´Cwiczenie 2 POMIAR CI ˛E ˙ZARU WŁA ´SCIWEGO CIAŁ STAŁYCH I CIECZY PRZY POMOCY WAGI HYDROSTATYCZNEJ

(1)

Cwiczenie 2 ´

POMIAR CI ˛ E ˙ ZARU WŁA ´SCIWEGO CIAŁ STAŁYCH I CIECZY PRZY POMOCY WAGI HYDROSTATYCZNEJ

Krystyna Gronostaj, Piotr Janas, Mateusz Suchanek

Uniwersytet Rolniczy im. Hugona Kołł ˛ataja Zakład Fizyki

6 maja 2016

Zakres wymaganych wiadomo´sci: zasady dynamiki Newtona, prawo grawitacji, ci˛e˙zar ciała, g˛esto´s´c i ci˛e˙zar wła´sciwy, prawo Pascala, prawo Archimedesa.

Wst ˛ ep

I. Zasady dynamiki Newtona

Układ inercjalnyjest to układ odniesienia, wzgl ˛e- dem którego ka ˙zde ciało, niepodlegaj ˛ace oddzia- ływaniu z innymi ciałami, porusza si ˛e bez przyspieszenia lub pozostaje w spoczynku. Wszystkie inercjalne układy odniesienia s ˛a równouprawnio- ne i wszystkie prawa mechaniki i fizyki s ˛a w nich identyczne.

Pierwsza zasada dynamiki Newtona:Je ˙zeli na ciało nie działa ˙zadna siła albo działaj ˛ace siły si ˛e równowa ˙z ˛a (siła wypadkowa jest równa zero), to ciało porusza si ˛e ruchem jednostajnym prostolinio- wym lub pozostaje w spoczynku.

F~w=0 ⇒ ~v=const, (1) gdzie: ~Fw- siła wypadkowa, ~v - pr ˛edko´s´c.

Druga zasada dynamiki Newtona:Je ˙zeli na cia- ło działa niezrównowa ˙zona siła ~F, to ciało porusza si ˛e ruchem zmiennym, z przy´spieszeniem ~a wprost proporcjonalnym do działaj ˛acej siły ~F, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała m.

F~ =m · ~a, lub w ogólno´sci: F~ = ^d~^p dt, (2) gdzie: ~p- p ˛ed ciała, (~p=m~v, ~v - pr ˛edko´s´c).

Trzecia zasada dynamiki Newtona: Gdy ciało Adziała na ciało B sił ˛a ~F_AB, wtedy ciało B działa

jednocze´snie na ciało A sił ˛a ~F_BAo tym samy kierunku, ale przeciwnie zwrócon ˛a i równ ˛a co do warto´sci sile ~F_AB.

F~_AB =− ~F_BA (3)

II. Ci ˛e ˙zar wła´sciwy i g ˛esto´s´c

Ci˛e˙zar wła´sciwyciała ~γ jest to stosunek ci ˛e ˙zaru Q ciała do jego obj ˛eto´sci V :

~γ= Q~ V = ^m~^g

V , (4)

gdzie, m - masa ciała, ~g - przyspieszenie ziemskie.

Jednostk ˛a ci ˛e ˙zaru wła´sciwego w układzie SI jest 1 ^N

m³.

Ci ˛e ˙zar wła´sciwy nie jest niezmienn ˛a cech ˛a da- nego rodzaju substancji, poniewa ˙z w ró ˙znych miej- scach na Ziemi ta sama substancja ma ró ˙zny ci ˛e ˙zar wła´sciwy. Wielko´sci ˛a, która charakteryzuje substan- cj ˛e i nie zale ˙zy od miejsca jest g ˛esto´s´c lub inaczej masa wła´sciwa ciała.

G˛esto´s´cjest to masa jednostki obj ˛eto´sci ciała i wyra ˙za si ˛e stosunkiem masy ciała m do jego obj ˛eto-

´sci V :

ρ= ^m

V . (5)

G ˛esto´s´c wyra ˙zamy w_m^kg3.

Ci ˛e ˙zar wła´sciwy i g ˛esto´s´c s ˛a zwi ˛azane zale ˙zno-

´sci ˛a:

~γ=ρ · ~g. (6)

(2)

Jak wiadomo, obj ˛eto´s´c ciała zale ˙zy od warunków zewn ˛etrznych, w jakich ciało si ˛e znajduje tj. temperatury i ci´snienia. Na ogół ze wzrostem temperatury obj ˛eto´s´c wzrasta co prowadzi do zmniejszenia za- równo g ˛esto´sci ciała jak i jego ci ˛e ˙zaru wła´sciwego.

