• Nie Znaleziono Wyników

W zaciekłej walce co najmniej

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "W zaciekłej walce co najmniej "

Copied!
26
0
0

Pełen tekst

(1)

Statystyka i opracowanie danych

Podstawowe definicje i twierdzenia Rachunku Prawdopodobieństwa

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl

Konsultacje –pół godziny przed zajęciami

(2)

Plan

• Sprawy organizacyjne:

– Organizacja zajęć

– Zasady zaliczenia i system oceniania

• Program kształcenia

• Wykład 1–

Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa:

– Zdarzenia, przestrzeń zdarzeń.

– Podstawowe definicje i twierdzenia rachunku prawdopodobieństwa

(3)

Informacje organizacyjne

Wykład 18 godzin

Prowadzący dr Anna Adrian paw. B5, pok. 407, tel. 617 29 15 adan@agh.edu.pl

Projekt 18 godzin

Prowadzący: dr Anna Adrian

Konsultacje – przed zajęciami planowanymi lub po – pół godziny Autorskie materiały dydaktyczne: home.agh.edu.pl/~adan

(4)

System oceniania

Ocena klasyczna przyporządkowana jest procentowej zgodnie z Regulaminem Studiów w AGH

Stosowana skala ocen

[ 0;50] % punktów możliwych do uzyskania ocena 2,0

(50;60] % 3,0

(60;70] % 3,5

(70;80] % 4,0

(80;90] % 4,5

(90;100] % 5,0

(5)

System oceniania z przedmiotu SiOD

• PROCENTOWA OCENA KOŃCOWA (POK):

POK = 100*(POC+LPAW)/90

gdzie

LPAĆ -Liczba punktów za aktywność na ćwiczeniach (obecności, wykonane zadania, odpowiedzi); (MAX = 36)

LPK – Liczba punktów z kolokwiów; (MAX=20)

LPP – Liczba punktów za wykonanie projektu; (MAX=16)

LPAW -Liczba punktów za aktywność na wykładach (obecności, dyskusje, odpowiedzi);(MAX=18)

• PROCENTOWA OCENA Z ĆWICZEŃ (POC):

POC = 100*(LPK+LPAĆ+LPP)/72

(6)

Statystyka i opracowanie danych Treści

• Elementy rachunku prawdopodobieństwa: interpretacja zdarzeń, prawdopodobieństwo – podstawowe twierdzenia. Zmienne losowe, ich rozkłady i parametry rozkładu.

• Badania statystyczne; Podstawowe pojęcia. Statystyka opisowa miary położenia, miary zmienności, asymetrii i koncentracji, reprezentacja graficzna danych. Szeregi

• Techniki wnioskowania statystycznego: estymacja i estymatory, weryfikacja hipotez statystycznych, testy statystyczne parametryczne i nieparametryczne.

• Analiza struktury zbiorów danych. Dopasowanie rozkładu empirycznego do teoretycznego. Analiza wariancji.

• Szukanie i badanie zależności. Podstawy korelacji i regresji:

pojęcia podstawowe, korelacje cząstkowe, korelacje nieparametryczne, funkcje regresji. Ocena dopasowania funkcji do danych.

• Zastosowania programów Excel i Statistica do analizy danych.

(7)

Polecane podręczniki

1. Lapin L.L.J Statistics for modern engineering, PWS Publishers 1983 2. Koronacki J., Mielniczuk J. Statystyka dla studentów kierunków

technicznych i przyrodniczych, WNT, Warszawa

3. Plucińscy A., E. Rachunek Prawdopodobieństwa, Statystyka matematyczna, Procesy stochastyczne, WNT, Warszawa 2000

4. Stanisz A., Przystępny kurs statystyki z zastosowaniem STATISTICA PL, StatSoft,Kraków 2006

5. Hand D., Mannila H., Smyth P. Eksploracja danych, WNT Warszawa 2005

6. Hill T., Lewicki P. Statistics Methods and Applications, Stat Soft Inc.

2006

(8)

