• Nie Znaleziono Wyników

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ"

Copied!
9
0
0

Pełen tekst

(1)

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Niech f: RDR , x0D.

Oznaczenia: Ot(x0,)= K(x0,)= (x0-, x0+)D ; S(x0,)= Ot(x0,)-{ x0}

Def. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0D nazywamy wyrażenie

x x f x x f

 ) ( )

( 0 0

,

x0, x0+x  Ot(x0,)

Def. Pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy właściwą granicę ilorazu różnicowego 0 )

) ( ( )

lim ( 0 0 ' 0

0 f x

x x f x x

f df

x

(x0 – punkt skupienia zboru D)

W podobny sposób definiujemy pochodne jednostronne:

x x f x x x f

f x f

x

 

) ( ) lim (

) ( )

( 0 0

0 0 ' 0 '

x x f x x x f

f x f

x

 

) ( ) lim (

) ( )

( 0 0

0 0 ' 0 '

Tw. f'(x0)- istnieje  istnieją f'(x0) i f'(x0) oraz są sobie równe.

Tw. (o przedstawieniu przyrostu funkcji)

Jeżeli funkcja f :ROt(x0,)R ma pochodną w punkcie x0 , to dla każdego x0, takiego, że x0+x  Ot(x0,) przyrost wartości funkcji można przedstawić w postaci

) , ( )

( ) ( )

(x0 x f x0 f ' x0 x r x0 x

f       , przy czym r(x0,x)o( x ), gdy x0. Dow: Niech: r(x0,x) f(x0 x) f(x0) f'(x0)x. Stąd natychmiast mamy

) , ( )

( ) ( )

(x0 x f x0 f ' x0 x r x0 x

f       .Pozostaje jedynie pokazać, że r(x0,x)o )

( x gdy x0.

x x f x f x x f x x

r( 0, ) ( 0  ) ( 0) '( 0) :x 0 ) ) (

( ) lim (

) ,

lim ( 0 ' 0

0 0

0  

 

f x

x x f x x f x

x x r

x

xr(x0,x)o( x )

Wniosek. Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 to funkcja ta jest ciągła w x0 , bo )

, ( )

( ' ) ( )

(x0 x f x0 f x0 x r x0 x

f       .

Więc lim

( 0 ) ( 0)

0

0   

f x x f x

x , co oznacza ciągłość f w punkcie x0.

Def. Funkcję f :ROt(x0,)R nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 , gdy istnieje stała AR taka, że dla każdego x0, takiego, że x0+x  Ot(x0,),

) , ( )

( )

(x0 x f x0 A x r x0 x

f       , przy czym r(x0,x)o( x ), gdy x0. Def. Różniczką funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu x nazywamy iloczyn f'(x0)x, który

oznaczamy df x x f x x

df

 ) '( ) ,

( 0 0

Uwaga. df(x0,):xdf(x0,x) f'(x0)x jest liniową funkcją przyrostu.

(2)

nachylenie siecznej

 ) tg ( )

( 0 0

 

x

x f x x f

nachylenie stycznej

) ( ) tg

( )

lim ( 0 0 ' 0

0 f x

x x f x x f

x  

) ( ' x0

f określa szybkość zmiany funkcji f w punkcie x0.

Z twierdzenia o przedstawieniu przyrostu funkcji i z przyjętych definicji otrzymujemy Tw. Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0  funkcja ta ma pochodną w x0.

Inne oznaczenie dla pochodnej

x x f x x

df( 0, ) '( 0) dla f(x)x dx(x0,x)1x . Stąd dx

df x x dx

x x x df

f

 

) , (

) , ) (

( '

0 0 0

Funkcja pochodna i operator różniczkowania

Niech f :RIR (I – dowolny przedział) będzie różniczkowalna na I.

Def. Funkcję f':Ixf'(x) nazywamy funkcja pochodną.

Operator (funkcja, odwzorowanie) dx

Dd , który funkcji f przypisuje f' x( ) dx

df  nazywamy operatorem różniczkowania.

