• Technische Hogeschool Delft
Afdeling der Cwiele Techniek
De analyse wan getijden
D D D
Naar het college "Getijden" (B75)
Dr.ir. J . P . T h . Kalkwijk
t.
331 M KAL 1 1 7 3
DE ANALYSE VAN GETIJDEN
D r . i r . J.P.Th. K a l k w i j k
1
-I N H O U D b l z .
1. I n l e i d i n g . 2
2. Oorsprong en astronomische analyse van h e t g e t i j ; M -g e t i j v o o r s p e l l i n -g .
2.1. Oorsprong van h e t g e t i j . 4 2.2. Astronomische a n a l y s e van het g e t i j . 15
2.3. V o o r s p e l l i n g van het g e t i j , 2H
L i t e r a t u u r . 28
3. F o u r i e r r e e k s e n en F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e s ; de t o e p a s s i n g op 30 g e t i j s i g n a l e n .
3.1. I n l e i d i n g . 30 3.2. De methode der k l e i n s t e kwadraten. 33
3.3. Reeksen van F o u r i e r . 36 3.4. F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e . 43 3.4.1. De F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e van een harmonische f u n c t i e . 48
3.4.2. Het bemonsteren van z ( t ) . 51 3.4.3. De l e n g t e van de waarnemingsreeks. 58 3.5. Slotbeschouwing. 53 L i t e r a t u u r . 66 4. G e t i j b e w e g i n g i n zeeën en oceanen. 68 L i t e r a t u u r . 75 5. Appendix. 76 Vragen d i e b e t r e k k i n g hebben op de hoofdstukken 2 en 3.
I n l e i d i n g
Reeds van oudsher i s men geïnteresseerd i n h e t r i j z e n en dalen van de watei'-s p i e g e l i n oceanen, zeeën, e watei'-s t u a r i a en r i v i e r e n , z o a l watei'-s d i t v e r o o r z a a k t wordt door de beweging van hemellichamen a l s de zon, de maan en de aarde.
De k w a l i t a t i e v e v e r k l a r i n g van h e t v e r s c h i j n s e l , d a t aangeduid wordt met g e t i j , h e e f t plaatsgevonden i n de loop van de 17e eeuw. Naarmate de scheep-v a a r t toenam r a a k t e men i n de 19e eeuw t e n behoescheep-ve scheep-van de n a scheep-v i g a t i e ook
steeds meer geïnteresseerd i n de k w a l i t a t i e v e aspecten van wat b e t r e f t analyse en v o o r s p e l l i n g van h e t g e t i j . I n de 20e eeuw h e e f t de mens v e l e ingrepen v e r -r i c h t i n z i j n n a t u u -r l i j k m i l i e u , ook i n gebieden waa-r h e t g e t i j een b e l a n g -r i j k e r o l speelde. Het s p r e e k t voor z i c h d a t voor h e t v o o r s p e l l e n van de gevolgen van bepaalde werken g e t i j s t u d i e s o n o n t b e e r l i j k z i j n . Een b e l a n g r i j k aspect h i e r b i j i s h e t u i t v o e r e n van g e t i j berekeningen, gebaseerd op bepaalde randvoorwaarden, d i e n i e t g e s t o o r d worden door de m e n s e l i j k e i n g r e e p . Aangezien de berekeningen e r t o e dienen bepaalde e f f e c t e n i n de toekomst t e v o o r s p e l l e n z a l h e t d u i d e l i j k z i j n , dat h i e r o m t r e n t i n f o r m a t i e wat b e t r e f t de randvoorwaarden ook aanwezig d i e n t t e z i j n . Met andere woorden: h e t g e t i j t e r p l e k k e van de rand z a l gemeten, geanalyseerd en voor de toekomst v o o r s p e l d moeten worden. D i t c o l l e g e i s e r i n hoofdzaak op g e r i c h t i n f o r m a t i e t e geven over analyse en v o o r s p e l l i n g van h e t g e t i j . Het z a l z i c h n i e t bezighouden met g e t i j b e r e k e n i n g e n , daar deze behandeld worden i n andere c o l l e g e s .
Om genoemd d o e l t e b e r e i k e n wordt i n h o o f d s t u k 2 een b e s c h r i j v i n g gegeven van de beweging van de op h e t g e t i j van i n v l o e d z i j n d e hemellichamen ( z o n , maan en a a r d e ) . Op grond h i e r v a n wordt de v e r k l a r i n g van enkele fundamentele begrippen a l s enkeldaags, dubbeldaags g e t i j e.d, gegeven. Daarna wordt enige aandacht
besteed dan de astronomische analyse van de g e t i j v e r w e k k e n d e k r a c h t . De b e h a n d e l i n g daarvan i s zeer summier en d i e n t e r s l e c h t s t o e aannemelijk t e maken, d a t e r v e l e f r e q u e n t i e s i n de g e t i j v e r w e k k e n d e k r a c h t voorkomen, d i e kunnen t e r u g k e r e n i n h e t w e r k e l i j k g e t i j op aarde. U i t e i n d e l i j k mondt d i t h o o f d s t u k u i t i n de methode om h e t g e t i j t e v o o r s p e l l e n , i n d i e n de g e t i j constanten bekend z i j n .
Het derde hoofdstuk behandelt enige methoden om een g e t i j w a a r n e m i n g t e a n a l y -seren. Aan de orde komen de methode der k l e i n s t e kwadraten, Foui'^ieranalyse en F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e s . Met name de l a a t s t e methode t o t analyse v e r s c h a f t i n f o r - , matie b e t r e f f e n d e b e m o n s t e r i n g s i n t e r v a l en l e n g t e van de waarnemingsreeks. De v e r s c h i l l e n d e methoden z i j n i n algemene z i n behandeld:, de t o e p a s s i n g i s toege-s p i t toege-s t op de analytoege-se van h e t g e t i j . Toepatoege-stoege-sing op andere d e t e r m i n i toege-s t i toege-s c h e meet-s i g n a l e n i meet-s e c h t e r evenzeer m o g e l i j k . I n h e t kader van d i t c o l l e g e i meet-s h e t n i e t
-3-m o g e l i j k aandacht t e besteden aan f i l t e r -3-m e t h o d e n e.d. Ook een beschouwing over de nauwkeurigheid van een analyse moest achterwege b l i j v e n .
Wat b e t r e f t d i t hoofdstuk wordt de l e z e r erop gewezen, dat a l l e t e k s t voor-komend t u s s e n h o r i z o n t a l e s t r e e p j e s l i j n e n b e t r e k k i n g h e e f t op voorbeelden. Voor de e i g e n l i j k e s t o f z i j n z i j n i e t e s s e n t i e e l .
Het v i e r d e h o o f d s t u k h e e f t b e t r e k k i n g op de b e s c h r i j v i n g van het g e t i j , zoals z i c h d i t m a n i f e s t e e r t i n zeeën en oceanen. De behandeling i s summier en h e e f t i n hoofdzaak i n b e s c h r i j v e n d e vorm p l a a t s .
Aan het e i n d van i e d e r h o o f d s t u k b e v i n d t z i c h een k o r t e l i t e r a t u u r l i j s t , d i e toegang g e e f t t o t u i t g e b r e i d e r e i n f o r m a t i e over de v e r s c h i l l e n d e onderwerpen.
Het d i c t a a t wordt b e s l o t e n met een appendix, waarin v e r s c h i l l e n d e v r a g e n , d i e b e t r e k k i n g hebben op de s t o f , g e s t e l d z i j n .
De antwoorden z i j n a l l e e n v e r m e l d , i n d i e n deze n i e t i n de t e k s t z i j n t e r u g t e v i n d e n .
2. Oorsprong en astronomische analyse van h e t g e t i j ; g e t i j v o o r s p e l l i n g .
2.1. Oorsprong van h e t g e t i j .
D i t d e e l van h e t c o l l e g e i s e r op g e r i c h t t e l a t e n z i e n , d a t de maan en de zon de oorzaken z i j n van h e t o n t s t a a n van g e t i j d e n op aarde. Het be-g r i p be-g e t i j verwekkende k r a c h t z a l be-g e d e f i n i e e r d en a f be-g e l e i d worden en e r z a l aannemelijk gemaakt worden, d a t de g e t i j v e r w e k k e n d e k r a c h t samengesteld gedacht kan worden u i t v e l e komponenten, i e d e r met z i j n eigen f r e q u e n t i e . Deze f r e q u e n t i e s z i j n g e r e l a t e e r d aan de p e r i o d i c i t e i t i n de v e r s c h i l l e n d e s o o r t e n bewegingen d i e aarde, maan en zon t . o . v . e l k a a r u i t v o e r e n . Nadat u i t e e n g e z e t i s , d a t naast deze f r e q u e n t i e s nog andere f r e q u e n t i e s i n een g e t i j s i g n a a l kunnen voorkomen, z a l d i t hoofdstuk b e s l o t e n worden met een u i t e e n z e t t i n g hoe een g e t i j v o o r s p e l d kan worden, a l s de g e t i j constanten eenmaal bekend z i j n .
De k r a c h t e n , d i e h e t g e t i j op aarde genereren, z i j n de a a n t r e k k i n g s k r a c h t e n door maan en zon u i t g e o e f e n d op de aarde. De i n v l o e d van andere h e m e l l i c h a -men i s t e verwaarlozen.
De navolgende (eenvoudige) beschouwingen hebben steeds b e t r e k k i n g op h e t systeem aarde-maan. Die voor h e t systeem aarde-zon z i j n n a m e l i j k i d e n t i e k .
De a a n t r e k k i n g s k r a c h t tussen 2 lichamen wordt bepaald door de g r a v i t a t i e w e t van Newton:
F = a "•l'"2
waarin a = u n i v e r s e l e g r a v i t a t i e c o n s t a n t e , X = a f s t a n d tussen de zwaartepunten van de
r e s p e c t i e v e lichamen,
m^,m^ = massa's van de r e s p e c t i e v e lichamen.
Er b e s t a a t een r e l a t i e tussen de u n i v e r s e l e g r a v i t a t i e constante a en de zwaartekracht g. Beschouw n a m e l i j k de a a n t r e k k i n g s k r a c h t van een l i c h a a m , massa m^, door de aarde;
F = m^g m,m i 1 e g r a —T T - a = -s— 2 m r e 67 * 10 -12 3, - 1 -2 m kg s (2.1)
-5-waarin m = massa aarde = 5,98 * 10 kg
Q 6
r = s t r a a l aarde = 6,38 * 10 [m] -21
g = 9,81 ms
I n d i e n massa maan = Mm^ (M = 0,0123) ,
a f s t a n d t u s s e n de zwaartepunten van r e s p . maan en aarde = Kr (K = 60,3)
dan wordt de a a n t r e k k i n g s k r a c h t t u s s e n maan en aarde (bovenstaande u i t -d r u k k i n g voor a g e b r u i k t ) :
Mm
^ (2.2) K
Deze k r a c h t i s " v e r a n t w o o r d e l i j k " voor de d r a a i i n g van h e t systeem aarde-maan om een gemeenschappelijk zwaartepunt, d a t binnen de aarde z e l f l i g t ,
OD een a f s t a n d ~ ~ ; < r van h e t centrum van de aarde.