Wykład 1

Podstawowe definicje i twierdzenia Rachunku Prawdopodobieństwa

(9)

Doświadczenie - zdarzenia – definiowanie przestrzeni zdarzeń– tworzenie modelu

Przykład formalizacji opisu doświadczenia i zdarzenia:

doświadczenie : egzamin

zdarzenie: ocena z egzaminu:

Opis zbioru zdarzeń elementarnych

(wszystkich możliwych wyników pojedynczego doświadczenia)

= {2, 3, 3.5, 4, 4.5, 5} ; # = 6 Opis dowolnego „zdarzenia losowego”, jakie może mieć miejsce w danym

doświadczeniu :

A : oblany egzamin : A={2}

B: zdany egzamin = uzyskanie oceny co najmniej 3:

B={3, 3,5, 4, 4,5, 5}

C: wynik egzaminu satysfakcjonujący np uzyskanie oceny co najmniej dobry: C={4, 4,5, 5}

Każde zdarzenie losowe jest podzbiorem zbioru zdarzeń

(10)

Zdarzenia, przestrzeń zdarzeń – formalizacja opisu

Niech ωi oznacza jeden z możliwych wyników prowadzonego doświadczenia (eksperymentu)

ωi ∈ Ω ωi jest elementem zbioru = { ω1 , ω2 ... ωn }, # = n

Zbiór zdarzeń elementarnych, zawiera wszystkie możliwe wyniki danego doświadczenia (eksperymentu)

może być zbiorem skończonym albo zbiorem

nieskończonym, to zależy od doświadczenia i liczby możliwych wyników

(11)

Zdarzenia losowe,

Przestrzeń zdarzeń losowych

Przestrzeń zdarzeń losowych stanowi zbiór wszystkich możliwych podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych

Każde zdarzenie losowe A jest dowolnym podzbiorem zbioru

A ⊆ Ω

A’ jest zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A, i jest

zdarzeniem losowym bo zawiera te elementy przestrzeni , które nie należą do zbioru A

A’= Ω -A ⊂ Ω

Każde zdarzenie elementarne jest zdarzeniem losowym

1} ⊂ Ω

zdarzenie pewne to cała przestrzeń, jest zdarzeniem losowym, bo zawiera się w sobie,

Ω ⊆ Ω

zdarzenie niemożliwe jest zdarzeniem losowym, bo jest przeciwne do zdarzenia pewnego

∅ = Ω - Ω

(12)

Działania w przestrzeni zdarzeń losowych

A B – iloczyn zdarzeń, zawiera te zdarzenia

elementarne, które sprzyjają zajściu obu zdarzeń A i B

• A ∩ ∅ = A ∩ Ω =A A A’ =

• Jeśli A B , to A B =A

• Jeśli A B = , wtedy zdarzenia A i B są rozłączne

• Jeśli A B ≠ ∅, wtedy zdarzenia A i B nie są rozłączne A B suma zdarzeń, zawiera te zdarzenia elementarne, które należą do zbioru A lub należą do zbioru B

• A∪ ∅ =A A∪Ω = A A’ =

• Jeśli A B to A B = B

(13)

Działania w przestrzeni zdarzeń losowych A\ B różnica zdarzeń A i B, zawiera te zdarzenia

elementarne, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B

Zdarzenie A ÷ B, nazywane różnicą symetryczną zdarzeń A i B, zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi

jedno i tylko jedno ze zdarzeń A lub B Zadania: Udowodnić, że:

(A ∩ B)’ = A ∪ B (A’ ∪ B’)’= A ∩ B

(14)

Wizualizacja relacji i wyników działań na zbiorach - Diagramy Venna

(15)

Zdarzenia wzajemnie wykluczające się

Definicja 3.