Niektóre ciecze, a zwłaszcza woda, wykazuj ˛a pewne charakterystyczne anomalie. W zakresie temperatur od 0 do 4⁰C obj ˛eto´s´c wody maleje, a powy ˙zej 4⁰C ro´snie jak dla innych ciał.

Ze wzrostem ci´snienia obj ˛eto´s´c ciał maleje, co prowadzi do zwi ˛ekszenia ich ci ˛e ˙zaru wła´sciwego i g ˛esto´sci.

Metoda pomiaru ci ˛e ˙zaru wła´sciwego przyj ˛eta w tym ´cwiczeniu polega jedynie na wa ˙zeniu ciał i wykorzystaniu prawa Archimedesa. Przedstawienie tej metody wymaga podania kilku faktów dotycz ˛a- cych zachowania si ˛e płynów w polu grawitacyjnym.

Do płynów zaliczamy ciecze i gazy. W szczególno-

´sci interesowa´c nas b ˛edzie dział mechaniki płynów zwany statyk ˛a płynów. Przedmiotem bada ´n statyki płynów jest równowaga płynów poddanych działa- niu sił.

III. Ci´snienie wewn ˛ atrz płynu w polu gra- witacyjnym

Aby opisa´c działanie siły na płyn wprowadzamy ci-

´snienie p. Ci´snienie jest zdefiniowane jako stosunek siły F działaj ˛acej prostopadle na powierzchni ˛e S do wielko´sci tej powierzchni:

p= ^F

S. (7)

Sił ˛e F działaj ˛ac ˛a na dowoln ˛a powierzchni ˛e wewn ˛atrz płynu (np. ´scianki naczynia) nazywamy par- ciem. Jednostk ˛a ci´snienia jest 1 pascal (1 Pa). Jest to warto´s´c ci´snienia wywieranego przez prostopadł ˛a sił ˛e 1 N na powierzchni ˛e 1 m².

Ci´snienie wewn ˛atrz jednorodnej cieczy (hy- drostatyczne)opisuje równanie:

p=p_o+ρgh=p_o+γρ, (8) gdzie: po - ci´snienie na powierzchni cieczy (ze- wn ˛etrzne), ρ - g ˛esto´sć cieczy, g - przyspieszenie ziemskie, γ - ci ˛e ˙zar wła´sciwy cieczy, h - wysoko´sć słupa cieczy (gł ˛eboko´sć zanurzenia).

Wzór (8) pokazuje, ˙ze ci´snienie hydrostatyczne zale ˙zy jedynie od wysoko´sci słupa cieczy (czyli, od gł ˛eboko´sci zanurzenia) oraz ci ˛e ˙zaru wła´sciwego cieczy (patrz Rys. 1). Zatem, we wszystkich punktach

znajduj ˛acych si ˛e na tej samej gł ˛eboko´sci w cieczy ci´snienie jest jednakowe. Ci´snienie wywierane przez ciecz na dno naczynia nie zale ˙zy wi ˛ec od kształtu ani obj ˛eto´sci naczynia.

Rysunek 1: Ci´snienie w wodzie na ró˙znych gł˛eboko´sciach

Rysunek 2: Zale˙zno´s´c ci´snienia atmosferycznego od wysoko´sci Ci´snienie atmosferyczneopisuje wzór barome- tryczny:

p=p_oe⁻^µgh^RT, (9) gdzie: po- ci´snienie atmosferyczne na poziomie od- niesienia, µ - ´srednia masa molowa powietrza, g - przyspieszenie ziemskie, h - wysoko´s´c od pozio-

mu odniesienia, R - stała gazowa, T - temperatura powietrza w K.

Wzór (9) pokazuje, ˙ze ci´snienie w powietrzu zmienia si ˛e w sposób eksponencjalny (Rys. 2) a nie liniowy jak w przypadku cieczy.

