RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ

Niech f: RDR , x0D.

Oznaczenia: Ot(x0,)= K(x0,)= (x0-, x0+)D ; S(x0,)= Ot(x0,)-{ x0}

Def. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x₀D nazywamy wyrażenie

x x f x x f







 ) ( )

( _{0 0}

,

x0, x0+x  Ot(x0,)

Def. Pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy właściwą granicę ilorazu różnicowego ₀ )

) ( ( )

lim ( ^{0 0 '} ₀

0 f x

x x f x x

f ^df

x 











 (x0 – punkt skupienia zboru D)

W podobny sposób definiujemy pochodne jednostronne:

x x f x x x f

f x f

x 





 

 _





 

) ( ) lim (

) ( )

( ^{0 0}

0 0 ' 0 '

x x f x x x f

f x f

x 





 

 _





 

) ( ) lim (

) ( )

( ^{0 0}

0 0 ' 0 '

Tw. f'(x₀)- istnieje  istnieją f_^'(x₀) i f_^'(x₀) oraz są sobie równe.

Tw. (o przedstawieniu przyrostu funkcji)

Jeżeli funkcja f :ROt(x₀,)R ma pochodną w punkcie x0 , to dla każdego x0, takiego, że x0+x  Ot(x0,) przyrost wartości funkcji można przedstawić w postaci

) , ( )

( ) ( )

(x₀ x f x₀ f ^' x₀ x r x₀ x

f       , przy czym r(x₀,x)o( x ), gdy x0. Dow: Niech: r(x₀,x) f(x₀ x) f(x₀) f^'(x₀)x. Stąd natychmiast mamy

) , ( )

( ) ( )

(x₀ x f x₀ f ^' x₀ x r x₀ x

f       .Pozostaje jedynie pokazać, że r(x₀,x)o )

( x gdy x0.

x x f x f x x f x x

r( ₀, ) ( ₀  ) ( ₀) '( ₀) :x 0 ) ) (

( ) lim (

) ,

lim ( ^{0 '} ₀

0 0

0  







 











 f x

x x f x x f x

x x r

x

x  r(x₀,x)o( x )

Wniosek. Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 to funkcja ta jest ciągła w x0 , bo )

, ( )

( ' ) ( )

(x₀ x f x₀ f x₀ x r x₀ x

f       .

Więc lim



( ₀ ) ( ₀)



0

0   



 f x x f x

x , co oznacza ciągłość f w punkcie x0.

Def. Funkcję f :ROt(x₀,)R nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 , gdy istnieje stała AR taka, że dla każdego x0, takiego, że x0+x  Ot(x0,),

) , ( )

( )

(x₀ x f x₀ A x r x₀ x

f       , przy czym r(x₀,x)o( x ), gdy x0. Def. Różniczką funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu x nazywamy iloczyn f'(x₀)x, który

oznaczamy df x x f x x

df 



 ) '( ) ,

( _{0 0}

Uwaga. df(x₀,):xdf(x₀,x) f'(x₀)x jest liniową funkcją przyrostu.

nachylenie siecznej

 ) tg ( )

( _{0 0}

 





 x

x f x x f

nachylenie stycznej

) ( ) tg

( )

lim ( ^{0 0 '} ₀

0 f x

x x f x x f

x  











 

) ( ' x₀

f określa szybkość zmiany funkcji f w punkcie x0.

Z twierdzenia o przedstawieniu przyrostu funkcji i z przyjętych definicji otrzymujemy Tw. Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0  funkcja ta ma pochodną w x0.

Inne oznaczenie dla pochodnej

x x f x x

df( ₀, ) '( ₀) dla f(x)x dx(x₀,x)1x . Stąd dx

df x x dx

x x x df

f 



 

) , (

) , ) (

( '

0 0 0

Funkcja pochodna i operator różniczkowania

Niech f :RI R (I – dowolny przedział) będzie różniczkowalna na I.

Def. Funkcję f':Ixf'(x) nazywamy funkcja pochodną.