^ I t M
K r
maan
I n d i e n de h o e k s n e l h e i d van h e t systeem (o [rad/s] i s , dan i s de v e r s n e l l i n g van de aarde '^^^^ j welke g e l e v e r d 'wordt door de o n d e r l i n g e a a n t r e k k i n g s -k r a c h t van aarde en maan. Dus:
^ e 0) MKr m ^2 1+M e K ,2 _ g(l+M) K r
Met de bekende g e t a l l e n voor g, M, K en r wordt w 'X' 2,66 * 10 ^ [ r a d / s ] hetgeen i n h o u d t , d a t h e t h e l e systeem 1 omwenteling maakt i n 27,32 dagen.
Door de r o t a t i e van h e t gehele systeem b e s c h r i j f t de aarde een baan, d i e opgebouwd gedacht kan v/orden u i t een t r a n s l a t i e en een r o t a t i e . De aarde r o t e e r t z e l f ook nog eens om z i j n as. Beide r o t a t i e s hebben een i d e n t i e k e
i n v l o e d op het g e t i j , zodat h e t voor de hand l i g t deze r o t a t i e s b i j e l k a a r t e voegen. De andere bevfeging, de t r a n s l a t i e , z a l nu nader beschouwd worden; de r o t a t i e komt i n h e t v e r v o l g .
baan z w a a r t e p u n t aarde
gemeenschappelijk z w a a r t e p u n t
I n f i g u u r 1 wordt getoond, d a t a l s g e v o l g van de t r a n s l a t i e i e d e r d e e l t j e van de aarde d e z e l f d e v e r s n e l l i n g i n r i c h t i n g en g r o o t t e h e e f t . I n boven-staande f i g u u r i s d i t nogmaals getekend. Aangezien de l i j n OP u i t s l u i t e n d t r a n s l a t i e s b e s c h r i j f t h e e f t h e t punt F d e z e l f d e v e r s n e l l i n g a l s h e t punt 0. De v e r s n e l l i n g i s g e r i c h t e v e n w i j d i g aan de v e r b i n d i n g s l i j n van de zwaar-tepunten van r e s p . aarde en maan. De g r o o t t e van deze v e r s n e l l i n g ( k r a c h t p e r eenheid van massa) i s ( z i e . v g l . ( 2 , 2 ) ) :
= «1 ( 2 . 3 ) K
De v e r s n e l l i n g F^ z a l " g e l e v e r d " moeten worden door de a a n t r e k k i n g s k r a c h t op een d e e l t j e op aarde, z o a l s deze door de maan wordt u i t g e o e f e n d . Deze k r a c h t i s a f h a n k e l i j k van de a f s t a n d tussen de maan en de beschouwde p l a a t s op aarde Rr ( z i e f i g , 2) en bedraagt ( p e r eenheid van massa):
Zoals de f i g u u r d u i d e l i j k ' l a a t z i e n kan F^ samengesteld worden u i t F^ en een r e s i d u k r a c h t j e - F^j welke de g e t i j verwekkende k r a c h t wordt genoemd, omdat d i t v e r s c h i l k r a c h t j e de d i r e c t e oorzaak voor h e t o n t s t a a n van g e t i j d e n op
m a a n baan van het middelpunt van de a a r d e m a a n b a a n van een . wiLLekeurig punt P gemeenschappeLijk z w a a r t e p u n t versneLLings vector van punt P A L S O E E N C I R K E L M E T M I D D E L P U N T Co E N S T R A A L CoO B E S C H R I J F T DAN Z A L P E E N C I R K E L B E S C H R I J V E N EN W E L ZO DAT CpP = CoO CoCp = OP EN C o C p / / O P A L S DE L E N G T E VAN ÖP NIET V E R A N D E R T _omtrek van de a a r d e in t w e e . willekeurige standen DUS C p P / / C o O en C p P / / C o O INDIEN DE A A R D E A L L E E N E E N T R A N S L A T I E U I T V O E R T ( D U S G E E N R O T A T I E )
aarde i s . Van de g e t i j v e r w e k k e n d e k r a c h t i s e c h t e r a l l e e n de component van - F^, g e r i c h t langs h e t a a r d o p p e r v l a k , van belang. Deze component z u l l e n we de s l e e p k r a c h t , F^, noemen en deze wordt;
F^ = -Sf s i n ((j, + a ) - ê | s i n 4> ^>^(9^''^ ''q '^'"'9 K
Voor h e t vereenvoudigen van deze u i t d r u k k i n g worden de volgende benaderingen i n g e v o e r d : R 'V K - cos (|), cos a 'V 1 , s i n (j) s m a K
zodat F vereenvoudigd kan worden t o t : s
gM (K - cos <^')
"2 ( s i n if> cos a + cos tj) s i n a) - •^'^ s i n
2 cos K / • i , s i n d) cos ( 1 + ^ — - ) ( s m (j) + ~ " ) - s m F % (3 s i n (f) cos ( b + 2 2 , cos s m m — 7 7 — * ) i-».*-*.Ju - u v . / ' ^ u 111 L:: - L i l 2 cos K * 4- „ „ C 31Ti y C O S (|ï ï 2K ( 2 . 5 )
-.9.-
-4-.P-De g r o o t t e van de s l e e p k r a c h t i s e r g k l e i n . -4-.P-De maximale waarde t r e e d t op voor tt* - + ïf 5 h e t onderstaande t a b e l l e t j e g e e f t de numerieke waarden voor maan en zon voor deze waarden van cj).
maan zon M 0,0123 333.000 K 60,3 23.500 3gM 2K^ 0,82*10~^ [ms ] 0,38*10~^ [ms"^]
De v e r h o u d i n g van de s l e e p k r a c h t e n van maan en zon i s ongeveer 2 : 1 , zodat de i n v l o e d van de zon op h e t g e t i j op aarde bepaald n i e t verwaarloosbaar i s . De r e s p e c t i e v e s l e e p k r a c h t e n z i j n zo k l e i n , d a t z i j w e i n i g i n v l o e d hebben op v a s t e d e e l t j e s van de aarde, a l i s de g o l f b e w e g i n g , d i e z i j veroorzaken i n de aarde ( a a r d g e t i j d e n ) goed meetbaar. De i n v l o e d op de w a t e r d e e l t j e s , d i e w e l kunnen bewegen i s v e e l g r o t e r . Om deze i n v l o e d t e berekenen, zou de s l e e p k r a c h t geïntroduceerd kunnen worden i n de b e w e g i n g s v e r g e l i j k i n g e n voor de s t r o m i n g van h e t water. Tot nu t o e i s men e r e c h t e r nog n i e t i n geslaagd deze v e r g e l i j k i n g e n op t e lossen voor g e v a l l e n , w a a r i n bodemligging en be-grenzingen van de oceanen op r e a l i s t i s c h e w i j z e waren meegenomen. Wel z i j n er berekeningen voor oceanen met uniforme d i e p t e en begrensd door 2 m e r i d i a -nen. De a m p l i t u d e van h e t g e t i j d a a r i n b l i j f t b e p e r k t t o t enkele c e n t i m e t e r s en dat i s merkwaardig, a l s men bedenkt d a t de orde van g r o o t t e van h e t wer-k e l i j wer-k e g e t i j op aarde ongeveer een meter bedraagt. De v e r wer-k l a r i n g i s d a t de r e s p o n s i e van waterbekkens a l s oceanen v o o r n a m e l i j k a f h a n g t van de e i g e n s l i n g e r f r e q u e n t i e s van deze waterbekkens. A l s êên van de e i g e n f r e q u e n t i e s i n de b u u r t komt van een f r e q u e n t i e i n de e x c i t e r e n d e k r a c h t ( s l e e p k r a c h t F )
s i s een g r o t e r e s p o n s i e m o g e l i j k ( r e s o n a n t i e ) . D i t t r e e d t i n v e r s c h i l l e n d e g e v a l l e n op. I n de randzeeën wordt h e t g e t i j i n hoofdzaak bepaald door h e t g e t i j i n de aangrenzende oceaan. Door d i e p t e i n v l o e d e n en begrenzingen kan
de a m p l i t u d e van h e t g e t i j nog weer a a n z i e n l i j k toenemen. De vorm van s l i n g e r i n g van de watermassa's i n zeeën en oceanen, h e e f t een b i j z o n d e r k a r a k t e r a l s g e v o l g van de r o t a t i e van de aarde. I n h e t l a a t s t e d e e l van h e t c o l l e g e z a l h i e r nog enige aandacht aan worden besteed. A l deze beschouwingen z i j n echter t a m e l i j k ge-c o m p l i ge-c e e r d , D a a r m z u l l e n w i j ons beperken t o t de volgende eenvoudige besge-chou- beschou-wingen, welke enkele fundamentele eigenschappen van het g e t i j i l l u s t r e r e n . Beschouw een a a r d b o l , geheel bedekt met w a t e r , en ga na welke vorm h e t w a t e r -o p p e r v l a k aanneemt, a l s a l l e t r a a g h e i d s e f f e c t e n verwaarl-o-osd w-orden. D i t h-oudt
i n , d a t de v e r h a n g k r a c h t , d i e o p t r e e d t a l s de w a t e r s p i e g e l een h e l l i n g h e e f t , evenwicht moet maken met de s l e e p k r a c h t . De verhangkracht z a l a f g e l e i d worden voor een mootje dx, door na t e gaan welke
k r a c h t e n daarop werken. Dus:
verhangkracht = k r a c h t l i n k s - k r a c h t r e c h t s
= 5 Pgh - 5 Pg(h + ^ d x )
clh , 'V - pgh ^ dx
Per eenheid van massa: - g ^ , welke k r a c h t evenwicht moet maken met . Een en ander h e e f t t o t r e s u l t a a t , dat h e t wateroppervlak een vorm aanneemt zoals weergegeven i n onderstaand s c h e t s j e . M.a.w. er o n s t a a t een v e r h o g i n g van de w a t e r s p i e g e l , d i e g e r i c h t i s naar de maan, maar ook een verhoging
d i a m e t r a a l daar tegenover. Voorts i s daartussen een v e r l a g i n g t e c o n s t a t e r e n . Het g e t i j , d a t op deze w i j z e o n t s t a a t , wordt h e t e v e n w i c h t s g e t i j genoemd. De r e d e n e r i n g werd reeds o n t w i k k e l d door Newton.
