Zadanie laboratoryjne(za 10 punkt´ow) termin: 13 czerwca 2020
Dla danych r´ownoodleg lych punkt´ow a ≤ x1 < x2 < · · · < xm ≤ b definiujemy na przestrzeni funkcji rzeczywistych (semi-) iloczyn skalarny jako
(1) hg, hi = 1
m
m
X
k=1
g(xk) h(xk).
Dla n ≤ m nale˙zy:
• Obliczy´c wsp´o lczynniki {βk}nk=1, {γk}nk=2 definiujace ci, ag wielomian´, ow {pk}nk=0 orto- gonalnych wzgledem iloczynu skalarnego (1), zgodnie z formu l, a tr´, ojcz lonowa,
p0(x) = 1,
p1(x) = (x − β1),
pk(x) = (x − βk) pk−1(x) − γkpk−2(x), k = 2, 3, . . . , n.
• Nastepnie, dla danej funkcji f : [a, b] → R narysowa´c wykres f oraz wielomianu w, n,f
stopnia ≤ n najlepiej aproksymujacego t, a funkcj, e wzgl, edem (semi-) normy, kgk =
v u u t
1 m
m
X
k=1
|g(xk)|2, oraz obliczy´c kf − wn,fk.
Warto´sci wielomianu wn,f nale˙zy oblicza´c w czasie liniowym w n korzystajac z β, k i γk w nastepuj, acy spos´, ob. Je´sli
wn,f =
n
X
k=0
ckpk
to wn,f(x) = d0 gdzie d0 obliczone jest wed lug nastepuj, acego wzoru rekurencyjnego:, dn+2= 0, dn+1= 0, oraz
dk = ck+ (x − βk+1)dk+1− γk+2dk+2 dla k = n, n − 1, . . . , 0.
Zaobserwuj zachowanie sie b l, edu aproksymacji przy rosn, acym n.,