Zdarzenia A1, A2, A3,…. wzajemnie się wykluczają, jeśli żadne dwa z nich nie mają wspólnych

elementów, czyli Ai ∩ Aj =∅ ∀ i≠ j : i,j =1,2,3,…

Uwaga. Sumę dowolnych dwóch zdarzeń można przedstawić jako sumę zdarzeń wzajemnie

wykluczających się

A ∪ B = I ∪ II ∪ III

(16)

Przykład definiowania zdarzeń

Wybieramy jednego studenta spośród przybyłych na wykład.

Niech

• A oznacza zdarzenie, że wylosowano mężczyznę

• B nie pali papierosów

• C mieszka w akademiku Opisać zdarzenia:

A B C’

• Przy jakich warunkach zachodzi równość A B C =A

• Przy jakich warunkach zachodzi C’ B

• Czy równość A’= B jest spełniona gdy wszyscy mężczyźni palą

(17)

Przykład określania przestrzeni Ω dla różnych zadań np. w kontroli jakości wyrobów

Losuję jeden egzemplarz i oceniam według

wybranego kryterium i stwierdzam, że kontrolowany wyrób np.

– Jest dobry albo jest wadliwy

– Jest I klasy, jest II klasy, jest wybrakiem – Jest czerwony, zielony, żółty, czarny...

– Jest duży, średni, mały...

– Jak określić przestrzeń Ω, gdy kontrolujemy wymiary, ciężar, temperaturę, czas

Losuję dwa/ trzy/ pięć egzemplarzy i otrzymuję...

(18)

Zadanie żart

W zaciekłej walce co najmniej

– 70 % walczących straciło jedno oko – 75 % straciło jedno ucho

– 80 % straciło jedną rękę – 85 % straciło jedną nogę

Jaka jest co najmniej ilość tych, którzy stracili jednocześnie ucho, oko, rękę i nogę

( Lewis Carol, A Tangled Tale, 1881r)

(19)

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

Zakładamy, że A jest zdarzeniem losowym:

tzn. A

⊂ Ω

Prawdopodobieństwo P jest funkcją : P: A → P (A)

spełniającą następujące aksjomaty:

1. P(A) [0,1]

2. P() = 1 P()=0

3. P(AB)= P(A)+P(B) jeśli AB= albo

3’ P(AB)= P(A) +P(B) –P(AB)

(20)

Definicje prawdopodobieństwa (rachunkowe) A

⊂ Ω ,

A jest zdarzeniem losowym

Klasyczna definicja - wzór Laplace’a

Sprawdzić, czy wzór Laplace’a spełnia wszystkie aksjomaty prawdopodobieństwa

rnych enelementa

iwychzdarz stkichmozl

liczbawszy

darzeniuA yjajacychz

arnychsprz zeńeńeleme

liczbazdar A A

P =

= Ω ) (

(21)

Definicja geometryczna

= Ω

= Ω

oru trycznazbi

miarageome

oruA trycznazbi

miarageome A A

P µ

) µ (

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany

w sposób losowy punkt kwadratu:  x  <1,  y  <1

jest punktem wewnętrznym okręgu x

2

+y

2

=1.

(22)

Definicja statystyczna

ji chobserwac prowadzony

liczbaprze

hzdarzenA serwowanyc

liczbazaob n

A n

P A

n

=

=

lim

) (

W ciągu 1000 dni przeprowadzono obserwacje

meteorologiczne dotyczące siły wiatru i ciśnienia atmosferycznego. Założono, ze

• A oznacza zdarzenie : siła wiatru < 5 m/s , A’ =?

• B oznacza zdarzenie : ciśnienie < 1020 milibarów, B’ = ?

1000 400

600 Razem

500 300

200 B'

500 100

400 B

Razem A'

Otrzymano następujące A

wyniki

:

Obliczyć: P(A) P(B), P(A,B)

(23)

Podstawowe twierdzenia o prawdopodobieństwie

• P(A’) = 1- P(A), gdy A’ = Ω-A

• P(A∪B) = P(A)+P(B)-P(A∩B)

• P(A/B) = P(A∩B)/P(B)

• P(A∩B) = P(A)*P(B) ⇔ A i B są niezależne

(24)

Zadania

Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przypadkowo wzięta liczba naturalna jest

podzielna przez 6

podzielna przez 2 lub 3

W pewnym przedsiębiorstwie 96% wyrobów jest dobrych. Na 100 dobrych wyrobów 75 jest pierwszego gatunku. Jakie jest

prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrany wyrób okaże się wyrobem I gatunku?