Operator (funkcja, odwzorowanie) dx

D d , który funkcji f przypisuje f' x( ) dx

df  nazywamy operatorem różniczkowania.

Bezpośrednio z definicji wyprowadza się wzory

)

(x

f

^{f' x( )}

C=const 0

x  x^1

e

x

e

^x

a

x

a

^x

ln a

x

sin cosx

x

cos sinx

Np. ¹

0 1 0

0

'

( 1 ) 1

1 lim )

1 lim ( )

lim ( )

(

^







   

 

 



  ^{      }



x  x

x h h

x h x x

x h x h

h x

h

h

h .

x h x

x h

x h

x x ^h

h h

h h h

h

h sin cos( ) cos

sin lim ) cos(

lim2 sin

) limsin(

)

(sin ₂

2 2 0 2 2 0

0

'    

 

 







h x

h

x e e

e ^  1

Tw. (o działaniach arytmetycznych). Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie x (w I), to )

(f g , (f g), (f g), 

 



 g

f są różniczkowalne w punkcie x (w I) oraz:

1º (f g)'(x)f'(x)g'(x) 2º (f g)'(x) f'(x)g'(x)

3º (f g)'(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) 4º

) (

) ( ' ) ( ) ( ) ( '

2 '

x g

x g x f x g x f g

f 

 



 



 , g(x)0



_xIg(x)0



Tw. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli:

1º f jest różniczkowalna w punkcie x (w przedziale I) 2º g jest różniczkowalna w punkcie f(x) (w przedziale f(I))

to funkcja złożona g  f jest różniczkowalna w punkcie x (w przedziale I) i )

( ' )) ( ( ' ) ( )'

(g f x g f x f x Dow.

g n.

róż

)) ( ( )) ( ( ) )(

( ) )(

(g f xx  g f x g f xx g f x 

f

x f x x f x f r x f x x f x f g

n.

róż

1( ( ), ( ) ( ))

)) ( ) ( ))(

( (

'      



















g'(f(x))(f'(x) x r₂(x, x)) r₁(f(x),f(x x) f(x)) )) ( ) ( ), ( ( ) , ( )) ( ( ' ) ( ' )) ( (

' f x f x x g f x r₂ x x r₁ f x f x x f x

g      



Trzeba pokazać, że g'(f(x))r₂(x,x))r₁(f(x),f(xx)f(x))= o( x ) Jeżeli x0 to r = o₂ ( x ) stąd g'(f(x))r₂(x,x))= o( x ). Ponadto

















 

























 ( ( ) ( ))

) ( ) (

)) ( ) ( ), ( (

0 ) ( ) ( , 0 )) ( ) ( ), (

( ₁

1 f x x f x

x f x x f

x f x x f x f r

x f x x f x

f x x f x f r

Stąd 











 x

x f x x f x f r

x

)) ( ) ( ), ( lim ¹(

0 ( ) ( ) 0

) ( ) (

)) ( ) ( ), ( lim ¹(

0 























 x

x f x x f x f x x f

x f x x f x f r

x .

Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech f :RIR będzie funkcją

 ściśle monotoniczną,

 różniczkowalną w I

 f'(x)0 ( w I )

Wówczas g  f^1 jest różniczkowalna na f[I] i

) ( ' )) 1 ( ( ' )) ( ( ) ( ^{1 '}

x x f

f g x f

f^  

Dow. Przy przyjętych oznaczeniach mamy :

f ( x )



y

,

f ( x



x )



y



y

. Z uwagi na ciągłość i ścisłą monotoniczność funkcji f funkcja odwrotna g  f^1 jest również ciągła i ściśle monotoniczna. Stąd y

0

gdy x0,

y



0



x



0

i

g ( y



y )



x



x

. Wobec tego

x x f x x x f

f x x f

x x x y

y g y y g







 











 









) ( ) (

1 )

( ) (

) (

) ( )

( .

Przechodząc do granic otrzymujemy tezę .