Tot nu t o e i s n i e t gesproken over de r o t a t i e van de aarde z e l f . H i e r b i j i s de as van r o t a t i e van g r o o t belang. Deze maakt n a m e l i j k een hoek (gemiddeld 23^°) met de v e r b i n d i n g s l i j n van de c e n t r a van aarde en maan ( z o n ) . Om d u i d e l i j k t e maken, waar d i t t o e l e i d t z u l l e n we de volgende g e v a l l e n beschouwen.
-12-a) As van r o t a t i e s t a a t l o o d r e c h t op de v e r b i n d i n g s l i j n van de zwaartepunten van aarde en maan. Iemand, d i e z i c h op een vaste p l a a t s op aarde b e v i n d t , z a l nu b i j r o t a t i e (één omwenteling per dag) 2 maal per dag een hoogwater en 2 maal per dag een laagwater waarnemen:
dubbeldaags g e t i j ;
b ) As van r o t a t i e maakt een hoek met de v e r b i n d i n g s l i j n van de zwaartepunten van aarde en maan. Nu z i j n e r p l a a t s e n op aarde, met name op de hogere b r e e d t e n , waar 1 maal per dag een hoogwater en een laagwater waargenomen kunnen worden:
enkeldaags g e t i j .
Aangezien g e t i j d e n z i c h v o o r t p l a n t e n , kan reeds nu g e c o n s t a t e e r d worden, d a t h e t w e r k e l i j k e g e t i j op aarde zowel dubbeldaagseals enkeldaégse componenten
z a l b e v a t t e n . De enkeldaagse componenten hebben t o t g e v o l g , dat gedurende een dag beide hoogwaters een v e r s c h i l l e n d e hoogte hebben; d i t z ; e l f d e g e l d t voor de l a a g w a t e r s : d a g e l i j k s e o n g e l i j k h e i d . Zie f i g . 3, welke enige voorbeelden van getijkrommen langs de Nederlandse k u s t b e v a t .
Aan de Nederlandse k u s t i s h e t dubbeldaags g e t i j overheersend. Er bestaan e c h t e r ook g e v a l l e n op aarde, waar h e t enkeldaags g e t i j overheersend i s ( b . v . Tanjong P r i o k ) .
I n w e r k e l i j k h e i d z a l h e t hoogwater n i e t o p t r e d e n , a l s de maan de beschouwde m e r i d i a a n p a s s e e r t . Het echte HW z a l l a t e r o p t r e d e n . Het t i j d s v e r s c h i l t u s s e n het moment, dat de maan de m e r i d i a a n p a s s e e r t en h e t moment, dat h e t HW werke-l i j k o p t r e e d t , wordt h a v e n g e t a werke-l genoemd. D i t i s een constante behorend b i j een vaste p l a a t s op aarde.
Hoewel de i n v l o e d van de zon i n h e t voorgaande nagenoeg onbesproken b l e e f , i s het d u i d e l i j k , d a t de i n v l o e d e n van zon en maan eikaap kunnen v e r s t e r k e n en v e r -zwakken. F i g . ^• g e e f t aan b i j welke standen van maan en zon t . o . v . de aarde s p r i n g t i j , dan w e l d o o d t i j o p t r e e d t . Aangezien de maan i n ongeveer 29 dagen om de aarde d r a a i t , z a l ongeveer een week na s p r i n g t i j d o o d t i j optreden en omge-k e e r d ; s p r i n g t i j en d o o d t i j t r e d e n dus ongeveer eens i n de 2 weomge-ken op. Tevens i s i n f i g . 4 voor 2 havens aan de Nederlandse k u s t h e t v e r l o o p van h e t g e t i j gedurende een maand aangegeven. D u i d e l i j k i s t e z i e n , dat h e t echte s p r i n g t i j ( d o o d t i j ) l a t e r o p t r e e d t , dan u i t de stand van de maan v a l t a f t e l e i d e n . Deze t i j d s v e r s c h u i v i n g wordt de l e e f t i j d van h e t g e t i j genoemd en bedraagt n o r m a l i t e r 2 a 3 dagen.
Hoek van Holland D D D GEMIDDELDE r DAGELIJKSE I J m u i d e n Harlingen
HOOGSTBEKENDE STAND + ^SS (19S3)
2 V4 DAG N A NM OF VM
VOORBEELD VAN HET VERLOOP DER GETIJBEV^EGING T E V L I S S I N 6 E N VAN NIEUWE M A A N TOT NIEUWE MAAN
HOOGSTBEKENDE STAND + 460 (1825)
1,00 • iOO
STORMVLOEDPEIL + 33i
- 3 0 0 -300 LAAGSTBEKENDE STAND - 3 / . 8 (1915)
VOORBEELD VAN HET VERLOOP DER GET IJBEWL-GING TE D E L F Z I J L VAN NIEUWE M A A N TOT N I E U W E M A A N
-15-2.2, Astronomische analyse van h e t g e t i j .
Het r e s u l t a a t voor de component van de getijverwekkende k r a c h t , de s l e e p k r a c h t F^, i s :
F = ^ s i n 2^
^ 2K
I n deze formule z i j n de <!> en K geen c o n s t a n t e n ; z i j hangen a f van de bewegingen die de v e r s c h i l l e n d e hemellichamen t . o . v . e l k a a r u i t v o e r e n . A l deze bewegingen z i j n p e r i o d i e k , w a a r b i j i e d e r van deze bewegingen een k a r a k t e r i s t i e k e hoeksnel-h e i d hoeksnel-h e e f t . Tot nu t o e i s men nog n i e t goed i n s t a a t de complexe waterbeweging i n oceanen en zeëen a l s gevolg van deze s l e e p k r a c h t t e berekenen. E c h t e r men mag w e l verwachten, dat de f r e q u e n t i e s d i e de s l e e p k r a c h t b e v a t , ook i n door deze k r a c h t gegenereerde v e r s c h i j n s e l e n , zoals h e t g e t i j , teruggevonden kunnen worden. Daarom zou h e t b i j de analyse van een gemeten g e t i j s i g n a a l een g r o o t v o o r d e e l z i j n a l s min o f meer t e v o o r s p e l l e n i s welke f r e q u e n t i e s i n d a t
s i g n a a l b e l a n g r i j k z i j n . Daarvan zou dan n a m e l i j k d i r e c t g e b r u i k kunnen worden gemaakt b i j de analyse.
V e r s c h i l l e n d e onderzoekers, z o a l s Darwin en Doodson, z i j n e r i n geslaagd de s l e e p k r a c h t t e ontbinden i n z i j n samenstellende componenten. De r e s u l t a t e n van deze z.g. astronomische analyse geven een i n d r u k van h e t r e l a t i e v e belang van i e d e r e component. Hiervan kan b i j een analyse van een g e t i j s i g n a a l g e b r u i k worden gemaakt door i n de berekeningen o n b e l a n g r i j k e componenten n i e t mee t e nemen. I n d i t c o l l e g e z u l l e n deze methoden, welke g e b r u i k maken van een o n t w i k k e l i n g met b o l f u n c t i e s van de k r a c h t p o t e n t i a a l , d i e zon en maan op aarde geven, n i e t behandeld worden. Er z a l a l l e e n een k l e i n e aanzet gemaakt worden i n d i e r i c h -t i n g door de s l e e p k r a c h -t i e -t s nader -t e beschouwen.
Om aan t e geven, welke f u n c t i e s een r o l spelen b i j de astronomische analyse van F z a l e e r s t een beknopte b e s c h r i j v i n g worden gegeven van de v e r s c h i l l e n d e be¬
S
l a n g r i j k e bewegingen, d i e aarde, maan en zon t . o . v , e l k a a r u i t v o e r e n . Daarvoor wordt h e t b e g r i p hemelbol i n g e v o e r d , d i e beschouwd z a l worden a l s een n i e t r o -terende b o l , welke meebeweegt met de aarde, en d e z e l f d e equator h e e f t a l s de aarde. Op de hemelbol worden de r e l a t i e v e bewegingen van de beschouwde hemel-lichamen g e p r o j e k t e e r d . A l s e e r s t e beschouwen we dè p r o j e c t i e van de baan van de zon op de hemelbol. Deze v e r s c h i j n t h i e r o p a l s een c i r k e l , welke de e c l i p t i c a wordt genoemd ( z i e f i g , 5 ) , De hoek tussen e c l i p t i c a en equator i s c o n s t a n t en bedraagt 23^°, De e c l i p t i c a s n i j d t de equator op twee p l a a t s e n ; e i n der s n i j p u n t e n wordt g e b r u i k t a l s r e f e r e n t i e voor de b e s c h r i j v i n g van de p o s i t i e van een hemel-lichaam. D i t punt heet h e t l e n t e p u n t , omdat op h e t moment d a t de zon d i t punt
-17-p a s s e e r t , de l e n t e o-17-p h e t N o o r d e l i j k h a l f r o n d b e g i n t . I n f e i t e i s d i t geen vast p u n t , omdat de p o s i t i e van de e c l i p t i c a t . o . v . de v a s t e s t e r r e n veran-d e r t . Voor een omwenteling van h e t l e n t e p u n t langs veran-de equator i s 26.000 j a a r benodigd; een zo lange p e r i o d e , d a t de i n v l o e d daarvan op h e t g e t i j
verwaar-loosbaar i s .
Voor êên omwenteling van de aarde om de zon i s 365,26 dag benodigd, hetgeen h e t z e l f d e i s a l s de p e r i o d e t u s s e n 2 achtereenvolgende malen, d a t de zon h e t l e n t e p u n t p a s s e e r t . D i t houdt een gemiddelde h o e k s n e l h e i d i n van a)^ = 0,04104
[ g r a d e n / u u r ] . De echte h o e k s n e l h e i d schommelt daar wat om heen, omdat de baan van de aarde om de zon e l l i p t i s c h i s . N i e t a l l e e n v a r i e e r t daardoor K, doch ook de h o e k s n e l h e i d van de beweging. Deze z a l n a m e l i j k h e t g r o o t s t z i j n i n het p e r i h e l i u m (aarde h e t d i c h t s t b i j de zon) en h e t k l e i n s t i n h e t apohelium (aarde h e t v e r s t van de zon).
