ci.

Przykªad 6. Funkcje przedstawione poprzednio f(x) =

xx−22−4

oraz g(x) = x + 2 nie s¡ równe poniewa» ich dziedziny naturalne D

f

= R \ {2}, D

g

= R nie sa równe.

Denicja 12. (funkcja na: suriekcja)

Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y, co notujemy f : X → Y

na

, wtedy i tylko wtedy, gdy W

f

= Y ; tzn.

y∈Y

x∈X

f (x) = y.

Funkcj¦ f odwzorowuj¡c¡ zbiór X na zbiór Y nazywamy suriekcj¡.

Przykªad 7. Rozwa»my dwie funkcje:

a) f(x) = x

2

+ 1, X = R, Y = R;

b) f(x) = x

2

+ 1, X = R, Y = [1, +∞).

W obu przypadkach reguªy f oraz zbiory X s¡ takie same, zatem równie» zbiory W

f

s¡ takie same i wynosz¡:

W

f

= [1, +∞).

Zatem funkcja z podpunktu a) nie jest typu na, jest w. Natomiast funkcja z podpunktu b) jest

na.

Denicja 13. (funkcja ró»nowarto±ciowa: iniekcja)

Funkcja f : X → Y nazywamy ró»nowarto±ciow¡ na zbiorze A ⊂ D

f

, je»eli

x1,x2∈X

x

1

6= x

2

=⇒ f (x

1

) 6= f (x

2

).

Funkcj¦ ró»nowarto±ciow¡ nazywamy iniekcj¡.

(6)

Denicja 14. (bijekcja)

Funkcj¦ f : X → Y b¦d¡c¡ na oraz ró»nowarto±ciow¡ nazywamy funkcj¡ wzajemnie jednoznaczn¡

ze zbioru X na zbiór Y , inaczej bijekcj¡.

Denicja 15. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:

• rosn¡c¡, gdy

x1,x2∈Df

x

1

< x

2

=⇒ f (x

1

) < f (x

2

);

• niemalej¡c¡, gdy

x1,x2∈Df

x

1

< x

2

=⇒ f (x

1

) ≤ f (x

2

);

• malej¡c¡, gdy

x1,x2∈Df

x

1

< x

2

=⇒ f (x

1

) > f (x

2

);

• nierosn¡c¡, gdy

x1,x2∈Df

x

1

< x

2

=⇒ f (x

1

) ≥ f (x

2

);

• staª¡, gdy

x1,x2∈Df

f (x

1

) = f (x

2

).

Funkcj¦ nazywamy przedziaªami monotoniczn¡, gdy mo»emy jej dziedzin¦ przedstawi¢ w postaci sumy przedziaªów, na których jest monotoniczna.

Denicja 16. (okresowo±¢)

Funkcj¦ f : X → Y nazywamy okresow¡ je±li istnieje T > 0 takie, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi x ± T ∈ X, oraz f (x + T ) = f (x).

Ka»d¡ liczb¦ T o wªasno±ciach podanych w powy»szej denicji nazywamy okresem tej funkcji.

Najmniejszy okres dodatni funkcji nazywamy jej okresem podstawowym. Na wykresie funkcja okresowa jest powtarzalna.

Denicja 17. Funkcj¦ f : X → Y nazywamy:

• parzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = f (x);

• nieparzyst¡, je»eli dla ka»dego x ∈ X

−x ∈ X oraz f (−x) = −f (x);

Na wykresie osi¡ symetrii funkcji parzystej jest o± Oy, a ±rodkiem symetrii funkcji nieparzystej jest pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych.

Uwaga 2. Je»eli funkcja nie jest parzysta, nie oznacza tego »e jest nieparzysta. Wyró»-

niamy funkcje parzyste, nieparzyste oraz takie które s¡ ani parzyste ani nieparzyste.