Uzupełnienie wzorów różniczkowania )

(x

f f ' x ( )

tg x

2 x cos

1

ctg x

2 x sin

 1

x

ln x

1

a x

log x lna

1

x

arcsin ₂

1 1

x x 1 x

arccos

1 2

1

x

 x 1

x

arctg ₂

1 1

x x

arcctg

1 2

1

x



Twierdzenia o wartości średniej

Tw. Rolle’a:

f jest ciągła w [ ba, ]

f jest różniczkowalna w ( ba, ) )

( ) (a f b

f   _{( ,)} : '( )0







_ab f c

c

Dowód. Jeżeli f jest stała to twierdzenie jest spełnione w sposób trywialny. Jeżeli f nie jest stała to prawdziwa jest przynajmniej jedna z nierówności inf ( ) ( )

] ,

[ f x f a

b a

x 

 , sup ( ) ( )

] , [

a f x f

b a x



 .

Przypuśćmy, że prawdziwa jest inf ( ) ( )

] ,

[ f x f a

b a

x 

 (dla sup ( ) ( )

] , [

a f x f

b a x



 - analogicznie).

Z tw. Wierstrassa : ( ) inf ( )

] , ] [

,

[ f c f x

b a b x

a

c  

 ale z warunku inf ( ) ( )

] ,

[ f x f a

b a

x 

 wynika, że c(a,b).

Ale 





















0 gdy 0

0 gdy ) 0 ( ) (

x x x

c f x c

f i istnieje f' c( ) bo c jest punktem wewnętrznym.

Granice jednostronne ilorazu różnicowego muszą być równe sobie, czyli równe zero.

A więc ostatecznie: ( ) ( ) 0 '( ) 0

lim0   











 f c

x c f x c f

x .

Twierdzenie Cauchy’ego .

^Jeeżli

1. f i g są ciągłe w [a,b],

2. f i g są różniczkowalne w (a,b),

to  c(a,b) : (f (b) –f(a))g’(c) -(g (b) –g(a))f ’(c) =0.

Dowód (x)=(f (b) –f(a))g(x) -(g (b) –g(a))f(x) spełnia zał. tw. Rolle’a , więc istnieje c(a,b) takie, że ^’(c)=(f (b) –f(a))g^’(c) -(g (b) –g(a))f ^‘(c) - stąd teza.

Interpretacja tw. Cauchy’ego. Wektorowa funkcja (f(t),g(t)), t[a, b]) jest parametryzacją krzywej płaskiej. Istnieje punkt na krzywej w którym styczna do krzywej jest równoległa do siecznej

przechodzącej przez końce krzywej

Z twierdzenia Cauchy’ego można wywnioskować

Twierdzenie de L’Hospitala . (stosuje również się do granic jednostronnych i niewłaściwych)

.

Jeżeli 1º ( )

) (

x g

x f i

) (

) (

x g

x f



 są określone w

S ( x

₀

,  )

2º 

 



   



 ( ) 0 lim ( ) 0 lim

0 0

x g x

f

x x x

x

 

₀^{0 albo} 





  



 ( ) lim ( )

lim

0 0

x g x

f

x x x

x

 

_^

3º Istnieje

) (

) lim (

0 g x

x f

x

x 



 (właściwa lub niewłaściwa) to istnieje

) (

) lim (

0 g x

x f

xx i

) (

) lim ( ) (

) lim (

0

0 g x

x f x

g x f

x x x

x 

 





Szkic dowodu: dla

 

₀⁰ . Przyjmując f(x0)=g(x0)=0 mamy

) (

) ( ) ( ) (

) ( ) ( ) (

) (

0 0

c g

c f x g x g

x f x f x g

x f



 



  (z tw.

Cauchy’ego).

Ale

xx₀ cx₀

. Z

istnienia granicy

) (

) lim (

0 g x

x f

x

x 



 wynika istnienie granicy

) (

) lim (

0 g x

x f

xx i równość tych granic.