IV. Prawo Pascala i Archimedesa

Prawo Pascala: ci´snienie wywierane na zamkni ˛ety płyn jest wi ˛ec przekazywane niezmienione na ka ˙zd ˛a

(3)

cz ˛e´s´c płynu i na ´scianki naczynia. Je ˙zeli ci´snienie nad powierzchni ˛a cieczy zmieni si ˛e o∆p, wtedy ci-

´snienie na dowolnej gł ˛eboko´sci h, opisane wzorem (8), zmieni si ˛e o t ˛a sam ˛a warto´s´c∆p. Na gł ˛eboko´sci hwynosi´c b ˛edzie: p= (p₀+_∆p) +ρgh.

Rysunek 3: Pracia P działaj ˛ace na ´sciany

Rysunek 4: Siła wyporu W

Na dowolne ciało umieszczone wewn ˛atrz płynu działa siła wyporu W . Jest ona wypadkow ˛a sił parcia wywieranego na ciało przez płyn. Siły parcia P, zgodnie z definicj ˛a ci´snienia, s ˛a równe iloczy- nowi ci´snienia p i powierzchni S, na któr ˛a działaj ˛a prostopadle: P = pS. Działanie sił parcia na ele- mentarny, sze´scienny element zanurzonego ciała przedstawia rysunek 3: Parcia działaj ˛ace poziomo na boczne ´scianki sze´scianu równowa ˙z ˛a si ˛e. Za to, w kierunku pionowym parcia na doln ˛a i górn ˛a ´sciank ˛e (odpowiednio P(h₂) i P(h₁)) s ˛a ró ˙zne. St ˛ad, siła wypadkowa (siła wyporu W ), dla ci´snienia hydro- statycznego opisanego równaniem (8), jest równa (Rys. 4):

W =P(h₂)− P(h₁) =ρg(h₂− h1)S=ρgV , (10) gdzie: S - powierzchnia ´scianki sze´scianu, V - obj ˛e- to´s´c sze´scianu, h2, h1-poziomy zanurzenia.

Poniewa ˙z ciało o dowolnym kształcie mo ˙zna zło-

˙zy´c z takich elementarnych sze´scianów warto´s´c siły wyporu nie zale ˙zy ani od kształtu ciała, ani od jego ci ˛e ˙zaru czy gł ˛eboko´sci zanurzenia w cieczy. Jest ona zawsze równa ci ˛e ˙zarowi cieczy wypieranej przez ciało (iloczyn ρgV jest równy ci ˛e ˙zarowi cieczy o g ˛esto´sci ρ i obj ˛eto´sci V ). Zatem, rówanie (10) opi- suje Prawo Archimedesa: na ka ˙zde ciało zanurzone cz ˛e´sciowo lub całkowicie w cieczy działa siła wy- poru W skierowana pionowo do góry i równa co do warto´sci ci ˛e ˙zarowi wypartej przez to ciało cieczy ρgV.

Punkt zaczepienia siły wyporu W (dla jednorod- nej cieczy) znajduje si ˛e w geometrycznym ´srodku ciała zanurzonego (´srodek ci ˛e ˙zko´sci hipotetycznej cieczy, która wypełniła by miejsce po przedmiocie).

Kierunek siły wyznacza kierunek zmian ci´snienia hydrostatycznego, za´s jej zwrot jest przeciwny do kierunku wzrostu ci´snienia. W ogólno´sci kierunek siły W nie zawsze musi być pionowy w stosun- ku do powierzchni Ziemi, a jej warto´sć niezale ˙zna od gł ˛eboko´sci zanurzenia. W cieczy umieszczonej w wysokoobrotowej wirówce, ci´snienie wywołane działaniem od´srodkowej siły pozornej wzrasta w kierunku poziomym proporcjonalnie do kwadratu odległo´sci od osi obrotu. W takich warunkach siła wyporu b ˛edzie skierowana poziomo¹, a jej warto´sć b ˛edzie zale ˙zna od gł ˛eboko´sci zanurzenia (odległo´sci od osi obrotu rotora wirówki).

Prawo Archimedesa obowi ˛azuje równie ˙z dla ga- zów, ale ze wzgl ˛edu na zale ˙zno´s´c ci´snienia i g ˛esto´sci od wysoko´sci h, siła wyporu W w gazach maleje wraz ze wzrostem wysoko´sci nad poziomem odniesienia (Ziemi).

V. Przykłady do hydrostatyki

Warunek pływalno´sci ciał w cieczy wynikaj ˛acy z prawa Archimedesa.

