 tworzących kąt θ z polem B, mamy:Wykład 7, strona 1

Instytut Fizyki UMK Toruń, semestr letni 2011

Fizyka Atomowa i Molekularna; wykład 7 Andrzej J. Wojtowicz

Momenty magnetyczne i poprawki do struktury energetycznej atomu wodoru

Moment magnetyczny zamkniętego płaskiego obwodu z opływającym go prądem wynosi (Feynman, tom II, część 2, podrozdz. 34-2):

a

 i 

 (1)

gdzie a jest wektorem o kierunku prostopadłym do obwodu i liczbowo równym powierzchni obwodu. Dla cząstki o ładunku q, poruszającej się po orbicie kołowej z prędkością v:

2 r qvr r 2

qv  ₂ 

 

 (2)

a w zapisie wektorowym, dla cząstki o masie M:

M L 2 p q Mr 2 v q 2 r

q    

     

 (3)

gdzie L jest momentem pędu cząstki. Stałą M 2

q nazywamy stałą żyromagnetyczną. Ze skwantowania momentu pędu wynika skwantowanie momentu magnetycznego (lub raczej odwrotnie; bezpośrednie doświadczenie potwierdza skwantowanie momentu magnetycznego, doświadczenie Sterna-Gerlacha, doświadczenie (metoda) Rabiego z wiązkami molekularnymi). Np dla składowej z mamy:

m m m

2

q B

e

z  e 

  (4)

gdzie stałą:

e B 2me

 q 

 (5)

nazywamy magnetonem Bohra.

W ogólności:

m g _B

z  

 (6)

gdzie czynnik g jest dla ruchu orbitalnego elektronu równy 1.

Rys. Precesja momentu pędu L w polu magnetycznym B. Moment siły wywołany polem magnetycznym działającym na moment magnetyczny powoduje zmianę momentu pędu. Ponieważ moment siły jest cały czas prostopadły do momentu magnetycznego (a więc także do momentu pędu) powoduje on zmianę kierunku L ale nie jego wartości; obserwujemy zatem precesję momentu pędu (i momentu magnetycznego) wokół pola magnetycznego

W polu magnetycznym B na moment magnetyczny ^ będzie działać moment siły ^^ ^B (Feynman, tom II, część 2, podrozdz. 34-3).

Ponieważ z momentem magnetycznym stowarzyszony jest moment pędu, wystąpi zjawisko precesji o prędkości kątowej . Wynika to z faktu, że prostopadły moment siły wywołuje zmianę kierunku a nie wartości momentu pędu L . Dla L i  tworzących kąt θ z polem B, mamy:

















 Lsin

dt sin dL

B bo Lsin Ω

Δt θ sin L t

L  



 (7)

(warto sobie przypomnieć o ruchu obrotowym i precesji, Feynman, tom I, część I, rozdz. 18, 19, 20).

W ogólności:

L B m L 2

g q

e

e   (8)

W obu przypadkach prędkość kątowa precesji jest zatem taka sama (precesja Larmora i częstość Larmora, Feynman, tom II, część 2, podrozdz. 34-5)) i wynosi:

e e

m 2

gB

 q

 _{. (9)}

Doświadczalnego dowodu skwantowania składowej momentu magnetycznego (a zatem także momentu pędu) dostarcza doświadczenie Sterna-Gerlacha (Feynman, tom II, część 2, podrozdz. 35-1, 35-2).

Poprzeczna (do kierunku wiązki) siła w niejednorodnym polu magnetycznym

z F _z B



  , (10)

wywołuje ugięcie wiązki atomów proporcjonalne do składowej z momentu magnetycznego (analogia z gradientem współczynnika załamania i wywołanym przez niego ugięciem światła).

Wiązka atomów z piecyka przechodzi przez kolimujący układ wąskich szczelin, potem pomiędzy biegunami magnesu i dalej pada na ekran. Kształt biegunów magnesu jest taki, by uzyskać silną poprzeczną niejednorodność pola.

Uzyskanie pewnej liczby plamek na ekranie, zamiast ciągłego rozkładu dla przypadku klasycznego, ciągłego, przypadkowego rozkładu momentów magnetycznych, świadczy o skwantowaniu przestrzennym momentu

magnetycznego (a więc i momentu pędu). Oryginalne doświadczenie Sterna i Gerlacha przeprowadzono na atomach srebra, powtórzyli je dla wodoru Phipps i Taylor w 1927 r. Dwie plamki, spin (własny moment pędu) elektronu.

