RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Niech f: RDR , x0D.
Oznaczenia: Ot(x0,)= K(x0,)= (x0-, x0+)D ; S(x0,)= Ot(x0,)-{ x0}
Def. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x0D nazywamy wyrażenie
x x f x x f
) ( )
( 0 0
,
x0, x0+x Ot(x0,)
Def. Pochodną funkcji f w punkcie x nazywamy właściwą granicę ilorazu różnicowego 0 )
) ( ( )
lim ( 0 0 ' 0
0 f x
x x f x x
f df
x
(x0 – punkt skupienia zboru D)
W podobny sposób definiujemy pochodne jednostronne:
x x f x x x f
f x f
x
) ( ) lim (
) ( )
( 0 0
0 0 ' 0 '
x x f x x x f
f x f
x
) ( ) lim (
) ( )
( 0 0
0 0 ' 0 '
Tw. f'(x0)- istnieje istnieją f'(x0) i f'(x0) oraz są sobie równe.
Tw. (o przedstawieniu przyrostu funkcji)
Jeżeli funkcja f :ROt(x0,)R ma pochodną w punkcie x0 , to dla każdego x0, takiego, że x0+x Ot(x0,) przyrost wartości funkcji można przedstawić w postaci
) , ( )
( ) ( )
(x0 x f x0 f ' x0 x r x0 x
f , przy czym r(x0,x)o( x ), gdy x0. Dow: Niech: r(x0,x) f(x0 x) f(x0) f'(x0)x. Stąd natychmiast mamy
) , ( )
( ) ( )
(x0 x f x0 f ' x0 x r x0 x
f .Pozostaje jedynie pokazać, że r(x0,x)o )
( x gdy x0.
x x f x f x x f x x
r( 0, ) ( 0 ) ( 0) '( 0) :x 0 ) ) (
( ) lim (
) ,
lim ( 0 ' 0
0 0
0
f x
x x f x x f x
x x r
x
x r(x0,x)o( x )
Wniosek. Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 to funkcja ta jest ciągła w x0 , bo )
, ( )
( ' ) ( )
(x0 x f x0 f x0 x r x0 x
f .
Więc lim
( 0 ) ( 0)
00
f x x f x
x , co oznacza ciągłość f w punkcie x0.
Def. Funkcję f :ROt(x0,)R nazywamy różniczkowalną w punkcie x0 , gdy istnieje stała AR taka, że dla każdego x0, takiego, że x0+x Ot(x0,),
) , ( )
( )
(x0 x f x0 A x r x0 x
f , przy czym r(x0,x)o( x ), gdy x0. Def. Różniczką funkcji f w punkcie x0 dla przyrostu x nazywamy iloczyn f'(x0)x, który
oznaczamy df x x f x x
df
) '( ) ,
( 0 0
Uwaga. df(x0,):xdf(x0,x) f'(x0)x jest liniową funkcją przyrostu.
nachylenie siecznej
) tg ( )
( 0 0
x
x f x x f
nachylenie stycznej
) ( ) tg
( )
lim ( 0 0 ' 0
0 f x
x x f x x f
x
) ( ' x0
f określa szybkość zmiany funkcji f w punkcie x0.
Z twierdzenia o przedstawieniu przyrostu funkcji i z przyjętych definicji otrzymujemy Tw. Funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0 funkcja ta ma pochodną w x0.
Inne oznaczenie dla pochodnej
x x f x x
df( 0, ) '( 0) dla f(x)x dx(x0,x)1x . Stąd dx
df x x dx
x x x df
f
) , (
) , ) (
( '
0 0 0
Funkcja pochodna i operator różniczkowania
Niech f :RI R (I – dowolny przedział) będzie różniczkowalna na I.
Def. Funkcję f':Ixf'(x) nazywamy funkcja pochodną.
Operator (funkcja, odwzorowanie) dx
D d , który funkcji f przypisuje f' x( ) dx
df nazywamy operatorem różniczkowania.