Rysunek 5 przedstawia trzy rodzaje ciał o ró ˙znej g ˛esto´sci wypełniaj ˛ace taki sam (V = const) cienko´scienny worek, który zanurzono w wodzie. W pierwszym przypadku (Rys. 5a) worek wypełniono wod ˛a ze zbiornika (ρworka = ρ_H₂_O). Siła wyporu jest równowa ˙zona przez ci ˛e ˙zar worka i worek znajduje si ˛e w stanie równowagi oboj ˛etnej - nie tonie ani nie wypływa. W drugim przypadku (Rys. 5b) worek nadmuchano powietrzem (ρworka< ρ_H₂_O). Siła wyporu jest wi ˛eksza od siły ci ˛e ˙zko´sci. Worek wynurza

1pomijaj ˛ac sił ˛e grawitacji, która dla wirówki jest zaniedbywalna

(4)

si ˛e całkowicie na powierzchnie cieczy. W trzecim przypadku (Rys. 5c) worek wypełniono metalem (ρworka> ρ_H₂_O). Siła wyporu jest mniejsza od siły ci ˛e ˙zko´sci. Worek tonie opadaj ˛ac na dno. Praktyczne zastosowanie: transport wodny i podwodny.

Rysunek 5: Worek cienko´scienny zanurzony w wodzie oraz wypełniony kolejno: wod ˛a a), powietrzem b), metalem c).

Manometr otwarty, przyrz ˛ad przenaczony do pomiaru ci´snienia gazu w zbiorniku, jako przykład wykorzystania równowagi hydrostatycznej.

Rysunek (Rys. 6) ukazuje U-rurk ˛e wypełnion ˛a ciecz ˛a której lewe rami ˛e poł ˛aczone jest ze zbior- nikiem wypełnionym gazem o ci´snieniu pgazu, a prawe rami ˛e jest otwarte do atmosfery po. Ró ˙znic ˛e ci´snienia w zbiorniku i ci´snienia atmosferycznego mo ˙zna wyznaczy´c z równowagi mi ˛edzy ci ˛e ˙zarem słupa cieczy o wysoko´sci h, a parciem gazu na ciecz

od drugiej strony:

ρghS = (p_gaz− p_o)S ⇒ p_gaz =ρgh+p_o. (11)

Rysunek 6: Manometr otwarty

Prasa hydrauliczna (p. Pascala)

Prezentowana na rysunku 7 kolejna adaptacja U-rurki ukazuje schemat prasy hydraulicznej. Jedno z ramion U-rurki zostało powi ˛ekszone wielokrot- nie, nast ˛epnie oba ramiona zamkni ˛eto ruchomymi ale szczelnymi tłokami. Obszar pod tłokami został całkowicie wypełniony nie´sci´sliw ˛a ciecz ˛a. Tłok o powierzchni S1, na który działa siła F1, wywołuje w układzie ci´snienie p:

p= ^F¹

S₁. (12)

Zgodnie z prawem Pascala ci´snienie to rozprzestrze- nia si ˛e po całej obj ˛eto´sci cieczy i działa tak ˙ze na tłok roboczy o powierzchni S2wywołuj ˛ac sił ˛e F2:

F2=pS2= ^S²

S₁F1. (13) Z powy ˙zszego rozumowania wynika, ˙ze siła wywierana przez tłok roboczy o du ˙zej powierzchni jest tyle razy wi ˛eksza ile razy powierzchnia tłoka ro- boczego jest wi ˛eksza od powierzchni tłoka pompy.

Inne przykłady zastosowania prawa Pascala w prak- tyce: pompowanie r ˛ecz ˛a pompk ˛a d ˛etki/opony, sa- mochodowe hamulce hydrauliczne, d´zwigi/wózki hydrauliczne, itp.

(5)

Rysunek 7: Zasada działania prasy hydraulicznej

VI. Waga hydrostatyczna

Rysunek 8: Przykład wagi hydrostatycznej: w. Mohra

Waga hydrostatyczna to specjalny typ wagi belko- wej (w. Mohra, Rys. 8) lub wagi spr ˛e ˙zynowej (w.