De beweging van de maan i s nog wat i n g e w i k k e l d e r . De maanbaan op de hemelbol s n i j d t de e c l i p t i c a i n 2 punten, de z.g. knopen (klimmende en dalende knoop). Als g e v o l g van een variërende p o s i t i e van de maanbaan t . o . v . de e c l i p t i c a
( v a r i a t i e ongeveer 5°) lopen de knopen langs de e c l i p t i c a . Voor eên complete omwenteling.is 18,60 j a a r benodigd (Wj^ = 0,00221 [ g r a d e n / u u r ] ) . Ook de maan beweegt i n een e l l i p s om de aarde, doch de p o s i t i e daarvan i s n i e t c o n s t a n t . Het perigeum, en dus ook apogeum, maken een v o l l e d i g e omwenteling om de aarde i n 8,85 j a a r (o) = 0,00404 [ g r a d e n / u u r ] ) . Verder maakt de maan i n ongeveer een maand êl'ftomwenteling rond de aarde; t . o . v . h e t l e n t e p u n t i s deze p e r i o d e e c h t e r 27,32 dag (o)^ = 0,54900 [ g r a d e n / u u r ] ) .
T e n s l o t t e d r a a i t de aarde êen maal per dag rond z i j n eigen as. T.o.v. h e t l e n t e p u n t bedraagt de p e r i o d e e c h t e r 0,997 dag (w^ = 15.04116 [ g r a d e n / u u r ] ) . Het v e r s c h i l met b e t r e k k i n g t o t de p e r i o d e van een dag i s j u i s t êên omwente-l i n g per j a a r .
Resumerend kunnen dus de volgende f r e q u e n t i e s onderscheiden worden:
oorzaak h o e k s n e l h e i d i n graden/uur p e r i o d e r o t a t i e aarde maan om aarde aarde om zon perigeum maan knopen maanbaan 0) = 15 ,04116 a ü) = 0 ,54900 m w = • 0 ,04104 z w = 0 ,00464 P
\
= 0 ,00221 0,997 [dag] 27,32 [dag] 365,26 [dag] 8,85 [ j a a r ] 18,60 [ j a a r ]
-18-B i j èen systematische o n t w i k k e l i n g van de u i t d r u k k i n g voor F mogen we s
verwachten, d a t a l deze f r e q u e n t i e s i n de samenstellende componenten z u l l e n voorkomen. I n h e t algemeen kan g e s t e l d worden, dat F a l s v o l g t o n t w i k k e l d
s kan worden: w a a r i n s i n 2^ = ^ + E A^ cos 2K 2K *" (1) = iü) + jcü„ + kü) + 1( 0 + mu (2.6) m ( i , j , k, 1 , m -2, - 1 , O, 1 , 2, ...) A^= astronomische a m p l i t u d e K = K - gemiddeld <)) = fase op t = O
Om enige i n d r u k t e geven hoe een d e r g e l i j k r e s u l t a a t b e r e i k t kan worden z a l vjederom de hemelbol beschouwd worden met daarop g e p r o j e c t e e r d de p o s i t i e van een waarnemer op aarde en een hemellichaam (zon o f maan) op een zeker moment ( z i e f i g . 6 ) .
Het hemellichaam wordt i n h e t punt S g e p r o j e c t e e r d op de hemelbol en h e e f t een d e c l i n a t i e d. De corresponderende hoek b i j h e t middelpunt i s eveneens i n de f i g u u r aangegeven. De beschouwde p l a a t s op aarde wordt g e p r o j e c t e e r d i n h e t punt T. De breedte daarvan wordt aangeduid met b. De punten S en T l i g g e n op m e r i d i a n e n , d i e e l k a a r aan de p o o l P s n i j d e n onder de hoek p. I n de u i t d r u k k i n g voor de s l e e p k r a c h t F komt de hoek (f) v o o r . Deze was de
s
hoek t u s s e n de v e r b i n d i n g s l i j n van de middelpunten d e r beschouwde hemel-lichamen en de v e r b i n d i n g s l i j n van de beschouwde p l a a t s op aarde en z i j n m i d d e l p u n t , dus de hoek t u s s e n de l i j n e n SM en TM. De s l e e p k r a c h t r a a k t aan de aarde en l i g t i n h e t v l a k STM. D i t l a a t s t e s n i j d t de hemelbol v o l -gens een c i r k e l en F r a a k t dus aan deze c i r k e l ( z i e f i g u r e n ) . De hoek, d i e
s
F maakt met de m e r i d i a a n wordt aangeduid met t . s
I n de f i g u u r i s d u i d e l i j k t e z i e n , d a t a l s de hoeken d , b , en p gegeven z i j n , de hoeken (j) en t tevens v a s t l i g g e n . De r e l a t i e s t u s s e n deze hoeken moeten worden o n t l e e n d aan de boldriehoeksmeetkunde. Z i j z u l l e n zonder a f l e i d i n g h i e r worden gegeven:
cos (}> = s i n b s i n d + eos b cos d cos p
s i n (j) sin. t = cos d s i n p ( 2 , 7 ) s i n (f) cos t = s i n d cos b - s i n b cos d cos p
p = uurhoek
S = projektie van de m a a n op de hemelbol d = declinatie
b = breedte
ST = deel van cirkel door' S en T, met als middelpunt M. _ E s h _ = cos d sinp.(sinb sind -i-cosb cos d cos p)
-üT = ( s i n d cos b - s i n b cosd cos f3) (sin b sin d +cosb cos d cos p)
3gM
-20-I n e e r s t e i n s t a n t i e z a l ontbonden worden i n componenten, d i e raken aan de p a r a l l e l en de m e r i d i a a n van het punt T, r e s p e c t i e v e l i j k F^^ en
F - -21^ s i n 2(|)sin t = -^SH s i n (j) cos ^ s i n t 2 ^
(2.8)
Y - ISË s i n 2(}icos t = -^SM s i n A ^OS <j) cos t 2K^
S u b s t i t u t i e van de formules volgens ( 2 . 7 ) i n ( 2 . 8 ) l e v e r t op:
^sh ~ ^•^'^ P ( s i n b s i n d + cos b cos d cos p ) K
F = ( s i n d cos b - s i n b cos d cos p ) ( s i n b s i n d + cos b
cos d cos p ) Bovenstaande u i t d r u k k i n g e n l e v e r e n na u i t w e r k i n g op: F •g = s i n b s i n 2d s i n p + cos b cos d s i n 2p F S V 2 2
— • - • - V = 5 ( 3 s i n d - 1) s i n 2b + cos 2b s i n 2d cos p - 5 s i n 2b cos d 3gM/2K
( 1 ) ( 3 ) ( 5 ) 2p
Reeds na deze r e l a t i e f eenvoudige decompositie b l i j k t dat enkele b e l a n g r i j k e v e r s c h i j n s e l e n onderscheiden kunnen worden. A l s de breedte b v a s t i s en, i n e e r s t e i n s t a n t i e , de d e c l i n a t i e d ook, dan kunnen de volgende g e v a l l e n worden onderscheiden:
a) de termen ( 4 ) en ( 5 ) b e v a t t e n een s i n 2p en cos 2p. De hoeksnelheid van 2p i s 2(ü) - ü) ) ( o f 2(iji - w ^ ) ) , zodat h i e r b l i j k b a a r sprake i s van
O- 111 3. Z
dubbeldaagse componenten. I n d i t g e v a l horen de hoeksnelheden b i j de h o o f d g e t i j d e n M2 ( p e r i o d e .12 uur 25 min.) en S2 ( p e r i o d e 12 u u r ) . b) de termen ( 2 ) en ( 3 ) b e v a t t e n een s i n p en cos p. De h o e k s n e l h e i d van
p i s ü)^ - ü)^ ( o f u)^ - ü)^), zodat h e t h i e r gaat om enkeldaagse componenten. Deze zouden n i e t aanwezig z i j n a l s de r e s p e c t i e v e hemellichamen z i c h i n het v l a k van de equator bewegen, want dan s i n 2d = 0. Derhalve gaat h e t h i e r om d e c l i n a t i e - g e t i j d e n . (Voor a l l e d u i d e l i j k h e i d : d e c l i n a t i e g e t i j d e n kunnen ook een dubbeldaags k a r a k t e r hebben).
2 1
-c) i n d i e n de d e c l i n a t i e d v a s t i s houdt de term ( 1 ) n i e t s anders i n daij een permanente k r a c h t , g e r i c h t naar de equator. I n w e r k e l i j k h e i d v a r i e e r t d w e l , waardoor deze k r a c h t ook v a r i e e r t . K a r a k t e r i s t i e k e hoeksnelheden voor d z i j n w en w , waarvan de b i j b e h o r e n d e p e r i o d e n l a n g z i j n t . o . v .
TTl Z
een dag, n.1. ongeveer een maand en een j a a r r e s p . M.a.w. e r z i j n naast de eên o f meerdaagse g e t i j d e n ook l a n g p e r i o d i e k e g e t i j d e n aan t e w i j -zen.
De decompositie van de s l e e p k r a c h t kan nog a a n z i e n l i j k v e r d e r worden u i t g e b r e i d . Zo kan b i j v o o r b e e l d de d e c l i n a t i e geëlimineerd worden door deze u i t t e drukken i n de h e l l i n g van de e c l i p t i c a o f de maanbaan en de daarlangs afgelegde weg. D i t z a l h i e r n i e t worden u i t g e v o e r d . Het u i t e i n d e l i j k r e s u l t a a t i s weergegeven i n t a b e l 1 , dat de b e l a n g r i j k s t e componenten bevat. De meest r e c h t s e kolom g e e f t de amplitude A, de z.g. astronomische a m p l i t u d e . Deze g e e f t de r e l a t i e v e b e l a n g r i j k h e i d van i e d e r component a f z o n d e r l i j k . De a l l e r b e l a n g r i j k s t e z i j n o n d e r s t r e e p t . Er z i j nogmaals op gewezen, dat h e t nog steeds om de componenten van de s l e e p k r a c h t gaat. De u i t w e r k i n g op h e t echte g e t i j i s voor i e d e r com-ponent v e r s c h i l l e n d , zodat we n i e t mogen verwachten, d a t de a m p l i t u d e s , z o a l s deze gemeten worden z i c h verhouden a l s de astronomische a m p l t i t u d e s . D i t i s v o o r a l sprekend voor enkeldaagse en dubbeldaagse g e t i j d e n . V e r g e l i j k i n g tussen de r e s p e c t i e v e amplitudes van h e t echte g e t i j en de astronomische amplitudes kan zeer g r o t e v e r s c h i l l e n t e z i e n geven.Voorts bevat de kolom onder m s l e c h t s n u l -l e n . D i t houdt n i e t i n d a t de p o s i t i e van de knopen geen i n v -l o e d op de compo-nenten van de s l e e p k r a c h t h e e f t ; deze wordt e c h t e r i e t s anders v e r w e r k t . Aange-z i e n de i n v l o e d daarvan, de Aange-z.g. 1 9 - j a r i g e v a r i a t i e , k l e i n i s , wordt deAange-ze d.m.v. c o r r e c t i e f a c t o r e n i n r e k e n i n g gebracht. Zo wordt b i j v o o r b e e l d de amplitude van het h o o f d m a s s a g e t i j , M2, v e r m e n i g v u l d i g d met f , de z.g. k n o o p f a c t o r :
^M2 ~ '^'^^•^ ~ 0j039 cos üjj^t .