Bezpośrednio z definicji wyprowadza się wzory

)

(x

f

f' x( )

C=const 0

x x1

e

x

e

x

a

x

a

x

ln a

x

sin cosx

x

cos sinx

Np. 1

0 1 0

0

'

( 1 ) 1

1 lim )

1 lim ( )

lim ( )

(

  

 

 

 

xx

x h h

x h x x

x h x h

h x

h

h

h .

x h x

x h

x h

x x h

h h

h h h

h

h sin cos( ) cos

sin lim ) cos(

lim2 sin

) limsin(

)

(sin 2

2 2 0 2 2 0

0

'    

 

 

h x

h

x e e

e  1

(3)

Tw. (o działaniach arytmetycznych). Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie x (w I), to )

(fg , (fg), (fg), 

 

g

f są różniczkowalne w punkcie x (w I) oraz:

1º (fg)'(x)f'(x)g'(x) 2º (fg)'(x) f'(x)g'(x)

3º (fg)'(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) 4º

) (

) ( ' ) ( ) ( ) ( '

2 '

x g

x g x f x g x f g

f

 

 

 , g(x)0

xIg(x)0

Tw. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli:

f jest różniczkowalna w punkcie x (w przedziale I) g jest różniczkowalna w punkcie f(x) (w przedziale f(I))

to funkcja złożona g  f jest różniczkowalna w punkcie x (w przedziale I) i )

( ' )) ( ( ' ) ( )'

(gf xg f x f x Dow.

g n.

róż

)) ( ( )) ( ( ) )(

( ) )(

(g f xx g f x g f xx g f x

f

x f x x f x f r x f x x f x f g

n.

róż

1( ( ), ( ) ( ))

)) ( ) ( ))(

( (

'

g'(f(x))(f'(x) x r2(x, x)) r1(f(x),f(x x) f(x)) )) ( ) ( ), ( ( ) , ( )) ( ( ' ) ( ' )) ( (

' f x f x x g f x r2 x x r1 f x f x x f x

g      

Trzeba pokazać, że g'(f(x))r2(x,x))r1(f(x),f(xx)f(x))= o( x ) Jeżeli x0 to r = o2 ( x ) stąd g'(f(x))r2(x,x))= o( x ). Ponadto



( ( ) ( ))

) ( ) (

)) ( ) ( ), ( (

0 ) ( ) ( , 0 )) ( ) ( ), (

( 1

1 f x x f x

x f x x f

x f x x f x f r

x f x x f x

f x x f x f r

Stąd

x

x f x x f x f r

x

)) ( ) ( ), ( lim 1(

0 ( ) ( ) 0

) ( ) (

)) ( ) ( ), ( lim 1(

0

x

x f x x f x f x x f

x f x x f x f r

x .

Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech f :RIR będzie funkcją

 ściśle monotoniczną,

różniczkowalną w I

f'(x)0 ( w I )

Wówczas gf1 jest różniczkowalna na f[I] i

) ( ' )) 1 ( ( ' )) ( ( ) ( 1 '

x x f

f g x f

f  

Dow. Przy przyjętych oznaczeniach mamy :

f ( x )

y

,

f ( x



x )

y



y

. Z uwagi na ciągłość i ścisłą monotoniczność funkcji f funkcja odwrotna gf1 jest również ciągła i ściśle monotoniczna. Stąd y

0

gdy x0,

y

0



x

0

i

g ( y



y )

x



x

. Wobec tego

x x f x x x f

f x x f

x x x y

y g y y g

 

 

) ( ) (

1 )

( ) (

) (

) ( )

( .

Przechodząc do granic otrzymujemy tezę .