Jolly’ego) przeznaczonej do pomiaru siły wyporu W działaj ˛acej na ciało stale zanurzone całkowicie w cieczy. W zale ˙zno´sci od realizacji, wynik tego pomiaru umo ˙zliwia wyznaczenie g ˛esto´sci lub ci ˛e ˙zaru wła´sciwego zarówno ciała stałego jak i cieczy. Ponie- wa ˙z siła wyporu jest równa iloczynowi ci ˛e ˙zaru wła-

´sciwego cieczy γ i obj ˛eto´sci ciała V , to znajomo´sć W dla ciała zanurzonego o znanej obj ˛eto´sci V pozwala obliczyć ci ˛e ˙zar wła´sciwy cieczy γ =W/V . Gdy zna- ny jest ci ˛e ˙zar wła´sciwy cieczy γ, pomiar W pozwala okre´slić obj ˛eto´sć zanurzonego ciała V =W/γ, ko- nieczn ˛a do obliczenia jego ci ˛e ˙zaru wła´sciwego lub g ˛esto´sci.

Pomiarow ˛a funkcj ˛e wagi hydrostatycznej mo ˙ze pełni´c zestaw składaj ˛acy si ˛e z typowej cyfrowej wagi laboratoryjnej, naczynia z ciecz ˛a i statywu umo ˙zli- wiaj ˛acego zawieszenie ciała stałego (Rys. 9). Zestaw umo ˙zliwia pomiar ci ˛e ˙zaru wła´sciwego cieczy i ciał

stałych bez wzgl ˛edu na ich wzgl ˛edne relacje, (γ cie- czy mo ˙ze być wi ˛ekszy lub mniejszy od γ ciała sta- łego). Waga umo ˙zliwia wyznaczenie wynikaj ˛acej z III zasady dynamiki siły reakcji, jakiej doznaje ciecz wypieraj ˛aca zanurzone w niej ciało. Waga hydrostatyczna jest pomocna, zwłaszcza wtedy, gdy chcemy wyznaczać ci ˛e ˙zar wła´sciwy ciał stałych w postaci brył o niewielkiej obj ˛eto´sci. Ciało wa ˙zone zawiesza- my na druciku, którego mas ˛e mo ˙zemy pomin ˛ać, je´sli jest mniejsza od czuło´sci wagi (∆m = 0.01 g). Nale˙zy tak dobrać ciecz, aby badane ciało nie rozpuszczało si ˛e w niej i aby ciecz zwil ˙zała powierzchni ˛e ciała.

Najcz ˛e´sciej u ˙zywamy wody destylowanej, a je´sli nie spełnia ona powy ˙zszych warunków, wówczas mo ˙zemy u ˙zy´c na przykład: alkoholu, nafty lub toluenu.

VII. Wprowadzenie wzorów pomiaro- wych

Dla przykładu wyprowadzimy wzór na ci ˛e ˙zar wła-

´sciwy ciała o g ˛esto´sci wi ˛ekszej od g ˛esto´sci wody (ρc > ρw). Pierwszy etap polega na wa ˙zeniu przed- miotu (Rys. 9a). Na ciało działa siła ci ˛e ˙zko´sci ~Q1, waga wskazuje mas ˛e ciała m1, zatem ci ˛e ˙zar wł ˛a´sciwy ciała zgodnie ze wzorem (4):

γ= ^Q¹ V = ^m¹

V g. (14)

Nast ˛epnie na tej samej wadze poło ˙zono zlewk ˛e z wod ˛a na któr ˛a działa siła ci ˛e ˙zko´sci ~Q₂ (Rys. 9b), waga wskazuje mas ˛e m2.

Ostatecznie, do wci ˛a ˙z znajduj ˛acej si ˛e na wadze zlewki z wod ˛a zanurzono ciało swobodnie zwisaj ˛ace ze statywu (Rys. 9c). Wypadkowa siła ci ˛e ˙zko´sci Q3

(odpowiadaj ˛aca masie m3) jest sum ˛a siły ci ˛e ˙zko´sci Q~₂(z drugiego etapu do´swiadczenia) i siły reakcji reakcji ciała na sił ˛e wyporu cieczy W , st ˛ad:

W =Q₃− Q₂. (15) Z prawa Archimedesa (10), wiadomo, ˙ze siła wyporu:

W =γ_wV , (16) gdzie, γw - ci ˛e ˙zar wła´sciwy wypartej wody.