De k n o o p f a c t o r e n worden gedurende h e t j a a r a l s een constante beschouwd. Een d e r g e l i j k e c o r r e c t i e b e s t a a t ook voor de fase van i e d e r e component. Nu i s er een c o r r e c t i e u , welke met de astronomische fase vermeerderd moet worden om de j u i s t e fase t e bepalen.
De algemene u i t d r u k k i n g voor een component van de s l e e p k r a c h t i s :
Acos [ ( i w ' + jo) + kü) + lo) + niü) + nw ) t + ^ ] w a a r b i j
Naam i j k 1 m n A * 10 S a 0 0 1 0 0 -1 1.160 Ss a 0 0 2 0 0 0 7.299 Mm 0 -2 0 - 1 0 0 8.254-Mf 0 2 0 0 0 0 15.642 2Q, 1 -3 0 2 0 0 955 1 -3 2 0 0 0 1.153
\
1 -2 0 1 0 0 7.216 1 -2 2 - 1 0 0 1.371 °1 1 -1 0 0 0 0 37.689 ^ 1 1 -1 2 0 0 0 491\
1 0 0 -1 0 0 1.065 NO^ 1 0 0 1 0 0 2.004 ^ 1 1 0 2 - 1 0 0 566 1 1 -3 0 0 1 1.029 ^ 1 1 1 -2 0 0 0 17.584 ^ 1 1 1 - 1 0 0 1 423 ^ 1 1 1 0 0 0 0 53,050 ^ 1 1 1 1 0 0 - 1 423 * 1 1 1 2 0 0 0 756 ^ 1 1 2 -2 1 0 0 566 ^ 1 1 2 0 -1 0 0 2,964 00^ 1 3 0 0 0 0 1.623 ^2 2 -3 2 1 0 0 671 2N2 2 -2 0 2 ' 0 0 2.301 ^2 2 -2 2 0 0 0 2.777 ^2 2 - 1 0 1 0 . 0 17.387 ^ . 2 - 1 2 - 1 0 0 3,303 «2 2 0 0 0 0 0 90,812 ^2 2 1 -2 1 0 0 670 ^2 2 1 • 0 - 1 0 0 2.567 '^2 2 2 -3 0 0 1 2.479 ^2 2 2 -2 0 0 0 42.358 ^2 2 2 - 1 0 0 - 1 354 ^2 2 2 0 0 0 0 11.506 ?2 2 3 -2 1 0 0 123 2 . 3 0 -1 0 0 643 3 0 0 0 0 0 1.188typen g e t i j d e n : h o o f d g e t i j d e n ( Mj, S,.)
d e c l i n a t i e g e t i j d e n ( b.v. Ssa, Mf ,0 ,K,^.) e l l i p t i s c h e g e t i j d e n (b.v, Q^, N^,
Numerieke waarden graden/uur omw./uur p e r i o d e
a 15,04116 0,041781 0,997 dag ( 0 ' a 14,49216 0,040256 1,035 " ü) m 0,54900 0,001525 27,32 " tü z 0,04104 0,000114 365,26 " Ü) 0,00464 0,000013 8,85 j a a r P 8,85 j a a r ""k 0,00221 0,000006 18,60 " 0,000002 0,000000 25.765 "
Aan s t e i l e kusten van diepe oceanen o f b i j oceanische e i l a n d e n zou men h e t g e t i j op r e d e l i j k e w i j z e kunnen b e s c h r i j v e n met componenten, d i e f r e q u e n t i e s volgens t a b e l 1 hebben. Helaas i s d i t e c h t e r min o f meer een u i t z o n d e r i n g , daar b l i j k t dat v e e l a l hogere f r e q u e n t i e s i n h e t echte g e t i j voorkomen dan u i t de t a b e l 1 v o l g t . D i t wordt v e r o o r z a a k t door n i e t l i n e a i r e v e r s c h i j n s e -l e n , d i e b i j de v o o r t p -l a n t i n g van g e t i j go-lven i n ondiepe zeëen en e s t u a r i a een r o l s p e l e n , zoals bv.:
a) v a r i a b e l e waterspiegelbréedte- a l s gevolg van d r o o g v a l l e n d e p l a t e n e.d, b) i n v l o e d van bodemweerstand op de w a t e r s t r o m i n g ; deze i s e v e n r e d i g met het
kwadraat van de s n e l h e i d ,
c ) n i e t - l i n e a i r e invloeden b i j stroming met r e l a t i e f hoge snelheden (hoge k i n e t i s c h e e n e r g i e ) ,
d) n i e t constante v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d van de g e t i j g o l f ; deze i s afhanke-l i j k van de d i e p t e .
Aan de punten b ) en d) z a l nog enige aandacht besteed worden,
I n g e v a l b) i s de w r i j v i n g W evenredig met h e t kwadraat van de s n e l h e i d v. Dus:
2
W. •. V , e c h t e r , omdat v van teken kan w i s s e l e n en W ook: W.'. V.V
V e r o n d e r s t e l dat v . ' . s i n w t , dan kan W a l s v o l g t met behulp van een F o u r i e r -reeks o n t w i k k e l d worden: ,
-424-W.'.sin ü)t s i n wt = TT- s i n wt + T? — s i n 3üJt +
3 TT ISTF
Bovenstaande u i t d r u k k i n g i m p l i c e e r t , d a t de n i e t - l i n e a i r e w r i j v i n g a.h.w, termen met hogere f r e q u e n t i e g e n e r e e r t . I n g e v a l de b a s i s o s c i l l a t i e b i j
M2 zou behoren, zou een Mg, e.d. opgewekt worden. Het i s d u i d e l i j k , d a t
deze M6 e.d. n i e t van astronomische oorsprong i s ,
I n g e v a l d ) beschouwen we een r e c h t h o e k i g h o r i z o n t a a l k a n a a l , waarin een s i n u s o i d a l e g o l f z i c h v o o r t p l a n t , I n p r i n c i p e i s de v o o r t p l a n t i n g s s n e l h e i d van een v a s t e waterhoogte Vgh", waardoor na enige t i j d de g o l f vervormd z a l z i j n ( z i e s c h e t s j e ) . A l s u i t g e g a a n zou z i j n van M2, dan wordt a,h,w, een 4*-d a a g s g e t i j , M^, gesuperponeer4*-d, Ook 4*-d i t n i e t - l i n e a i r e vei''schijnsel g e n e r e e r t dus bovenharmonischen,
Het moge d u i d e l i j k z i j n , d a t nu ook a l l e r l e i n i e t - l i n e a i r e i n t e r a c t i e s tussen de v e r s c h i l l e n d e g e t i j componenten- a a n l e i d i n g kunnen z i j n t o t h e t o n t s t a a n van f r e q u e n t i e s . Zo g e e f t b i j v o o r b e e l d de i n t e r a c t i e t u s s e n M2 en (denk aan d o o d t i j en s p r i n g t i j ) a a n l e i d i n g t o t MS^^, d i e t u s s e n M2 en N2 t o t MNj^, e t c . Gezien h e t g r o t e a a n t a l b a s i s g e t i j componenten l i g t h e t voor de hand een g r o o t a a n t a l ondiep water g e t i j d e n t e verwachten. Tabel 2 g e e f t daarvan een o v e r z i c h t . N a t u u r l i j k bevat deze t a b e l geen kolom, d i e de waarden van de astronomische a m p l i t u d e g e e f t ; immers hun o r i g i n e i s v o l s l a g e n anders. Er kan dus ook m o e i l i j k op voorhand v o o r s p e l d worden, welke ondiep water g e t i j -den b e l a n g r i j k z i j n . De e r v a r i n g h e e f t evenwel g e l e e r d , d a t Mj^, Mg, Mg, MS^^, MN^ w e l de b e l a n g r i j k s t e z i j n , zodat deze ook i n een analyse van b e p e r k t e omvang beschouwd moeten worden.
2.3. V o o r s p e l l i n g van h e t g e t i j
Voor de v o o r s p e l l i n g van h e t g e t i j wordt u i t g e g a a n van h e t e v e n w i c h t s g e t i j , z o a l s d a t op de m e r i d i a a n van Greenwich wordt waargenomen:
^ 5
-h - -h + E f H cos (!D t + V t u ) O n n I I n r .
vyaarin h - g e t i j ( h o r i z o n t a a l o f v e r t i k a a l ) , h^= gemiddelde waarde,
astronomische a m p l i t u d e = constant per g e t i j , ü) = h o e k s n e l h e i d ,
n ' t = GMT (Greenwich Mean Time), V^+u^ = astronomische argument, waarvan,
V^= u n i f o r m veranderende d e e l van h e t astronomische argument a l s o^.
gevolg van h e t f e i t , d a t i e d e r e dag weer met t = O b e g i n t ; f / , !<.
i e d e r e g e t i j component h e e f t dus voor i e d e r e dag een ander astronomisch argument, j (>/ ,
f^,u^= c o r r e c t i e s voor p o s i t i e van de knopen. '
Voor een p l a a t s L graden w e s t e l i j k van Greenwich wordt h e t e v e n w i c h t s g e t i j , met t i n GMT:
n
h = h + Z f H cos (tü t + V + u - pL) O n n n^ n n ^
w a a r i n p = O, 1 , 2, , afhangend van h e t f e i t o f h e t gaat om een g e t i j met lange p e r i o d e ( p - 0 ) , een e n k e l d a a g s - g e t i j ( p = 1 ) , enz.