Bezpośrednio z definicji wyprowadza się wzory
)
(x
f
f' x( )C=const 0
x x1
e
xe
xa
xa
xln a
x
sin cosx
x
cos sinx
Np. 1
0 1 0
0
'
( 1 ) 1
1 lim )
1 lim ( )
lim ( )
(
x x
x h h
x h x x
x h x h
h x
h
h
h .
x h x
x h
x h
x x h
h h
h h h
h
h sin cos( ) cos
sin lim ) cos(
lim2 sin
) limsin(
)
(sin 2
2 2 0 2 2 0
0
'
h x
h
x e e
e 1
Tw. (o działaniach arytmetycznych). Jeżeli f i g są różniczkowalne w punkcie x (w I), to )
(f g , (f g), (f g),
g
f są różniczkowalne w punkcie x (w I) oraz:
1º (f g)'(x)f'(x)g'(x) 2º (f g)'(x) f'(x)g'(x)
3º (f g)'(x) f'(x)g(x) f(x)g'(x) 4º
) (
) ( ' ) ( ) ( ) ( '
2 '
x g
x g x f x g x f g
f
, g(x)0
xIg(x)0
Tw. (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli:
1º f jest różniczkowalna w punkcie x (w przedziale I) 2º g jest różniczkowalna w punkcie f(x) (w przedziale f(I))
to funkcja złożona g f jest różniczkowalna w punkcie x (w przedziale I) i )
( ' )) ( ( ' ) ( )'
(g f x g f x f x Dow.
g n.
róż
)) ( ( )) ( ( ) )(
( ) )(
(g f xx g f x g f xx g f x
f
x f x x f x f r x f x x f x f g
n.
róż
1( ( ), ( ) ( ))
)) ( ) ( ))(
( (
'
g'(f(x))(f'(x) x r2(x, x)) r1(f(x),f(x x) f(x)) )) ( ) ( ), ( ( ) , ( )) ( ( ' ) ( ' )) ( (
' f x f x x g f x r2 x x r1 f x f x x f x
g
Trzeba pokazać, że g'(f(x))r2(x,x))r1(f(x),f(xx)f(x))= o( x ) Jeżeli x0 to r = o2 ( x ) stąd g'(f(x))r2(x,x))= o( x ). Ponadto
( ( ) ( ))
) ( ) (
)) ( ) ( ), ( (
0 ) ( ) ( , 0 )) ( ) ( ), (
( 1
1 f x x f x
x f x x f
x f x x f x f r
x f x x f x
f x x f x f r
Stąd
x
x f x x f x f r
x
)) ( ) ( ), ( lim 1(
0 ( ) ( ) 0
) ( ) (
)) ( ) ( ), ( lim 1(
0
x
x f x x f x f x x f
x f x x f x f r
x .
Tw. (o pochodnej funkcji odwrotnej). Niech f :RIR będzie funkcją
ściśle monotoniczną,
różniczkowalną w I
f'(x)0 ( w I )
Wówczas g f1 jest różniczkowalna na f[I] i
) ( ' )) 1 ( ( ' )) ( ( ) ( 1 '
x x f
f g x f
f
Dow. Przy przyjętych oznaczeniach mamy :
f ( x )
y
,f ( x
x )
y
y
. Z uwagi na ciągłość i ścisłą monotoniczność funkcji f funkcja odwrotna g f1 jest również ciągła i ściśle monotoniczna. Stąd y0
gdy x0,y
0
x
0
ig ( y
y )
x
x
. Wobec tegox x f x x x f
f x x f
x x x y
y g y y g
) ( ) (
1 )
( ) (
) (
) ( )
( .
Przechodząc do granic otrzymujemy tezę .
Uzupełnienie wzorów różniczkowania )
(x
f f ' x ( )
tg x
2 x cos
1
ctg x
2 x sin
1
x
ln x
1
a x
log x lna
1
x
arcsin 2
1 1
x x 1 x
arccos
1 2
1
x
x 1
x
arctg 2
1 1
x x
arcctg
1 2
1
x
Twierdzenia o wartości średniej
Tw. Rolle’a:
f jest ciągła w [ ba, ]
f jest różniczkowalna w ( ba, ) )
( ) (a f b
f ( ,) : '( )0
ab f c
c
Dowód. Jeżeli f jest stała to twierdzenie jest spełnione w sposób trywialny. Jeżeli f nie jest stała to prawdziwa jest przynajmniej jedna z nierówności inf ( ) ( )
] ,
[ f x f a
b a
x
, sup ( ) ( )
] , [
a f x f
b a x
.
Przypuśćmy, że prawdziwa jest inf ( ) ( )
] ,
[ f x f a
b a
x
(dla sup ( ) ( )
] , [
a f x f
b a x
- analogicznie).
Z tw. Wierstrassa : ( ) inf ( )
] , ] [
,
[ f c f x
b a b x
a
c
ale z warunku inf ( ) ( )
] ,
[ f x f a
b a
x
wynika, że c(a,b).