Na egzaminie jest 10 zestawów pytań, kartka z numerem k zawiera najtrudniejszy zestaw pytań. Jakie jest

prawdopodobieństwo, że żaden z pięciu zdających studentów nie wylosuje kartki z numerem k jeśli

Losowanie jest bez zwracania (wylosowane kartki są odkładane)

Losowanie jest ze zwracaniem - (kartka wylosowana przez jednego studenta wraca do puli i może być wylosowana przez innego zdającego)

Który sposób losowania jest bardziej korzystny dla studentów?

(25)

Założenia: A1 ∪A2 ∪…. ∪ An= Ω ,

Ai ∩ Aj =∅ ∀ i≠ j : i,j =1,2,…,n

Teza: P(B) = P(B/A1)*P(A1)+…..+ P(B/An)*P(An)

Zastosowanie

W magazynie znajdują się pewne elementy do komputera

pochodzące z dwóch fabryk, przy czym 40% z nich pochodzi z fabryki I, a 60% z fabryki II. Niezawodność (w czasie T) elementów z fabryki I wynosi 0,95 a z fabryki II 0,7.

obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wzięty z magazynu element

– był wyprodukowany w fabryce I

– będzie poprawnie pracował przez czas T

Twierdzenie

o prawdopodobieństwie całkowitym

(26)

Reguła Bayesa:

Założenia:

A1 A2 …. An= ,

Ai Aj = i j : i,j =1,2,…,n Teza:

P(Ai/B) = [P(B/Ai)*P(Ai)]/P(B) Zastosowanie:

W magazynie znajdują się pewne elementy do komputera

pochodzące z dwóch fabryk, przy czym 40% z nich pochodzi z fabryki I, a 60% z fabryki II. Niezawodność (w czasie T) elementów z fabryki I wynosi 0,95 a z fabryki II 0,7. obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wzięty z magazynu element – pochodzi z fabryki I jeśli stwierdzono, że poprawnie

pracował przez czas T

Cytaty

Powiązane dokumenty

Jeśli zauważysz, że jedna z osób jest wykluczana przez grupę, postaraj się tak organizować lekcje WF-u, żeby mogła ona brać udział i czuć się pewnie.. Spytaj np., jaką

Już miał biedak powiedzied, co mu się na język nawinęło, gdy przypomniały mu się słowa nieznajomego – nie mówid niczego bez zastanowienia; zamyślił się,

Lapbook jest „książką” tematyczną, którą tworzy się na dany temat i w której tworzeniu uczeń aktywnie uczestniczy.. Dzięki lapbookom uczniowie

Koszty wejścia 0,00% Wpływ kosztów, które inwestor ponosi przy rozpoczynaniu inwestycji Koszty wyjścia 0,00% Wpływ kosztów wyjścia

Na podstawie obserwacji obliczono prawdopodobieństwo p=0,1 że któryś komputerów w czasie zajęć jest wolny (równe dla wszystkich pięciu

Być może zaś wystarczyłoby powiedzieć, że podstawowy podział to podział na użycia UR i UA i że użycie UR dzieli się na użycia URI (referencyjneStrawson&gt;

Zasady zaliczania przedmiotu: 2 kolokwia, każde warte 15 punktów, 2 sprawdziany, każdy warty 6 punktów, aktywność na zajęciach, warta 4 punkty, egzamin, warty 60 punktów.. Do

Po upływie tego czasu Jury może przerwać referowanie, poprosić o streszczenie dalszej części rozwiązania lub pozwolić na dalsze referowanie, w zależności od tego, czy