Deze p l a a t s h e e f t i . h . a . een andere t i j d dan Greenwich. V e r o n d e r s t e l , d a t deze p l a a t s l i g t i n een t i j d z o n e , waar h e t S uren vroeger i s dan i n Green-wich. Dan wordt h e t e v e n w i c h t s g e t i j :
n
h = h^ + E f^H^cos (ü)^t + + u^ - pL + ü)^S)
We maken nu de stap naar h e t echte g e t i j en v e r o n d e r s t e l l e n , d a t h^ en r e s p e c t i e v e l i j k de gemiddelde waarde en de amplitude van de echte g e t i j componenten z i j n . De w i l l e k e u r i g e g e t i j component z a l e c h t e r w e l i n fase v e r -s c h i l l e n van h e t e v e n w i c h t -s g e t i j , du-s h e t w e r k e l i j k e g e t i j wordt' weergegeven door:
n
^ = \ + ^ V + + % - pL + 03^8 - K ^ )
-2J3-Naam i • j k 1 m n NO^ 1 0 0 1 0 0 SO^ 1 3 -2 0 0 0 OQ2 2 -3 0 3 0 0 2MS2 2 -2 2 0 0 0 2 0 - 1 0 0 1 MKS^ 2 0 2 0 0 0 2MN2 2 1 0 - 1 0 0 MSN^ 2 3 -2 - 1 0 0 2SM2 2 4 =4 0 0 0 MO3 3 -1 0 0 0 0 3 1 -2 0 0 0 MK3 3 1 0 0 0 0 SK3 3 3 -2 0 0 0 -1 0 1 0 0
\
0 0 0 0 0 s \ 1 -2 1 0 0 MS, 4 2 -2 0 0 0 M \ 4 2 0 0 0 0%
4 4 -4 0 0 0 SK, 4 4 -2 0 0 0 2MN, b 6 -1 • 0 1 0 0 6 0 0 0 0 0 MSN^ b 6 1 -2 1 0 0 2MS^ 6 6 2 -2 0 0 0 2MK^ b 6 2 0 0 0 0 2SM_ 6 6 4 -4 0 0 0 MSK. 6 6 4 -2 0 0 0 3MN„ 0 8 - 1 0 1 0 0 8 0 0 0 0 0 2MSN-ö 8 1 -2 1 0 0 3MSg 8 2 -2 ö 0 0 2(MS)g 8 4 -4 0 0 0 2MSK„ 8 -4 -2 0 0 0 z e l f d e f r e -q u e n t i e a l s t a b e l 2. Ondiep water g e t i j d e n .Meestal i ' i o i ^ d t d i t e c h t e r b e s c h r e v e n
h = h + Z f H GOS { Ui t + V t u • • K
O n n n n n '^n
waarin = v e r b e t e r d kappa - g e t a l = pL - w^S +
Noot: I n de g e t i j v o o r s p e l l i n g wordt o n t l e e n d aan de astronomische analyse en gedurende een j a a r a l s c o n s t a n t beschouwd.
L i t e r a t u u r 1. Danby, J. Fundamentals o f c e l e s t i a l mechanics* New York, 1962, pp 107-118. 2. Darwin, G. On an apparatus f o r ' f a c i l i t a t i n g t h e r e d u c t i o n o f t i d a l o b s e r v a t i o n s . Proc. Roy. Soc., London, 1962, SerA52, 345 - 376.
3. Deutsches H y d r o g r a f i s c h e s I n s t i t u t .
T a f e l n der Astronomischen Argumente V + v und der K o r r e c t i o n e n j , v . Hamburg 1967.
4. Doodson, A.T.
The harmonic development o f t h e t i d e g e n e r a t i n g p o t e n t i a l . Proc. Roy. S o c , London, 1921, Ser. AlOO, pp 306 - 328.
5. Doodson, A.T.
The a n a l y s i s o f t i d a l o b s e r v a t i o n s .
P h i l . Trans. Roy. S o c , London, Ser. A227, pp 223 - 279.
6. Doodson, A.T. The a n a l y s i s and p r e d i c t i o n s o f t i d e s i n s h a l l o w w a t e r . IHR 33, 1957, pp 85 - 126. 7. Dronkers, J.J. T i d a l computations i n r i v e r s and c o a s t a l w a t e r s . Amsterdam, 1964. 8. Godin, G. The a n a l y s i s o f t i d e s . L i v e r p o o l , 1972. 9. Horn, W.
Über d i e D a r s t e l l u n g der Gezeiten a l s F u n k t i o n der Z e i t . Deutsche Hydrographische Z e i t s c h r i f t , 1948, 4, 124 - 140.
10, K e l v i n , Lord
Report on t h e Committee f o r t h e purpose o f promoting t h e e x t e n s i o n , improvement and harmonic a n a l y s i s o f t i d a l o b s e r v a t i o n s ,
B r i t i s h Ass. f o r t h e Advancement o f Science Report, 1868, 489 - 505 1870, 120 - 125, 148 - 151.
11. Laplace, P.S.
Recherches des p l u s i e u r s p o i n t s du systeme du monde.
Memoires de 1'Acadêmie r o y a l e des Sciences, 1775, 88, pp 75 - 182, 1776, 89, pp 177 - 267.
12. M e l c h i o r , F. The e a r t h t i d e s , Oxford.
13. Schureman, P.
Manual o f harmonie a n a l y s i s and p r e d i c t i o n o f t i d e s ; V.S. Coast and Geodetic Survey, 1941.
14. Smart, W.
Text book on s p h e r i c a l astronomy. Cambridge, 1956.
3. F o u r i e r r e e k s e n en F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e s ; de t o e p a s s i n g op g e t i j ' s i g n a l e n
3.1. I n l e i d i n g
De algemene u i t d r u k k i n g voor h e t h o r i z o n t a l e o f v e r t i k a l e g e t i j a l s f u n c t i e van de t i j d i s
n
h ( t ) = h + E f H c o s ( ü ) t t V + u - g ) (3.1.)
O n n n ,n n ^n
Deze f o r m u l e g e e f t aan, dat h e t g e t i j s i g n a a l opgebouwd i s u i t v e l e s i n u s o i d e n , e l k met z i j n eigen a m p l i t u d e , hoeksnelheid en fase (op t = 0 ) . Een meting h ( t ) z a l a l deze s i n u s o i d e n b e v a t t e n en a l s er voldoende gegevens over h ( t ) bekend z i j n , z u l l e n i n p r i n c i p e a l deze s i n u s o i d e n u i t h e t gemeten s i g n a a l berekend kunnen worden. De echte onbekenden i n v e r g e l i j k i n g ( 3 . 1 ) z i j n de g e t i j constan-ten en g^. De andere grootheden z i j n bekendj immers, voor f^.^ wordt de over een j a a r gemiddelde astronomische waarde genomen, t e r w i j l h e t astronomisch a r -gument o n t l e e n d wordt aan h e t e v e n w i c h t s g e t i j .
Een m e e t s i g n a a l h e e f t een b e g i n en een einde. Voor de analyse van een s i g n a a l moet g e d e f i n i e e r d worden waar h e t t i j d s t i p t = O l i g t . I n de berekeningen moet e l k t i j d s t i p g e r e l a t e e r d worden aan deze t i j d b a s i s . Het v e r s p r i n g e n van de oorsprong van de t i j d , z o a l s d i t i n v e r g e l i j k i n g ( 3 . 1 ) g e b e u r t , t r e e d t dus n i e t op. I n d i e n nu voor h e t g e t i j s i g n a a l een vaste oorsprong van de t i j d g e d e f i n i e e r d w o r d t , b.v. op middernacht aan h e t b e g i n van een zekere dag, dan kan h e t g e t i j -s i g n a a l ge-schreven worden a l -s :
n
h ( t ) = h + E h cos (ü) t - a ) . ( 3 . 2 )
o n n n
H i e r i n z i j n h^ en a l s de nieuwe onbekenden t e beschouwen. A l s ze bekend z i j n volgen de g e t i j constanten e r d i r e c t u i t :
h H - - ü
^ • ^ n ' ( 3 . 3 )
Sn = '^n + ^n + % •
Als h e t gemeten g e t i j s i g n a a l l o u t e r en a l l e e n u i t echte g e t i j componenten zou b e s t a a n , kan h e t r e s u l t a a t van de a n a l y s e , voor zover het de a m p l i t u d e be-t r e f be-t , weergegeven worden z o a l s i n f i g . 7.
A f g e z i e n van l a n g - p e r i o d i e k e g e t i j componenten z i j n i n deze f i g u u r een grove en een f i j n e s t r u c t u u r t e onderscheiden. De grove s t r u c t u u r h e e f t b e t r e k k i n g op de g r o e p e r i n g van de componenten rond de f r e q u e n t i e s van 1 x p e r dag, 2 x per dag enz. I n i e d e r e groep i s een a a n t a l componenten t e onderscheiden. De v e r
-til Ql 3MS.,| 7 - 2 S M . MO3, MK3 MN4 3 MS A Mi MS 1 Ms 4MS^ II I -J OM 0,08 0,12 0,16 0,20 0,2^ —»- frequentie ( ^ [ o m w / u u r ]
s c h i l l e n i n f r e q u e n t i e binnen een groep z i j n k l e i n t o t zeer k l e i n i n v e r g e l i j k i n g met de v e r s c h i l l e n i n f r e q u e n t i e tussen de groepen.
I n d i e n h e t s i g n a a l ongestoord i s kan t h e o r e t i s c h met een g e r i n g a a n t a l waarne-mingen worden v o l s t a a n om de amplitudes en fases van de getijcomponenten t e
bepalen. B i j een a a n t a l van n g e t i j componenten z i j n 2n waarnemingen dan voldoende. De n a t u u r l e v e r t e c h t e r zeer zelden ongestoorde metingen. Zo worden b i j h e t g e t i j de waarnemingen v e r s t o o r d door meteorologische e f f e c t e n , s l i n g e r e n van w a t e r b a s i n s
(zowel van g r o t e a l s van r e l a t i e f k l e i n e ) , e,d. Om de storende i n v l o e d e n t e e l i -mineren z a l een v e e l g r o t e r a a n t a l waarnemingen v e r r i c h t moeten worden dan v o l g t u i t h e t a a n t a l onbekenden, I n de volgende p a r a g r a f e n z a l u i t e e n g e z e t worden hoe u i t de waarnemingen de g e t i j componenten bepaald kunnen worden. Met name z a l aandacht worden besteed aan de benodigde l e n g t e van de waarnemingsreeks om g e t i j -componenten van e l k a a r t e scheiden, en aan h e t maximale b e m o n s t e r i n g s i n t e r v a l * ^ b i j gegeven hoogste f r e q u e n t i e i n h e t s i g n a a l . Ten einde h i e r i n i n z i c h t t e v e r -werven, z a l i n de volgende p a r a g r a f e n enige aandacht aan F o u r i e r a n a l y s e en F o u r i e r t r a n s f o r m a t i e s worden besteed. De behandeling i s zodanig, d a t de t h e o r i e algemeen toepasbaar i s , dus n i e t a l l e e n g e l d t voor g e t i j m e t i n g e n . Voorafgaand daaraan z a l nog enige aandacht aan de methode der k l e i n s t e kwadraten worden ge-schonken,
s ) Reeds h i e r kan worden opgemerkt, d a t b i j berekeningen n o o i t de gehele g e t i j -kromme wordt g e b r u i k t . Er wordt s l e c h t s gerekend met waarden van de -kromme op zekere t i j d s a f s t a n d van e l k a a r . Het nemen van deze waarden wordt bemonsteren, de t i j d s a f s t a n d b e m o n s t e r i n g s i n t e r v a l genoemd.