Ale
0 gdy 0
0 gdy ) 0 ( ) (
x x x
c f x c
f i istnieje f' c( ) bo c jest punktem wewnętrznym.
Granice jednostronne ilorazu różnicowego muszą być równe sobie, czyli równe zero.
A więc ostatecznie: ( ) ( ) 0 '( ) 0
lim0
f c
x c f x c f
x .
Twierdzenie Cauchy’ego .
Jeeżli1. f i g są ciągłe w [a,b],
2. f i g są różniczkowalne w (a,b),
to c(a,b) : (f (b) –f(a))g’(c) -(g (b) –g(a))f ’(c) =0.
Dowód (x)=(f (b) –f(a))g(x) -(g (b) –g(a))f(x) spełnia zał. tw. Rolle’a , więc istnieje c(a,b) takie, że ’(c)=(f (b) –f(a))g’(c) -(g (b) –g(a))f ‘(c) - stąd teza.
Interpretacja tw. Cauchy’ego. Wektorowa funkcja (f(t),g(t)), t[a, b]) jest parametryzacją krzywej płaskiej. Istnieje punkt na krzywej w którym styczna do krzywej jest równoległa do siecznej
przechodzącej przez końce krzywej
Z twierdzenia Cauchy’ego można wywnioskować
Twierdzenie de L’Hospitala . (stosuje również się do granic jednostronnych i niewłaściwych)
.
Jeżeli 1º ( )) (
x g
x f i
) (
) (
x g
x f
są określone w
S ( x
0, )
2º
( ) 0 lim ( ) 0 lim
0 0
x g x
f
x x x
x
00 albo
( ) lim ( )
lim
0 0
x g x
f
x x x
x
3º Istnieje
) (
) lim (
0 g x
x f
x
x
(właściwa lub niewłaściwa) to istnieje
) (
) lim (
0 g x
x f
xx i
) (
) lim ( ) (
) lim (
0
0 g x
x f x
g x f
x x x
x
Szkic dowodu: dla
00 . Przyjmując f(x0)=g(x0)=0 mamy) (
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
) (
0 0
c g
c f x g x g
x f x f x g
x f
(z tw.
Cauchy’ego).
Ale
xx0 cx0. Z
istnienia granicy) (
) lim (
0 g x
x f
x
x
wynika istnienie granicy
) (
) lim (
0 g x
x f
xx i równość tych granic.
Dla pozostałych przypadków wystarczy sprowadzić do formy
00 .Symbole nieoznaczone :00, , , 0 , 00, 0, 1 Przykłady
1 limln1
1
x x
x , limln 0
x x
x , ln1 11 21
1( )
lim
x x
x , lim ctg 1
0
x x
x ,
1 lim
0
x x
x , 1
1
1 1
lim
x x e
x , lim( 2) 1
1
0
tgx
x x .
Przykład niewłaściwego użycia tw. de L’Hospitala
Wiadomo, że lim cossin 1
x x x x
x ale xx
x H x x
x x
x 1 cos
cos 1 cos
sin lim
lim
nie istnieje (wyjaśnić sprzeczność!)
Twierdzenie Lagrange’a: Jeżeli 1. f jest ciągła w [a,b],
2. f jest różniczkowalna w (a,b), to c(a,b) : f(b)-f(a)=f ’(c) (b-a).
Dowód. Wystarczy rozpatrzyć funkcję
( ) ( )( )
) ( ) ( )
( t a
a b
a f b a f f t f
t , t[a,b], która
spełnia założenia twierdzenia Rolle’a. Stąd istnieje c(a,b) takie, że (c)0. Stąd otrzymujemy ) 0
( ) ) ( ( )
( '
a b
a f b c f f
c , co implikuje tezę.