(4)

Uzupełnienie wzorów różniczkowania )

(x

f f ' x ( )

tg x

2 x cos

1

ctg x

2 x sin

 1

x

ln x

1

a x

log x lna

1

x

arcsin 2

1 1

x x 1 x

arccos

1 2

1

x

x 1

x

arctg 2

1 1

x x

arcctg

1 2

1

x

Twierdzenia o wartości średniej

Tw. Rolle’a:

f jest ciągła w [ ba, ]

f jest różniczkowalna w ( ba, ) )

( ) (a f b

f   ( ,) : '( )0





ab f c

c

Dowód. Jeżeli f jest stała to twierdzenie jest spełnione w sposób trywialny. Jeżeli f nie jest stała to prawdziwa jest przynajmniej jedna z nierówności inf ( ) ( )

] ,

[ f x f a

b a

x

, sup ( ) ( )

] , [

a f x f

b a x

.

Przypuśćmy, że prawdziwa jest inf ( ) ( )

] ,

[ f x f a

b a

x

(dla sup ( ) ( )

] , [

a f x f

b a x

- analogicznie).

Z tw. Wierstrassa : ( ) inf ( )

] , ] [

,

[ f c f x

b a b x

a

c

 ale z warunku inf ( ) ( )

] ,

[ f x f a

b a

x

wynika, że c(a,b).

Ale 

0 gdy 0

0 gdy ) 0 ( ) (

x x x

c f x c

f i istnieje f' c( ) bo c jest punktem wewnętrznym.

Granice jednostronne ilorazu różnicowego muszą być równe sobie, czyli równe zero.

A więc ostatecznie: ( ) ( ) 0 '( ) 0

lim0   

f c

x c f x c f

x .

(5)

Twierdzenie Cauchy’ego .

Jeeżli

1. f i g są ciągłe w [a,b],

2. f i g są różniczkowalne w (a,b),

to  c(a,b) : (f (b) –f(a))g’(c) -(g (b) –g(a))f ’(c) =0.

Dowód (x)=(f (b) –f(a))g(x) -(g (b) –g(a))f(x) spełnia zał. tw. Rolle’a , więc istnieje c(a,b) takie, że (c)=(f (b) –f(a))g(c) -(g (b) –g(a))f(c) - stąd teza.

Interpretacja tw. Cauchy’ego. Wektorowa funkcja (f(t),g(t)), t[a, b]) jest parametryzacją krzywej płaskiej. Istnieje punkt na krzywej w którym styczna do krzywej jest równoległa do siecznej

przechodzącej przez końce krzywej

Z twierdzenia Cauchy’ego można wywnioskować

Twierdzenie de L’Hospitala . (stosuje również się do granic jednostronnych i niewłaściwych)

.

Jeżeli 1º ( )

) (

x g

x f i

) (

) (

x g

x f

 są określone w

S ( x

0

,  )

2º 

 

   

( ) 0 lim ( ) 0 lim

0 0

x g x

f

x x x

x

 

00 albo





  

( ) lim ( )

lim

0 0

x g x

f

x x x

x

 

3º Istnieje

) (

) lim (

0 g x

x f

x

x

(właściwa lub niewłaściwa) to istnieje

) (

) lim (

0 g x

x f

xx i

) (

) lim ( ) (

) lim (

0

0 g x

x f x

g x f

x x x

x

 

Szkic dowodu: dla

 

00 . Przyjmując f(x0)=g(x0)=0 mamy

) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

) (

0 0

c g

c f x g x g

x f x f x g

x f

 

  (z tw.

Cauchy’ego).

Ale

xx0cx0

. Z

istnienia granicy

) (

) lim (

0 g x

x f

x

x

wynika istnienie granicy

) (

) lim (

0 g x

x f

xx i równość tych granic.

Dla pozostałych przypadków wystarczy sprowadzić do formy

 

00 .

Symbole nieoznaczone :00, , , 0 , 00, 0, 1 Przykłady

1 limln1

1

x x

x , limln 0

x x

x , ln1 11 21

1( )

lim 

x x

x , lim ctg 1

0

x x

x ,

1 lim

0

x x

x , 1

1

1 1

lim

x xe

x , lim( 2) 1

1

0

tgx

x x .