3.2. De methode der J<lein_£te k j g i d ^
B i j g e t i j analyse gaat h e t erom u i t de waarnemingen zodanige s c h a t t i n g e n voor de parameters ( a m p l i t u d e s , f a s e s ) t e maken, d a t deze zo aannemelijk m o g e l i j k z i j n . H i e r b i j i s h e t f u n c t i o n e l e verband i n p r i n c i p e gegeven ( z i e v e r g e l i j k i n g e n (3.2.) en ( 3 . 3 . ) ) .
I n algemene z i n wordt d i t probleem g e r a n g s c h i k t onder de " t h e o r i e der meest aannemelijke s c h a t t i n g e n " en i n h e t b i j z o n d e r onder de r e g r e s s i e a n a l y s e . De methode, d i e g e b r u i k t wordt om de parameters van de f u n c t i e t e b e p a l e n , i s de méthode der k l e i n s t e kwadraten.
I n woorden komt deze methode op h e t volgende neer.
V e r o n d e r s t e l d a t g ( t ) de op h e t t i j d s i n t e r v a l ( t ^ 5 t 2 ) gemeten f u n c t i e (waar-nemingen) i s en h ( t , a, b , c, ,) de i n p r i n c i p e bekende f u n c t i e met de onbekende parameters a, b , c,....,, d i e u i t de waarnemingen bepaald moeten worden. Het m e e t s i g n a a l g ( t ) z a l n i e t overeenstemmen met de f u n c t i e h ( t ) ; h e t v e r s c h i l (de f o u t ) i s :
e ( t ) = h ( t ) - g ( t ) .
De methode der k l e i n s t e kwadraten e i s t d a t de geïntegreerde kwadratische f o u t
F(a,b,c....) e ( t ) d t
, 2
h ( t ) - g ( t ) d t (3.4) -1 ^1
minimaal i s . F hangt n i e t meer van t a f , maar w e l van de parameters a, b.
Een n o o d z a k e l i j k e voorwaarde voor h e t b e r e i k e n van een minimum door F i s , d a t de partiële a f g e l e i d e n van F naar de onbekende parameters a, b, c, ... g e l i j k aan n u l worden:
9a 9b 9c " ' (3.5)
Deze procedure z a l l e i d e n t o t even zo v e l e v e r g e l i j k i n g e n a l s e r onbekenden z i j n , zodat deze d a a r u i t o p g e l o s t kunnen worden.
Voorbeeld
De h i e r v o o r beschreven methode kan h e e l goed g e b r u i k t worden om g e t i j componenten t e berekenen u i t een m e e t s i g n a a l . Om h e t p r i n c i p e t e ' l a t e n z i e n z u l l e n s l e c h t s 2 componenten (harmonischen) beschouwd worden. Voor meerdere componenten i s de gang van zaken analoog.
-34-Dus: h ( t ) = cos..(ü)^t - a^) + h2-cos (w^t - a^) =
= h^cos oi^t cos + h ^ s i n w^t s i n +
+ h2COs ^2^ cos «2 h 2 s i n in^t s i n «2*
Om de procedure i e t s e l e g a n t e r t e l a t e n v e r l o p e n worden de volgende nieuwe onbekenden i n g e v o e r d :
h^cos = A^, h2Cos = A2, « , r-nrd^ ^-'i
h ^ s i n = B^, h 2 s i n - B2, ), ,.\//\^ -jg
zodat: h ( t ) = A^cos to^t + B^sin u ^ t + A2C0S t^^t + B2sin iii^t.
De parameters i n deze f u n c t i e z i j n dus A^, A25 B^ en B2; om ze t e bepalen z i j n e r metingen v e r r i c h t op de t i j d s t i p p e n :
t ^ , t g + A t , t ^ + 2 A t , , t ^ + i A t , , t ^ + k A t .
Het w i l l e k e u r i g e t i j d s t i p t ^ + i A t z a l weergegeven worden door t ^ ; de gemeten waarde op d a t t i j d s t i p door g ( t ^ ) . Er z i j n k+1 waarnemingen, w a a r b i j k+1 » 4
(= a a n t a l onbekende p a r a m e t e r s ) .
De geïntegreerde f o u t F wordt nu volgens v e r g e l i j k i n g ( 3 . 4 ) , w a a r b i j de i n t e g r a t i e door een sommatie i s vervangen:
k E i=0
F(A^, A2> B^, B2) = E [ h ( t ^ I - g ( t ^ ) ] " At.
R O.-E i=0 k Vn -i=0 k ^E i = 0 k ^-,\ 'lE i=0 o f k 2 F = E [A.cos cü.t. + B^sin to^t. + A2COS ui^t^ + B2Sin n^^t^ - g ( t ^ ) ] A t a
i = 0 ^
D i f f e r e n t i e e r F nu naar r e s p e c t i e v e l i j k A^, B^, A2, B2 en s t e l de a f g e l e i d e n g e l i j k aan n u l . Het r e s u l t a a t i s :
^ l ^ i ' " 1 " " " ' " l ^ i • "2 "^2^ 2^^"" "2 1 6^M^J ^l^i
" ] s i n ü)^t^ = O
" ] cos W2t^ = O
-As¬ !
D i t l e v e r t na e n i g u i t w e r k e n op:
k k k
A. 2 cos to.t. cos ü3 t . + B, E s i n w.t. cos u t . + A S cos w t . cos u t . +
X . _ J - 1 X l X , X X X x c. , / L X X X 1=0 1=0 1=0 + B 1 s i n ^r^:^ cos w^t^ = E g ( t ^ ) c o s 'J^>;[_"tj^5 1=0 ^ 1 1 k E i=0 A, E cos w^t^ s i n w^t^, + B^ E s i n w^t^ s i n w^t^ + A2 S cos ^ c ^ : , s i n w^t^ + i=0 i = 0 i = 0 k E i = 0 + B2 E s i n W2t^ s i n o i ^ t ^ = E g ( t ^ ) s i n W-j^t^, k E i=0 k k k A^ E cos w^t^ cos W2t^ ^ 1 ^ ^"""^ ' ^ l ^ i "^^^ '^2*1 ^2 ^ ^2^1 ^^2^1 ^ i=0 i = 0 i = 0 k k B2 1 s i n fJ2"tj_ cos W2t^ = E g ( t ^ ) cos '^^2''^^' i=0 ^ i = 0
A^ E cos a)^t_j^ s i n + B^ E s i n w^t^ s i n ^<.^^ ^ E cos ^2^i ^^'^ " 2 * i i=0 i = 0 i = 0
k k
B2 E s i n tÜ2t. s i n Ugt^ = E g ( t ^ ) s i n W2t^. i=0 i = 0
Merk nu op, d a t a l l e sommaties i n deze l a a t s t e v e r g e l i j k i n g e n kunnen worden be¬ * )
rekend. D i t g e l d t zowel voor de r e c h t e r - a l s voor de l i n k e r l e d e n . Met andere woorden: e r o n t s t a a t nu een systeem van 4 l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n met 4 onbekenden, dat i n matrixvorm weergegeven kan worden a l s :
^11 ^ 2 S3 ^14 ' ^ l ^21 ^22 ^23 ^24 h ^2 ^31 ^32 ^33 ^34 ^2
% 1 %2 ^ 3 \ 4 ^2
;) Ter b e s p a r i n g van rekenwerk kunnen de sommaties i n de l i n k e r l e d e n worden v e r -vangen door eenvoudige producten. Aangez;ien d i t i n h e t kader van d i t onderwerp w e i n i g essentiëel i s , z a l h i e r a a n v e r d e r geen aandacht besteed worden.
De onbekenden A^, B^, A^ en B^ kunnen opgelost worden door b.v. de m a t r i x t e i n v e r t e r e n . A l s A^, B^, A2 en B2 gevonden z i j n , kunnen ook h^, en h25 a, bepaald worden. Met b e t r e k k i n g t o t h e t oplossen van v o o r a l g r o t e s t e l s e l s l i n e a i r e v e r g e l i j k i n g e n kan worden opgemerkt, d a t i n d e r g e l i j k e g e v a l l e n met g r o o t v o o r d e e l van de computer g e b r u i k kan worden gemaakt.
Het toepassen van de methode der k l e i n s t e kwadraten voor een g e t i j a n a l y s e i s i n e e r s t e i n s t a n t i e goed m o g e l i j k ( z i e ook h e t v o o r b e e l d ) , doch e r z i j n wel enkele nadelen t e noemen.
Ten e e r s t e d i e n t op voorhand b e s l i s t t e worden welke getijcomponenten i n de berekening meegenomen moeten worden. A c h t e r a f z a l dus steeds naar h e t r e s i d u
(= v e r s c h i l tussen benadering en m e e t s i g n a a l ) gekeken moeten worden om na t e gaan o f e r w e l l i c h t b e l a n g r i j k e f r e q u e n t i e s over h e t hoofd z i j n g e z i e n . Er z i j n evenwel methoden d i e i n f o r m a t i e over h e t gehele f r e q u e n t i e d o m e i n v e r s c h a f -f e n ; met de h u i d i g e rekentechnieken z i j n deze economisch goed u i t v o e r b a a r met behulp van een computer. Ten tweede kunnen aan de toepassing van de methode der k l e i n s t e kwadraten geen c r i t e r i a o n t l e e n d vjorden over de g r o o t t e van h e t bemon-s t e r i n g bemon-s i n t e r v a l en de l e n g t e van de waarnemingbemon-sreekbemon-s. D i t i bemon-s w e l m o g e l i j k met de h i e r n a t e behandelen methode.
Een v o o r d e e l van de methode der k l e i n s t e kwadraten i s evenwel, d a t " g a t e n " i n de r e g i s t r a t i e berekeningen n i e t i n de weg staan. B i j de F o u r i e r a n a l y s e i s d i t w e l u i t e r m a t e h i n d e r l i j k . Aangezien p r a k t i j k g e g e v e n s n o g a l eens o n v o l l e d i g z i j n , z a l dan vaak g e b r u i k gemaakt worden van de methode der k l e i n s t e kwadraten.