Interpretacja i wnioski
W interpretacji geometrycznej: musi istnieć punkt, w którym styczna (
f
(c )
to współczynnik kierunkowy stycznej) jest równoległa do siecznej (a b
a f b f
( ) )
(
to współczynnik kierunkowy siecznej).Z tw. Lagrange’a:
x c f x f x x f
f
( ) (
0) ( ) c
min{ x
0, x
0 x }, max{ x
0, x
0 x }
x(a,b) f ‘ (x)=0 f stała w (a,b)
x(a,b) f ‘ (x)>0 f rosnąca w (a,b)
x(a,b) f ‘ (x)<0 f malejąca w (a,b)
Dowód. x1 x2 f(x2) f(x1) f(c)(x2 x1)
f
( c )
0
zawsze (bo taki przypadek rozpatrujemy), x2 x1 0 z założenia, a więc f(x2) f(x1)0, czyli f rosnąca.Ekstrema funkcji
Niech funkcja f : Ot(x0,0)x f(x) będzie określona na pewnym otoczeniu punktu x0
Def. Funkcja f ma w punkcie x0
maksimum lokalne właściwe jeżeli S(x0,) : x S(x0,) f(x)<f(x0) minimum lokalne właściwe jeżeli S(x0,) : x S(x0,) f(x)>f(x0)
WK istnienia ekstremum (tw. Fermata). Jeżeli
f ma w punkcie x0 ekstremum
f jest różniczkowalna w x0
to f ’(x0)=0 Dow. (dla minimum)
0 0 0
0
dla 0
dla ) 0
( ) (
x x
x x x
x x f x
f ale granica istnieje i jest ona tylko jedna, czyli jedyna możliwa to 0.
Uwaga. Funkcja może mieć ekstremum jedynie w punktach, w których pochodna zeruje się lub nie istnieje.
I WW istnienia ekstremum. Jeżeli
f jest ciągła w punkcie x0
f jest różniczkowalna w S(x0,)
f ’(x)<0 dla x(x0- , x0) [f ’(x)>0 dla x(x0- , x0)]
f ’(x)>0 dla x(x0 , x0+) [f ’(x)<0 dla x(x0 , x0+)]
to f ma w punkcie x0 minimum [maksimum] lokalne właściwe.
Dowód. (dla minimum).Niech x S(x0,) . Z tw. Lagrange,a x S(x0,)
f(x)-f(x0)= f ’(x0+(x-x0)) (x-x0)>0 , (0,1) (bo f ’(x0+(x-x0)) i (x-x0) są tego samego znaku.
Twierdzenie i wzór Taylora-
uogólnienie twierdzenia Lagrange’a Niech I oznacza przedział domknięty o końcach x0 i x tzn. I=[min{x0,x}, max{x0,x}]Twierdzenie Taylora. Jeżeli f : IR
ma ciągłe pochodne do rzędu n-1 w I
ma pochodną rzędu n we wnętrzu I (int I) to cint I takie, że
) (
! 0 ) (
) (
1
! 0 ) 1 (
) 2 (
! 0 2
) (
! 0 1
) (
0) ( ) ( ) ... ( ) ( )
( )
( ()
1
0 ) 1 ( 0
'' 0
'
x r
n n
c f
x P
n n
x f x
f x
f
n n
n
n
x x x
x x
x x
x x
f x
f
Dow. Rozważmy funkcję pomocniczą
: I
R
postaci ( t )
f ( t )
P
n1( t )
M ( t
x
0)
n. Dobieramy tak M, żeby ( x )
0
, czyli n nx x
x P x M f
) (
) ( )
(
0 1
. Widać, że także (x0)0.
Funkcja
spełnia na przedziale I założenia twierdzenia Rolle’a, czyli c1intI:
( c
1)
0
.Funkcja spełnia na przedziale I1
min{x0,c1},max{x0,c1}
założenia twierdzenia Rolle’a, czyli int : ( 2) 01
2
c I c . Powtarzamy rozumowanie n razy: cnintIn1 :n(cn)0. Oznaczając c=cnint I mamy
(n)( t )
f
(n)( t )
Mn !
i! ) 0 (
) (
) ( )
(
n c M f
c
n
n
.
Otrzymaliśmy więc dwa wzory na M. Porównując
! ) ( )
(
) ( )
( 1 ( )
n c f x
x
x P x
f n
n
n
stąd teza.
Zapis różniczkowy wzoru Taylora
) ,
! ( ) 1 ,
)! ( 1 ( ... 1 ) ,
! ( 1 ) 1 ( )
( 0 0 0 ( 1) 0 0 d( )f c x x0
x n x x f n d
x x x df x
f x
f n n
.
Przykład. Napisać wzór Taylora dla funkcji f(x) = ln x przyjmując x0=1 i n=3.
3 3
2 1 2
1( 1) ( 1)
1
lnxx x 3 x
c .
Uwaga. Dla x0=0 wzór Taylora nosi nazwę wzoru Maclaurina.
n
C
I - zbiór funkcjif : R
I
R
n-krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły na przedziale I.
CIn
f n-ta pochodna f(n)jest ciągła na I.
0
C
I - zbiór funkcji ciągłych na przedziale I.C
I0 C
I1 ...