 1

 ss

L_S , gdzie s = 1/2 (11)

i



s z

S m

L _,  , gdzie

2

1

s 

m . (12)

Czynnik g w przypadku momentu magnetycznego związanego ze spinem elektronu wynosi 2 (eksperyment i teoria Diraca).

6e. Orbitalny (L) i spinowy (S) moment pędu

Moment pędu w mechanice kwantowej (Feynman, tom II, część 2, podrozdz. 34-7, 34-8, 35-1).

Całkowity moment pędu J dla atomu wodoru, składanie momentów pędu: model wektorowy

S L

J m m

m   , ^m_J ^{J ,J-1,J-2,...-}^J-2  ^{,- J-1} ^,-J, JLS ,LS-1,...L-S Przypadek słabego lub zerowego pola magnetycznego; sprzężenie pomiędzy L i S daje całkowity moment pędu J, który wykonuje precesję wokół pola magnetycznego B.

Przypadek silnego zewnętrznego pola B; zostaje zerwane sprzężenie pomiędzy wektorami L i S, każdy z tych wektorów niezależnie wykonuje precesję wokół pola magnetycznego B.

Dla atomu wodoru:

 przyjmuje wartości 0, 1, 2, 3, 4 itd. dla stanów oznaczonych s, p, d, f itd.

Możliwe są dwa przypadki: ^j ^s i ^j ^s. W polu magnetycznym rzut całkowitego momentu pędu na kierunek pola magnetycznego może przyjąć wartości mjod j do -j z krokiem 1. Kilka kolejnych stanów będzie miało oznaczenia:

Wykład 7, strona 2

2

1s1 , 2s12, 2 p32, 2 p12, 3s12, 3 p32, 3 p12, 3d52, 3d32 itd.

Struktura subtelna w atomie wodoru, oddziaływanie spin – orbita w modelu Bohra

W układzie związanym z elektronem, i w miejscu ,w którym znajduje się elektron, jądro okrążając elektron wytwarza prąd

r 2

v Zq T

Zq_{e e}

  generujący pole magnetyczne B (pierwotną przyczyną którego jest zatem ruch orbitalny elektronu):

r L m c 4 dl Zq r

r v r 2 Zq c 4

1 r

r l id B 4

d

B ₃

2 e 0

e 3

e 0 2

3

0     





 

 

 



 



 



  

(13)

Pole to oddziałuje z momentem magnetycznym związanym ze spinem elektronu, a energia tego oddziaływania wyniesie:

r s m c 8

g L Zq

r m c 4 S Zq m 2

g B q

E _{2 3}

2 e 0

s 2 2e e 3

0 2 e e

s

e 



 



  

 

 



















 (14)

gdzie  



L i s S .

Po uwzględnieniu czynnika ^{1 2} (poprawka Thomasa) dla g_s 2 poprawny kwantowo-mechaniczny wzór przyjmie postać:

s a s m r

c 8

E Zq ³

2 e 0

2

2e 



 

   

 

 ^ (15)

Znaczenie wyrazu ^r3 ; wyraz ten zależy od funkcji radialnej i będzie wobec tego inny dla stanów p, d , f itd. (stany s nie wykazują rozszczepienia spin - orbita gdyż orbitalny moment pędu jest 0). Wpływa zatem na wartość stałej a, zwanej stałą struktury subtelnej, która wraz z liczbami kwantowymi j, s (zawsze równe 1/2) i  określa wielkość rozszczepienia spin - orbita danego poziomu. Stała struktury subtelnej a, i w konsekwencji wartość rozszczepienia spin-orbita, wyraźnie maleje dla rosnących n i  i bardzo silnie rośnie dla rosnącego Z. Zależność od Z bierze się nie tylko z licznika wyrażenia (15), od Z bardzo silnie zależy także wyraz ^r3 (który zmienia się jak Z³). Bardziej szczegółowe rachunki (trochę więcej na ten temat patrz Haken, Wolf, Atomy i kwanty) pokazują, że

 ¹

2 n 1

~ Z a

3

4







 

 

   . (16)

Ponieważ:j l s



 , podnosząc do kwadratu i wprowadzając kwadrat kwantowy otrzymujemy:

^{j 1}  ¹ ^s^{s 1} ^{2 s}

j s 2 s

j^{2 2 2} 





 



 

 























 skąd:

     

 ^{1 1 1}

2

1     



s j j   s s



(17) i ostatecznie:

     

^{j j 1 1 ss 1}

2

Ea     

   . (18)