(7)

Denicja 18. (ograniczono±¢ funkcji)

Funkcja f na zbiorze A ⊆ D

f

(zbiorze b¦d¡cym podzbiorem dziedziny funkcji f) jest:

• ograniczona z doªu, je±li jej zbiór warto±ci jest ograniczony z doªu tzn. istnieje m ∈ R takie,

»e dla ka»dego x ∈ A zachodzi f(x) ≥ m co zapisujemy

m∈R

x∈A

f (x) ≥ m;

• ograniczona z góry, je±li jej zbiór warto±ci jest ograniczony z góry tzn. istnieje M ∈ R takie,

»e dla ka»dego x ∈ A zachodzi f(x) ≤ M co zapisujemy

M ∈R

x∈A

f (x) ≤ M ;

• ograniczona, je±li jest ograniczona zarówno z góry jak i z doªu.

Denicja 19. (zªo»enie funkcji)

Niech X, Y, Y

1

, Z b¦d¡ podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych oraz niech f : X → Y, g : Y

1

→ Z, przy czym Y ⊂ Y

1

. Zªo»eniem (superpozycj¡) funkcji f i g nazywamy funkcj¦ (g ◦ f) : X → Z okre±lon¡ wzorem:

(g ◦ f )(x) = g(f (x)),

przy czym funkcj¦ f nazywamy funkcj¡ wewn¦trzn¡, a funkcj¦ g funkcja zewn¦trzn¡ powy»szego zªo»enia.

Rysunek 4: Zªo»enie funkcji

Uwaga 3. Skªadanie funkcji jest dziaªaniem ª¡cznym tzn. (f ◦g)◦h = f ◦(g ◦h). Skªadanie funkcji nie jest dziaªaniem przemiennym tzn. f ◦ g 6= g ◦ f.

Fakt 1. W wyniku skªadania dwóch funkcji monotonicznie rosn¡cych lub malej¡cych otrzymamy

funkcj¦ monotonicznie rosn¡c¡. Natomiast skªadaj¡c funkcj¦ monotonicznie rosn¡c¡ z funkcj¡ mo-

notonicznie malej¡c¡ (lub odwrotnie) dostaniemy funkcj¦ monotonicznie malej¡c¡.

(8)

Denicja 20. Niech funkcja f : X → Y b¦dzie ró»nowarto±ciowa i na (tzn. bijekcj¡) to funkcj¦

odwrotn¡ do funkcji f nazywamy funkcj¦ f

−1

: Y → X okre±lon¡ warunkiem f

−1

(y) = x ⇐⇒ f (x) = y.

Uwaga 4. Wykresy funkcji f i f

−1

s¡ symetryczne wzgl¦dem prostej y = x.

Przykªad 8. Rozwa»my funkcj¦ f(x) = x

2

okre±lon¡ na dziedzinie naturalnej czyli zbiorze liczb rzeczywistych: D

f

= R. Wówczas funkcja ta nie jest ró»nowarto±ciowa, zatem nie istnieje funkcja do niej odwrotna.

Przykªad 9. Tym razem ponownie rozwa»my funkcj¦ okre±lon¡ wzorem f(x) = x

2

, ale okre±lon¡

na zbiorze D

f

= [0, +∞). Jest to funkcja ró»nowarto±ciowa oraz W

f

= [0, +∞). Wówczas istniej funkcja do niej odwrotna,f

−1

: [0, +∞) → [0, +∞) i dana jest wzorem f

−1

(x) = √

x.

Rysunek 5: Ilustracja do przykªadu

(9)

Funkcja wykªadnicza i logarytmiczna

Przedstawi¦ teraz wykresy i podstawowe wªasno±ci kilku funkcji elementarnych, które dokªadniej przeanalizujemy w drugiej cz¦±ci tego przedmiotu.

Denicja 21. Funkcja wykªadnicz¡ nazywamy funkcj¦ postaci y = a

x

, gdzie a > 0, a 6= 1 oraz x ∈ R.