Przykład niewłaściwego użycia tw. de L’Hospitala

Wiadomo, że lim cossin 1

x x x x

x ale xx

x H x x

x x

x 1 cos

cos 1 cos

sin lim

lim

 nie istnieje (wyjaśnić sprzeczność!)

(6)

Twierdzenie Lagrange’a: Jeżeli 1. f jest ciągła w [a,b],

2. f jest różniczkowalna w (a,b), to  c(a,b) : f(b)-f(a)=f (c) (b-a).

Dowód. Wystarczy rozpatrzyć funkcję

 

 

 

 ( ) ( )( )

) ( ) ( )

( t a

a b

a f b a f f t f

t , t[a,b], która

spełnia założenia twierdzenia Rolle’a. Stąd istnieje c(a,b) takie, że (c)0. Stąd otrzymujemy ) 0

( ) ) ( ( )

( '

 

 

a b

a f b c f f

c , co implikuje tezę.

Interpretacja i wnioski

W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna (

f

(c )

to współczynnik kierunkowy stycznej) jest równoległa do siecznej (

a b

a f b f

( ) )

(

to współczynnik kierunkowy siecznej).

Z tw. Lagrange’a:

x c f x f x x f

f

     

( ) (

0

) ( ) c

min{ x

0

, x

0 

x }, max{ x

0

, x

0 

x }

 x(a,b) f (x)=0  f stała w (a,b)

 x(a,b) f (x)>0  f rosnąca w (a,b)

 x(a,b) f (x)<0  f malejąca w (a,b)

Dowód. x1x2 f(x2) f(x1) f(c)(x2x1)

f

( c )

0

zawsze (bo taki przypadek rozpatrujemy), x2x1 0 z założenia, a więc f(x2) f(x1)0, czyli f rosnąca.

Ekstrema funkcji

Niech funkcja f : Ot(x0,0)x f(x) będzie określona na pewnym otoczeniu punktu x0

Def. Funkcja f ma w punkcie x0

maksimum lokalne właściwe jeżeli  S(x0,) : x S(x0,) f(x)<f(x0) minimum lokalne właściwe jeżeli  S(x0,) : x S(x0,) f(x)>f(x0)

(7)

WK istnienia ekstremum (tw. Fermata). Jeżeli

 f ma w punkcie x0 ekstremum

 f jest różniczkowalna w x0

to f (x0)=0 Dow. (dla minimum)



 

0 0 0

0

dla 0

dla ) 0

( ) (

x x

x x x

x x f x

f ale granica istnieje i jest ona tylko jedna, czyli jedyna możliwa to 0.

Uwaga. Funkcja może mieć ekstremum jedynie w punktach, w których pochodna zeruje się lub nie istnieje.

I WW istnienia ekstremum. Jeżeli

f jest ciągła w punkcie x0

f jest różniczkowalna w S(x0,)

f ’(x)<0 dla x(x0- , x0) [f ’(x)>0 dla x(x0- , x0)]

f ’(x)>0 dla x(x0 , x0+) [f ’(x)<0 dla x(x0 , x0+)]

to f ma w punkcie x0 minimum [maksimum] lokalne właściwe.

Dowód. (dla minimum).Niech x S(x0,) . Z tw. Lagrange,a x S(x0,)

f(x)-f(x0)= f ’(x0+(x-x0)) (x-x0)>0 , (0,1) (bo f ’(x0+(x-x0)) i (x-x0) są tego samego znaku.