Z zale ˙zno´sci (15) i (16) otrzymujemy wzór na obj ˛eto´s´c ciała:

γ_wV =Q₃− Q₂ ⇒ γ_wV =m₃g − m₂g

⇒ V = (m₃− m₂)g

γ_w . (17)

(6)

Ostatecznie ci ˛e ˙zar wła´sciwy ciała, podstawiaj ˛ac z (17) do (14) wynosi:

γ= ^m¹

m₃− m₂γw. (18) W analogiczny sposób mo ˙zna wyprowadzi´c od- powiednie wzory na wyznaczanie a) ci ˛e ˙zaru wła´sciwego ciała stałego o g ˛esto´sci mniejszej od g ˛esto´sci wody, b) ci ˛e ˙zaru wła´sciwego nieznanej cieczy stosu- j ˛ac ciało o znanym ci ˛e ˙zarze.

Rysunek 9: Pomiary wagowe: a) ciało o g˛esto´sci wi˛ekszej od g˛esto´sci wody, b) zlewka z wod ˛a, c) zlewka z wod ˛a + zanurzone ciało

Cel ´cwiczenia

Celem ´cwiczenia jest wyznaczanie ci ˛e ˙zaru wła´sciwego ciał stałych i cieczy metod ˛a polegaj ˛ac ˛a jedynie na wa ˙zeniu ciał i wykorzystaniu prawa Archimedesa.

Wykonanie ´cwiczenia

Cwiczenie A.´

Wyznaczanie ci ˛e ˙zaru wła´sciwego ciała stałego o g ˛esto´sci wi ˛ekszej od g ˛esto´sci wody.

1. Zwa ˙zy´c wybrane ciało na wadze; masa m1. 2. Napełni´c zlewk ˛e wod ˛a destylowan ˛a (ok. 90ml)

i zmierzy´c jej temperatur ˛e; t.

3. Zwa ˙zy´c zlewk ˛e z wod ˛a; masa m2.

4. Zawiesi´c ciało na ramieniu statywu i opuszcza- j ˛ac rami ˛e zanurzy´c ciało całkowicie w wodzie.

5. Zanotowa´c nowe wskazanie wagi; masa m3.

Cwiczenie B.´

Wyznaczanie ci ˛e ˙zaru wła´sciwego ciała stałego o g ˛esto´sci mniejszej od g ˛esto´sci wody.

1. Zwa ˙zy´c wybrane ciało(korek, drewno) na wa- dze; masa m1.

2. Zwa ˙zy´c ponownie zlewk ˛e z wod ˛a; masa m2. 3. Do otworu w badanym ciele wbi´c igł ˛e i za-

mocowa´c j ˛a w ramieniu statywu dokr ˛ecaj ˛ac

´srub ˛a.

4. Opu´sci´c rami ˛e tak, aby ciało całkowicie zanu- rzy´c w wodzie; masa m3.

Cwiczenie C.´

Wyznaczanie ci ˛e ˙zaru wła´sciwego cieczy (roztwór NaCl).

1. Sporz ˛adzi´c wodny roztwór NaCl o st ˛e ˙zeniu 10g/100ml.

2. Zlewk ˛e z roztworem (ok. 90ml) umie´sci´c na wadze; masa m4.

3. Zawiesi´c ponownie badane ciało o masie m1

(z ´cwiczenia A) na ramieniu statywu i zanurzy´c go całkowicie w badanym roztworze; ma- sa m5.

(7)

Opracowanie ´cwiczenia

ad ´Cw. A.

Obliczy´c ci ˛e ˙zar wła´sciwy ciała o g ˛e- sto´sci wi ˛ekszej od g ˛esto´sci wody według wzoru:

γ=γw

m1

m₃− m₂

N m³

, (19)

gdzie γw- ci ˛e ˙zar wła´sciwy wody o temperaturze t (Tab. 1).

Tabela 1: Ci˛e˙zar wła´sciwy wody destylowanej w funkcji tem- peratury

t ⁰C

γ_w N/m³ 10 9804 15 9798 20 9789 25 9778 30 9763

Dokładniejsz ˛a warto´s´c ci ˛e ˙zaru wła´sciwego wody w dowolnej temperaturze t mo ˙zna obliczy´c stosuj ˛ac metod ˛e interpolacji liniowej. W metodzie tej zmiany ci ˛e ˙zaru wła´sciwego pomi ˛edzy punktami w˛ezłowy- mi przybli ˙za si ˛e funkcj ˛a liniow ˛a.