Wªasno±ci funkcji wykªadniczej:

• D

f

= R, W

f

= R

+

;

• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;

• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.

Rysunek 6: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a > 1

Denicja 22. Dla dowolnej liczby a > 0, a 6= 1 i liczby x > 0 logarytmem z x przy podstawie a nazywamy liczb¦ y = log

a

x, tak¡ »e a

y

= x. W przypadku, gdy a = 10 nazywam go logaryt- mem dziesi¦tnym i piszemy log x, natomiast w przypadku, gdy a = e nazywamy go logarytmem naturalnym i piszemy ln x.

Wªasno±ci funkcji logarytmicznej:

• D

f

= R

+

, W

f

= R;

• jest to funkcja ró»nowarto±ciowa;

• jest malej¡ca dla a ∈ (0; 1) oraz rosn¡ca dla a > 1.

Rysunek 7: Wykres funkcji wykªadniczej i logarytmicznej dla a ∈ (0, 1)

(10)

Uwaga 5. Na podstawie denicji funkcji logarytmicznej wynika, »e funkcja f(x) = log

a

x jest funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji wykªadniczej (dla a nale»¡cych do tego samego przedziaªu) i odwrotnie.

Funkcje trygonometryczne Zdeniujmy funkcje trygonometryczne dowolnego k¡ta α ∈ [0, 2π) :

sin α = y

r , cos α = x r , tg α = y

x , ctg α = x y ,

gdzie r to odlegªo±¢ punktu P (x, y) od pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych, wi¦c r = px

2

+ y

2

.

(11)

Wªasno±ci funkcji sinus y = sin x :

• D

f

= R, W

f

=< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, sin(x + 2π) = sin x;

• ograniczon¡, −1 ≤ sin x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• nieparzysta, sin(−x) = − sin x.

Rysunek 8: Wykres funkcji f(x) = sin x Wªasno±ci funkcji kosinus y = cos x :

• D

f

= R, W

f

=< −1, 1 >;

• okresowa o okresie podstawowym 2π, cos(x + 2π) = cos x;

• ograniczon¡, −1 ≤ cos x ≤ 1 dla ka»dego x ∈ R;

• parzysta, cos(−x) = cos x.

Rysunek 9: Wykres funkcji f(x) = cos x

(12)

Wªasno±ci funkcji tanges y = tg x :

• D

f

= R \ {

π2

+ kπ : k ∈ Z}, W

f

= R;

• okresowa o okresie podstawowym π, tg(x + π) = tg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, tg(−x) = − tg x.

Rysunek 10: Wykres funkcji f(x) = tg x Wªasno±ci funkcji kotanges y = ctg x :

• D

f

= R \ πk : k ∈ Z}, W

f

= R;

• okresowa o okresie podstawowym π, ctg(x + π) = ctg x;

• nieograniczon¡;

• nieparzysta, ctg(−x) = − ctg x.

(13)

Funkcje cyklometryczne

Funkcje cyklometryczne(koªowe) s¡ to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych.

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji sin obci¦tej do przedziaªu [−

π2

,

π2

] nazywamy funkcj¡ arcsin (czyt.

arkus sinus). Mamy zatem

arcsin x = y ⇔ sin y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, − π

2 ≤ y ≤ π 2 . St¡d D

arcsin x

= [−1; 1], W

arcsin x

= [−

π2

;

π2

].

Rysunek 12: Wykres funkcji f(x) = arcsin x

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji cos obci¦tej do przedziaªu [0, π] nazywamy funkcj¡ arccos (czyt.

arkus kosinus). Mamy zatem

arccos x = y ⇔ cos y = x dla − 1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ π.

St¡d D

arccos x

= [−1; 1], W

arccos x

= [0; π].

