CAŁKOWANIE
NUMERYCZNE
całki podwójne
Dana jest funkcja dwóch zmiennych
f(x, y)
ciągła i ograniczona w obszarze trójkątnymD
.Wierzchołki trójkąta wyznaczają punkty
(x
1, y
1), (x
2, y
2), (x
3, y
3)
nie leżące na jednej prostej.
Wprowadza się podstawienie normalizujące wyjściowy trójkąt do trójkąta prostokątnego, równoramiennego o wierzchołkach
(0, 0), (1, 0), (0, 1):
1
(
2 1) (
3 1)
x x = + x − ξ + x x − η x
1
(
2 1) (
3 1)
y = + y y − y ξ + y − y η
Wierzchołki:
1 1
2 2
( , ) (0,0) ( , ) (1,0) ( , ) (0,1)
x y x y x y
→
→
→
Trójkąt wyjściowy i znormalizowany
Zmiana układu współrzędnych wymaga pomnożenia funkcji podcałkowej przez tzw. jakobian przekształcenia:
x x
J y y
∂ ∂
∂ξ ∂η
= ∂ ∂
∂ξ ∂η
2 1 3 1
2 1 3 1
x x x x
y y y y
− −
= − −
2 1 3 1 3 1 2 1
( )( ) ( )( )
J = x − x y − y − x − x y − y 2
J = D
|D|
- pole wyjściowego trójkątaD
Funkcja podcałkowa dla trójkąta znormalizowanego przyjmuje postać:
( ) , [
1(
2 1) (
3 1) ,
1(
2 1) (
3 1) ]
F ξ η = J f x + x − ξ + x x − η x y + y − y ξ + y − y η
Końcowy wzór do obliczania całki podwójnej po trójkącie:
1 1
0 0 1
d ( , ) d 1 ( , ) 2
n
i i i
i
F F w
−ξ
=
ξ ξ η η = ¦ ξ η
³ ³
ξ
i, η
i – współrzędne punktów Gaussaw
i – wagi punktów Gaussan
– ilość punktów Gaussa1/3 0
1/2
1/3 1/2
0
1/3 1/2
1/2 3
w
iη
iξ
in
Współrzędne i wagi punktów Gaussa
Przykład
Funkcję podcałkową sprowadzić do postaci znormalizowanej:
( 3 1) d d
D
x + y − x y
³³
Wierzchołki trójkąta
D
:(1,1) (3, 2) (2,3)
( , ) 3 1
f x y = + x y −
1
(
2 1) (
3 1)
x x = + x − ξ + x x − η 1 (3 1) x = + − ξ + − η 1 2 (2 1) = + ξ + η
1
(
2 1) (
3 1)
y = + y y − y ξ + y − y η 1 (2 1) = + − ξ + − η 1 (3 1) = + ξ + η 2
2 1 3 1
2 1 3 1
x x x x
J y y y y
− −
= − −
3 1 2 1 2 1 2 1 3 1 1 2
− −
= =
− − = 3
[ ]
( , ) 3 1 2 3(1 2 ) 1
F ξ η = ⋅ + ξ + η + + ξ + η − = + ξ + η 9 15 21
( )
1 1
0 0
d 9 15 21 d
−ξ
ξ + ξ + η η
³ ³
Przykład
Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu dla
n = 3
punktów Gaussa.
3
1 1
1 1
( , ) ( , )
2 2
n
i i i i i i
i i
F w F w
= =
ξ η = ξ η
¦ ¦
1 1 1 1 1 1 1 1
, 0, ,0
2 ª F § 2 2 3 · F § 2 3 · F § 2 · 3 º
= ¬ « ¨ © ¸ ¹ ⋅ + ¨ © ¸ ¹ ⋅ + ¨ © ¸ ¹ ⋅ » ¼
[ ]
1 1 27 19.5 16.5
= ⋅ ⋅ 2 3 + + = 10.5
Przykład
Wyprowadzić kubaturę Gaussa dla trójkąta znormalizowanego i
n = 1
.0 1 2
( , )
F ξ η = + ξ + η a a a
Całka z tej funkcji po trójkącie znormalizowanym:
1 1
0 1 2 0 1 2
0 0
1 1 1
d ( ) d
2 6 6
a a a a a a
−ξ
ξ + ξ + η η = + +
³ ³ ∗
1
1 ( , ) 2
n
i i i
i
F w
=
¦ ξ η = 1 2 ( a
0+ ξ + η a
1 1a
2 1) w
11 0 1 1 1 1 1 2
1
2 w a w a w a
= + ξ + η ∗∗
Z porównania współczynników przy
a
0, a
1, a
2 z∗
i∗∗
:1
1 1
1 1
1 1 2 2 1 1 6 2 1 1 6 2
w w
w
= °
° ° = ξ
® °
° = η
°¯
1 1 1