Dla pozostałych przypadków wystarczy sprowadzić do formy

 

₀^{0 .}

Symbole nieoznaczone :₀⁰, _^, , 0 , 0⁰, ⁰, 1^ Przykłady

1 lim^ln₁

1 _ 

 x x

x , lim^ln 0



 x x

x , _ln^{1 1}_{1 2}¹

1( )

lim  _ 

 x x

x , lim ctg 1

0 

 x x

x ,

1 lim

0

 

 x x

x , ¹

1

1 1

lim ^

 x ^x e

x , lim( 2) 1

1

0 

 tgx

x x .

Przykład niewłaściwego użycia tw. de L’Hospitala

Wiadomo, że lim _^_cos^sin 1



 x x x x

x ale _x^x

x H x x

x x

x 1 cos

cos 1 cos

sin lim

lim _^



 



  nie istnieje (wyjaśnić sprzeczność!)

Twierdzenie Lagrange’a: Jeżeli 1. f jest ciągła w [a,b],

2. f jest różniczkowalna w (a,b), to  c(a,b) : f(b)-f(a)=f ^’(c) (b-a).

Dowód. Wystarczy rozpatrzyć funkcję 



 



 



 



 ( ) ( )( )

) ( ) ( )

( t a

a b

a f b a f f t f

 t , t[a,b], która

spełnia założenia twierdzenia Rolle’a. Stąd istnieje c(a,b) takie, że (c)0. Stąd otrzymujemy ) 0

( ) ) ( ( )

( ^' 



 

 

a b

a f b c f f

 c , co implikuje tezę.

Interpretacja i wnioski

W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna (

f



(c )

to współczynnik kierunkowy stycznej) jest równoległa do siecznej (

a b

a f b f





( ) )

(

to współczynnik kierunkowy siecznej).

Z tw. Lagrange’a:

x c f x f x x f

f

     



( ) (

₀

) ( ) c



 ^min{ x

0

^, x

0 

x ^{}, max{} x

0

^, x

0 

x ^} 

 x(a,b) f ^‘ (x)=0  f stała w (a,b)

 x(a,b) f ^‘ (x)>0  f rosnąca w (a,b)

 x(a,b) f ^‘ (x)<0  f malejąca w (a,b)

Dowód. x₁ x₂ f(x₂) f(x₁) f(c)(x₂ x₁)

f



( c )



0

zawsze (bo taki przypadek rozpatrujemy), x₂ x₁ 0 z założenia, a więc f(x₂) f(x₁)0, czyli f rosnąca.

Ekstrema funkcji

Niech funkcja f : Ot(x0,0)x f(x) będzie określona na pewnym otoczeniu punktu x0

Def. Funkcja f ma w punkcie x0

maksimum lokalne właściwe jeżeli  S(x0,) : x S(x0,) f(x)<f(x0) minimum lokalne właściwe jeżeli  S(x0,) : x S(x0,) f(x)>f(x0)

WK istnienia ekstremum (tw. Fermata). Jeżeli

 f ma w punkcie x0 ekstremum

 f jest różniczkowalna w x0

to f ^’(x0)=0 Dow. (dla minimum)











 





0 0 0

0

dla 0

dla ) 0

( ) (

x x

x x x

x x f x

f ale granica istnieje i jest ona tylko jedna, czyli jedyna możliwa to 0.

Uwaga. Funkcja może mieć ekstremum jedynie w punktach, w których pochodna zeruje się lub nie istnieje.

I WW istnienia ekstremum. Jeżeli

 f jest ciągła w punkcie x0

 f jest różniczkowalna w S(x0,)

 f ’(x)<0 dla x(x0- , x0) [f ’(x)>0 dla x(x0- , x0)]

 f ’(x)>0 dla x(x0 , x0+) [f ’(x)<0 dla x(x0 , x0+)]

to f ma w punkcie x0 minimum [maksimum] lokalne właściwe.

Dowód. (dla minimum).Niech x S(x0,) . Z tw. Lagrange,a x S(x0,)

f(x)-f(x0)= f ’(x0+(x-x0)) (x-x0)>0 , (0,1) (bo f ’(x0+(x-x0)) i (x-x0) są tego samego znaku.