Rysunek 13: Wykres funkcji f(x) = arccos x

(14)

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji tg obci¦tej do przedziaªu (−

π2

,

π2

) nazywamy funkcj¡ arctg (czyt.

arkus tanges). Mamy zatem

arctg x = y ⇔ tg y = x dla x ∈ R, − π

2 ≤ y ≤ π 2 . St¡d D

arctg x

= R, W

arctg x

= [−

π2

;

π2

].

Rysunek 14: Wykres funkcji f(x) = arctg x

Funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji ctg obci¦tej do przedziaªu (0, π) nazywamy funkcj¡ arcctg (czyt.

arkus kotanges). Mamy zatem

arcctg x = y ⇔ ctg y = x dla x ∈ R, − π

2 ≤ y ≤ π

2 .

St¡d D

arcctg x

= R, W

arcctgx

= [−

π2

;

π2

].

(15)

Zadania

1. Zbadaj ograniczono±¢ z góry, z doªu, ograniczono±¢ podanych zbiorów. Ponadto znajd¹ kresy górne dolne oraz sprawd¹ czy wyst¦puj¡ w nich elementy najmniejsze, najwi¦ksze:

a) A = [−1, +∞); b) B = 

n+12n

: n ∈ N .

2. Okre±li¢ dziedziny naturalne funkcji:

a) f(x) = x

5

+ 4x

3

− x

2

+ 7, b) f(x) =

4x−1x2−9

, c) f(x) = √

4x + 5, d) f(x) =

3x22x−x−2

, e) f(x) = ln( √

x − 4), f) f(x) = arcsin

2x+43

,

g) f(x) = √

x + 2 −

4−x1

.

3. Korzystaj¡c z denicji zbadaj monotoniczno±¢ podanych funkcji na podanym zbiorze:

a) f(x) = 2x + 1, R, b) g(x) =

3x+11

, (−∞, −1), c) h(x) = 3x

2

− 2x − 1, (∞,

13

), d) j(x) =

−2x2

, (0, +∞).

4. Korzystaj¡c z denicji, zbadaj ró»nowarto±ciowo±¢ (iniekcja) funkcji na podanym zbiorze:

a) f(x) = x

2

+ 4x, R, b) g(x) =

x12

, (0, +∞),

c) h(x) = x

3

+ 4, R, d) f(x) = √

1 − x

2

, [−1, 0].

5. W wyniku jakich przeksztaªce« wykresu funkcji f(x) = x

4

+ 3x mo»na otrzyma¢ wykres funk- cji g(x), gdy:

a) f(x) = (x − 2)

4

+ 3(x − 2) + 4, b) f(x) = x

4

− 3x, c) f(x) = |x

4

+ 3x + 1|, d) f(x) = −x

4

+ 3x.

6. Które z podanych funkcji f : X → Y s¡ na (suriekcja) a które s¡ typu w?

a) f(x) = x

2

+ 2, X = R, Y = R, b) f(x) = x

2

+ 2, X = R, Y = (0, +∞), c) f(x) = x

2

+ 2, X = R, Y = [2, +∞), d) f(x) = x

2

+ 2, X = [1, 2], Y = [2, +∞], e) f(x) = x

2

+ 2, X = [1, 2), Y = [3, 6], f) f(x) = x

2

+ 2, X = [1, 2), Y = [3, 6], g) f(x) = 2

x

− 3, X = R, Y = R, h) f(x) = 2

x

− 3, X = R, Y = (0, +∞), i) f(x) = 2

x

− 3, X = R, Y = [−3, ∞), j) f(x) = 2

x

− 3, X = [0, 2], Y = [−2, 1], k) f(x) = sin x, X = R, Y = R, l) f(x) = sin x, X = R, Y = [−1, 1], m) f(x) = sin x, X = (−

π2

,

π2

), Y = [1, 1], o) f(x) = sin x, X = (0, 5π), Y = [−1, 1].