Zatem stany 1s12 , 2s12, i 3s12 nie wykażą w ogóle rozszczepienia (nie ma orbitalnego momentu magnetycznego a więc nie ma pola magnetycznego, które miałoby oddziaływać ze spinowym momentem magnetycznym elektronu), a pary stanów (^{2 p32}, ^{2 p12}), (^{3 p32}, ^{3 p12}) i (^3d52, ^3d32), wykażą rozszczepienia na dublety (wyżej będzie poziom o większym j). Wartości rozszczepień będą proporcjonalne do czwartej potęgi Z (bardzo małe dla wodoru, około 0.14, 0.08, 0.07 Å dla pierwszych trzech linii z serii Balmera, dla sodu rozszczepienie pomiędzy liniami D1 i D2 słynnego dubletu sodowego wynosi około 6 Å, a dla pierwszej linii z serii

Wykład 7, strona 4

podstawowej cezu aż 422 Å). Rozszczepienia spin-orbita dla określonego atomu będą malały ze wzrostem n, a dla tego samego n, ze wzrostem , tak jak pokazano schematycznie na rysunku poniżej.

Rys. Układ jednoelektronowych stanów energetycznych dla atomów metali alkalicznych (Li, ze względu na n = 2), bez zachowania skali, z uwzględnieniem rozszczepienia spin- orbita. Cienkie poziome kreski pokazują energie poziomów dla atomu wodoru. Pokazano jakościowo, bez zachowania skali, zależność rozszczepienia spin-orbita od n i ^{. Na} rysunku dla wybranych poziomów zastosowano pełne oznaczenie spektroskopowe.

Reguły wyboru, ^{j0 ,1.} Oznaczenia stanów

1 J S

2 ^ L . Dla stanów jednoelektronowych L = , J = j, S

= s.

Linie serii głównej w atomach metali alkalicznych są dubletami (przejścia na nierozszczepione poziomy n²S_1/2 ), podobnie jak linie serii ostrej, inaczej II pobocznej (z nierozszczepionych wyższych poziomów n1 ²S_1/2 do dwóch najniższych stanów P, n²P_1/2 i n²P_3/2. Linie I serii pobocznej (serii rozmytej), które są przejściami z D na P, są trypletami, ze względu na rozszczepienie obu poziomów i reguły wyboru (jedno z możliwych przejść jest

zabronione).

Struktura nadsubtelna dla atomu wodoru

Oddziaływanie spinu elektronu S i spinu protonu I. Ponieważ liczba kwantowa s każdego z tych spinów dla atomu wodoru w stanie podstawowym przyjmuje wartość 1/2, całkowity spin będzie scharakteryzowany liczbą kwantową f przyjmującą wartość 0 (singlet) lub 1 (tryplet). Wartość rozszczepienia singlet-tryplet odpowiada częstości radiowej 1420 MHz. Promieniowanie o tej częstości, odpowiadające przejściu z F = 1 do stanu o F = 0, przychodzi z przestrzeni międzygwiezdnej i było obserwowane przez radioastronomów (długość fali 21 cm).

ZADANIA do wykładu 7 (wybór z podręcznika Enge, Wehr, Richards, Wstęp do fizyki atomowej)

1. Cząstka o masie m porusza się pod działaniem sferycznie symetrycznej siły przyciągającej ^{F r}, gdzie  jest stałą, a r promieniem wodzącym cząstki. Napisz równanie Schrődingera dla tego ruchu i wyznacz energię stanu podstawowego przyjmując, że funkcja falowa stanu podstawowego ma postać: _Ae^r2.

2. Cząstka o masie M porusza się wewnątrz kulistej powłoki o promieniu a . Energia potencjalna wynosi V = 0 dla₀ a0

r i V  dla ra₀. Napisz radialne równanie falowe dla R(r) w obszarze ra₀. Wykaż, że funkcje :

  kr

kr r A

R sin

0  dla 0

    









 

 kr

kr kr

B kr r

R sin cos

1 2 dla 1

są rozwiązaniami tego równania i znajdź wartości energii stanu podstawowego i pierwszego wzbudzonego.

3. Jeden ze wzbudzonych stanów atomu wodoru ma funkcję falową postaci:

 



 Ar²e^r3a0 sin cos eⁱ .

Posługując się operatorami L i ˆ² Lˆ znajdź liczby kwantowe z  i m. Ile wynosi energia E tego stanu?

4. W emisyjnym widmie wodoru występuje silna linia o długości fali 486.13 nm (seria Balmera, n=4). Między jakimi stanami (n,) zachodzi to przejście? Narysuj schemat poziomów energetycznych stanów atomu wodoru

związanych z tym przejściem z uwzględnieniem struktury subtelnej. Oznacz każdy z poziomów zgodnie z klasyfikacją spektroskopową (np. ^3d52). Wskaż przejścia dozwolone i wzbronione.

Wykład 7, strona 6