Przykład: Wyznaczy´c ci ˛e ˙zar wła´sciwy wody w tem- peraturze t = 17.6⁰C. Najbli ˙zsze dwa punkty w˛ezło- we maj ˛a współrz ˛edne:

t₁= 15⁰C, γ1 = 9798 N/m³, t2= 20⁰C, γ2 = 9789 N/m³.

Równanie prostej przechodz ˛acej przez te punkty ma posta´c:

γ(t) = ^∆γ_∆t(t − 15⁰C) +γ₁, gdzie, ^∆γ_∆t = ^γ_t²^−γ¹

2−t₁ =−1.8 h

N m^{3 0}C

i .

Zatem, γ(17.6⁰C) = −1.8 ∗(17.6 − 15) +9798 = 9793.32 N/m³≈ 9793 N/m³.

ad ´Cw. B.

Obliczy´c ci ˛e ˙zar wła´sciwy ciała o g ˛e- sto´sci mniejszej od g ˛esto´sci wody według wzoru (19).

ad ´Cw. C.

Obliczy´c ci ˛e ˙zar wła´sciwy cieczy we- dług wzoru (20):

γ=γ_wm₅− m₄ m3− m2

N m³

, (20)

(wykorzysta´c warto´sci m3 i m2 z ´cwiczenia A).

Uwagi:

1. Przed przyst ˛apieniem do wa ˙zenia nale ˙zy sprawdzi´c, czy waga jest wypoziomowana i wyzerowana.

2. Wa ˙zenie jest przeprowadzone poprawnie, gdy ciało lub zlewka znajduje si ˛e na ´srodku szalki.

VIII. Dyskusja bł ˛edu pomiarowego

Dyskusja niepewno´sci pomiarowej dla cz ˛e-

´sci A:

Niepewno´s´c standardowa oszacowana dla wagi RAD WAG WTB 2000 wynosi: u(mi) = 0, 035g.

(gdzieioznacza indeks dolny przy masie, czyli1,2

lub3)

Upraszczamy wzór (19) poprzez wprowadzenie no- wej zmiennej M=m₃− m₂, otrzymujemy:

γ=γw· m¹₁· M⁻¹.

Niepewno´s´c standardowa u(M)nowej zmiennej M wynosi:

u(M) = q

[u(m₃)]²+ [u(m₂)]²=0, 050g. Ostatecznie obliczyć niepewno´sć standardow ˛a ci ˛e ˙zaru wła´sciwego ciała ze wzoru na niepewno´sć standardow ˛a funkcji iloczynowej:

u(γ) =γ · s

 u(m₁) m₁

2

+^u(M) M

2

. (21)

Analogicznie przeprowadzi´c dyskusj ˛e nie- pewno´sci pomiarowej dla cz ˛e´sci C.

IX. Literatura

1. T. Dry ´nski - ´Cwiczenia laboratoryjne z fizyki 2. D. Holliday, R. Resnick - Fizyka, tom I 3. J. Orear - Fizyka, tom I

4. Sz. Szczeniowski - Fizyka do´swiadczalna, cz.1 5. Encyklopedia Fizyki, tom I

6. Wikipedia

(8)

Dodatek

Wyprowadzenie wzorów (8, 9) na ci´snie- nie wewn ˛ atrz płynów

Rysunek 10: Siły działaj ˛ace na element obj˛eto´sci płynu

Rysunek 11: Siły działaj ˛ace w kierunku pionowym na wybra- ny element obj˛eto´sci

Rozwa ˙zmy pewien płyn o ci ˛e ˙zarze wła´sciwym γ znajduj ˛acy si ˛e w równowadze. W równowadze jest wi ˛ec ka ˙zdy element obj ˛eto´sci tego płynu. Wy- bierzmy element o kształcie dysku o powierzchni S i grubo´sci dz, wówczas jego ci ˛e ˙zar wynosi:

dQ=γSdz. (22)

Siły wywierane na wybrany element przez otaczaj ˛a- cy płyn s ˛a w ka ˙zdym punkcie prostopadłe do jego powierzchni, jak na Rysunku 10. Siły działaj ˛ace na boczn ˛a ´sciank ˛e wybranego elementu obj ˛eto´sci s ˛a

skierowane poziomo, natomiast na ´sciank ˛e doln ˛a i górn ˛a - pionowo. Warunkiem równowagi elementu obj ˛eto´sci jest równowa ˙zenie si ˛e sił działaj ˛acych zarówno w kierunku poziomym jak i pionowym.