C
In Tw: (II warunek wystarczający istnienia ekstremum)
0 0 ) (
1 2 ,..., 2 , 1 dla 0 ) (
0 ) 2 (
0 ) (
2 ) , (0
x f
n k
x f
C f
n k
n x
Ot
f ma w p.
x
0 minimum (maksimum) lokalne właściwe.Dow: (dla minimum) z wzoru Taylora: n
n
x n x
c x f
f x
f 0 2
) 2 (
0 ( )
)!
2 (
) ... (
0 0 ) ( )
(
Z tw. o lokalnym zachowaniu znaku
f
(2n)( c )
0
oraz ( 0)2 00
xx x x n , czyli
0
) ( )
( x
f x
0 f
, co oznacza, że f ma w p.x
0 minimum lokalne właściwe.Dla maksimum analogicznie (
f
(2n)( c )
0
).Ekstrema globalne f : R
D
f R
Def: Funkcja f ma w
x
0D
f minimum globalne właściwe( ) (
0)
0
x f x f
x x
D
x f
.
Funkcja f ma w
x
0D
f minimum globalne( ) (
0)
0
x f x f
x x
D
x f
.
Funkcja f ma w
x
0D
f maksimum globalne właściwe( ) (
0)
0
x f x f
x x
D
x f
.
Funkcja f ma w
x
0D
f maksimum globalne( ) (
0)
0
x f x f
x x
D
x f
.
Algorytm szukania ekstremów globalnych funkcji f na zbiorze domkniętym i ograniczonym ( a wiec zwartym).
1º Szukamy punktów krytycznych we wnętrzu D (
f
( x
0)
0
f
-nie istnieje), 2º Sprawdzamy wartości funkcji na brzegu D,3º Obliczamy wartości funkcji w tych punktach i porównujemy je.
Asymptoty
Def. Prosta
x
x
0 jest asymptotą pionowa lewostronną funkcji f ( ) lim f x
xo
x
Prosta
x
x
0 jest asymptotą pionowa prawostronną funkcji f ( ) lim f x
xo
x
Def. Prosta
y
ax
b
jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f lim ( )
0
f x ax b
x
Prosta
y
ax
b
jest asymptotą ukośną prawostronną funkcji f lim ( )
0
f x ax b
x
Powyższe definicje można uogólnić.
Def. Funkcja
g (x )
jest asymptotą prawostronną funkcji f lim
( ) ( )
0
f x g x
x
Tw. Jeżeli prosta
y
ax
b
jest asymptotą ukośną lewostronną funkcji f, tox x a f
x
) lim (
,
b f x ax
x
lim
( )
, a,b – granice skończone.Dowód. bezpośrednio z definicji - jako ćwiczenie.
Wypukłość funkcji f : R
I
R
, I – przedział Def. Funkcjęf : I
R
nazywamy wypukłą w I gdy()
, [0,1]
(1 ) 1 2
(1 ) ( 1) ( 2)2
1x I t f t x tx t f x tf x
x
(wykres jest poniżej siecznej)
Jeżeli () zastąpimy warunkiem
()’ , (0,1)
(1 ) 1 2
(1 ) ( 1) ( 2)2
1x I t f t x tx t f x tf x
x
, to f nazywamy ściśle wypukłą w I
Inaczej
()
1 1 2 2
1 ( 1) 2 ( 2)1 0 , ,
2 1
2 1 2
1x I f x x f x f x
x
Jeszcze inaczej
() : ( ) ( 0) ( 0)
0 I a R x I f x a x x f x
x
(w każdym punkcie istnieje prosta podpierająca)
Def. Funkcja
f : I
R
jest wklęsła funkcja( f
)
jest wypukła.Tw. f
f C f
I x
I
0
2
- wypukła. f
f C f
I x
I
0
2
- wklęsła
Dowód. Natychmiastowy z wzoru Taylora
Punkt przegięcia
Def. PunktP
x0,f(x0)
nazywamy punktem przegięcia funkcjiy f(x) jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w punkcie
x
0 (ma styczną w punkcie P
x0,f(x0)
) wypukła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie
x
0 wklęsła w prawostronnym lub na odwrót.
Interpretacja. W punkcie przegięcia wykres funkcji przechodzi z jednej strony stycznej na drugą Tw. (f CI2
f
ma w punkcie x0I punkt przegięcia)
f
( x
0)
0
.Punktów przegięcia szukamy więc wśród punktów, w których druga pochodna znika lub nie istnieje