Twierdzenie i wzór Taylora-

uogólnienie twierdzenia Lagrange’a Niech I oznacza przedział domknięty o końcach x0 i x tzn. I=[min{x0,x}, max{x0,x}]

Twierdzenie Taylora. Jeżeli f : IR

ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 w I

ma pochodną rzędu n we wnętrzu I (int I) to  cint I takie, że

 

 

 

 

) (

! 0 ) (

) (

1

! 0 ) 1 (

) 2 (

! 0 2

) (

! 0 1

) (

0) ( ) ( ) ... ( ) ( )

( )

( ()

1

0 ) 1 ( 0

'' 0

'

x r

n n

c f

x P

n n

x f x

f x

f

n n

n

n

x x x

x x

x x

x x

f x

f          

Dow. Rozważmy funkcję pomocniczą

 : I

R

postaci

 ( t )

f ( t )

P

n1

( t )

M ( t

x

0

)

n. Dobieramy tak M, żeby

 ( x )

0

, czyli n n

x x

x P x M f

) (

) ( )

(

0 1

  . Widać, że także (x0)0.

Funkcja

spełnia na przedziale I założenia twierdzenia Rolle’a, czyli c1intI

: 

( c

1

)

0

.

Funkcja  spełnia na przedziale I1

min{x0,c1},max{x0,c1}

założenia twierdzenia Rolle’a, czyli int : ( 2) 0

1

2  

c Ic . Powtarzamy rozumowanie n razy: cnintIn1 :n(cn)0. Oznaczając c=cnint I mamy

(n)

( t )

f

(n)

( t )

Mn !

i

! ) 0 (

) (

) ( )

(

n c M f

c

n

n   

 .

Otrzymaliśmy więc dwa wzory na M. Porównując

! ) ( )

(

) ( )

( 1 ( )

n c f x

x

x P x

f n

n

n

stąd teza.

(8)

Zapis różniczkowy wzoru Taylora

) ,

! ( ) 1 ,

)! ( 1 ( ... 1 ) ,

! ( 1 ) 1 ( )

( 0 0 0 ( 1) 0 0 d( )f c x x0

x n x x f n d

x x x df x

f x

f n   n

 

.

Przykład. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = ln x przyjmując x0=1 i n=3.

3 3

2 1 2

1( 1) ( 1)

1

lnxx  x  3 x

c .

Uwaga. Dla x0=0 wzór Taylora nosi nazwę wzoru Maclaurina.

n

C

I - zbiór funkcji

f : R

I

R

n-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły na przedziale I.

CIn

f n-ta pochodna f(n)jest ciągła na I.

0

C

I - zbiór funkcji ciągłych na przedziale I.

C

I0

C

I1

...

C

In Tw: (II warunek wystarczający istnienia ekstremum)

 





0 0 ) (

1 2 ,..., 2 , 1 dla 0 ) (

0 ) 2 (

0 ) (

2 ) , (0

x f

n k

x f

C f

n k

n x

Ot

f ma w p.

x

0 minimum (maksimum) lokalne właściwe.

Dow: (dla minimum) z wzoru Taylora: n

n

x n x

c x f

f x

f 0 2

) 2 (

0 ( )

)!

2 (

) ... (

0 0 ) ( )

(      

Z tw. o lokalnym zachowaniu znaku

f

(2n)

( c )

0

oraz ( 0)2 0

0  

xx x x n , czyli

0

) ( )

( x

f x

0

f

, co oznacza, że f ma w p.

x

0 minimum lokalne właściwe.

Dla maksimum analogicznie (

f

(2n)

( c )

0

).

Ekstrema globalne f : R

D

f

R

Def: Funkcja f ma w

x

0

D

f minimum globalne właściwe

( ) (

0

)

0

x f x f

x x

D

x f

.

Funkcja f ma w

x

0

D

f minimum globalne

( ) (

0

)

0

x f x f

x x

D

x f

.

Funkcja f ma w

x

0

D

f maksimum globalne właściwe

( ) (

0

)

0

x f x f

x x

D

x f

.

Funkcja f ma w

x

0

D

f maksimum globalne

( ) (

0

)

0

x f x f

x x

D

x f

.

Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji f na zbiorze domkniętym i ograniczonym ( a wiec zwartym).

1º Szukamy punktów krytycznych we wnętrzu D (

f

( x

0

)

0

f

-nie istnieje), 2º Sprawdzamy wartości funkcji na brzegu D,

3º Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i porównujemy je.

