Wyka˙z, ˙ze naturalny algorytm obliczania cosinusa kata pomi, edzy wektorami ~a,~b ∈ R, n, cos(~a,~b

Zadania domowe 1-5

(termin: 23 marca 2018)

Zadanie 1.

Niech 0 < a1 < a2 < · · · < an. Czy z punktu widzenia b led´_, ow w fl_ν lepiej jest policzy´c sume_, tych liczb w kolejno´sci od najmniejszej liczby do najwiekszej czy odwrotnie? Odpowied´_, z uzasadnij odpowiednia analiz_, a b l_, ed´_, ow.

Zadanie 2.

Wyka˙z, ˙ze naturalny algorytm obliczania cosinusa kata pomi_, edzy wektorami ~a,~b ∈ R_, ⁿ, cos(~a,~b) =

Pn j=1a_jb_j r

Pn

j=1a²_j  Pn

j=1b²_j ,

jest numerycznie poprawny. Oszacuj wska´znik uwarunkowania zadania i b lad wzgl_, edny wy-_, niku w fl_ν.

Zadanie 3.

Wyka˙z, ˙ze dla dowolnej macierzy A ∈ R^m,n mamy kAk₂ = sup

~ z

sup

~ y

~y^TA~z ,

gdzie suprema sa wzi_, ete po ~_, z ∈ Rⁿ i ~y ∈ R^m takich, ˙ze k~zk₂ = 1 = k~yk₂. Stad wywnioskuj, ˙ze kAk_{, 2} = kA^Tk₂.

Zadanie 4.

Je´sli dla macierzy nieosobliwej A ∈ R^n,n i wektora ~b ∈ Rⁿ zachodzi (1) (A + E)~x = ~b, gdzie kEk₂ ≤ K ν kAk₂, to dla residuum ~r = ~b − A~x mamy

(2) k~rk₂ ≤ K ν kAk₂k~xk₂.

Wyka˙z, ˙ze prawdziwe jest te˙z twierdzenie odwrotne: je´sli spe lniony jest warunek (2) to istnieje macierz E taka, ˙ze kEk₂ ≤ KνkAk₂ oraz spe lniona jest nier´owno´s´c (1).

Zadanie 5

Stosujac (literalnie) algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´_, ownego w kolumnie dokonaj rozk ladu macierzy

A =









1 1 3 4

−1 0 3 −2

2 1 2 −3

1 2 −1 1









na iloczyn P A = L U , gdzie P jest macierza permutacji, L macierz_, a tr´_, ojkatn_, a doln_, a z_, jedynkami na g l´ownej przekatnej, a U macierz_, a tr´_, ojkatn_, a g´_, orna._,