Twierdzenie i wzór Taylora-

uogólnienie twierdzenia Lagrange’a Niech I oznacza przedział domknięty o końcach x0 i x tzn. I=[min{x0,x}, max{x0,x}]

Twierdzenie Taylora. Jeżeli f : IR

 ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 w I

 ma pochodną rzędu n we wnętrzu I (int I) to  cint I takie, że



 



 

























 























 



) (

! 0 ) (

) (

1

! 0 ) 1 (

) 2 (

! 0 2

) (

! 0 1

) (

0) ( ) ( ) ... ( ) ( )

( )

( ⁽⁾

1

0 ) 1 ( 0

'' 0

'

x r

n n

c f

x P

n n

x f x

f x

f

n n

n

n

x x x

x x

x x

x x

f x

f          



 



Dow. Rozważmy funkcję pomocniczą

 : I



R

postaci

 ( t )



f ( t )



P

_n1

( t )



M ( t



x

₀

)

ⁿ. Dobieramy tak M, żeby

 ( x )



0

, czyli ⁿ _n

x x

x P x M f

) (

) ( )

(

0 1



  ^ . Widać, że także (x₀)0.

Funkcja



spełnia na przedziale I założenia twierdzenia Rolle’a, czyli _c1intI

: 



( c

₁

)



0

.

Funkcja  spełnia na przedziale I₁



min{x₀,c₁},max{x₀,c₁}



założenia twierdzenia Rolle’a, czyli _int : ( ₂) 0

1

2  

_{c I}  c . Powtarzamy rozumowanie n razy: _{cnintIn1} :^n(c_n)0. Oznaczając c=cnint I mamy



⁽ⁿ⁾

( t )



f

⁽ⁿ⁾

( t )



Mn !

i

! ) 0 (

) (

) ( )

(

n c M f

c

n

n   

 .

Otrzymaliśmy więc dwa wzory na M. Porównując

! ) ( )

(

) ( )

( ₁ ^{( )}

n c f x

x

x P x

f ⁿ

n

n 



 _

stąd teza.

Zapis różniczkowy wzoru Taylora

) ,

! ( ) 1 ,

)! ( 1 ( ... 1 ) ,

! ( 1 ) 1 ( )

( _{0 0 0} ^{( 1)} _{0 0} d^{( )}f c x x₀

x n x x f n d

x x x df x

f x

f ⁿ   ⁿ 

 







 ^ .

Przykład. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = ln x przyjmując x0=1 i n=3.

3 3

2 1 2

1( 1) ( 1)

1

lnxx  x  3 x

c .

Uwaga. Dla x0=0 wzór Taylora nosi nazwę wzoru Maclaurina.

n

C

I - zbiór funkcji

f : R



I



R

n-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły na przedziale I.



C_Iⁿ

f n-ta pochodna f⁽ⁿ⁾jest ciągła na I.

0

C

I - zbiór funkcji ciągłych na przedziale I.

C

_I⁰ 

C

_I¹ 

...



C

_Iⁿ Tw: (II warunek wystarczający istnienia ekstremum)

 























0 0 ) (

1 2 ,..., 2 , 1 dla 0 ) (

0 ) 2 (

0 ) (

2 ) , (0

x f

n k

x f

C f

n k

n x

Ot 

f ma w p.

x

₀ minimum (maksimum) lokalne właściwe.

Dow: (dla minimum) z wzoru Taylora: ⁿ

n

x n x

c x f

f x

f ₀ ²

) 2 (

0 ( )

)!

2 (

) ... (

0 0 ) ( )

(      

Z tw. o lokalnym zachowaniu znaku

f

⁽²ⁿ⁾

( c )



0

oraz ( ₀)² 0

0  

_xx x x ⁿ , czyli

0

) ( )

( x



f x

₀ 

f

, co oznacza, że f ma w p.

x

₀ minimum lokalne właściwe.

Dla maksimum analogicznie (

f

⁽²ⁿ⁾

( c )



0

).