3.3, Reeksen van F o u r i e r
Het g e t i j v e r t o o n t g e l i j k e n i s met een v e r s c h i j n s e l d a t na een bepaalde t i j d weer h e t z e l f d e v e r l o o p . t e z i e n g e e f t , dus p e r i o d i e k is.-Formeel bezien i s h e t g e t i j z e l f s z u i v e r p e r i o d i e k , z i j h e t dan met zeer g r o t e p e r i o d e . D i t l a a t s t e wordt veroorzaakt door de l a n g s t e t e onderkennen p e r i o d e van b i j n a 19 j a a r i n h e t g e t i j s i g n a a l . D i t b e t e k e n t nog n i e t d a t d i t ook de p e r i o d e van h e t g e t i j zou z i j n . Immers, e r moet geëist worden d a t i n d i e p e r i o d e e l k e harmonische component een geheel a a n t a l o s c i l l a t i e s kan v o l t o o i e n , I n p r a k t i s c h e z i n kan men voor k o r t e r e p e r i o d e n p e r i o d i c i t e i t v e r o n d e r s t e l l e n , v o o r a l a l s h e t a a n t a l i n de b e r e k e n i n g b e t r o k k e n componenten b e p e r k t i s .
Het l i g t dus voor de hand om t e t r a c h t e n h e t g e t i j gedurende een d e r g e l i j k e p e r i o d e t e b e s c h r i j v e n met een reeks van F o u r i e r , en w e l a l s v o l g t .
-37-2T ; z ( t ) kan dan beschreven worden door een g o n i o m e t r i s c h e reeks van de gedaante:
z(t) = ^ + E a.cos TT j ^ + ^ b . s i n TT j ^ j = l ^ j = l ^
( 3 . 6 )
Onder normaal wordt v e r s t a a n d a t z ( t ) en z ' ( t ) c o n t i n u z i j n op ( m i s s c h i e n ) een e i n d i g a a n t a l punten na. De coëfficiënten a^ en b_. worden de
coëffi-ciënten van F o u r i e r genoemd. A l s de g o n i o m e t r i s c h e reeks u n i f o r m c o n v e r g e e r t , wat h e t g e v a l i s voor normale z ( t ) , dan i s deze de reeks van F o u r i e r .
.-.i>, , J ' , , I „ ln I 1, . . f' 1 . I . (> I
om L,j Lf L>t 1 it' ' i ) ' ' I ' ' ' ' '
Om de coëfficiënten a. en b. t e berekenen kunnen we h e t l i n k e r - en r e c h t e r ¬ . . . t . . t
l i d van v g l . (3.6) vermenigvuldigen met r e s p . cos TT j e n s i n TT j ' y en i n t e g r e r e n over h e t i n t e r v a l (T, +T). De reeksen i n h e t r e c h t e r l i d worden v e r -o n d e r s t e l d u n i f -o r m t e c-onvergeren, waard-o-or term v-o-or term geïntegreerd
} ('1 .-J v<) -mag worden. Nu i s :
+T
f j i j cos TT j ' y cos TT j Y - O voor j !^ j '
'f ,1.' - T = 2T +T j ' ^ O 3 - 3 O cos TT j ' y s i n TT j Y ^'t = 0. (orthogonaliteilï) +T s i n TT j ' y s i n TT j y " O voor j 7^ j ' = T " j = j' 7^ O ( o r t h o g o n a l i t e i t ) zodat h e t r e s u l t a a t wordt: +T z ( t ) c o s j TT Y d t ( 3 . 7 ) +T 4 ^ ( t ) s i n j TT Y d t
* ) Merk op d a t de g o l f , 'die j u i s t e i n o s c i l l a t i e gedurende deze p e r i o d e kan v o l -t o o i e n , een p e r i o d e h e e f -t van 2T,
Voorbeeld I Z i j z ( t ) = 1 voor O < t < 15 -1 " 1 < t < 2, O " t = O, 2, 4, z ( t ) = p e r i o d i e k met p e r i o d e 2T = 2 ( T = l ) 2(t) - 2
Het gaat h i e r om een oneven f u n c t i e ( a n t i m e t r i s c h t e n o p z i c h t e van de oor-s p r o n g ) , duoor-s de coëfficiënten van de cooor-sinuoor-stermen z i j n n u l :
Voorts i s ;
a. - O +1
z ( t ) s i n jiTt d t = 1 - [ l - ( - l ) ^ ]
Dus: z ( t ) - — ( s m irt +, 4 , . ^ , s i n 3iTt , s i n 5iTt • • + — • V ' • • • +
Voorbeeld I I
De w r i j v i n g i n een g e t i j stroom i s evenredig met h e t kwadraat van de s n e l h e i d doch t e g e n g e s t e l d aan de r i c h t i n g daarvan. Dus W.'. v|v|. V e r o n d e r s t e l d a t V = s i n t : W.". s i n t | s i n t | , wat met een F o u r i e r r e e k s geschreven kan wor-den a l s ( a . = 0 ) : . ^ , ^ . 3 V-V/nnt Ro Voor I t >W. ^ i 5 1 . i , , ' I . . | ' l,(lU.- _ \ met: ?- 1 s m t s i n t E b. s i n j t , (T=Tr) j = l ^ s i n t I s i n t | s i n j t d t . b.v. tlT ^1 TT 2 g s i n t s i n t d t = , n
'2
+1T
s i n I t s i n t | s i n 2 t d t = O ,
^3 - T T s i n t s i n t s i n 3 t d t 15TT •
Voor de F o u r i e r r e e k s volgens v g l . ( 3 . 6 ) en de u i t d r u k k i n g e n voor de coëfficiënten v g l . ( 3 . 7 ) bestaan ook complexe s c h r i j f w i j z e n , d i e l a t e r i n h e t c o l l e g e benodigd z i j n . Voor de o m z e t t i n g wordt geÈ'ruik gemaakt van de f o r m u l e s :
cos X IX -IX e + e en s m X IX IX e - e w a a r m i
I n d i e n de cosinus en de sinus i n v g l , ( 3 . 6 ) op deze w i j z e vervangen worden, i s h e t r e s u l t a a t : . . t . . t . . t . . t z ( t ) = + E a. S 1 ^ + >-: b. ^ ^ ° j = i ^ ' ^ j ^ i - — T T — -1 O " -1 ^^^i " 1 " i' T^ Y 2^o^ + E ^ ( a . - i b )e + E i ( a . + i b . ) e j = l J J j ; , ^ J J
Vervang i n de l a a t s t e sommatie j door - j ;
z ( t ) = -ja^e + E ^ ( a . - i b . )e + E i ( a .. + i b .)e , j = l ^ ^ j = - l
A l s r e s u l t a a t i s een reeks van complexe e-machten o n t s t a a n , w a a r b i j j l o o p t van t o t +<». Deze reeks kan geschreven worden a l s :
iTïj^
z ( t ) = E Z e »)(3.8) j=»00
x ) Deze s c h r i j f w i j z e i s ook m o g e l i j k i n d i e n z ( t ) complex i s . Aangezien d i t i n ons g e v a l van minder belang i s , wordt h i e r v e r d e r geen aandacht aan besteed.
w a a r i n voor j = 0: Z = i a
O 2 O
voor j 1: Z j = i ( a j - i b j ) ,
1 • C C
voor j ^-1: Zj = "2^^j j ^ " ^ * ^ ^ P ^ ® ^ " ^ ^ ^ ^ ^ . j " ^„j
De complexe Fouriercoëfficiënten Z j kunnen n i e t a l l e e n u i t de reële F o u r i e r -coëfficiënten a^ en b^ a f g e l e i d v/orden, doch ook r e c h t s t r e e k s u i t z ( t ) . Z i j kun-nen met behulp van v g l , ( 3 , 8 ) gevonden worden door deze t e v e r m e n i g v u l d i g e n met e x p ( - i i r j ' t / T ) en t e i n t e g r e r e n over h e t beschouwde i n t e r v a l : +T . . , t +T . . , t , . . t z ( t ) e d t = e * E Z.e d t . J j = - M ^ -T -T V e r w i s s e l i n h e t r e c h t e r l i d van de l a a t s t e v e r g e l i j k i n g de v o l g o r d e van i n t e -g r a t i e en sommatie: +T - i i T j ' y z ( t ) e d t i-co E Z. j = . . . 3 +T iTrY( j - j ') e d t De i n t e g r a a l i n h e t r e c h t e r l i d g e e f t ( s c h r i j f e v e n t u e e l i n sinussen en cosinussen u i t ) : + n'Tri-C ^ --1' 1 d t = O voor j j ' , = 2T voor j = j ' , zodat h e t u i t e i n d e l i j k r e s u l t a a t wordt: +T . . t - I T T j Y z ( t ) e d t , (3.9)
Merk op, d a t de complexe coëfficiënt Z^ reeds a l l e i n f o r m a t i e bevat voor de b e p a l i n g van de amplitude en de f a s e van een w i l l e k e u r i g e component. D i t i s a l s v o l g t i n t e z i e n . Beschouw een w i l l e k e u r i g e component u i t de F o u r i e r -reeks volgens v e r g e l i j k i n g ( 3 . 5 ) :
ajCos TTj|- + b j S i n i r j ^ = CjCos(irjY - a j ) ,
w a a r i n
b.
I n d i e n de u i t d r u k k i n g e n voor c. en a- u i t de complexe Fouriercoëfficiënten Z_. a f g e l e i d worden, dan l u i d e n de f o r m u l e s :
c. = 2 VRe^(Z,) + Im^ ( Z . ) _ , . 2 Z. 3 1 ' 3 -Im(Z.) Im(Z.) t g a. =3 R e ( Z j ) p-7T,-T- . 3 > 1 = — J ^Re(Z.) , 3 < - 1
Er kan bewezen worden dat een benadering van een f u n c t i e met een F o u r i e r -r e e k s , d i e afgeb-roken wo-rdt na 2N+1 te-rmen, i d e n t i e k i s met een benade-ring volgens de methode van de k l e i n s t e kwadraten, w a a r b i j d e z e l f d e 2N+1 termen meegenomen worden. Het b e w i j s v e r l o o p t a l s v o l g t .
+N
V e r o n d e r s t e l d a t de reeks S k. exp(iTTjt/T) een benadering i s voor z ( t ) . De j=-N
coëfficiënten k^ moeten nu zo bepaald worden, d a t de f o u t F^ volgens de methode der k l e i n s t e kwadraten minimaal i s . De f o u t F^^ i s ( z i e v g l . ( 3 . 4 ) ) :
+T +N j=-N . . t . ITT 3T 3
welke minimaal wordt voor:
8k. 3
O, -N, +N.
D i t l e v e r t 2N+1 v e r g e l i j k i n g e n op, w a a r u i t de coëfficiënten k j o p g e l o s t kunnen worden. Beschouw de volgende v g l . voor j = j ' :
+T r +N z ( t ) - E k.e j=-N ^ . . t ' I T T D Y i i r j 'Y e d t = O, o f :