7. Które z funkcji z powy»szego zadania s¡ bijekcjami?

8. Zbadaj parzysto±¢ podanych funkcji:

a) f(x) = 3x

2

− 5x

6

, b) g(x) = 2x

3

− 3x

4

, c) f(x) = x

3

cos x d) f(x) = x

2

tg x − x|x|

e) f(x) = | sin x| + x

3

, f) f(x) = −3

x

+ 3

−x

. 9. Zbadaj, czy podane funkcj¦ s¡ ograniczone z doªu, z góry, ograniczone:

a) f(x) = x

2

+ 1, b) f(x) = −2 + 4

x+1

,

c) f(x) = −2 cos

2x21+3

, d) f(x) = x

3

.

10. Okre±li¢ zªo»enie funkcji (o ile to mo»liwe) f ◦ g, g ◦ f, f ◦ f, g ◦ g dla:

a) f(x) = x

2

, g(x) = x + 1; b) f(x) = cos x, g(x) = x

2

− 1;

c) f(x) = √

x, g(x) = x

4

d) f(x) = 3

x

, g(x) = ln 2x.

(16)

11. Dla jakich argumentów x mo»liwe jest wykonanie zªo»e« f ◦ g, g ◦ f, je»eli f(x) =

x+2x−1

, g(x) = x

2

− 3?

12. Znale¹¢ funkcje f

1

i f

2

(ewentualnie f

3

) takie, »e g = f

1

◦ f

2

, (ewentualnie g = f

1

◦ f

2

◦ f

3

) je±li:

a) g(x) = tg

2

x, b) g(x) = tg x

2

,

c) g(x) = e

cos x

, d) g(x) = ln ctg e

x

, e) g(x) = (arcsin 4x)

cos x

, f) g(x) = arccos √

5

4

x

− 1.

13. Wyznacz funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji:

a) f(x) = 5x − 2 c) f(x) =

2x+1x−3

,

d) f(x) = √

x + 3, dla x ≥ −3, e) f(x) = x

2

− 4, dla x ≤ 0, f) f(x) = 2e

4x−3

− 1, g) f(x) = tg(

x2

) + 5,

h) f(x) = ln cos

x+13

 , i) f(x) = x

2

− 6x + 8 w przedziale (∞, 3].

14. Wyznacz przedziaªy monotoniczno±ci funkcji:

a) f(x) = √

3 + x

2

, b) f(x) = log( √

sin x), c) f(x) = log

1

3

( √

sin x).

Cytaty

Powiązane dokumenty

W kopalniach, w których poziom uci¹¿liwoœci warunków geologiczno-górniczych eksploatacji jest najwy¿szy, a wzrost wartoœci WUEz implikuje bardzo du¿y wzrost WGZ przem ,

[r]

Zadanie 8.1 Rozszerzenie transformacji punktowej mo»na wykorzysta¢ do zmiany zmiennej niezale»nej z czasu t na inn¡

Prowadz¸acy zaj¸ecia sprawdza czy studenci potrafi¸a poradzi´c sobie z tym zadaniem prosz¸ac o podanie rozwi¸azania kolejnych losowo wybranych student´ow.. Sprawdzanie ko´nczy

10. Prowadz¸acy zaj¸ecia sprawdza czy studenci potrafi¸a poradzi´c sobie z tym zadaniem prosz¸ac o po- danie rozwi¸azania kolejnych losowo wybranych student´ow. Sprawdzanie

Prowadz¸acy zaj¸ecia sprawdza czy studenci potrafi¸a poradzi´c sobie z tym zadaniem prosz¸ac o podanie rozwi¸azania kolejnych losowo wybranych student´ow.. Sprawdzanie ko´nczy

Prowadz¸acy zaj¸ecia sprawdza czy studenci potrafi¸a poradzi´c sobie z tym zadaniem prosz¸ac o podanie rozwi¸azania kolejnych losowo wybranych student´ow.. Sprawdzanie ko´nczy

‚wiczenia z Analizy Zespolonej, Matematyka MiNI PW,