Ekstrema globalne f : R



D

_f 

R

Def: Funkcja f ma w

x

₀

D

_f minimum globalne właściwe

( ) (

₀

)

0

x f x f

x x

D

x _f 





 .

Funkcja f ma w

x

₀

D

_f minimum globalne

( ) (

₀

)

0

x f x f

x x

D

x _f 





 .

Funkcja f ma w

x

₀

D

_f maksimum globalne właściwe

( ) (

₀

)

0

x f x f

x x

D

x _f 







 .

Funkcja f ma w

x

₀

D

_f maksimum globalne

( ) (

₀

)

0

x f x f

x x

D

x _f 





 .

Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji f na zbiorze domkniętym i ograniczonym ( a wiec zwartym).

1º Szukamy punktów krytycznych we wnętrzu D (

f



( x

₀

)



0



f

-nie istnieje), 2º Sprawdzamy wartości funkcji na brzegu D,

3º Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i porównujemy je.

Asymptoty

Def. Prosta

x



x

₀ jest asymptotą pionowa lewostronną funkcji f  _ 

 ( ) lim f x

xo

x

Prosta

x



x

₀ jest asymptotą pionowa prawostronną funkcji f  _ 

 ( ) lim f x

xo

x

   

Def. Prosta

y



ax



b

jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f 

lim  ( )

 





0





f x ax b

x

Prosta

y



ax



b

jest asymptotą ukośną prawostronną funkcji f 

lim  ( )

 





0





f x ax b

x

Powyższe definicje można uogólnić.

Def. Funkcja

g (x )

jest asymptotą prawostronną funkcji f  lim



( ) ( )



0



 f x g x

x

Tw. Jeżeli prosta

y



ax



b

jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f, to

x x a f

x

) lim (



  ,

b  f x ax 

x 



lim



( )

, a,b – granice skończone.

Dowód. bezpośrednio z definicji - jako ćwiczenie.

Wypukłość funkcji ^{f : R}

^

^I

^

^R

, I – przedział Def. Funkcję

f : I



R

nazywamy wypukłą w I gdy

()

_{, [0,1]}



(1 ) _{1 2}



(1 ) ( ₁) ( ₂)

2

1_{x I t} f t x tx t f x tf x

x      

 _{ } (wykres jest poniżej siecznej)

Jeżeli () zastąpimy warunkiem

()’ _{, (0,1)}



(1 ) _{1 2}



(1 ) ( ₁) ( ₂)

2

1_{x I t} f t x tx t f x tf x

x      

 _{ } , to f nazywamy ściśle wypukłą w I

Inaczej

()



_{1 1 2 2}



₁ ( ₁) ₂ ( ₂)

1 0 , ,

2 1

2 1 2

1_{x I} f x x f x f x

x    



 

   







 



Jeszcze inaczej

() : ( ) ( ₀) ( ₀)

0 _{I a R x I} f x a x x f x

x     

 _{  } (w każdym punkcie istnieje prosta podpierająca)

Def. Funkcja

f : I



R

jest wklęsła  funkcja

( f



)

jest wypukła.

Tw. f

f C f

I x

I 











 0

2

- wypukła. f

f C f

I x

I 











 0

2

- wklęsła

Dowód. Natychmiastowy z wzoru Taylora

Punkt przegięcia

Def. PunktP



x0^,f⁽x0⁾



nazywamy punktem przegięcia funkcjiy f(x) jeżeli funkcja f jest

 różniczkowalna w punkcie

x

₀ (ma styczną w punkcie P



x₀,f(x₀)



)

 wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie

x

₀

 wklęsła w prawostronnym lub na odwrót.

Interpretacja. W punkcie przegięcia wykres funkcji przechodzi z jednej strony stycznej na drugą Tw. (f C_I²

f

ma w punkcie x₀I punkt przegięcia

)



f



( x

₀

)



0

.

Punktów przegięcia szukamy więc wśród punktów, w których druga pochodna znika lub nie istnieje