Asymptoty

Def. Prosta

x

x

0 jest asymptotą pionowa lewostronną funkcji f 

( ) lim f x

xo

x

Prosta

x

x

0 jest asymptotą pionowa prawostronną funkcji f 

( ) lim f x

xo

x

   

(9)

Def. Prosta

y

ax

b

jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f

lim  ( )

 

0



f x ax b

x

Prosta

y

ax

b

jest asymptotą ukośną prawostronną funkcji f

lim  ( )

 

0



f x ax b

x

Powyższe definicje można uogólnić.

Def. Funkcja

g (x )

jest asymptotą prawostronną funkcji f  lim

( ) ( )

0



f x g x

x

Tw. Jeżeli prosta

y

ax

b

jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f, to

x x a f

x

) lim (



,

bf x ax

x

lim



( )

, a,b – granice skończone.

Dowód. bezpośrednio z definicji - jako ćwiczenie.

Wypukłość funkcji f : R

I

R

, I – przedział Def. Funkcję

f : I

R

nazywamy wypukłą w I gdy

()

, [0,1]

(1 ) 1 2

(1 ) ( 1) ( 2)

2

1x I t f t x tx t f x tf x

x      

(wykres jest poniżej siecznej)

Jeżeli () zastąpimy warunkiem

()’ , (0,1)

(1 ) 1 2

(1 ) ( 1) ( 2)

2

1x I t f t x tx t f x tf x

x      

, to f nazywamy ściśle wypukłą w I

Inaczej

()

1 1 2 2

1 ( 1) 2 ( 2)

1 0 , ,

2 1

2 1 2

1x I f x x f x f x

x    

  

Jeszcze inaczej

() : ( ) ( 0) ( 0)

0 I a R x I f x a x x f x

x     

(w każdym punkcie istnieje prosta podpierająca)

Def. Funkcja

f : I

R

jest wklęsła  funkcja

( f

)

jest wypukła.

Tw. f

f C f

I x

I





0

2

- wypukła. f

f C f

I x

I





0

2

- wklęsła

Dowód. Natychmiastowy z wzoru Taylora

Punkt przegięcia

Def. PunktP

x0,f(x0)

nazywamy punktem przegięcia funkcjiyf(x) jeżeli funkcja f jest

 różniczkowalna w punkcie

x

0 (ma styczną w punkcie P

x0,f(x0)

)

 wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie

x

0

 wklęsła w prawostronnym lub na odwrót.

Interpretacja. W punkcie przegięcia wykres funkcji przechodzi z jednej strony stycznej na drugą Tw. (fCI2

f

ma w punkcie x0I punkt przegięcia

)

f



( x

0

)

0

.

Punktów przegięcia szukamy więc wśród punktów, w których druga pochodna znika lub nie istnieje

Cytaty

Powiązane dokumenty

Zaprezentowane wyżej wzory nie pozwalają nam –póki co –obliczyć pochodnej funkcji liniowej f (x )=ax+b Żeby sobie poradzić z tym i bardziej skomplikowanymi przypadkami,

[r]

Zatem w naszym przypadku dochód gdy popyt jest nieelastyczny, a zmaleje, gdy popyt jest elastyczny.. Interpretacja ekonomiczna

Funkcja jest wklęsła w przedziale (a,b) jeżeli dla każdego punktu tego przedziału wykres funkcji leży pod

Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: staªe, pot¦gowe, wykªadnicze, loga- rytmiczne, trygonometryczne oraz cyklometryczne.. Funkcje elementarne, to takie które

Twierdzenia o dwóch i o trzech funkcjach zachodz¡ równie» dla granic wªa±ciwych jednostronnych jak równie» dla granic wªa±ciwych

Ponadto, niech funkcja g(x) ma staªy znak w przedziale [a, b]. (nieujemna

Niech funkcja f okre±lona na przedziale (a, b] oraz a b¦dzie punktem osobliwym tj. funkcja b¦dzie nieograniczona na prawostronnym s¡siedztwie