W kierunku poziomym działaj ˛a jedynie siły wywierane przez otaczaj ˛acy płyn. Ze wzgl ˛edu na symetri ˛e siły te równowa ˙z ˛a si ˛e na ka ˙zdej wysoko´sci z. Za to w kierunku pionowym działaj ˛a nast ˛epuj ˛ace siły (Rys. 11):

F~ - siła wywierana przez otaczaj ˛acy płyn na gór- n ˛a powierzchni ˛e elementu cieczy,

F~ +d ~F ⇒ Fw = −F +dF - siła wypadkowa wywierana przez otaczaj ˛acy płyn na doln ˛a powierzchni ˛e elementu cieczy,

d ~Q- ci ˛e ˙zar rozpatrywanego elementu cieczy.

Aby siły działaj ˛ace w kierunku pionowym rów- nowa ˙zyły si ˛e, ich wypadkowa dF musi by´c ró ˙zna od zera i skierowana przeciwnie do ci ˛e ˙zaru rozpa- trywanego elementu obj ˛eto´sci d ~Q. W wybranym układzie współrz ˛ednych warunek równowagi przyj- muje posta´c:

F+ (−F+dF) +dQ=0 ⇒ dF =−dQ. (23) Podstawiaj ˛ac ze wzoru (22), dostajemy:

dF =−γSdz ⇔ dF

S =−γdz, (24) st ˛ad:

dp=−ρgdz. (25)

Aby wykonać całkowanie wzoru (25), nale ˙zy znać g ˛esto´sć ρ jako funkcj ˛e wysoko´sci z, oraz nale ˙zy uwzgl ˛ednić zale ˙zno´sć przyspieszenia ziemskiego g od wysoko´sci.

1. W przypadku cieczy g ˛esto´s´c jest praktycznie stała, gdy ˙z ciecze s ˛a prawie nie´sci´sliwe. Zmia- ny wysoko´sci s ˛a na tyle małe, ˙ze mo ˙zna zanie- dba´c zmiany przyspieszenia ziemskiego wraz z wysoko´sci ˛a/gł ˛eboko´sci ˛a. Przyjmuj ˛ac w rów- naniu (25) ρ i g za stałe otrzymujemy dla jed- norodnych cieczy: : p2− p1 = −ρg(z₂− z1). Przyjmuj ˛ac, ˙ze z2 jest poziomem powierzchni cieczy, ci´snienie p2b ˛edzie równe ci´snieniu at- mosferycznemu po, a(z₂− z₁)b ˛edzie równe gł ˛eboko´sci h zanurzenia ciała uzyskujemy:

p=po+ρgh.

(9)

2. Dla gazów g ˛esto´s´c ρ jest mała w porówna- niu z g ˛esto´sci ˛a cieczy, a wi ˛ec i zmiana g ˛esto´sci wraz z wysoko´sci ˛a, spowodowana ´sci´sliwo´sci ˛a gazów, jest równie ˙z niewielka. Aby obliczy´c ci´snienie powietrza na wysoko´sci h nad pozio- mem morza przyjmujemy nast ˛epuj ˛ace uprasz- czaj ˛ace zało ˙zenia: a) przyspieszenie ziemskie gjest stałe, b) temperatura powietrza jest sta- ła, c) powietrze traktujemy jak gaz doskonały.

Gaz doskonały opisuje równanie Clapeyrona:

pV = ^M

µRT , (26)

gdzie p - ci´snienie, V - obj ˛eto´s´c, M - masa ga- zu, µ - masa molowa gazu, R - stała gazowa, T - temp. bezwzgl ˛edna. St ˛ad i ze wzoru na

g ˛esto´s´c ρ= ^M_V , otrzymujemy:

ρ(z) = ^µp(z)

RT (27)

Uwzgl ˛edniaj ˛ac powy ˙zsze zało ˙zenia wzór (25) przekształacamy ^dp(z)_dz =−ρ(z)g, otrzymuj ˛ac:

dp(z)

dz =−µg

RTp(z). (28) Przyjmuj ˛ac, ˙ze h jest odległo´sci ˛a mierzon ˛a od poziomu Ziemi, rozwi ˛azaniem powy ˙zszego równania ró ˙zniczkowego (28) jest wzór baro- metryczny (9):

p=poe⁻^µgh^RT.